TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về
tìm số hạng tổng quát của một dãy số. Ở đây ta chỉ xét một số bài toán đơn giản thuộc loại này.
Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 …
Giải:
Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là:
1 2 3
; ; ;
n
u u u u
thì ta có:

2 1 3 2 4 3 1 1
1; 2; 3 1 1 2 3 1
n n n
u u u u u u u u n u u n
−
− = − = − = − = − ⇒ − = + + + + −

( 1)/ 2 ( 1)/ 2 1
n
n n u n n= − ⇒ = − +

Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau:
1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; …
Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
*
1
1
( ) :

3 2( )
n
n n
u
u
u u n N
+
=



= + ∈


Giải:
Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy các hệ thức sau:
2 2 3 2 2 1 2
1 1 2 2 3 2 1
3 2;3 3 2.3;3 3 2.3 3 3 2.3
n n n
n n n n n n
u u u u u u u u
− − −
− − − − −
= + = + = + = +

1
1 2 2 1 1
1
3 1

3 2(1 3 3 3 ) 3 2. 2.3 1
3 1
n
n n n n
n
u u
−
− − − −
−
⇒ = + + + + + = + = −
−
Cách 2: Đặt
1 1n n
v u
α
+ +
= +
sao cho
1
3
n n
v v
+
=
1 1
3 2 3 3( ) 1
n n n n n
v u u v u
α α α α
+ +

⇒ = + = + + = = + ⇒ =
. Vậy
( )
n
v
là một cấp số nhân
có công bội q =3 và
1 1 1
1 1 1
1 2 3 2.3 1 2.3 1
n n n
n n n
v u v v u v
− − −
= + = ⇒ = = ⇒ = − = −
.
Từ cách giải 2 ta có lời giải của bài toán tổng quát sau:
Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
1
( ) :
( 0;1)
n
n n
u a
u
u bu c b
+
=



= + ≠

Giải:
Đặt
1 1n n
v u
α
+ +
= +
sao cho:

1 1 1
. . ( )
1
n n n n n n n
c
v b v v u bu c b v b u
b
α α α α
+ + +
= ⇒ = + = + + = = + ⇒ =
−
Như vậy
( )
n
v
là một cấp số nhân có
DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN
1 1 1

1 1 1
. ( ). ( ).
1 1 1 1
n n n
n n
c c c c
v u a v v q a b u a b
b b b b
α
− − −
= + = + ⇒ = = + ⇒ = + −
− − − −
Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
*
1
2
( ) :
2 1( )
n
n n
u
u
u u n n N
+
=



= + + ∈



Giải:
Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được:

[ ]
2
1
2 ( 1) ( 2) 3 2 1 ( 1) 1 ( 1) 2
n
u u n n n n n n n= + − + − + + + + − = + + − = − −
Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
*
1
2
( ) :
2 3 2( )
n
n n
u
u
u u n n N
+
=



= + + ∈



Giải:
- Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra:
2 2 1 2
1 1 2 2 1
2 3 1;2 2 2(3 4) 2 2 2 .5
n n n
n n n n
u u n u u n u u
− − −
− − −
= + − = + − = +
1
1
2 2
n n
n
u u S S
−
⇒ = + = +
với
2 1
3 1 2(3 4) 2 (3 7) 5.2
n
S n n n
−
= − + − + − + +
2 2 1 2 2
1 3 1 2 1
1

2 2(3 1) 2 (3 4) 8.2 5.2 3.2 3.2 3.2
5.2 3 1 6(1 2 2 ) 5.2 3 1 6(2 1) 5.2 3 1
8.2 3 5 4.2 3 5 5.2 3 5.
n n n
n n n n n
n n n
n
S n n S
n n n
n n u n
− − −
− − − − −
−
⇒ = − + − + + + ⇒ = + + + +
− + = + + + + − + = − + − + =
− − = − − ⇒ = − −
Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của một cấp số cộng
và một cấp số nhân.
- Cách 2: Đặt
n n
v u an b= + +
sao cho
1
2
n n
v v
−
=
1 1
2 3 1 2( ( 1) ) 3; 5

n n n n
v u an b u n an b u a n b a b
− −
⇒ = + + = + − + + = + − + ⇒ = =
Có
1 1
1 1 1
3.1 5 10 3 5 .2 10.2 5.2
n n n
n n
v u v u n v
− −
= + + = ⇒ = + + = = =
5.2 3 5
n
n
u n
⇒ = − −
Bài toán 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1
1 *
1
1
( ) :
3 2 ( )
n
n
n n
u
u

u u n N
+
+
=



= + ∈


2
DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN
Giải:
- Cách 1: Theo giả thiết ta có:
2 1 2 1 2 2
1 1 2 2 1
3 2 ;3 3 2 .3; 3 3 2 .3
n n n n n
n n n n
u u u u u u
− − − −
− − −
= + = + = +
2 2
1 1 1 1 1 1
1
2 2
3 3 3
3 2 (1 ) 3 4(3 2 ) 5.3 2
2

2 2
n
n n n n n n n
n
n
u u
−
− − − − − +
−
⇒ = + + + + + = + − = −
Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của hai cấp số nhân.
- Cách 2: Đặt
.2
n
n n
v u k= +
với
1
1 1 1
1 1 1 1
1
3 3 2 .2 3( .2 ) 2 2 3 2
2.2 .3 5.3 5.3 2 .
n n n
n n n n
n n n n n
n n n
v v u k u k k k k
u v v u
−

