CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 1


LỜI NÓI ĐẦU:

Các bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất ( GTNN ) và giá trị lớn nhất ( GTLN ) của một biểu thức
được gọi chung là các bài toán về cực trị. Rất nhiều bài toán dạng này được giải quyết bằng công cụ
bất đẳng thức ( BĐT ). Trong chuyên đề này tôi giới thiệu lời giải một số bài toán sử dụng BĐT
Cô-si , BĐT Bunhiacốpxki và một số BĐT đơn giản khác. Các bài toán về cực trị ngoài cách sử
dụng BĐT còn có một số bài sử dụng phương tiện đạo hàm.

NỘI DUNG:

Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số BĐT cơ bản hoặc dùng phương pháp đánh giá.
I.Sử dụng một số BĐT cơ bản:
Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-si: Với n số không âm bất kì:
12
; ; ( 2)
n
a a a n 
ta luôn có:
12
12

( )
n
n
n
a a a

a a a I
n
  

; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
12

n
a a a  
.
BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì
1 2 1 2
( ; ; ),( ; ; )
nn
a a a b b b
ta luôn có:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b II         
; dấu bằng xảy ra khi và
chỉ
Khi:
12
12

n
n
a

aa
b b b
  
. BĐT:
2 2 2
()a b c ab bc ca III    
; dấu bằng xảy ra khi
.abc

BĐT:
2
1 2 1 2
1 1 1
( )

nn
n
IV
a a a a a a
   
  
; trong đó
12
, ,
n
a a a
là các số dương; dấu bằng
xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau.
Bài 1: Cho
0ab

. Chứng minh:
22
1 4 1
/ 3; / 3; / 2 2.
( ) ( )( 1) ( )
a a b a c a
b a b a b b b a b
     
   
Giải: a/ Theo BĐT (I) ta
có:
3
11
( ) 3 .( ). 3
( ) ( )
b a b b a b
b a b b a b
     

(đpcm).Dấu bằng xảy ra khi
1; 2.ba
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 2

b/ Theo BĐT (I) ta có:
2
4
22
1 1 4 1 4

( ) 4 ( ) 4
2 2 ( )( 1) 2 ( )( 1)
b b b
a b a b
a b b a b b
  

      

   

từ đó suy ra
đpcm. Dấu bằng xảy ra khi
1; 2.ba

c/ Theo BĐT (I) ta có:
2
4
22
1 1 4
4 2 2
2 2 ( ) 2 ( )
2
a b a b a b
bb
b a b b a b
  

     





(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi
3 2 2
;.
22
ab

Bài 2: Cho
0xy
. Chứng minh:
2
32
25
( )(2 3)
x
x y y


.
Giải: Ta có:
4
2
64.4
4 4 (2 3) (2 3) 6 4 64.4 6 16 6 10
(4 4 )(2 3)
x y y y
x y y
           



Từ đó suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi:
4 4 2 3 4 3/2; 1/2x y y x y      
.
Bài 3: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh:
1 1 .a b b a ab   

Giải: Theo BĐT (I) ta có:
( 1) 1
1 ( 1).1 .
22
b ab
a b a b a

    
; tương tự ta cũng có:
1
2
ab
ba
. Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2.
Bài 4: a,b,c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh:
8/27ab bc ca abc   
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3
(1 ) (1 ) (1 ) 2
(1 )(1 )(1 )
33

abc
abc
    
    

1 8/27a b c ab bc ca abc ab bc ca abc            
(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi
a = b = c =1/3.
Bài 5: Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh:
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ca c ab    
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
 
4
3 3 3 3 3 3 2
6
4 6 6a b c a b c a bc   
; tương tự ta cũng có:
3 3 3 2 3 3 3 2
4 6 ;4 6b c a b ca c a b c ab     
cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản
ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 3

Bài 6: Cho ba số dương x,y,z. Chứng minh:
6 2 3
( ) / 432x y z xy z  

.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
23
6
6
23
()
2. 3. 6
2 3 2 3
y z y z x y z
x y z x x
xy z

   
       
   
   

6
23
6
432
23

(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi x = y/2 =z/3.
Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức
9 3 6
( ) /P x y x y
trong đó x,y là các số dương
Giải: Theo BĐT (I) ta có:

