bai tap lon mon toan: su lien tuc cua ham so

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ

BÀI TẬP LỚN
Đề tài: Sự liên tục của hàm số.
Các sinh viên thực hiện:
1.
Nguyễn Văn Toàn
2.
Nguyễn ĐìnhThức
3.
Lê VĩnhThuyên
4.
Nguyễn Văn Tịnh
5.
Cao Văn Tiến
Lớp: 11CDCK02
A.Mở Đầu:
-Vai trò của đề tài: sư liên tục của hàm số được chúng ta áp dụng vào để chứng
minh một hàm số liên tục tại một điểm,hàm số liên tục trên nửa khoảng hoặc một
đoạn, chứng minh phương trình có nghiệm và xét dấu một biểu thức phức tạp và
xét dấu của hàm số trong khảo xác hàm số (bảng biến thiên và tìm đường các
đường tiệm cận của hàm số). Ngoài ra nó cũng được dùng để tìm giá trị gần đúng
nghiệm của phương trình,tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất.
- Vị trí: Nó chiếm một vị trí quan trọng trong Giải Tích và trong các ngành Toán
học khác.
B.Nội dung:
I.Các khái niệm cơ bản:
1.Các định nghĩa:
1.1 Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b),
),(

0
bax ∈
, Hàm
số f(x) được gọi là liên tục tại
0
x
nếu.
Trường hợp
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
−
→
thì ta nói hàm số liên tục bên trái tại điểm
0
x
,
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
+
→
thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm
0

x
.
Vậy f liên tục tại
0
x
⇔
)()(lim)(lim
0
00
xfxfxf
xxxx
==
−+
→→
Nếu hàm số không liên tục tại
0
x
thì f được gọi là gián đoạn tại điểm
0
x
Vậy f
gián đoạn tại điểm
0
x
khi không tồn tại
)(lim
0
xf
xx→
hoặc

)()(lim
0
0
xfxf
xx
≠
→
1.2 Định nghĩa 2:
Hàm số f(x) liên tuc trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng
đó.
Hàm số f(x) liên tuc trên đoạn [a,b] nếu nó liên tục trên khoảng (a,b) và
)()(lim),()(lim bfxfafxf
bxax
==
−+
→→
2. Tính chất của hàm số liên tục:
1: a. Hàm đa thưc liên tục trên R.
b. Các phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên lục trên từng khoảng của tập
xác định của chúng.
2.Giả sử y=f(x) và y=g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:
a) Các hàm số y=f(x)+ g(x), y=f(x)- g(x), y=f(x).g(x) liên tục tại điểm x0.
b) Hàm số y=-
)(
)(
xg
xf
liên tục tại điểm x0 nếu
0)(
≠

xg
.
3.
Giả sử hàm số
f
liên tục trên đoạn [a,b]. Nếu
)()( bfaf ≠
thì với mỗi số thực
M nằm giữa
)(af
và
)(bf
, tồn tại ít nhất một điểm
),( bac ∈
sao cho
.)( Mcf =
4.Định lí 1:Hàm f(x) liên tục trên [ a;b ] thì bị chặn trên đó.
5. Định lí 2:Hàm f(x) liên tục trên [ a; b] thì luôn đạt giá trị lớn nhất và bé nhất.
6.Định lí 3:( Cauchy) Hàm f(x) liên tục trên [ a;b] thì nó nhận mọi giá trị trung
gian nằm giữa Max và Min.
7.Hàm f(x) được gọi là liên tục đều trên A nếu:
0,0 >∃>∀
δε
:",', AxAx ∈∀∈∀
εδ
<−⇒<−
)"()'("' xfxfxx
8)Hàm f(x) liên tục đều trên A thì nó liên tục trên a.
9) Định lí 4:( Cantor) Hàm f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì liên tục đều trên đoạn
đó.

