các bài toán về bất đẳng thức có đáp án trong kỳ thi toán olympic

BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG KÌ THI OLYMPIC
C ÁC NƯỚC VÀ KHU VỰC
NGUYỄN VĂN QUÝ
SV khoa Toán, trường ĐHKHTN Hà Nội
Hà Nội - 2014
1
I. TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN.
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực a, b, c, d
∑
cyc

(a
2
+ 1) (b
2
+ 1) (c
2
+ 1) ≥ 2(ab + bc + cd + da + ac + bd) − k.
Iran Team Selection Test 2011
Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng
√
3(
√
a +
√
b +
√
c) ≤
a
√

a
bc
+
b
√
b
ca
+
c
√
c
ab
.
Iran Team Selection Test 2012
Bài 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a ≥ b ≥ c. Chứng minh rằng

a(a + b −
√
ab) +

b(a + c −
√
ac) +

c(b + c −
√
bc) ≥ a + b + c.
Iran Team Selection Test 2013
Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
1

a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
+
1
(a + b + c)
2
≥
7
25

1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
a + b + c


2
.
Iran National Mat h Olympiad (3rd Round) 2010
Bài 5. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng
3 −
√
3 +
x
2
y
+
y
2
z
+
z
2
x
≥ (x + y + z)
2
.
Iran National Mat h Olympiad (3rd Round) 2010
Bài 6. Cho các số thực không âm x, y, z, t thỏa mãn
|x −y| + |y −z|+ |z − t| + |t − x| = 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
2
+ y
2
+ z

2
+ t
2
.
Iran National Mat h Olympiad (3rd Round) 2011
Bài 7. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
a
1 + (b + c)
2
+
b
1 + (c + a)
2
+
c
1 + ( a + b)
2
≤
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
a
2
+ b
2
+ c

2
+ 12abc
.
2
www.VNMATH.com
Iran National Mat h Olympiad (3rd Round) 2011
Bài 8. Cho số nguyên n ≥ 2. Tìm hằng số C
n
lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với
mọi số thực không âm a
1
, a
2
, , a
n
a
2
1
+ a
2
2
+ ···+ a
2
n
n
≥

a
1
+ a

2
+ ···+ a
n
n

2
+ C
n
(a
1
− a
n
)
2
.
Middle European Mathematical Olympiad 2010
Bài 9. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
a
1 + a
+
b
1 + b
+
c
1 + c
= 2. Chứng minh
rằng
√
a +
√

b +
√
c
2
≥
1
√
a
+
1
√
b
+
1
√
c
.
Middle European Mathematical Olympiad 2011
Bài 10. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

9 + 16a
2
+

9 + 16b
2
+

9 + 16c
2

≥ 3 + 4(a + b + c).
Middle European Mathematical Olympiad 2012
Bài 11. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
1
a
5
(b + 2c )
2
+
1
b
5
(c + 2a)
2
+
1
c
5
(a + 2b)
2
≥
1
3
.
USA Team Selection Test 2010
Bài 12. Cho tam giác ABC có h
a
, h
b
, h

c
theo thứ tự là độ dài các đường cao xuất phát từ các
đỉnh A, B, C. Giả sử P là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Chứng minh rằng
PA
h
b
+ h
c
+
PB
h
c
+ h
a
+
P C
h
a
+ h
b
≥ 1.
USA Team Selection Test 2010
Bài 13. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c =
7
√
a +
7
√
b +
7

√
c. Chứng minh
rằng
a
a
b
b
c
c
≥ 1.
USA ELMO 2013
Bài 14. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
(a − b)(a − c)
2a
2
+ ( b + c)
2
+
(b −c )(b − a)
2b
2
+ ( c + a)
2
+
(c − a)(c − b)
2c
2
+ (a + b)
2
≥ 0.