36
9 9 9
9
3 6 3 6 6
( ) 9 3
3. 6. 9.
3 6 3 6 3 6 2
x y x y x y
x y P
xy

   
       
   
   

Vậy GTNN của P bằng
96
3 /2
khi y = 2x.
Bài 8: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức:
6 6 6
3abc  
. Hãy tìm GTLN của biểu thức
2 2 2
S a b c  

Giải: Theo BĐT (I) ta có:
6 2 6 2 6 2
1 1 3 ; 1 1 3 ; 1 1 3 9 3 3a a b b c c S S            

Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1.
Bài 9: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện:
0 3;0 4xy   
. Tìm GTLN của biểu thức:
(3 )(4 )(2 3 )A x y x y   
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3
(6 2 ) (12 3 ) (2 3 )
2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 6
3
x y x y
x y x y
    
    

3
6 6 36AA   
. Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2.
Bài 10: x,y,z là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức:
( )( )( )P xyz x y y z z x   
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
6
4( ) 2
2 .2 .2 .( ).( ).( )
63
x y z
x y z x y y z z x


    

6 3 6
8 (2/3) 2 /3 8/729PP    
. Vậy MaxP = 8/729 khi x = y = z = 1/3.
Bài 11: a,b,c là các số dương. Chứng minh:
*
( , )
m n m n m n
n n n
m m m
abc
a b c m n N
b c a
  
     

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 4

Giải: Theo BĐT (I) ta có:
( ) ( ) ( )
n
m n m n
n n m n
mn
mm
aa

n mb m n b m n a
bb



    


. Tương tự
ta cũng có:
( ) ; ( )
m n m n
n n n n
mm
bc
n mc m n b n ma m n c
ca

     
. Cộng các BĐT này lại rồi đơn
giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Chú ý: Nếu
1mn
thì ta có BĐT :
2 2 2
.
abc
abc
b c a
    

Bài 12: Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh:
3 3 3
.
( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c
b c a c a b a b c

  
  

Giải: Theo BĐT (I) ta có:
33
3
3
3
( ) 2 4 ( ) 2 4 2
a b c a a b c a a
b c a b c a

   

. Tương tự ta cũng
có:
33
33
;
( ) 2 4 2 ( ) 2 4 2
b c a b b c a b c c
c a b a b c


     

. Cộng các vế của các BĐT
này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài 13: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:
6x y z  
. Tìm GTNN của biểu thức:
3 3 3
xyz
S
y z x z y x
  
  
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3 3 3
2 3 ; 2 3 ; 2 3
2 2 2
x y z y x z z x y
x y z
y z x z x y
  
        


6 3( ) 2( ) 6 6S x y x x y z S x y z             
. Vậy MinS = 6 khi x = y = z =
2.
Bài 14: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức:

6abc  
. Tìm GTNN của biểu thức:
3 3 3
1 1 1
(1 )(1 )(1 )P
abc
   
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
9
3 3 8 3
3
8
1 1 1 1 9
1 8. 9. 0
88
2
a a a
a
     
. Tương tự ta cũng có:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 5

33
33
88
1 9 1 9
1 0;1 0

22
bc
bc
      
3
3 3 3
8
3
1 1 1 9 729
(1 )(1 )(1 )
512
2
P
abc
abc
     
.
(Do
3
2
2
abc
abc


). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2.
Bài 15: Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn hệ thức:
0x y z  
. Chứng minh:
3 4 3 4 3 4 6

x y z
S       

Giải: Theo BĐT (I) ta có:
4
/4
3 4 1 1 1 4 4 4 2.2
x x x x
      
. Tương tự ta cũng có:
3
/4 /4 /4 /4 /4 ( )/4
3 4 2.2 ; 3 4 2.2 2(2 2 2 ) 2.3 2 6
y y z z x y z x y z
S

         
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi
0x y z  
.
Bài 15’: Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện: x + y = 1. Tìm GTNN của S = 1/x + 4/y
Giải:  =
1+3
(1)
=

2(1+3)

.


2(1)
2

2

2.

