Phương pháp quy nạp cho bài toán chia hết

Người Thầy MỖI NGÀY MỘT TẦM CAO MỚI
Một phương pháp giải bài toán chia hết
Khi gặp bài toán chứng minh F (n)
.
.
. A với n ∈ N ta vẫn thường sử
dụng phương pháp quy nạp. Cụ thể các bước của phương pháp quy nạp
là
1. F(1)
.
.
. A
2. Giả sử F (n)
.
.
. A ta chứng minh F (n + 1)
.
.
. A.
Nhưng để ý rằng: Nếu a
.
.
. c thì b
.
.
. c ⇔ a − b
.
.
. c
Vậy ta có thể xem nó là một dạng khác của phương pháp quy nạp. Tức
là để chứng minh F (n)

.
.
. A ta qua các bước
1. F(1)
.
.
. A
2. F(n + 1) − F (n)
.
.
. A
Sau đây ta xét một số bài toán áp dụng phương pháp trên.
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, n ≥ 1 thì
F (n) = 16
n
− 15n − 1
chia hết cho 225.
Giải
Ta có ngay F (1) = 0
.
.
. 225.
Giả sử F (n)
.
.
. 225 ta chứng minh F (n + 1) − F (n)
.
.
. 225. Thật vây
F (n + 1) − F (n) = 15.16

n
− 15 = 15(16
n
− 1)
Vì 16
n
− 1
.
.
. 15 nên ta có F (n + 1) − F (n)
.
.
. 225 (đpcm).
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, n ≥ 1 thì
G(n) = 3
2n+3
+ 40n − 27
chia hết cho 64.
1 05/05/2014
Người Thầy MỖI NGÀY MỘT TẦM CAO MỚI
Giải
Ta có ngay G(1) = 256
.
.
. 64.
Giả sử G(n)
.
.
. 64 ta chứng minh G(n + 1) − G(n)
.

.
. 64. Thật vây
G(n + 1) − G(n) == 8.3
2n+3
+ 40 = 8(3
2n+3
+ 5)
Suy ra
G(n + 1) − G(n)
.
.
. 64 ⇔ F (n) = 3
2n+3
+ 5
.
.
. 8, ∀n ≥ 1, n ∈ N
Ta có F (1) = 248
.
.
. 8.
Giả sử F (n)
.
.
. 8 ta chứng minh F (n + 1) − F (n)
.
.
. 8.
Thật vậy
F (n + 1) − F (n) = 8.3

2n+3
.
.
. 8
Do đó, ta có G(n + 1) − G(n)
.
.
. 64. (đpcm).
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, n ≥ 1 ta có
1. 10
n
+ 18n − 1 chia hết cho 27;
2. 2
2n+1
+ 1 chia hết cho 3;
3. 10
n
− 4
n
+ 3n chia hết cho 9;
4. 4
n
+ 15n − 1 chia hết cho 9;
Giải
1. Đặt F(n) = 10
n
+ 18n − 1.
Ta có F (1) = 27
.
.

. 27.
Xét
F (n + 1) − F (n) = 9.10
n
+ 18 = 9(10
n
+ 2).
Nhận xét rằng
F (n + 1) − F (n)
.
.
. 27 ⇔ G(n) = 10
n
+ 2
.
.
. 3.
Có G(1) = 12
.
.
. 3 và G(n + 1) − G(n) = 9.10
n
.
.
. 3
Dó đó, ta có F (n + 1) − F (n)
.
.
. 27 (đpcm).
2 05/05/2014

Người Thầy MỖI NGÀY MỘT TẦM CAO MỚI
2. Đặt H(n) = 2
2n+1
+ 1. Ta có ngay
H(n + 1) − H(n) = 3.2
2n+1
.
.
. 3 (đpcm).
3. Đặt F(n) = 10
n
− 4
n
+ 3n. Ta có
F (n + 1) − F (n) = 9.10
n
− 3.4
n
+ 3 = 3(3.10
n
− 4
n
+ 1)
Suy ra
F (n + 1) − F (n)
.
.
. 9 ⇔ G(n) = 3.10
n
− 4

n
+ 1
.
.
. 3
Thật vậy, ta có
G(n + 1) − G(n) = 27.10
n
− 3.4
n
.
.
.3
Suy ra điều phải chứng minh.
4. Đặt F(n) = 4
n
+ 15n − 1. Ta có
F (n + 1) − F (n) = 3.4
n
+ 15 = 3(4
n
+ 15)
Suy ra
F (n + 1) − F (n)
.
.
. 9 ⇔ G(n) = 4
n
+ 15
.

.
. 3
Thật vậy, ta có
G(n + 1) − G(n) = 3.4
n
.
.
. 3
Suy ra điều phải chứng minh.
3 05/05/2014