3
USA ELMO Shortlist 2010
Bài 15. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

a
4
+ 2b
2
c
2
a
2
+ 2bc
+

b
4
+ 2c
2
a
2
b
2
+ 2ca
+

c
4
+ 2a
2

b
2
c
2
+ 2ab
≥ a + b + c.
USA ELMO Shortlist 2010
Bài 16. Cho số nguyên n ≥ 2. Tìm hằng số c = c(n) lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau
đúng với mọi số thực không âm a
1
, a
2
, , a
n
thỏa mãn a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
= n :
1
n + ca
2
1
+
1
n + ca
2
2

+ ···+
1
n + ca
2
n
≤
n
n + c
.
USA ELMO Shortlist 2011
Bài 17. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Với k = 2 +
√
3, chứng
minh rằng
∑
cyc

(xy + kx + ky)(xz + kx + kz) ≥ k
2
.
USA ELMO Shortlist 2011
Bài 18. Cho các số thực x
1
, x
2
, x
3
, y
1
, y

2
, y
3
khác 0 thỏa mãn
x
1
+ x
2
+ x
3
= y
1
+ y
2
+ y
3
= 0.
Chứng minh rằng
x
1
x
2
+ y
1
y
2

(x
2
1

+ y
2
1
)(x
2
2
+ y
2
2
)
+
x
2
x
3
+ y
2
y
3

(x
2
2
+ y
2
2
)(x
2
3
+ y

2
3
)
+
x
3
x
1
+ y
3
y
1

(x
2
3
+ y
2
3
)(x
2
1
+ y
2
1
)
≥ −
3
2
.

USA ELMO Shortlist 2011
Bài 19. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a ≤ b ≤ c và a + b + c = 1. Chứng minh
rằng
a + c
√
a
2
+ c
2
+
b + c
√
b
2
+ c
2
+
a + b
√
a
2
+ b
2
≤
3
√
6(b + c)
2

(a

2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
)(c
2
+ a
2
)
.
USA ELMO Shortlist 2012
Bài 20. Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng
(a
2
+ 2b c)
2012
+ (b
2
+ 2ca)
2012
+ (c
2
+ 2ab)
2012
≤ ( a
2
+ b

2
+ c
2
)
2012
+ 2(ab + bc + ca)
2012
.
USA ELMO Shortlist 2012
4
www.VNMATH.com
Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c đôi một khác nhau và số nguyên k ≥ 3. Chứng minh
rằng




a
k+1
(b −c ) + b
k+1
(c − a) + c
k+1
(a − b)
a
k
(b −c ) + b
k
(c − a) + c
k

(a − b)




≥
k + 1
3(k − 1)
(a + b + c),




a
k+2
(b −c ) + b
k+2
(c − a) + c
k+2
(a − b)
a
k
(b −c ) + b
k
(c − a) + c
k
(a − b)





≥
(k + 1)(k + 2)
3k(k −1)
(a
2
+ b
2
+ c
2
).
USA ELMO Shortlist 2012
Bài 22. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
1
a +
1
b
+ 1
+
1
b +
1
c
+ 1
+
1
c +
1
a
+ 1

≥
3
3
√
abc +
1
3
√
abc
+ 1
.
USA ELMO Shortlist 2013
Bài 23. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca
=
ab + bc + ca + 1
2
.
Chứng minh rằng

a
2
+ b
2

+ c
2
≤ 1 +
|a − b| + |b − c| + |c − a|
2
.
USA ELMO Shortlist 2013
Bài 24. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
1
(3 − a)(4 −a)
+
1
(3 −b)(4 −b)
+
1
(3 −c)(4 −c)
+
ab + bc + ca
9
≥
5
6
.
USA ELMO Shortlist 2013
Bài 25. Cho các số thực a, b, c ∈

0, 1

và a + b, b + c, c + a ≥ 1. Chứng minh rằng
1 ≤ (1 − a)

2
+ (1 −b)
2
+ (1 −c)
2
+
2
√
2abc
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
USA TSTST 2011
Bài 26. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
xyz + xy + yz + zx = x + y + z + 1.
Chứng minh rằng
1
3



1 + x
2
1 + x
+


1 + y
2
1 + y
+

1 + z
2
1 + z


≤

x + y + z
3

5/8
.
5
USA TSTST 2012
Bài 27. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
∑
cyc
4

(a
2
+ b
2
)(a

2
− ab + b
2
)
2
≤
2
3
(a
2
+ b
2
+ c
2
)