3

.2

2/3

3
= 9   = 9   =
1
3
& =
2
3
.
Bài 16: a,b,c,A,B,C là 6 số thực dương sao cho mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
22
0(1); 0(2)ax bx c Ax Bx C     
. Lấy
   
1 2 3 4
; , ;t x x T x x
với

12
,xx
là nghiệm của
(1) còn
34
,xx
là nghiệm của (2). Chứng minh:
2
()
2
c C B b
at AT
tT

   
  
   
   
.
Giải: Theo giả thiết suy ra:
22
1 2 3 4
, , , 0 , 0& 0; 0x x x x t T at bt c AT BT C        

/ ; / / / 2 ( )( / / )at c t b AT C T T B b at AT c t C T at AT c t C T             
Bài 17: Cho hai số thực dương x,y có tổng bằng 1.Tìm GTNN của biểu thức:
11
xy
S
xy



.
Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có:
22
2
22
xy
S x y xy xy
yx
      

22
2
3
3
3. 3. 3( ) 2 2
xy
xy xy x y S S
yx
      
. Vậy
2MinS 
khi x = y = ½.
Bài 18: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện:
3abc
. Tìm GTNN của biểu thức:
a b c
S
b c a

  
.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 6

Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có:
22
2
S ( 2 ) ( 2 )
a b b c
a b c a c b a
b c c a
         
2
( 2 ) 4( )
ca
c b a b c
ab
     

2
3( ) 9 3S a b c S     
. Vậy
3MinS 
khi
1abc  
.
Bài 19: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức:
2 2 2

1.abc  
Chứng minh:

3
ab bc ca
S
c a b
   
.
Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 ( ) ( )
a b b c c a a b
S b a
c a b c
     

2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
22
( ) 3( ) 6( ) 6 3 3
a c b c
c a b c a b c S S
ba
             
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi
3/3abc  

.
Bài 20: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT:

3
2
xy yz zx
xy z yz x zx y
  
  
.
Giải: Do
( ) ( )( )xy z xy z x y z x z y z       
nên theo BĐT (I) ta có:
1
.
2
xy x y x y
xy z x z y z x z y z

  

    

. Tương tự ta cũng có:
1
2
yz y z
yz x x y x z




  

;
1
2
xz x z
xz y x y y z



  


Cộng các BĐT trên ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
1/3x y z  
.
Bài 21: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện:
6xy
. Tìm GTNN của biểu thức:
68
32P x y
xy
   
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3 6 8 3 3 3 6 8 3
2. . 2. . .6
2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y

P
x y x y
        

6 4 9 19   
. Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 7

Bài 22: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:
21xy xz
. Tìm GTNN của biểu
thức:
3 4 5yz xz xy
S
x y z
  
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
2 3 2 4 6
yz xz yz xy xy xz
S z y x
x y x z z y
   

         

   


   

2( ) 4( ) 4 8 4x z x y xz xy     
. Vậy MinS = 4 khi x = y = z = 1/3.
Bài 23: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn các điều kiện:
4;3 6x y x y   
.
Tìm GTLN của biểu thức:
3
9. 4P x y
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3
22
3.3 .1.1 .2 .3 3( 2) ( 3)
33
P x y x y     

2 3 3 9 2 3
( ) (3 ) 6 2 3 4 6 6 2 3 4. 6. 6 2 3
26
a x y b x y a b

             

9 4 3
. ( Do
3 3& 2/ 3 (2 3 3)/2& (9 2 3)/6a b a b a b        
).
Vậy

9 4 3MaxP 
khi
1& 3xy
.
Bài 23’: Cho 3 số dương x,y,x có tích bằng 1. CM BĐT:
 = (1 +  + )
1
+ (1 +  + )
1
+ (1 +  + )
1
 1 (1)
Giải: Đặt  =  + ,  =  + ,  =  +  

1

 2 +  +  +     2( +  + ) 

2
+
2
 + 
2
 + 
2
 + 
2
 + 
2



2

. Theo BĐT (I) ta có: 
2
+
2
 + 1  3


4

3
=
3; 
2
 + 
2
 + 1  3


4

3
= 3; 
2
 + 
2
 + 1  3



4

3
= 3  
2
+
2
 + 
2
 + 
2
 +

2
 + 
2
  3

 +  + 

 3  2

 +  + 

+ 3


3
 3 = 2


 +  + 

 .
Bài 24: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh BĐT:
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 4a b c a b c a b c a b c

    

     

.
Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có:
1 1 1 1 1
2 ( ) ( ) 4a b c a b a c a b a c

  

      