II.Ứng dụng:
1.Phương pháp:

Tính
).(
0
xf

Tìm
.)(lim
0
xf
xx→
Nếu
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
thì hàm số
f
liên tục tai
0
x
.
2.Ví dụ: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
2

16
nêu x 4
( )
4
4 nêu x 4
x
f x
x
x

−
≠

=
−


+ =

tại x = 4
b)
2
2
4 4 nêu x 1
( )
nêu x < 1
x x
f x
x


+ − ≥
=


tại x= 1
Giải:
a)
2
16
nêu x 4
( )
4
4 nêu x 4
x
f x
x
x

−
≠

=
−


+ =

tại x = 4
Ta có: f(4) = 8
2

4 4
4
4
16
lim ( ) lim
4
( 4)( 4)
lim
4
lim( 4) 8
x x
x
x
x
f x
x
x x
x
x
→ →
→
→
−
=
−
− +
=
−
= + =
4

lim ( ) (4)
x
f x f
→
⇒ =
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 4.
Vấn đề1: Chứng minh hàm số liên tục tại một điểm.
b)
2
2
4 4 nêu x 1
( )
nêu x < 1
x x
f x
x

+ − ≥
=


tại x =1
Ta có f(1) = 1 (1)
2
1 1
lim ( ) lim( 4 4) 1
x x
f x x x
+ +
→ →

= + − =
2 2
1 1
lim ( ) lim 1 1
x x
f x x
− −
→ →
= = =
1 1
1
lim ( ) lim ( ) 1
lim ( ) 1
x x
x
f x f x
f x
+ −
→ →
→
⇒ = =
⇒ =
Từ (1) và (2) ta có
1
lim ( ) (1)
x
f x f
→
=
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

3.Bài tập:
3.1.Xét tính liên tục của các hàm số sau:
1)







=−
≠
−
+−
1
2
1
1
1
23
)(
2
2
xkhi
xkhi
x
xx
xf
tại điểm x = 1;
2)








−=−
−≠
+
−−+
=
2
4
1
2
2
4103
)(
xkhi
xkhi
x
xx
xg
tại điểm x= -2;
3)






−≥+
−<
+
+−
=
194
1
1
12
)(
3
xkhix
xkhi
x
xx
xh
tại điểm x= -1;
Giải:
1) Ta có :
)1)(1(
)2)(1(
lim
1
23
lim)(lim
1
2
2
11

+−
−−
=
−
+−
=
→→→
xx
xx
x
xx
xf
xxx
).1(
2
1
1
2
lim
1
f
x
x
x
=−=
+
−
→
Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 1
2) Ta có:

;
4
1
)2( −=−g
)4103)(2(
)4()103(
lim
2
4103
lim)(lim
2
222
++++
+−+
=
+
−−+
=
−→−→−→
xxx
xx
x
xx
xg
xxx
)4103)(2(
)3)(2(
lim
)4103)(2(
165

lim
2
2
2
++++
++−
=
++++
−−−
=
−→−→
xxx
xx
xxx
xx
xx
)2(
4
1
4103
)3(
lim
2
f
xx
x
x
=−=
+++
+−

=
−→
Vậy hàm số
g
liên tục tại x = 2.
3) Ta có :
;5)1( =−h
;594lim)(lim
11
=+=
++
−→−→
xxh
xx
1
)12)(1(
lim
1
12
lim)(lim
2
1
3
11
+
+−+
=
+
+−
=

−−−
−→−→−→
x
xxx
x
xx
xh
xxx

.5)122(lim
2
1
=+−=
−
−→
xx
x
Vì
5)1()(lim)(lim
11
=−==
−+
−→−→
hxhxh
xx
nên hàm số h liên tục tại x = -1.
3.3.Xác định a để hàm số






=
≠
−
−++
=
3
3
62
9292
)(
3
2
xkhia
xkhi
x
xx
xf
liên tục tại x =3;
Giải:
Ta có : f(3)=a ;
62
62392
lim
62
9292
)(lim
3 2
3

3 2
3
−
−+−+
=
−
−++
=
→→
x
xx
x
xx
xf
xx

1)9923)92()(3(2
)9(2
lim1
)3(2
392
lim
3
2
3
22
2
3
3 2
3

+++++−
−
=+
−
−+
=
→→
xxx
x
x
x
xx

9
2
1)9923)92((
3
lim
3
2
3
22
3
=
+++++
+
→
xx
x
x

f liên tục tại x = 3 ⇔
)3()(lim
3
fxf
x
=
→
⇔
9
2
=a
.
3.4.Cho hàm số f định bởi





=
≠
−
+−+
=
1
1
1
37
)(
2
3

xkhia
xkhi
x
xx
xf
Xác định a để hàm số liên tục tại x = 1.
Giải:
Ta có :
;)1( af =
x
x
x
x
xx
xf
xxx
2
32
1
)7(3
1
lim
1
37
lim)(lim
3
2
1
2
3