1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a

.
Turkey Team Selection Test 2010
Bài 28. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a
2
+ b

2
+ c
2
≥ 3. Chứng minh rằng
(a + 1)(b + 2)
(b + 1)(b + 5)
+
(b + 1)(c + 2)
(c + 1)(c + 5)
+
(c + 1)(a + 2)
(a + 1)(a + 5)
≥
3
2
.
Turkey Team Selection Test 2011
Bài 29. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≤ 1. Chứng minh rằng
a + b + c +
√
3 ≥ 8abc

1
a
2
+ 1
+
1
b
2

+ 1
+
1
c
2
+ 1

.
Turkey Team Selection Test 2012
Bài 30. Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn −2 ≤ x, y, z ≤ 2 và
x
2
+ y
2
+ z
2
+ xyz = 4,
tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng
z(xz + yz + y)
xy + y
2
+ z
2
+ 1
≤ k.
Turkey Team Selection Test 2013
Bài 31. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a
2
+ b
2

+ c
2
= 1. Chứng minh rằng
√
a + b +
√
a + c +
√
b + c ≥ 5abc + 2.
Turkey Team Selection Test 2014
Bài 32. Cho n số thực dương a
1
, a
2
, , a
n
thỏa mãn a
1
a
2
···a
n
= 1. Chứng minh rằng
n
∑
i=1
a
i

a

4
i
+ 3
≤
1
2
n
∑
i=1
1
a
i
.
Turkey National Olympiad Second Round 2011
Bài 33. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng
1
x + y
20
+ z
11
+
1
y + z
20
+ x
11
+
1
z + x
20

+ y
11
≤ 1.
6
www.VNMATH.com
Turkey National Olympiad Second Round 2011
Bài 34. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng
x(2x − y)
y(2z + x)
+
y(2y −z)
z(2x + y)
+
z(2z − x)
x(2y + z)
≥ 1.
Turkey National Olympiad Second Round 2012
Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất của M sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương
a, b, c
a
3
+ b
3
+ c
3
−3abc ≥ M(ab
2
+ bc
2
+ ca

2
−3abc).
Turkey National Olympiad Second Round 2013
Bài 36. Cho hai số thực dương a, b. Chứng minh rằng
a
2
b
2
(a
2
+ b
2
−2) ≥ (a + b)(ab −1).
Turkey Junior National Olympiad 2010
Bài 37. Cho hai số thực dương x, y. Chứng minh rằng
1 ≤
(x + y)(x
3
+ y
3
)
(x
2
+ y
2
)
2
≤
9
8

.
Turkey Junior National Olympiad 2011
Bài 38. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a
3
+ b
3
+ c
3
= a
4
+ b
4
+ c
4
. Chứng minh
rằng
a
a
2
+ b
3
+ c
3
+
b
b
2
+ a
3
+ c

3
+
c
c
2
+ a
3
+ b
3
≥ 1.
Turkey Junior National Olympiad 2012
Bài 39. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn
x + y + z = 0, x
2
+ y
2
+ z
2
= 6.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = |(x −y)(y − z)(z − x)|.
Turkey Junior National Olympiad 2013
Bài 40. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng
1 + yz + zx
(1 + x + y)
2
+
1 + zx + xy
(1 + y + z)
2

+
1 + xy + yz
(1 + z + x)
2
≥ 1.
Japan Mathematical Olympiad Finals 2010
7
Bài 41. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≤ 3abc. Chứng minh rằng

a
2
+ b
2
a + b
+

b
2
+ c
2
b + c
+

c
2
+ a
2
c + a
+ 3 ≤
√

2(
√
a + b +
√
b + c +
√
c + a).
India International Mathematical Olympiad Training Camp 2010
Bài 42. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn
a + b + c + d = 6, a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
= 12.
Chứng minh rằng
36 ≤ 4(a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
) −(a
4
+ b

