Tải bản đầy đủ (.doc) (5 trang)

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (116.2 KB, 5 trang )

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về
tìm số hạng tổng quát của một dãy số. Ở đây ta chỉ xét một số bài toán đơn giản thuộc loại này.
Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 …
Giải:
Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là:
1 2 3
; ; ;
n
u u u u
thì ta có:

2 1 3 2 4 3 1 1
1; 2; 3 1 1 2 3 1
n n n
u u u u u u u u n u u n

− = − = − = − = − ⇒ − = + + + + −

( 1)/ 2 ( 1)/ 2 1
n
n n u n n= − ⇒ = − +

Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau:
1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; …
Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
*
1
1
( ) :


3 2( )
n
n n
u
u
u u n N
+
=



= + ∈


Giải:
Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy các hệ thức sau:
2 2 3 2 2 1 2
1 1 2 2 3 2 1
3 2;3 3 2.3;3 3 2.3 3 3 2.3
n n n
n n n n n n
u u u u u u u u
− − −
− − − − −
= + = + = + = +

1
1 2 2 1 1
1
3 1

3 2(1 3 3 3 ) 3 2. 2.3 1
3 1
n
n n n n
n
u u

− − − −

⇒ = + + + + + = + = −

Cách 2: Đặt
1 1n n
v u
α
+ +
= +
sao cho
1
3
n n
v v
+
=
1 1
3 2 3 3( ) 1
n n n n n
v u u v u
α α α α
+ +

⇒ = + = + + = = + ⇒ =
. Vậy
( )
n
v
là một cấp số nhân
có công bội q =3 và
1 1 1
1 1 1
1 2 3 2.3 1 2.3 1
n n n
n n n
v u v v u v
− − −
= + = ⇒ = = ⇒ = − = −
.
Từ cách giải 2 ta có lời giải của bài toán tổng quát sau:
Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
1
( ) :
( 0;1)
n
n n
u a
u
u bu c b
+
=



= + ≠

Giải:
Đặt
1 1n n
v u
α
+ +
= +
sao cho:

1 1 1
. . ( )
1
n n n n n n n
c
v b v v u bu c b v b u
b
α α α α
+ + +
= ⇒ = + = + + = = + ⇒ =

Như vậy
( )
n
v
là một cấp số nhân có
DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN
1 1 1

1 1 1
. ( ). ( ).
1 1 1 1
n n n
n n
c c c c
v u a v v q a b u a b
b b b b
α
− − −
= + = + ⇒ = = + ⇒ = + −
− − − −
Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
*
1
2
( ) :
2 1( )
n
n n
u
u
u u n n N
+
=



= + + ∈



Giải:
Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được:

[ ]
2
1
2 ( 1) ( 2) 3 2 1 ( 1) 1 ( 1) 2
n
u u n n n n n n n= + − + − + + + + − = + + − = − −
Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
*
1
2
( ) :
2 3 2( )
n
n n
u
u
u u n n N
+
=



= + + ∈



Giải:
- Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra:
2 2 1 2
1 1 2 2 1
2 3 1;2 2 2(3 4) 2 2 2 .5
n n n
n n n n
u u n u u n u u
− − −
− − −
= + − = + − = +
1
1
2 2
n n
n
u u S S

⇒ = + = +
với
2 1
3 1 2(3 4) 2 (3 7) 5.2
n
S n n n

= − + − + − + +
2 2 1 2 2
1 3 1 2 1
1

2 2(3 1) 2 (3 4) 8.2 5.2 3.2 3.2 3.2
5.2 3 1 6(1 2 2 ) 5.2 3 1 6(2 1) 5.2 3 1
8.2 3 5 4.2 3 5 5.2 3 5.
n n n
n n n n n
n n n
n
S n n S
n n n
n n u n
− − −
− − − − −

⇒ = − + − + + + ⇒ = + + + +
− + = + + + + − + = − + − + =
− − = − − ⇒ = − −
Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của một cấp số cộng
và một cấp số nhân.
- Cách 2: Đặt
n n
v u an b= + +
sao cho
1
2
n n
v v

=
1 1
2 3 1 2( ( 1) ) 3; 5

n n n n
v u an b u n an b u a n b a b
− −
⇒ = + + = + − + + = + − + ⇒ = =

1 1
1 1 1
3.1 5 10 3 5 .2 10.2 5.2
n n n
n n
v u v u n v
− −
= + + = ⇒ = + + = = =
5.2 3 5
n
n
u n
⇒ = − −
Bài toán 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
1 *
1
1
( ) :
3 2 ( )
n
n
n n
u
u

u u n N
+
+
=



= + ∈


2
DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN
Giải:
- Cách 1: Theo giả thiết ta có:
2 1 2 1 2 2
1 1 2 2 1
3 2 ;3 3 2 .3; 3 3 2 .3
n n n n n
n n n n
u u u u u u
− − − −
− − −
= + = + = +
2 2
1 1 1 1 1 1
1
2 2
3 3 3
3 2 (1 ) 3 4(3 2 ) 5.3 2
2

2 2
n
n n n n n n n
n
n
u u

− − − − − +

⇒ = + + + + + = + − = −
Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của hai cấp số nhân.
- Cách 2: Đặt
.2
n
n n
v u k= +
với
1
1 1 1
1 1 1 1
1
3 3 2 .2 3( .2 ) 2 2 3 2
2.2 .3 5.3 5.3 2 .
n n n
n n n n
n n n n n
n n n
v v u k u k k k k
u v v u