1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
4 4 4 16a b a c a b c

     
      
     

     


. Tương tự ta cũng có:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 8

1
2a b c
1 1 2 1
16 abc

  


;
1
2a b c
1 1 1 2
16 a b c

  


.Cộng các vế của các BĐT này lại
rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
.abc

Bài 25: Cho hai số dương a,b có tổng bằng 1. Chứng minh các BĐT sau:
2 2 2 2
1 1 2 3

/ 6; / 14.ab
ab a b ab a b
   



Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1 1
22ab a b ab ab a b
    


2 2 2
24
2 4 6
( ) 2a b ab a b
   
  
(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi
1/2.ab

b/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có:
2 2 2 2
2 3 1 3 3
22ab a b ab ab a b
    


2 2 2

24
3. 2 3.4 14
( ) 2a b ab a b
   
  
(đpcm) . Dấu bằng xảy ra khi
1/2.ab

Bài 26: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
3/2.abc
Chứng minh:
1/ 1/ 1/ 15/2.a b c a b c     

Giải: Theo BĐT (IV) và BĐT (I) ta có:
1/ 1/ 1/ 9/( )a b c a b c a b c a b c           

( ) 9/4( ) 27/4( ) 2. 9/4 27/(4.3/2) 3 9/2 15/2a b c a b c a b c            
(đpcm).Dấu bằng xảy ra khi
1/2.abc  

Bài 27: Ba số dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh:
2 2 2
x y z x y z    
.
Giải: Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = 3 ta có:
2
2 2 2
()
( ).
3

x y z
x y z x y z

     

3
( ).
3
x y z
x y z xyz x y z

     
(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi
1x y z  
.
Chú ý: Từ BĐT trên ta suy ra BĐT:
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
    
với a,b,c là các số dương.
Bài 28: Cho
0; 0a c b c   
. Chứng minh:
( ) ( )c b c c a c ab   
.
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số
( ; )&( ; )c a c b c c
ta được:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 9

2
( ( ) ( )) ( )( )c b c c a c c a c b c c ab        
từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra
khi
()ab c a b

Bài 29: Cho 4 số dương x,y,a,b thỏa man các điều kiện:
;a x a b x y   
. Chứng minh:
2 2 2
()x a x a
x y a b x y a b


    
.
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số
; &( ; )
x a x
x y a b x y
x y a b x y


   



   

ta
được:
22
2
()
( ) ( )
x a x
x y a b x y x a x
x y a b x y


        

   

từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu
bằng xảy ra khi bx = ay.
Bài 30: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức:
2 2 2 2
1a b c d   
; x là số thực bất kì. Chứng
minh:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) (2 1)x ax b x cx d x      
.
Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = 3 ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( 1 )( );x ax b x x x a b      

2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( 1 )( )x cx d x x x c d       
2 2 2 2
( ) ( )x ax b x cx d     

2 2 2 2 2 2 2 2 2
(2 1)( ) (2 1)x x a b x c d x       
(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi b=d=1&x=a=c.
Bài 31: Cho 5 số dương x,y,z,p,q bất kì. Chứng minh:
3xyz
py qz pz qx px qy p q
  
   
.
Giải: Theo BĐT (III) ta có:
( ) ( ) ( ) ( )( )x py qz y pz qx z px qy p q xy yz zx         

2
( )( ) /3p q x y z  
(*). Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số
;;
xyz
py qz pz qx px qy


  


và

( ( ); ( ); ( ))x py qz y pz qx z px qy  
ta được:
 
2
( ) ( ) ( ) ( )
xyz
x py qz y pz qx z px qy x y z
py qz pz qx px qy

         

  


Kết hợp với BĐT (*) ta sẽ được BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi;
py qz pz qx px qy    
.
Bằng cách giải tương tự ta sẽ chứng minh được các BĐT sau:
1/
3
2
a b c
b c a c b a
  
  
với a,b,c là các số dương bất kì.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 10

2/
2
a b c d
b c d c d a a b
   

với a,b,c,d là các số dương bất kì.
3/
2 2 2
2
a b c a b c
b c a c b a

  
  
với a,b,c là các số dương bất kì.
4/
2 2 2
a b c
abc
b c a a c b b a c
    
     
với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
5/
3
a b c
b c a a c b b a c
  
