XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại một điểm x
o
-B1: Tìm tập xác định của hàm số.
-B2: Xét sự tồn tại của f(x
o
)
-B3: Xét sự tồn tại của
lim ( )
o
x x
f x
→
-B4: So sánh
lim ( )
o
x x
f x
→
và f(x
o
)
 Nếu hàm số có dạng
( ) nêu x x
( )
( ) nêu x = x
o
o
g x
f x
h x

≠

=


thì tìm
lim ( ) lim ( )
o o
x x x x
f x g x
→ →
=
• Nếu
( )
o
lim ( ) f x
o
x x
f x
→
= ⇔
hàm số liên tục tại x
o
.
• Nếu
( )
o
lim ( ) f x
o
x x

f x
→
≠ ⇔
hàm số gián đoạn tại x
o
.
 Nếu hàm số có dạng
( ) nêu x x
( )
( ) nêu x < x
o
o
g x
f x
h x
≥

=


thì tìm
lim ( ) lim ( )
lim ( ) lim ( )
o o
o o
x x x x
x x x x
f x g x
f x h x
+ +

− −
→ →
→ →
=



=


VD: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
2
16
nêu x 4
( )
4
4 nêu x 4
x
f x
x
x

−
≠

=
−



+ =

tại x = 4 b)
2
2 1
( )
x x
f x
x
+ +
=
tại x = 0
c)
2
2
4 4 nêu x 1
( )
nêu x < 1
x x
f x
x

+ − ≥
=


tại x= 1
Giải
a) Tập xác định:
Ta có: f(4) = 8

•

4
lim ( ) (4)
x
f x f
→
⇒ =
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 4.
b) Tập xác định:
Ta có hàm số không xác định tại x = 0 nên không tồn tại
Vậy hàm số không liên tục tại x= 0.
c) Tập xác định:
Ta có: = 1 (1)
•
•
Từ (1) và (2) ta có
1
lim ( ) (1)
x
f x f
→
=
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1.
Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên một khoảng (một đoạn)
 Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x
0
∈ (a; b) ⇒ f(x) liên tục trên (a; b)
 Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x
0

∈ (a; b) và
lim ( ) ( ),
x a
f x f a
+
→
=
lim ( ) ( )
x b
f x f b
−
→
=
⇒ f(x) liên tục trên [a; b]
VD : Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:





≤+
>
−
+−
=
312
3
3
65
)(

2
xkhix
xkhi
x
xx
xf
Giải. Tập xác định:
- Với x >3: f(x) =
3
65
2
−
+−
x
xx
là hàm phân thức hữu tỉ nên có tập xác định là do đó hàm số
f(x) =
3
65
2
−
+−
x
xx
liên tục trên ⇒ f(x) liên tục trên (3; +∞) (1)
- Với x < 3: f(x) = 2x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là do đó hàm số f(x)= 2x+1 liên tục trên
⇒ f(x) liên tục trên (-
∞
;3) .
- Với x = 3:

*
1)2(lim
3
)2)(3(
lim
3
65
lim)(lim
33
2
33
=−=
−
−−
=
−
+−
=
++++
→→→→
x
x
xx
x
xx
xf
xxxx
*
7)12(lim)(lim
33

=+=
−−
→→
xxf
xx
Vì
)(lim)(lim
33
xfxf
xx
−+
→→
≠
nên hàm số đã cho không có giới hạn hữu hạn khi x
→
3.
Do đó nó không liên tục tại x = 3.
Vấn đề 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM.
Phương pháp: Dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.
VD1:Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x= -1:





−=
−≠
+
−+
=

1
1
1
143
)(
xkhim
xkhi
x
x
xf
Giải.Tập xác định:
Ta có:

2
3
143
3
lim
)143)(1(
143
lim
1
143
lim)(lim
1111
=
++
=
+++
−+

=
+
−+
=
−→−→−→−→
xxx
x
x
x
xf
xxxx
Hàm số trên liên tục tại x = -1
2
3
)1()(lim
1
=⇔−=⇔
−→
mfxf
x
VD2: Định a để hàm số liên tục:
2
5 nêu x > 2
( )
1 nêu x 2
ax
f x
x