− − −
− − − +
= ⇒ + + = + ⇒ + = ⇒ =
⇒ + = = = ⇒ = −
Bài toán 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1 2
*
2 1
1; 5
( ) :
5 6 ( )
n
n n n
u u
u
u u u n N
+ +
= =



= − ∈


Giải:
Từ giả thiết ta suy ra:
2 1 1
2 3( 2 )
n n n n
u u u u

+ + +
− = −
. Đặt
1 2 1
2
n n n
v u u
+ + +
= −
1
3.
n n
v v
+
⇒ =
. Vậy
( )
n
v
là cấp số nhân có công bội q = 3 và
1 2 1
2 5 2.1 3v u u= − = − =
2 1 1
1 1 1 1
2 .3 3 2 3
n n n
n n n n n
v u u v u u
− − −
− − −

⇒ = − = = ⇒ = +
. Đặt
1
.3
n
n n
x u k

= +
sao cho:
1 1 1 2
1 1 1 1
2. .3 2. 3 .3 2. 2( .3 )
n n n n
n n n n n n n
x x x u k u k x u k
− − − −
− − − −
= ⇒ = + = + + = = +
3 3. 2. 3k k k⇒ + = ⇒ = −
. Do
( )
n
x
là cấp số nhân có công bội q = 2 và
0 1 1
1 1 1
.3 2 .2 2 .3 3 3 2
n n n n n n
n n n n

x u k x x u x k x
− −
= + = − ⇒ = = − ⇒ = − = + = −
.
Bây giờ ta giải bài toán tổng quát của bài toán trên:
Tìm số hạng tổng quát của dãy
1 2
*
2 1
;
( ) :
(1)( )
n
n n n
u a u b
u
u cu du n N
+ +
= =



= + ∈


trong đó a,b,c,d là các
hằng số thực; a và b khác 0.
Giải:
Giả sử
n

n
u r=
với r là một số thực nào đó. Khi đó từ (1) ta suy ra:
2 1
. . 0
n n n
r c r d r
+ +
− − =
2
. 0(2)r c r d⇔ − − =
. (2) được gọi là phương trình đặc trưng ( PTĐT ) của dãy
( )
n
u
.
Có hai trường hợp:
1/ (2) có hai nghiệm phân biệt
1
r

2
r
. Khi đó ta có:
2 1
1 1 1
. . 0
n n n
r c r d r
+ +

− − =

3
DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN

2 1 2 2 1 1
2 2 2 1 2 1 2 1 2
. . 0 ( . . ) .( . . ) .( . . ) 0
n n n n n n n n n
r c r d r k r l r c k r l r d k r l r
+ + + + + +
− − = ⇒ + − + − + =
Điều đó chứng tỏ
1 2
. .
n n
n
u k r l r= +
thỏa mãn (1). Trong đó k và l là các hằng số thỏa mãn hệ
phương trình sau:
1 2
2 2
1 2
. .
. .
k r l r a
k r l r b
+ =




+ =


. Do
( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2
0
r r
D r r r r d r r
r r
= = − = − − ≠
nên hệ
phương trình trên có nghiệm duy nhất; điều đó cũng chứng tỏ dãy số đã cho được xác định một
cách duy nhất.
Áp dụng vào bài 6 ta có a = 1; b = 5; c = 5; d = -6
1 2
2; 3 1; 1r r k l⇒ = = ⇒ = − =
1 2
. . 2 3
n n n n
n
u k r l r
⇒ = + = − +
Đối với dãy Fibônaxi ta có a = b = c = d = 1 nên PTĐT
2
1 0r r− − =

có hai nghiệm:
1 2
1 5 1 5
&
2 2
r r
+ −
= =
. Từ đó ta có hệ phương trình:
1 5 1 5
. . 1(3)
2 2
3 5 3 5
. . 1(4)
2 2
k l
k l

+ −
+ =



+ −

+ =


Lấy (4) trừ (3) ta được: k+l = 0. Thay l = -k vào (3) ta được:
5. 1 1/ 5k k= ⇒ =

.
Vậy
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
u
 
   
+ −
 
= −
 ÷  ÷
 
   
 
.
2/ (2) có nghiệm kép
2
1 2 1 2
.
2 4
c c
r r d r r= = ⇒ − = =
. Đặt
1
.
n
n n

u r v=
; thay vào (1) ta được:
2 1 2 2
1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1
. . . . . 2. . .
n n n n n
n n n n n n n n n
r v c r v d r v r v r v v v v v
+ + + +
+ + + + + +
= + = − ⇒ − = −
Vậy
( )
n
v
là một cấp số cộng nên
.
n
v k n l= +
với k và l là các số thỏa mãn hệ phương trình:
1
2
1
( ).
(2 ).
k l r a
k l r b
+ =




+ =


Do
1 2
3
1
2 2
1 1
0
2.
r r
D r
r r
= = ≠
nên k và l được xác định một cách duy nhất; tức
là có duy nhất dãy
( )
n
u

1
( . )
n
n
u k n l r= +
thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1 2

*
2 1
4; 20
( ) :
4 4 ( )
n
n n n
u u
u
u u u n N
+ +
= =



= − ∈


Ở đây ta có: a = 4; b = 20; c = 4; d = -4 nên PTĐT có nghiệm:
1 2
2r r= =
.
Giải hệ phương trình ta tìm được: k = 3 và l = -1. Vậy
(3 1).2
n
n
u n
= −
4
DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN

//
5

×