− − −
− − − +
= ⇒ + + = + ⇒ + = ⇒ =
⇒ + = = = ⇒ = −
Bài toán 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1 2
*
2 1
1; 5
( ) :
5 6 ( )
n
n n n
u u
u
u u u n N
+ +
= =



= − ∈


Giải:
Từ giả thiết ta suy ra:
2 1 1
2 3( 2 )
n n n n
u u u u

+ + +
− = −
. Đặt
1 2 1
2
n n n
v u u
+ + +
= −
1
3.
n n
v v
+
⇒ =
. Vậy
( )
n
v
là cấp số nhân có công bội q = 3 và
1 2 1
2 5 2.1 3v u u= − = − =
2 1 1
1 1 1 1
2 .3 3 2 3
n n n
n n n n n
v u u v u u
− − −
− − −

⇒ = − = = ⇒ = +
. Đặt
1
.3
n
n n
x u k
−
= +
sao cho:
1 1 1 2
1 1 1 1
2. .3 2. 3 .3 2. 2( .3 )
n n n n
n n n n n n n
x x x u k u k x u k
− − − −
− − − −
= ⇒ = + = + + = = +
3 3. 2. 3k k k⇒ + = ⇒ = −
. Do
( )
n
x
là cấp số nhân có công bội q = 2 và
0 1 1
1 1 1
.3 2 .2 2 .3 3 3 2
n n n n n n
n n n n

x u k x x u x k x
− −
= + = − ⇒ = = − ⇒ = − = + = −
.
Bây giờ ta giải bài toán tổng quát của bài toán trên:
Tìm số hạng tổng quát của dãy
1 2
*
2 1
;
( ) :
(1)( )
n
n n n
u a u b
u
u cu du n N
+ +
= =



= + ∈


trong đó a,b,c,d là các
hằng số thực; a và b khác 0.
Giải:
Giả sử
n

n
u r=
với r là một số thực nào đó. Khi đó từ (1) ta suy ra:
2 1
. . 0
n n n
r c r d r
+ +
− − =
2
. 0(2)r c r d⇔ − − =
. (2) được gọi là phương trình đặc trưng ( PTĐT ) của dãy
( )
n
u
.
Có hai trường hợp:
1/ (2) có hai nghiệm phân biệt
1
r
và
2
r
. Khi đó ta có:
2 1
1 1 1
. . 0
n n n
r c r d r
+ +

− − =
và
3
DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN

2 1 2 2 1 1
2 2 2 1 2 1 2 1 2
. . 0 ( . . ) .( . . ) .( . . ) 0
n n n n n n n n n
r c r d r k r l r c k r l r d k r l r
+ + + + + +
− − = ⇒ + − + − + =
Điều đó chứng tỏ
1 2
. .
n n
n
u k r l r= +
thỏa mãn (1). Trong đó k và l là các hằng số thỏa mãn hệ
phương trình sau:
1 2
2 2
1 2
. .
. .
k r l r a
k r l r b
+ =




+ =


. Do
( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2
0
r r
D r r r r d r r
r r
= = − = − − ≠
nên hệ
phương trình trên có nghiệm duy nhất; điều đó cũng chứng tỏ dãy số đã cho được xác định một
cách duy nhất.
Áp dụng vào bài 6 ta có a = 1; b = 5; c = 5; d = -6
1 2
2; 3 1; 1r r k l⇒ = = ⇒ = − =
1 2
. . 2 3
n n n n
n
u k r l r
⇒ = + = − +
Đối với dãy Fibônaxi ta có a = b = c = d = 1 nên PTĐT
2
1 0r r− − =

có hai nghiệm:
1 2
1 5 1 5
&
2 2
r r
+ −
= =
. Từ đó ta có hệ phương trình:
1 5 1 5
. . 1(3)
2 2
3 5 3 5
. . 1(4)
2 2
k l
k l

+ −
+ =



+ −

+ =


Lấy (4) trừ (3) ta được: k+l = 0. Thay l = -k vào (3) ta được:
5. 1 1/ 5k k= ⇒ =

.
Vậy
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
u
 
   
+ −
 
= −
 ÷  ÷
 
   
 
.
2/ (2) có nghiệm kép
2
1 2 1 2
.
2 4
c c
r r d r r= = ⇒ − = =
. Đặt
1
.
n
n n

u r v=
; thay vào (1) ta được:
2 1 2 2
1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1
. . . . . 2. . .
n n n n n
n n n n n n n n n
r v c r v d r v r v r v v v v v
+ + + +
+ + + + + +
= + = − ⇒ − = −
Vậy
( )
n
v
là một cấp số cộng nên
.
n
v k n l= +
với k và l là các số thỏa mãn hệ phương trình:
1
2
1
( ).
(2 ).
k l r a
k l r b
+ =




+ =


Do
1 2
3
1
2 2
1 1
0
2.
r r
D r
r r
= = ≠
nên k và l được xác định một cách duy nhất; tức
là có duy nhất dãy
( )
n
u
mà
1
( . )
n
n
u k n l r= +
thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát của dãy
1 2

*
2 1
4; 20
( ) :
4 4 ( )
n
n n n
u u
u
u u u n N
+ +
= =



= − ∈


Ở đây ta có: a = 4; b = 20; c = 4; d = -4 nên PTĐT có nghiệm:
1 2
2r r= =
.
Giải hệ phương trình ta tìm được: k = 3 và l = -1. Vậy
(3 1).2
n
n
u n
= −
4
DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN

//
5