−

=

+ ≤

trên R
Giải
Tập xác định:
- Với x >2: là hàm đa thức nên có tập xác định là do đó hàm sốliên tục trên ⇒ f(x) liên tục trên (2; +∞) (1)
- Với x < 2: f(x) = x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là do đó hàm số f(x) = x+1 liên tục trên
⇒ f(x) liên tục trên (-
∞
;2) (2)
- Với x =2: f(2) = 3
2
2 2
lim ( ) lim (5 ax ) 5 4
x x
f x a
+ +
→ →
= − = −
2 2
lim ( ) lim(x + 1) 2 1 3
x x
f x
− −
→ →
= = + =
Từ (1) và (2) ⇒ Hàm số f(x) liên tục trên R\{2}⇒ (f(x) liên tục trên R ⇔ f(x) liên tục tại x = 2
2 2

lim ( ) lim ( ) (2)
x x
f x f x f
+ −
→ →
⇔ = =
1
5 4 3 4 2
2
a a a⇔ − = ⇔ = ⇔ =
Vậy a =
1
2
thì f(x) liên tục trên R.
Vấn đề 4: Chứng minh phương trình có nghiệm trên đoạn [a; b]
-B1: Biến đổi để vế phải là số 0. Đặt f(x) là vế trái.
-B2: Tìm tập xác định của f(x). Chứng tỏ f(x) là hàm số liên tục trên [a; b].
-B3: Tìm 2 số c, d thuộc [a; b] (c < d) sao cho f(c).f(d)<0.
⇒ có x
o
∈ (c; d): f(x
o
) = 0.
Kết luận phương trình có nghiệm thuộc [a; b].
 Chú ý: Muốn chứng minh f(x) = 0 có 2, 3, … nghiệm trên [a; b] thì cần tìm 2, 3, …khoảng rời nhau mà trên mỗi
khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm.
o Để chứng minh phương trình có nghiệm, cần tìm hai số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
và f(a).f(b)<0.
o Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho:
+ Các giá trị f(a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.

+ Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0.
o Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm, cần tìm được k cặp số a
i
và b
i
sao cho các khoảng (a
i
;b
i
) rời
nhau, f(a
i
).f(b
i
)<0 và hàm số y = f(x) liên tục trên tất cả các đoạn [a
i
;b
i
].
VD1: Chứng tỏ phương trình
a) 3x
4
+ 4x
3
– x
2
+ 2x – 1 = 3x +4 có nghiệm thuộc (-1; 3)
b) x
4
– x

2
+ 4x = 2x
2
+ 6 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2)
Giải
a) Ta có: 3x
4
+ 4x
3
– x
2
+ 2x – 1 = 3x +4 ⇔ 3x
4
+ 4x
3
– x
2
– x – 2 = 0
Đặt f(x) = 3x
4
+ 4x
3
– x
2
– x – 2
- TXĐ:
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R ⇒ f(x) liên tục trên [-1; 3]
Ta lại có: f(0) = 2 ; f(1) = 3
⇒ f(0).f(1) = - 6 < 0
⇒ f(x) có nghiệm x

o
∈ (0; 1).
Vậy phương trình có nghiệm thuộc (-1;3)
b) Ta có: x
4
– x
2
+ 4x = 2x
2
+ 6 ⇔ x
4
– 3x
2
+ 4x – 6 = 0
Đặt f(x) = x
4
– 3x
2
+ 4x – 6
- TXĐ:
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R ⇒ f(x) liên tục trên [1; 2]
Ta lại có: f(1) = - 4 ; f(2) = 6
⇒ f(1).f(2) =- 24 < 0
⇒ f(x) có nghiệm x
o
∈ (1; 2).
Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2)
VD2: Chứng minh rằng phương trình 2x
3
– 3x

2
– 3x + 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2)
Giải: Đặt f(x) = 2x
3
– 3x
2
– 3x + 2
- TXĐ:
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R⇒ f(x) liên tục trên các đoạn [-2;0], [0;1], [1; 2].
Ta lại có: f(- 2) = - 19; f(0) = 3; f(1) = - 1; f(2) = 1
nên f(-2).f(0) = -57 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x
1
∈ (-2; 0)
f(0).f(1) = -3 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x
2
∈ (0; 1)
f(1).f(2) = -1 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x
3
∈ (1; 2)
Vậy phương trình 2x
3
– 3x
2
– 3x + 2= 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2).