11
+
−
+
=
−
+−+
=
→→→


12
1
2
312
1
)71(3
1
3
2
−=
+
−
+
=
Vì
f
liên tục tại x = 1 nên
.
12

1
12
1
)1()(lim
1
−=⇒−==
→
afxf
x
3.5 Cho hàm







≥
+
−
+
<≤−
+−−
=
0
2
4
01
11
)(

xkhi
x
x
a
xkhi
x
xx
xf
xác định a để hàm số liên
tục tại x = 0;
Giải:
Ta có: f(0) = a+2
2)
2
4
(lim)(lim
00
+=
+
−
+=
++
→→
a
x
x
axf
xx
1
11

2
lim
11
lim)(lim
000
−=
++−
−
=
+−−
=
−−−
→→→
xx
x
xx
xf
xxx
⇒
f(x) lien tục tại x = 0, khi và chỉ khi :
312)(lim)(lim)0(
00
−=⇒−=+⇔==
−+
→→
aaxfxff
xx
Vậy với a = -3 thì hàm số liên tục tại x = 0.
1.Phương pháp:
Chứng minh hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc tập hơp đó.

2.Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số:
1)





≤
−
>−
=
1
2
3
112
)(
xnêu
x
xnêux
xf
trên R.
Vấn
đề 2: Chứng minh hàm số liên tục trên một tập hợp
Giải:
Ta có: f(x) = 2x -1 là hàm đa thức có tập xác định là R nên f(x) liên tục trên R ⇒
f(x) = 2x - 1 liên tục trên (1; +∞)
f(x) =
2
3 x−
là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là R nên f(x) =

2
3 x−
liên tục
trên R ⇒ f(x) liên tục trên (-∞; 1)
Ta lại có: f(1) = 1
1)12(lim)(lim
11
=−=
++
→→
xxf
xx
1
2
3
lim)(lim
11
=
−
=
−−
→→
x
xf
xx
)1()(lim
1
fxf
x
=⇒

→
⇒f(x) liên tục tại x = 1.
Vậy f(x) liên tục trên R.
2)









−<≤−−+
=−
−>
−
+
=
2353
23
2
4
8
)(
2
3
xkhix
xkhi
xkhi

x
x
xf
Tìm các khoảng, nửa khoảng mà trên đó hàm số f(x) liên tục.
Giải:
Với mọi
);2( ∞+−∈x
thì
4
8
)(
2
3
−
+
=
x
x
xf
. Vì
04
2
≠−x
với mọi x > -2 nên hàm
số f xác định trên
);2(
∞+−
.
Ta có :
),;2(

0
∞+∈∀
x

)(
4
8
4
8
lim)(lim
0
2
0
3
0
2
3
00
xf
x
x
x
x
xf
xxxx
=
−
+
=
−

+
=
→→
nên f liên tục trên
);2( ∞+−
.
Với mọi
)2;3[ −−∈x
thì
03
≥+
x
nên
53)(
−+=
xxf
vác định trên [-3;2).
Ta có:
)2;3[
0
−∈∀
x
,
)(53)53(lim)(lim
00
00
xfxxxf
xxxx
=−+=−+=
→→

nên f liên tục nửa khoảng [-3;-2].
Tại
,2
0
−=
x
ta có f(-2) = -3.
Vì
)2(453(lim)(lim
22
−≠−=−+=
−−
−→−→
fxxf
xx
nên hàm số f không liên tục tại
x = -2
Vậy hàm số f liên tục trên
);2(
∞+−
và trên [-3;2).
3.Bài tập:
3.1 .Cho hàm số f xác định bởi





≤−
>

−+
−
=
2202
2
22
4
)(
2
xkhix
xkhi
x
x
xf
Chứng minh rằng hàm số f liên tục trên xác định của nó.
Giải:
TXD: R.
Với mọi
),;2(
0
−∞∈x
ta có :
).(
22
4
22
4
lim)(lim
0
0

2
0
2
00
xf
x
x
x
x
xf
xxxx
=
−+
−
=
−+
−
=
→→
⇒
hàm số liên tục trên khoảng
);2( ∞+
.
Với mọi
),2;(
0
−∞∈x
ta có:
)(202)202(lim)(lim
00