4
+ c
4
+ d
4
) ≤ 48.
IMO Shortlist 2010, India International Mathematical Olympiad Training Camp 2011
Bài 43. Cho tam giác nhọn ABC có r , R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại
tiếp. Gọi AD, BE, CF là các đường phân giác trong. Chứng minh rằng
EF
B C
+
FD
CA
+
DE
AB
≥ 1 +
r
R
.
India International Mathematical Olympiad Training Camp 2012
Bài 44. Cho số nguyên n ≥ 2 và các số thực a
1
, a
2
, , a
n
thỏa mãn
a

2
1
+ a
2
2
+ ···+ a
2
n
= n.
Chứng minh rằng
∑
1≤i<j ≤n
1
n − a
i
a
j
≤
n
2
.
Asian Pacific Mathematical Olympiad 2012
Bài 45. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng
x(x + 2)
2x
2
+ 1
+
y(y + 2)
2y

2
+ 1
+
z(z + 2)
2z
2
+ 1
≥ 0.
Romania Team Selection Test 2011
Bài 46. Cho số nguyên n ≥ 2 và các số thực dương x
1
, x
2
, , x
n
thỏa mãn
n
∑
i=1
1
x
i
+ 1
= 1.
Chứng minh rằng với k > 1, ta có
n
∑
i=1
1
x

k
i
+ 1
≥
n
(n −1)
k
+ 1
.
8
www.VNMATH.com
Romania Team Selection Test 2011
Bài 47. Cho số nguyên dương k và các số thực dương a, b, c thỏa mãn
a + b + c = 3k.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = a
3k−1
b + b
3k−1
c + c
3k−1
a + k
2
a
k
b
k
c
k
.

Romania Team Selection Test 2012
Bài 48. Cho các số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn
ab + bc + cd + da + ac + bd = 6.
Chứng minh rằng
1
a
2
+ 1
+
1
b
2
+ 1
+
1
c
2
+ 1
+
1
d
2
+ 1
≥ 2.
Brazil Olympic Revenge 2013
Bài 49. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
3 ≤
4a + b
a + 4b
+

4b + c
b + 4c
+
4c + a
c + 4a
<
33
4
.
Germany Team Selection Test 2010
Bài 50. Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a bcd = 1. Chứng minh rằng
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
+
9
a + b + c + d
≥
25
4
.
China Girls Mathematical Olympiad 2011

Bài 51. Cho các số thực dương x
1
, x
2
, , x
n+1
thỏa mãn x
1
x
2
x
n+1
= 1. Chứng minh
rằng
x
1
√
n +
x
2
√
n + ··· +
x
n+1
√
n ≥ n
n
√
x
1

+ n
n
√
x
2
+ ···+ n
n
√
x
n+1
.
Iran Team Selection Test 2014
Bài 52. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2

. Chứng
minh rằng

(x −y)(y − z)(z − x)

2
≤ 2

(x
2
−y
2
)
2
+ ( y
2
−z
2
)
2
+ ( z
2
− x
2
)
2

.
Iran Team Selection Test 2014
9

Bài 53. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 2(xy + yz + zx). Chứng
minh rằng
x + y + z
3
≥
3

2xyz.
Iran National Mat h Olympiad (Second Round) 2014
Bài 54. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

a
2
+ ab + b
2
+

b
2
+ bc + c
2
+

c

2
+ ca + a
2
≤

5(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 4(ab + bc + ca).
Tajikistan Team Selection Test 2014
Bài 55. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a
2
(b + c) + b
2
(c + a) + c
2
(a + b) = 0. Chứng
minh rằng
ab + bc + ca ≤ 0.
Israel National Mat h Olympiad 2011
Bài 56. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có
a
5
b
5
+
b

5
c
5
+
c
5
a
5
≥
(a + 1)
5
(b + 1)
5
+
(b + 1)
5
(c + 1)
5
+
(c + 1)
5
(a + 1)
5
.
Israel National Mat h Olympiad 2011
Bài 57. Cho {a
1
, a
2
, , a

n
} ⊂ (0, 1). Chứng minh rằng
a
1
1 −a
1
+
a
2
1 −a
2
+ +
a
n
1 −a
n
+
1
a
1
+ a
2
+ + a
n
≥ 2 +
1
n
.
Israel Winter Camp 2011
Bài 58. Cho các số thực dương x