     

với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 32: Cho các số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện:
2 2 2 2
1x y u v   
. Chứng minh:
( ) ( ) 2u x y v x y   

Giải: Theo BĐT (II) :
 
2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2u x y v x y u v x y x y x y

          


Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
( ) ( ).u x y v x y  

Bài 33: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1.abc
Chứng minh:
3 3 3
1
2
a b c
b c a c b a
  
  

Giải: Theo BĐT (II) ta có:
 
3 3 3
( ) ( ) ( )
a b c
a b c b a c c b a
b c a c b a

       

  


2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c a b c ab bc ca       
. Từ đó ta suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu
bằng xảy ra khi
3/3abc  
.
Bài 34: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện:
( 1) ( 1) ( 1) 4/3.x x y y z z     
Chứng minh:
14x y z    
.
Giải: Từ điều kiện ta suy ra:
2 2 2
( 1/2) ( 1/2) ( 1/2) 25/12x y z     
. Áp dụng BĐT (II)
ta được:

 
2
2 2 2
1.( 1/2) 1.( 1/2) 1.( 1/2) 3 ( 1/2) ( 1/2) ( 1/2) 25/ 4x y z x y z

           


3/2 5/2 5/2 3/2 5/2 1 4x y z x y z x y z                 
(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi
4/3x y z  
.
Bài 35: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện:
22
16 8 6a b a b   
. Chứng minh:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 11

/10 4 3 40; /7 24a a b b b a   

Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra:
22
( 4) ( 3) 9ab   
. Áp dụng BĐT (II) ta được:
 
2
2 2 2 2

4( 4) 3( 3) ( 4) ( 3) (4 3 ) 9.25 4 3 25 15a b a b a b

            


15 4 3 25 15 10 4 3 40a b a b         
(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = 24/5,b =
24/3
hoặc a = 16/5, b = 6/5.
b/ Áp dụng BĐT (II) ta được:
 
2
2 2 2 2
24( 4) 7( 3) ( 4) ( 3) (24 7 ) 9.625 24 7 75 75a b a b a b

            


75 24 7 75 7 24a b b a      
(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi
28/25, 96/25.ab

Bài 36: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
4 2 0.x y z x z    
Tìm GTNN và GTLN của
biểu thức:
2 3 2 .S x y z  

Giải: Từ điều kiện ta suy ra:

2 2 2
( 2) ( 1) 5.x y z    
Theo BĐT (II) ta có:
 
2
2 2 2 2 2 2
2( 2) 3 2( 1) (2 3 2 ) ( 2) ( 1) 17.5 85x y z x y z

            


6 85 6 85 6 85SS       
. Dấu bằng xảy ra khi:
2 2 85/17; 3 85/17; (1 2 85/17)x y z      
.
Bài 37: Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức:
3.abc  
Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
S a ab b c cb b a ac c        
.
Giải: Theo BĐT (II) ta có:
2
2
22
2 2 2 2
4 3 1
( ). 1 ( )
3 2 2 2 2
3

b b b b
a ab b a a a b




   

          


   


   






22
3( )/2a ab b a b    
. Tương tự ta cũng có:
22
3( )/2c cb b c b   
;
22
3( )/2 3( ) 3c ca a c a S a b c        
. Vậy MinS = 3 khi

3/3abc  
.
II.Sử dụng phương pháp đánh giá:

Bài 38: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh các BĐT sau:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 12

3 3 3 3 3 3
222
1 1 1 1
/;
111
/.
2
a
a b abc c b abc a c abc abc
abc
b
a bc b ac c ab abc
  
     

  


Giải:a/Ta có:
3 3 2 2
( )( ) ( ) ( ) 0a b abc a b a ab b abc a b ab abc ab a b c             

33
11
( ) ( )
c
a b abc ab a b c abc a b c
  
     
. Tương tự ta cũng có các BĐT:
3 3 3 3
11
;
( ) ( )
ab
c b abc abc a b c c a abc abc a b c

       
. Cộng các vế của các BĐT này
lại rồi giản ước ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
.abc

b/ Theo BĐT (I) ta có:
2
2
11
20
24
2
bc b c
a bc a bc

a bc abc abc
a bc

      

.
Tương tự ta cũng có:
22
11
;
44
a c b a
b ac abc c ab abc



. Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn
giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
.abc