00
xfxxxf
xxxx
=−=−=
→→
⇒ hàm số liên tục trên khoảng
)2;( ∞−
.
Tại
,2
0
=x
ta có f(-2)=16;

4)2(
)22)(2)(2(
lim
22
4
lim)(lim
2
2
22
−+
+++−
=
−+
−
=
+++

→→→
x
xxx
x
x
xf
xxx

.16)202(lim)(lim
22
−=−==
−−
→→
xxf
xx
Vì
)2()(lim)(lim
22
fxfxf
xx
==
−+
→→
nên f liên tục tại x =2.
Vậy hàm số f liên tục trên R
.
3.2.Cho hàm số






=
≠
−
+−
=
2
2
2
65
)(
2
xkhia
xkhi
x
xx
xf
tìm a để hàm số liên tục trên R.
Giải
Với x ≠ 2 thì
2
65
)(
2
−
+−
=
x
xx

xf
hàm số liên tục trên R
Với x =2 thì ta có f(2) = a
1)3(lim
)2(
)2)(3(
lim
2
65
lim)(lim
22
2
22
−=−=
−
−−
=
−
+−
=
→→→→
x
x
xx
x
xx
xf
xxxx
.
Nếu a = -1 thì f(2) =

)(lim
2
xf
x→
nên f(x) liên tục tại x = 2.
Nếu a ≠ -1 thì f(2) ≠
)(lim
2
xf
x→
nên f(x) không liên tục tại x = 2.
Vậy a = -1 thì f(x) liên tục trên R.
3.3 Xác định a để hàm số liên tục






=−
≠
−
+−
=
212
2
2
107
)(
2

xnêua
xnêu
x
xx
xf
tại x = 2.
Giải
a)





=−
≠
−
+−
=
212
2
2
107
)(
2
xnêua
xnêu
x
xx
xf
tại x= 2

Ta có: f(2) = -2a – 1
2
107
lim)(lim
2
22
−
+−
=
→→
x
xx
xf
xx
3)5(lim
2
)5)(2(
lim
22
−=−=
−
−−
=
→→
x
x
xx
xx
Hàm số f(x) liên tục tại x = 2
)2()(lim

2
fxf
x
=⇔
→
122123 =⇔−=−⇔−−=−⇔ aaa
Vậy a = 1 thì f(x) liên tục tại x = 2.

3.3 Xác định a để hàm số liên tục



≤+
>−
=
21
25
)(
2
xNêux
xNêuax
xf
trên R.
Giải:
Ta có:
2
5)( axxf −=

là hàm đa thức có tập xác định là R nên hàm số
2

5)( axxf −=
liên tục trên R ⇒ f(x) liên tục trên (2; +∞)
f(x) = x + 1 là hàm đa thức có tập xác định là R nên hàm số f(x) = x + 1 liên tục
trên R ⇒ f(x) liên tục trên (-∞; 2) (2)
Ta lại có: f(2) = 2 + 1 = 3
aaxxf
xx
45)5(lim)(lim
2
22
−=−=
++
→→
312)1(lim)(lim
22
=+=+=
−−
→→
xxf
xx
Từ (1) và (2) ⇒ Hàm số f(x) liên tục trên R\{2}
⇒ (f(x) liên tục trên R ⇔ f(x) liên tục tại x = 2
2 2
lim ( ) lim ( ) (2)
x x
f x f x f
+ −
→ →
⇔ = =
)2()(lim)(lim

22
fxfxf
xx
==
−+
→→
2
1
24345
−=⇔=⇔=−⇔
aaa
Vậy a =
1
2
thì f(x) liên tục trên R.
3.4.Chứng tỏ rằng hàm





=
≠
=
00
0
1
sin.
)(
xnêu

xnêu
x
x
xf
liên tục trên miền
[ ]
π
;0
.
Giải:
Hàm số f(x) xác định với mọi x ≠ 0.
)0(0
1
sin.lim)(lim
00
f
x
xxf
xx
===
→→
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 0
⇒ hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ 0;
π
], do đó liên tục đều trên [ 0;
π
] ( theo định
lí Cantor )
3.5. Cho hàm






