CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên

1
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I.Một số PT,BPT vô tỷ thông thường:

1/ 3 6 3;2/ 4 1 1 2 ;3/ 9 5 2 4;4/ ( 1) ( 2) ( 3)x x x x x x x x x x x x x                 


2 2 2
5/ 2 8 6 1 2 2;6/ ( 1) ( 2) 2 ;7/( 1 1)( 1 1) 2x x x x x x x x x x x x              


8/ 11 11 4;9/ 2 1 2 1 2;10/ 3 4 1 8 6 1 1x x x x x x x x x x x x                   


22
4 1 3 20 20 2 2
11/ ;12/ 6;13/ 2 2
2 2 2 2
x x x x
x x x
xx
x x x x x x
   
     
   
   

2 2 2 2 2 2
5 5 1 1
15/ 1 1 1 1 1 1
4 4 2 2
x x x x x x x x                

22
16/ ( ) 5 8 4 5f x x x x x      
. f(x) nb’ khi
4 2 5x   
và đb’ khi
21 1
2
x


. Pt có ngdn x = 2.

2 2 2 2 2 2 2 2
17/ 2 1 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 3 2 0x x x x x x x x x x x x x x                     


2 2 2 2
2;18/ 3 7 3 2 3 5 1 3 4( 2)x x x x x x x x x             


2 2 2 2 2
18/ 7 5 3 2 ( 1);19/ 3 2 1( 5 1 , 0 1)x x x x x x x x x x t t t t                   

22
20/ 2 1 ( 1 1) 0 ( 1 1)( 1 1 ) 0 2x x x x x x x x x x                
.

2
21/ 4 1 4 1 1( 1/2 1/ 2);22/ ( 2)(2 1) 3 6 4 ( 6)(2 1) 3 2x x x VT VP x x x x x x x                  

( ) ( 6 2).( 2 1 3) ( ). ( ) 4 5f x x x x g x h x x           
g(x)&h(x) đồng biến trên
(5; ) 
f(x) đồng

biến trên khoảng đó nên PT có nghiệm duy nhất x = 7.

   
23/ ( 1)(4 ) 2(4 1);24/ 1 3 4( 0);25/ 3 2 8 7 ( 4;5 6;7 )x x x x x x x x x x                


2 2 2
26/ 2 3 5 2 ( 2 2);27/ 3 2 6 5 2 9 7( 5; 1)x x x x x x x x x x x                  


 
 
2 2 2 2
28/ 4 3 2 3 1 1 1 (4 13)/ 2;1/2 ;29/( 3) 4 9( 13/ 6; 3)x x x x x x x x x x

               


DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên

2
2 2 2
22
2
1 1 4 4
30/ 4 ( 1 1) 4( 1 8);31/ 3 3(1 1 4 ),( 1/ 2 0)
(1 1)
x x x
x x x x x x
xx
x

                 


22
33
3
22
12 12 1 1 2
32/ ,( 3; 2 4);33/ ( 1) 1 1 2( 5/ 4)
11 2 9
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
   

                



22
1 1 1 1 1
34/ 0 0;35/ 3 2 1 1( 2; 1)
2 ( 2)
11
x
x x x x x x x
x x x
x

               




2
7 21 11 13
36/ 1 4 2 1( 0);37/ 5 9 1 ; ;9 ;38/ 2 6 1 1( 0;0 2)
22
x x x x x x x x x x
   

               
   
   
   



3
2001
39/ 3 1 2 4 3
304
x x x    
. Xét tính đơn điệu của hàm số thì nghiệm của BPT là


2;0
.

2
3( 5) 5
40/ 3 1 6 3 14 8 0 ( 5)(3 1) 0 5
3 1 4 6 1
xx
x x x x x x x
xx

              
   



41/


II.Giải bằng phương pháp đặt biến phụ:

2 2 2 2 2
1/ 3 3 3 6 3;2/3 15 2 5 1 2;3/ 7 4 4 ( 2)( 1;2)x x x x x x x x x x x x x t t                 


2 2 2 2 2 2 2
4/ 4 1 2 2 9;5/ 3 2 1;6/ 11 31x x x x x x x x x x x x                


2
7/3(2 2) 2 6( 2 3;(11 3 5)/ 2)x x x x t x         


2 2 2 2 2 2 2
8/ / 1 2 2( 1) /( 1) 2 / 1 8 2 8 0x x x x x x x x x t t             


2 3 2 2 3 2 3
9/ 2 5 1 7 1( 1 0; 1 0);10/2( 3 2) 3 8;11/ 2( 2) 5 1x x x u x v x x x x x x x                 


23
12/ 2 4 2 4 ;13/ 1 3 2 ( 1)( 3) 4 2 ( 1 3);x x x x x x x x x t x x               


22
14/ 4 4 2 2 16 12;15/ 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x x x x x              