VD3: CMR phương trình: 2x
3
- 5x
2
+x +1=0 có ít nhất hai nghiệm.

Giải: Xét hàm số f(x)= 2x
3
-5x
2
+x+1.
- TXĐ:
Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [0;1] và [1;3].
Ta lại có: f(0)=1; f(1)= -1; f(3)=13.
Do đó f(0).f(1)<0 ⇒ f(x) có nghiệm x
1
∈ 0; 1)
f(1).f(3)<0 ⇒ f(x) có nghiệm x
2
∈ (1; 3)
Vậy phương trình: 2x
3
-5x
2
+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.
VD4. Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m
2
- 4)(x-1)
6
+ 5x
2
-7x+1=0

Giải. Xét hàm số f(x)=(m
2
-4)(x-1)

6
+5x
2
-7x+1.
Ta có f(x) liên tục trên R, suy ra f(x) liên tục trên [1;2].
Ta có f(1)= -1; f(2) = m
2
+3.
Do đó f(1).f(2)<0
Vậy phương trình (m
2
-4)(x-1)
6
+5x
2
-7x+1= 0 có một nghiệm thuộc khoảng (1;2), nghĩa là có nghiệm.
BÀI TẬP
Bài 1. Phải chọn A bằng bao nhiêu để hàm số sau liên tục trên R.





−≤−
−>
+
++
=
31.
3

3
34
)(
2
xkhixA
xkhi
x
xx
xf
Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.





−≤
−>
+
++
=
11
1
1
23
)(
2
xkhi
xkhi
x
xx

xf
Bài 3.Chứng minh rằng phương trình:
a) 2x
5
+3x
4
+3x
2
-1= 0 có ít nhất 3 nghiệm. c) 2x
3
+3x
2
+10x +200= 0 luôn có nghiệm.
b) 4x
4
+2x
2
–x -28= 0 luôn có nghiệm
Bài 4 :Cho hàm số
( )

+ −

≠
=

−

+ =


x
khi x
f x
x
ax khi x
3 1 2
1
1
3 1
. Tìm a để hàm số liên tục tại
x 3=
.
Bài 5: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1
x
khi x
f x
x
mx khi x
2
1
1
( )
1
2 1

−

< −
=


+

+ ≥ −

Bài 6: Cho hàm số f(x) =
x
khi x
f x
x
m khi x
3
1
1
( )
1
2 1 1

−

≠
=

−

+ =

. Xác định m để hàm số liên tục trên R
Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số sau tại
0
3x

=
:

− +

≠
=

−

− =

x x
khi x
f x
x
x khi x
2
5 6
3
( )
3
2 5 3
Bài 8: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
1,
2
4
2
( )
2

4 2
x
voi x
f x
x
voi x

−
≠ −

=
+


− = −

tại x = -2 2, f(x) =
2 x 1
nÕu x 3
3 x
4 nÕu x 3

− +
 ≠

−

=

tại x = 3

Bài 9: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
a)







−−
=
2
1
11
)(
x
x
xf
0,
0,
=
≠
x
x
b)
( )
2
2
x > 2
2

5 x 2
x x
khi
f x
x
x khi

− −

=
−


− ≤

Bài 10: Tìm điều kiện của số thực a sao cho hàm số sau liên tục tại x
0
.
7 3
2
( )
2
1 2
x
khi x
f x
x
a khi x

+ −

≠

=

−

− =

với x
0
= 2
Bài 11:a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
3
2 10 7 0x x
− − =
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
3
1000 0,1 0x x+ + =
c) CMR: Phương trình x
4
-3x
2
+ 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
d) Chứng minh phương trình
2
sin cos 1 0x x x x
+ + =
có ít nhất một nghiệm
( )
0

0;x
π
∈
.
e) Chứng minh phương trình
( ) ( )
3
1 2 2 3 0m x x x− − + − =
luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.