=
≠
=
01
0
sin
)(
xnêu
xnêu
x
x
xf
Xét hàm số liên tục của f(x).
Giải:
Tại
0
0
≠x
thì các hàm sinx,x đêu liên tục tại
0
x
do đó
x
xsin
cũng liên tục tại
0

x
Tại
0
0
=x
,khi đó
)0(1
sin
lim
0
f
x
x
xx
==
→
,vậy f(x) cũng liên tục tại 0.
Vậy hàm đã cho liên tục với mọi giái trị của x.
3.6.Cho hàm



≥+
>
=
0
0
)(
xnêuax
xnêue

xf
x
Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Giải:
Với mọi x ≠ 0 thì hàm số f(x) liên tục .
Ta có:
1lim
0
=
→
x
x
e
aax
x
=+
→
)(lim
0
f(0) = a
Để f(x) liên tục tại x = 0 thì :
⇔=+=
→→
)0()(limlim
00
faxe
x
x
x
a = 1.

Vậy với a = 1 thì hàm số f(x) liên tục trên R.
f(x) gián đoạn tại
0
x
khi và chỉ khi f(x) không liên tục tại
0
x
.
Vấn dề 3: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)
1.Phương pháp: f(x) gián đoạn tại
0
x
khi

Hoặc f(x) không xác định tại
0
x
.

Hoặc f(x) không tại
)(lim
0
xf
xx
→

Hoặc
)()(lim
0
0

xfxf
xx
≠
→
2.Ví dụ : Tìm điểm gián đoạn của hàm số sau:
.
2
12
)(
−
+
=
x
x
xf
Giải:
Ta có: tại x =2 thì hàm số hàm số f(x) không xác định
Vậy f(x) gián đoạn tại x = 2
3.Bài tập:
3.1.Tìm điểm gián đoạn của hàm số





=−
≠
+−
−
=

22
2
23
)1(2
)(
2
xkhi
xkhi
xx
x
xf
Giải:
f(x) xác định với mọi
{ }
2;1/Rx ∈
.
f(x) là hàm hữu tỉ nên f(x) liên tục
( ) ( )
+∞∪∞−
;21;
Khi
1
≠
x
ta có:
2
2
)1)(2(
)1(2
23

)1(2
)(
2
−
=
−−
−
=
+−
−
=
xxx
x
xx
x
xf
⇒
hàm số không xác định tại x = 2
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 2;
3.2Chứng minh
x
xx
xf
12
)(
2
++
=
gián đoạn tại x = 0.
Giải:

Tại x ≠ 0 thì hàm số f(x)liên tục
Ta có hàm số f(x) không xác định tại x = 0 nên không tồn tại f(0).
⇒
hàm số f(x) không liên tục tại x= 0
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 0;
3.3.Tìm điểm gián đoạn của hàm





≤
>
−
−−
=
36
3
3
6
)(
2
xkhi
xkhi
x
xx
xf
Giải:
Ta có: f(3) = 6;
5)2(lim

3
6
lim)(lim
3
2
33
=+=
−
−−
=
+++
→→→
x
x
xx
xf
xxx
Vì
)3()(lim
3
fxf
x
≠
+
→
nên f(x) không liên tục tại x = 3
⇒ f(x) bị gián đoạn tại x = 3
3.4.Chứng minh
x
xf

1
sin)( =
gián đoạn tại x = 0.
Giải:
Với mọi x ≠ 0 thì hàm f(x) liên tục
Tại x = 0 ta có :
x
x
1
sinlim
0
+
→
và
x
x
1
sinlim
0
−
→
không tồn tại .
Vậy f(x) gián đoạn tại x = 0
1. Phương pháp:

Biến đổi phương trình thành dạng
0)( =xf
;

Tìm hai số a,b sao cho f(a).f(b) < 0;


Chứng minh hàm số f liên tục trên [a;b] . Từ đó suy ra phương trình có ít
nhất 1 nghiệm thuộc (a;b);
Chú ý:
•
Nếu
0)().(
≤
bfaf
thì phương trình có nghiệm thuộc [a;b].
•
Nếu hàm số f liên tục trên
);[
∞+
a
và có
0)(lim).( <
∞−→
xfaf
x
thì phương
trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc
);;( ∞+a
.
•
Nếu hàm số f liên tục trên
];( a
∞−
và
0)(lim).( <