Bài 39: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
3.x y z  
Tìm GTNN của biểu thức:
1 1 1
.
1 1 1
P
xy zy zx
  

  

Giải: Theo BĐT (IV) ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
P
xy zy zx x y z y x z
      
        


2 2 2
2.9 18 3
6 2( ) 6 2.3 2x y z

   
. Vậy MinP = 3/2 khi
1.x y z  

Bài 40: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 2. Chứng minh:
1.
2 2 2
ab cb ac
S
c a b
   
  

Giải: Theo BĐT (I) ta có:

2 2 2
( ) ( ) ( )
4( ) 4( ) 4( )
ab cb ac a b c b a c
S
a b b c c a a b c b a c
  
      
     

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 13

1
2
abc

(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi
2/3.abc  

Bài 41: Cho
 
, , 1;2x y z
. Tìm GTLN của biểu thức:
1 1 1
()P x y z
x y z

    



.
Giải: Giả sử:
1 2 1 1 0& 1 1 0 2
x y y z x z x y y z
x y z
y z x y z x y z x y
   
   
                 
   
   
   
   

3 5 2
x y y z z x x z
P
y x z y x z z x

          


. Đặt
 
11
;1 2 0
22
x

t t t
z
   
     


   

1/ 5/2 10 10t t P MaxP      
khi
1, 2 1, 2x y z x y z      
.
Bài 42: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện:
1/ 1/ 1/ 3.abc  
Tìm GTLN của biểu thức:
3 3 3 3 3 3
.
ab cb ac
S
a b c b a c
  
  

Giải: Do
33
( ) 0a b ab a b   
; kết hợp với BĐT (IV) ứng với n = 2 ta được:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4

ab cb ac
a b c b a c a b c b a c a b c b a c
     
           
     
     
     

1 1 1 1 3
22abc

  


. Vậy MaxS = 3/2 khi
1.abc  

Bài 43: Cho ba số dương x,y,z có tích bằng 8. Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2
2 2 2
log 1 log 1 log 1.S x y z     

Giải: Ta có:
222
222
2 2 2
(log 1) (log 1) (log 1)
1
( log 1 log 1 log 1)
222

2
xxx
S x y z

        

2
16
3 log 3 2.
22
xyz   
Vậy
32MinS 
khi
2.x y z  

Bài 44: Cho 3 số thực x,y,z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:
4 4 4
.S x y z xyz   

Giải: Theo BĐT (II) ta có:
2
4 4 4 2 2 2 2 2
1 1 1 1
( ) ( )
3 3 3 27
x y z x y z x y z

        



. Áp dụng
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 14

BĐT (I) ta được:
4 4 4
4 4 4
4
3 1 1 1/27 3
.4
4 4 3 4.27 4 4 3
xyz
x y z
S x y z xyz


        



1
0.
4.27
xyz xyz xyz    
Vậy
0MinS 
khi
1/3.x y z  

Bài 45: Cho 3 số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2
2 2 2
.
2 2 2
x y z
S
x yz y yx z yx
  
  

Giải: Ta có:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1.
x y z
S
x y z x y z x y z
   
     
Vậy MinS = 1 khi
.x y z

Bài 46: Cho 3 số dương x,y,z bất kì. Chứng minh:

4 6 4 6 4 6 4 4 4
2 2 2 1 1 1
.
x y z

S
y x z y x z x y z
     
  

Giải: Theo BĐT (I) và BĐT (III) ta có:
3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 1 1
2 2 2
x y z
S
x y y z z x x y z y x z
     

4 4 4
1 1 1
x y z
  
(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi
1.x y z  

Bài 47: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
22
S x y
biết x và y thỏa mãn phương trình:
2 2 2 2 2 2 2
( 1) 4 5 2 2 0(*)x y x y x y      

Giải:
22

(*) 4 3 0 1 3 1( 0; 1); 3( 0; 3)S S x S MinS x y MaxS x y                 
Bài 48: Cho
*
, & 4x y R x y

  
. Tìm GTNN của biểu thức:
6 10
23P x y
xy
   
.
Giải:Ta có:
3 6 5 10 4
2.3 2.5 18 18( 2)
2 2 2 2
x y x y
P MinP x y
xy

            
.
Bài 49: Cho 3 số thực
2, 9, 1945& 2003a b c a b c     
. Tìm GTLN của
P abc
.
Giải: Từ giả thiết suy ra:
1945; 1945 ( 1945)( 1945) 0c b b c      