1
, x
2
, , x
n
thỏa mãn x
1
+ x
2
+ + x
n
= n. Chứng minh
rằng
x
1
x
2
+
x
2
x
3
+ +
x
n
x
1
≤
4
x

1
x
2
· · x
n
+ n −4.
Israel National Mat h Olympiad 2012
Bài 59. Cho số nguyên n ≥ 2. Tìm giá trị lớn nhất của k sao cho bất đẳng thức

x
2
1
+ x
2
2
+ + x
2
n
≥ k ·min{|x
1
− x
2
|, |x
2
− x
3
|, , |x
n
− x
1

|},
đúng với mọi số thực x
1
, x
2
, , x
n
.
Israel National Mat h Olympiad 2013
10
www.VNMATH.com
Bài 60. Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
= 4. Chứng minh rằng
a
b
+
b
c
+
c
d
+
d

a
≤
2
abcd
+ 2.
Israel Winter Camp 2013
Bài 61. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
a + b + c =
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
.
Chứng minh rằng
2(a + b + c) ≥
3

7a
2
b + 1 +
3

7b

2
c + 1 +
3

7c
2
a + 1.
Middle European Mathematical Olympiad 2013
Bài 62. Cho các số thực x, y, z, w khác 0 thỏa mãn x + y = 0, z + w = 0, và xy + zw ≥ 0.
Chứng minh rằng

x + y
z + w
+
z + w
x + y

−1
+
1
2
≥

x
z
+
z
x

−1

+

y
w
+
w
y

−1
.
Middle European Mathematical Olympiad 2013
Bài 63. Cho các số thực dương a, b, c, d, e, f thỏa mãn a < b < c < d < e < f . Đặt
a + c + e = S và b + d + f = T. Chứng minh rằng
2ST >

3(S + T)

S(bd + d f + f b) + T(ac + ce + ea)

.
IMO Shortlist 2010
Bài 64. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn min{a + b, b + c, c + a} >
√
2 và
a
2
+ b
2
+ c
2

= 3. Chứng minh rằng
a
(b + c − a)
2
+
b
(c + a − b)
2
+
c
(a + b − c)
2
≥
3
(abc)
2
.
IMO Shortlist 2011
Bài 65. Cho a
2
, a
3
, , a
n
là n − 1 số thực dương thỏa mãn a
2
a
3
···a
n

= 1. Chứng minh
rằng
(1 + a
2
)
2
(1 + a
3
)
3
···(1 + a
n
)
n
> n
n
.
IMO 2012
Bài 66. Chứng minh rằng với mọi số thực x, bất đẳng thức sau luôn đúng
max{|sin x|, |sin(x + 2010)|} >
1
√
17
.
11
Moldova Team Selection Test 2010
Bài 67. Cho p ∈ R
+
và k ∈ R
+

. Giả sử đa thức F(x) = x
4
+ a
3
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + k
4
với
các hệ số thực có 4 nghiệm âm. Chứng minh rằng
F(p) ≥ (p + k)
4
.
Moldova Team Selection Test 2010
Bài 68. Cho các số thực dương x
1
, x
2
, , x
n
thỏa mãn x
1
+ x
2

+ ···+ x
n
= 1. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
E = x
1
+
x
2

1 −x
2
1
+
x
3

1 −(x
1
+ x
2
)
2
+ ···+
x
n

1 −(x
1
+ x

2
+ ···+ x
n−1
)
2
.
Moldova Team Selection Test 2010
Bài 69. Cho các số thực dương x
1
, x
2
, , x
n
thỏa mãn x
1
x
2
···x
n
= 1. Chứng minh rằng
1
x
1
(x
1
+ 1)
+
1
x
2

(x
2
+ 1)
+ ···+
1
x
n
(x
n
+ 1)
≥
n
2
.
Moldova Team Selection Test 2011
Bài 70. Cho số nguyên n ≥ 2. Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá giá trị của biểu
thức:
E = 1 +

1 +
2
2
3!
+
3

1 +
3
2
4!