2 2 2
16/ 2 3 1 3 2 2 5 3 16;17/ 4 2 3 4x x x x x x x x x            

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên

3

2 2 2 2 2
18/(4 1) 1 2 2 1( 1 0,5;2 1);19/2(1 ) 2 1 2 1x x x x y x y x x x x x x               


2 2 2 2 2 2
20/ 3 1 ( 3) 1;21/ 5 1 ( 4) 1;22/ 17 17 9x x x x x x x x x x x x x               


2 2 2
23/ 1 1 (1 2 1 )( ,0 /2 /2; /6);24/ 5 5( 5 )x x x x sint t t x x x t
  
              

2 3 3
3
23'/ 1 4 3 ,( ;0 2 /2; 2 2 /4);24'/ 6 6 4 4 0,( 2;1 3)x x x x cosx x x x x x

                 


2 3 2 2 2
33
25/ 1 1;26/3 3 ,( 3 );27/ 1 2 2 1,( 2 1 );28/(3 ) 3 ,( 3 )x x x x x t x x x t x x t x                 

3 3 3 3
33
1 2 3
27'/8 1 162 27 1 3 3 1 3 1 0 8 6 1 0; 2 3 1 0 ; ;x x u u u u x x x cosy cos y x x x                   

3 2 2 2
33
33
29/ (3 ) 3 3 ( 3) ,( 3 ( 3) );30/ 2 1 1,( 2 ; 1)x a a x a a t x a a x x u x v x               


33
3 3 3 3 3 3
31/ 7 1;32/ 1 1 2;33/ 4 3 1,( 4; 3 7)x x x x x x u x v x u v                  


3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3 3
34/ 2 1 1 3 1;35/ 2 1 16 2 1;36/ 7 8 6 7 2 13 12 3x x x x x x x x x x x x                 


2
4 4 4
33
44
2 1 1 3 2 1 1
37/ 2;38/ 2 4 , 1; ;39/ 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2

x x u
x x u x v x x x
x x x x


                





33
4 4 3 3 2 2
44
1 & 2;40/ 57 40 5;41/ 35 ( 35 ) 30;42/1/ 1/ 2 2,( 2 )u v u v x x x x x x x x y x                 

2 2 2 2 2
38'/ 2 15 32 32 20 2 15 8(2 1) 28 14 8 28; 14 14 2x x x x x u u u ku u k u k                   

22
6
2 2 2 2
33
3
43/ 1 1 1;44/2 ( 1) 3 1 ( 1) 0;45/ 4 1 3 2
55
n
nn
x u v
x x x x x x x x u v



                




2
3
33
2
33
33
1
7 5 2
46/ 6 2 ( ) 0 5 7;47/ 1 (: ; )
3
75
2
ab
a
xx
x ab a b x x x t HVN
ab
xx
ab



  



            



  






2 2 2 2
5 2 5 2 5 5
48/ 2 5 4 2 4 3,( 1 4 3 1 4 3);49/ 5 10 1 7 2 , 3; ;1
55
x x x x x x x x x
   
  
                
   
   


2 2 2
50/ 4 (4 )(2 ) 2 12( 1 5);51/ ( 4) 4 ( 2) 2(2 3 2 3)x x x x x x x x x x x                 


3 2 2

0
52/( 1) ( 1) 3 1 0,( 1 2 3/9 3 2 0, : 1)x x x x t x x t t TM n x                


DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên

4
2
0
3 1 1 16 6 7 16 6 7
53/3 2 7, 2 3 9 0 3 : 0; ;
2 4 4
22
x x t x t t t n
x
xx

   

             

   
   

   




4 2 2

0
2
2 2 2
35 1225
54/ ( 1) 2 0, :(1;1,25) (5/3; )
12 1 144
1 1 1
x x x x
x x t n
x
x x x

          


  



2
55/ 1 3 2( 3) 2 2(*),( ( 1; 3), (1;1).(*) . . 1 3 5)x x x x u x x v u v u v x x x                  
     


2
56/ 1 3 2 1,( ( ;1), ( 1; 3 ) . . 1 3 1;1 2)x x x x u x v x x u v u v x x x x                 
     


III.Biện luận PT và BPT vô tỉ:

Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm:

2
1/ 2 2 (2 )(2 ) ;( 2 2 4 2 (2 )(2 ) 2 2 2x x x x m t x x t x x t                  


2
2 2 4 ( ) 4 2 4;4 2 2 2;2m t t f t m
   
          
   

2
1
2/ 5 1 5 6 ,(2 2 2 2);3/( 3)( 1) 4( 3) ,( 4)
3
x
x x x x m m x x x m m
x

                 



2
4/ 3 6 ( 3)(6 ),(3 2 4,5 3);5/ 9 9 ,( 2,25 10)x x m x x m x x x x m m                  


22

6/ 2 1 ,( 2 /2);7/ 2 1,( 5/8);8/ 4 2,( 4/3; 0)x x m m x m x m x mx m m m              


22
9/ 2 2( 4) 5 10 3 0( ( ) ( 1) /(2 5)x m x m x PTf x x x m           
có nghiệm
3 3)xm  