 
2
2
1945( 1945) 1945 ( 1945)/2 1945.29bc b c P abc a b c         

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 15

2
1945.29 ( 29; 1945)MaxP a b c    

Bài 50: Cho
, , , , , 0&a b c x y z xyz ax by cz   
. Chứng minh:
x y z a b b c c a       

Giải: Ta có:
;;
ax b c b c a c a b b c a c a b
x y z x y z
yz z y z y z x y x x y z

              

2( ) 2 2 2
b c a c a b
x y z x y z b c c a a b
x y z
  

               
đpcm.
Bài 51: Biết phương trình
2
0ax bx c  
có hai nghiệm thuộc đoạn
 
0;1
. Tìm GTLN của biểu
thức:
( )(2 )/ ( )P a b a b a a b c    
.
Giải: Gọi hai nghiệm của phương trình là
12
(1 / )(2 / )
,0
1 / /
b a b a
x x a P
b a c a

    


22
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(1 )(2 ) 1
2 2 3
1 1 1

x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
         
    
        

21
3( 1; 0 1: 0; ; 2 )MaxP x x c b a a c b a           

III.Chứng minh BĐT và tìm cực trị bằng phương pháp đổi biến:

Bài 52: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức:
.ab bc ca abc  
Chứng minh BĐT:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
b a c b a c
S
ab cb ac
  
   
.
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành:
1x y z  
và BĐT trở thành:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 3S x y y z z x      
. Theo BĐT (II) ta có:
2 2 2

( 2 ) /3 ( 2 ) /3 ( 2 ) /3 3( )/ 3 3S x y y z z x x y z         
(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi
1/3x y z  
hay
3.abc  

Bài 53: Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh BĐT:
3 3 3
1 1 1 3
.
( ) ( ) ( ) 2
S
x y z y x z z y x
   
  

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 16

Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành:
1abc 
và BĐT trở thành:
2 2 2
3
2
a b c
S
b c a c b a

   
  
.Áp dụng BĐT (II)&(I) ta có ngay:

2
( ) 3
2( ) 2 2
a b c a b c
S
abc
   
  



Dấu bằng xảy ra khi
1abc  
hay
1.x y z  

Bài 54: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:
1/ 1/ 1/ 1.x y z  
Chứng minh BĐT:
x yz y xz z yx xyz x y z        
.
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành:
1abc  
và BĐT trở thành:
1a bc b ac c ab ab bc ca        
. Ta có:

22
( ) 2 ( )a bc a a b c bc a a bc bc a bc a bc           
. Tương tự ta
cũng có:
;b ac b ac c ab c ab     
. Cộng các BĐT này lại ta sẽ được BĐT ccm.
Dấu bằng xảy ra khi
1/3abc  
hay
3.x y z  

Bài 55: Cho hai số thực x,y khác 0 và thỏa mãn điều kiện:
2 2 2 2
2x y x y y x  
. Tìm GTNN và
GTLN của biểu thức:
2/ 1/ .S x y

Giải: Đặt
1/ & 1/u x v y
thì điều kiện trở thành:
2 2 2 2
2 ( 1/2) ( 1) 5/4u v u v u v       
. Theo BĐT (II) ta có:
 
2
2 2 2 2 2
( 2) 2( 1/2) 1 (2 1 ) ( 1/2) ( 1) 25/4 5/2 2 5/2S u v u v S

               


0,5 4,5S   
. Vậy MinS = - 0,5 khi x = - 2; y = 2. MaxS = 4,5 khi x = y = 2/3.
Bài 56: Hai số thực x,y thỏa mãn các điều kiện:
2
0& 12.y x x y   
Tìm GTNN và GTLN
của biểu thức:
2 17.A xy x y   

Giải: Từ điều kiện ta suy ra:
2
12 0 4 3y x x x       
;
đồng thời
32
( ) 3 9 7A f x x x x    

Từ BBT của hàm số ta suy ra:

( ) ( 3) (3) 20MaxA Maxf x f f    


 
4;3

( ) (1) 12MinA Minf x f   


 