+ ···+
n

1 +
n
2
(n + 1)!
.
Moldova Team Selection Test 2011
Bài 71. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta luôn có
x
y
+
y
z
+
z
x
≥
z(x + y)
y(y + z)
+
x(z + y)
z(x + z)
+
y(x + z)
x(x + y)
.
Moldova Team Selection Test 2013
Bài 72. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a

i
, b
i
, c
i
, (i = 1, 2, 3), ta luôn có
(a
3
1
+ b
3
1
+ c
3
1
+ 1) (a
3
2
+ b
3
2
+ c
3
2
+ 1) (a
3
3
+ b
3
3

+ c
3
3
+ 1)
(a
1
+ b
1
+ c
1
)(a
2
+ b
2
+ c
2
)(a
3
+ b
3
+ c
3
)
≥
3
4
.
Moldova Team Selection Test 2013
Bài 73. Cho tam giác tù ABC với BC = a, Ca = b, AB = c. Chứng minh rằng
a

3
cos A + b
3
cos B + c
3
cos C < abc.
Moldova Team Selection Test 2013
12
www.VNMATH.com
Bài 74. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng
(xy + yz + xz)

1
x
2
+ y
2
+
1
y
2
+ z
2
+
1
z
2
+ x
2


>
5
2
.
Moldova Team Selection Test 2013
Bài 75. Cho a, b ∈ R
+
thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E(a, b) = 3

1 + 2a
2
+ 2

40 + 9b
2
.
Moldova Team Selection Test 2014
Bài 76. Cho số nguyên n ≥ 2 và các số thực x
1
, x
2
, , x
n
thỏa mãn 0 < x
1
≤ x
2
≤ ≤ x
n

và x
1
+ x
2
+ ···x
n
= 1. Chứng minh rằng nếu x
n
≤
2
3
thì tồn tại k sao cho 1 ≤ k ≤ n và
1
3
≤ x
1
+ x
2
+ + x
k
<
2
3
.
Moldova Team Selection Test 2014
Bài 77. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E(a, b , c) =
a
3
+ 5

a
3
(b + c )
+
b
3
+ 5
b
3
(c + a)
+
c
3
+ 5
c
3
(a + b)
.
Moldova Team Selection Test 2014
Bài 78. Tìm giá trị lớn nhất của số thực k sao cho bất đẳng thức
a
1 + 9bc + k(b − c)
2
+
b
1 + 9ca + k(c − a)
2
+
c
1 + 9ab + k(a − b)

2
≥
1
2
,
đúng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Japan Mathematical Olympiad Finals 2014
Bài 79. Cho số nguyên n > 2 và các số thực dương a
1
, a
2
, , a
n
thỏa mãn a
1
+ a
2
+ ···+
a
n
= 1. Chứng minh rằng
a
2
· a
3
····· a
n
a
1
+ n −2

+
a
1
· a
3
····· a
n
a
2
+ n −2
+ ···+
a
1
· a
2
····· a
n−1
a
n
+ n −2
≤
1
(
n −1
)
2
.
Mediterranean Mathematics Olympiad 2010.
Bài 80. Cho các số thực dương a, b, c, d, e, f . Chứng minh rằng
3


abc
a + b + d
+
3

de f
c + e + f
<
3

(a + b + d)(c + e + f ).
13
European Mathematical Cup 2012
Bài 81. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
a
1 + b + c
+
b
1 + c + a
+
c
1 + a + b
≥
ab
1 + a + b
+
bc
1 + b + c
+

ca
1 + c + a
.
Chứng minh rằng
a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca
+ a + b + c + 2 ≥ 2

√
ab +
√
bc +
√
ca

.
European Mathematical Cup 2013
Bài 82. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
a
2
a + b
2
+
b
2

b + c
2
+
c
2
c + a
2
≥
3
2
.
Croatia Team Selection Test 2011
Bài 83. Cho số nguyên dương k. Tìm hằng số D
k
lớn nhất sao cho bất đẳng thức:
(abc)
2
+ ( bcd)
2
+ ( cda)
2
+ ( dab)
2
≤ D
k
,
đúng với mọi số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn a
k
+ b
k

+ c
k
+ d
k
= 4.
Croatia Team Selection Test 2013
14
www.VNMATH.com