22
4
4
10/3 1 1 2 1,( 2 3 ;0 ( 1)/( 1) 1 1 1/3)x m x x m t t t x x m                


2 2 2
4
11/ 1 4 3 2 ( 3) 2 0,( ( ) (3 1)/( 4 );0 1 3/4)x m x x m x m f t t t t t m                  


3 3 2
12/( 1 ) (1 ) ,( 1 1; 2 ( ) ( 1)/2 1 2 2 0,5)x x x x m t x x f t t t m m

                 



2 2 4 2 2 2 2 2
13/ ( 1 1 2) 2 1 1 1 ,( 1 1 2 2;2 2 (5 6 )/m x x x x x t x x m t t t


                    





2
4
2 1;1 );14/ ( ) 1 ,( '( ) 0 0 0;1 )f x x x m f x x m

          



15/ 12 ( 5 4 ); ( ) ( 12)/( 5 4 )x x x m x x f x x x x x x           
là hs đồng biến trên đoạn

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên

5
 
22
0;4 2 15 4 3 12;16/ 2 2 2 1 2 4 ,( 1)m x x m x x m           


2
17/ 6 9 6 9 ( )/6; 6( 3 3) 9 ( ) 27,( 9 0)x x x x x m m t t t f t t x                 


22

18/ 2 /3 1 ; 1 1; 2 ( 1)/3 (1; 2 1/3)m x x x x t x x m t t

              



19/ Biện luận theo m số nghiệm của pt:
22
3 1( ( ) ( 3)/ 1)x m x m f x x x       


20/ Tìm a để PT sau có nghiệm duy nhất:
2
(3 1)/ 2 1 2 1x x x ax    

2
( (3 2)/ 2 1 (3 1)/ 2 ; 0a x x t t t       
PT có nghiệm duy nhất với mọi a )

21/ Xác định theo m số nghiệm của PT:
4 4 4 4
44
4 4 6,( 4 2 16 4x x m x x m x x m m x x             

KL: m > 19: PTVN; m = 19: PT có 1 nghiệm; m < 19: PT có hai nghiệm.

22/ Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm dn thuộc đoạn
 
2 3 2
1/ 2;1 : ( ) 3 1 2 2 1f x x x x m      

.

2 3 2
3 3 4 3 3 22
'( ) 1 4
2
1 2 1
x
f x x m m
x x x



        



  




23/ Tìm m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt:
23
2 2 1 3 4 2x mx x x   


2 3 2 3
3
2 1 3 4 2 (2 1)( 4 2 3 )

2 3 2
( ) '( )
2
9/4
2 4 2
x x x x x x x
m
m f x f x
x
m
x x x


     

     









24/ Chứng minh với mọi giá trị dương của m, PT sau luôn có 2 nghiệm phân biệt:
2
2 8 ( 2)x x m x   

2
0
( : 2; 2 ( ) ( 2)( 4) '( ) 3 ( 4) 0n x x m f x x x f x x x           
nếu m > 0 thì PT có 2 nghiệm 2 và
2
2)x 


25/ Tìm m đê PT sau có nghiệm dn:
3
4
1 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m      

- ĐK cần: dễ thấy nếu PT có nghiệm
 
0;1a
thì nó cũng có nghiệm 1 – a . Do đó để nó có nghiệm duy nhất thì
a = 1-a
3
1/ 2 2 2 0; 1a m m m        

- ĐK đủ: thay m = 0;- 1; 1 vào PT ta thấy 0 và – 1 TMYCBT.

26/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi
 
2
1;1 : 1 ,( 2)x x x m m     


27/ Tìm các GT của m để BPT sau có nghiệm:

31mx x m   

2
3 1 1 3 1 3 1
( ) 0;
1 2 4 4
xt
m f t m
xt


    
      









DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên

6

28/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi
 
2 2 2
0;1 :( 1) 2 4x x m x x     

22
( 2 0; 3 ( ) 3 3;3,25 3)t x x m f t t t m
   
           
   


29/ Tìm các giá trị của a để BPT sau có nghiệm với mọi x:
2
27a x x a  

2
21 21 21
( ) ;
6 6 6
2 7 1
x
a f x a
x


       







30/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi
 
2
4;6 : ( 4)(6 ) 2 ;( 6)x x x x x m m       


31/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi
 
2
2;4 : 4 ( 2)(4 ) 2 18;( 10)x x x x x m m         


32/ Tìm các giá trị của m để PT sau có một số lẻ nghiệm:
2 4 2
3 1 1x x m x x    

2 4 2 2 2 4 2 3/2
( ) ( 3 1)/ 1 '( ) ( 1)(3 3)/( 1) 3/3;5 3/3m f x x x x x f x x x x x x m               