4;3

x
-4 -3 1 3
f’(x)
+ 0 - 0 +

f(x)
20 20

13 -12
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 17

Bài 57: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện:
22
1xy
. Tìm GTNN của biểu thức:
( 1)(1 1/ ) ( 1)(1 1/ )S x y y x     

Giải: Ta có:
( 1)/ .S x y x y xy    
Đặt
 
22
1 2 1;2 1; 2 ; ( 1)/2 2 2/( 1) ( )t x y t xy t xy t S t t f t

               


Bài 58: Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện:
22
1xy
. Tìm GTNN và GTLN
của biểu thức:
2
2
4 2 1
2 2 3
x xy
T
xy y




Giải: Từ điều kiện ta suy ra:
22
22
32
32
x xy y
T
x xy y




. Nếu
2
0 1 1.y x T    
Nếu
0y 
đặt
2
2
2
3 2 1
/ (3 3) 2( 1) 1 0(*)
3 2 1
tt
t x y T T t T t T
tt

         

. (*) không có nghiệm khi
T=1
Với
1,(*)T 
có
' ( 1)( 2 4) 0TT     
khi
21T  
. Kết hợp với trên ta có:
MinT=-2 khi
10 /10; 3 10 /10xy   
. MaxT=1 khi

1x 
và y = 0.
Bài 59: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện:
5/4xy
. Tìm GTNN của biểu thức:
4/ 1/4 .S x y

Giải: Thay
5/4yx
vào S ta được:
2
(20 15 )/(5 4 ) ( )S x x x f x   

2 2 2
'( ) 20(3 8 5)/(5 4 )f x x x x x    

x
0 1 5/4
5/3
Ta có BBT như bên ta suy ra:
f’(x)


0 + 0
(1) 5.MinS f


f(x)





5

Bài 60: Cho hai số không âm x,y có tổng bằng 1. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
Từ BBT của hàm số ta suy ra:
t
1
2


f’(t)





( ) ( 2) 4 3 2MinS Minf t f   


f(t)




4 3 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 18

2008 2008
11S x y   
.Giải: Ta có:
2007 2007
2008 2008
2008 2008
1004 1004(1 )
( ) 1 1 (1 ) . '( )
1 1 (1 )
xx
S f x x x f x
xx

       
  

2007 2008 2007 2008 4014 2008
'( ) 0 1 (1 ) (1 ) 1 1 (1 )f x x x x x x x

          


4014 2008 4014 4014 2008 2008 2006 2006
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 0x x x x x x x x
   
         
   

2008 2008
12
(2 1) ( ) (1 ) (2 1) ( ) 0 2 1 0 1/2x P x x x x P x x x          
.
( Vì x và
1 x
không đồng thời bằng 0 nên
12
( ) 0; ( ) 0P x P x
)
Do
2008 2008
(0) (1) 1 2; (1/2) 2 1 1/2 1 2; 2 1 1/2f f f MaxS MinS         

Bài 61: Các số thực a,b,c thỏa mãn:
2
& ( ) 0a b f x ax bx c x R      
. Tìm GTNN của
biểu thức:
( )/( )F a b c b a   
.
Giải: Do
2 2 2
( ) 0 0& 4 0 / 4 /f x x R a b ac b a c a          
. Đặt t = b/a > 1
2
(1 / / )/( / 1) (1 /4)/( 1) (6 1 9/( 1))/4 3F b a c a b a t t t t t              
.
Mìn = 3 khi
2

/ 4& 4 4 0t b a b ac b c a      

Bài 62: Trong các nghiệm (x; y; z;t ) của hệ:
2 2 2 2
9& 16& 12x y z t xt yz     
hãy tìm
nghiệm làm cho S = x + z đạt GTLN.
Giải: Đặt
3 ; 3 ; 4 ; 4 12 ( ) 12x cosa y sina z cosb t sinb xt yz sin a b         

( ) 1 /2 2 3 4 5sin a b a b k cosb sina S x z cosa sina

             




LỜI KẾT:

Chuyên đề này có thể dùng để dạy cho học sinh lớp 10, dạy luyện thi đại học hoặc bồi dưỡng
học sinh giỏi.

Ân Thi ngày 24/4/2011

Người viết:

Doãn Xuân Huy
5( 9/5; 12/5; 16/5)MaxS x y t z    
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 19