∞−→
xfaf
x
thì phương trình
f(x)=0 có nghiệm thuộc
).;( a∞−
.2.Ví dụ: Chứng tỏ phương trình
a)
431243
234
+=−+−+
xxxxx
có nghiệm thuộc (-1; 3)
b)
624
224
+=+− xxxx
có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2)
Giải
a).
431243
234
+=−+−+
xxxxx
⇔
0243
234
=−−−+
xxxx
Đặt

243)(
234
−−−+= xxxxxf

TXĐ: D = R
Vấn đề 4: Chứng minh phương trình có nghiệm
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R ⇒
f(x) liên tục trên [-1; 3]
Ta lại có: f(0) = 2 ; f(1) = 3
⇒ f(0).f(1) = (- 2) . 3 = - 6 < 0
⇒ f(x) có nghiệm xo ∈ (0; 1).
Vậy phương trình có nghiệm thuộc (-1;3)
b).
624
224
+=+− xxxx
⇔
0643
24
=−+− xxx
Đặt
643)(
24
−+−= xxxxf
TXĐ: D = R
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R
⇒ f(x) liên tục trên [1; 2]
Ta lại có: f(1) = - 4 ; f(2) = 6
⇒ f(1).f(2) = (- 4) . 6 = - 24 < 0
⇒ f(x) có nghiệm xo ∈ (1; 2).

Vậy phương trình có nghiệm xo ∈ (1; 2)
3.Bài tập:
3.1 Chứng minh rằng phương trình
02332
23
=+−− xxx
có 3 nghiệm phân biệt
thuộc (-2; 2)
Đặt
2332)(
23
+−−= xxxxf
TXĐ: D = R
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R
⇒ f(x) liên tục trên [-2; 2]
Ta lại có: f(- 2) = - 19; f(0) = 3;
f(1) = - 1; f(2) = 1
nên f(-2).f(0) = (-19).3 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x1 ∈ (-2; 0)
f(0).f(1) = 3.(-1) < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x2 ∈ (0; 1)
f(1).f(2) = (-1).1 = -1 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x3 ∈ (1; 2)
Vậy phương trình
02332
23
=+−−
xxx
có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2).
3.2 : Chứng minh các phương trình sau có nghiệm với mọi tham số m:
a)
)1(052)3()7(
7

=−+−− xxxm
b)
)2(04)2)(3(
2
=+−++ xmm
Giải:
a.)Đặt
52)3()1()(
7
−+−−= xxxmxf
.Phương trình (1) trở thành : f(x) = 0.
Vì f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên f liên tục trên R
Ta có: f(1).f(3) = (-3).(1) < 0
nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi tham số m.
b.) Đặt
.04)2)(3()(
2
=+−++= xmmxg
Phương trình (2) trở thành g(x) = 0.
Vì g(x) là hàm đa thức xác định trên R nên g(x) liên tục trên R.
Ta có : g(2) =4 > 0 ;
0]
4
3
)
2
1
[(2)1(2222)0(
222
<++−=++−=−−−= mmmmmg

⇒
g(2).g(0) < 0
Vì vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi tham số m.
3.3 Chứng minh rằng phương trình :
0142)1(
222322
=++−−+ mxxmxm
(3)
có 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
Giải:
Đặt
142)1()(
222322
++−−+= mxxmxmxf
.Phương trình (3) trở thành f(x)=0
Vì f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên f liên tục trên R
Ta có:
;)
3
142
1(lim)(lim
2
2
2
23
−∞=
+
+−−+=
∞−→∞−→
m

x
x
m
mxxf
xx
;01)0(
2
>+=
mf
;02)1( <−=f
;)
3
142
1(lim)(lim
2
2
2
23
+∞=
+
+−−+=
∞+→∞+→
m
x
x
m
mxxf
xx
.
Ta thấy :

•
0)0().(lim <
∞−→
fxf
x
nên phương trình f(x)= 0 có một nghiệm thuộc
);0;(
−∞
•
f(0).f(1) < 0 nên phương trình f(x) =0 có nghiệm thuộc (0;1)
•
0)(lim).( <
∞+→
xfxf
x
nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc
);1( +∞
Mặc khác vì f(x) là hàm bậc ba nên phương trình f(x) = 0 có tối đa ba nghiệm.
Vậy phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt với mọi giá tri của tham số m.
3.4.Chứng minh phương trình
0cossin2cos
=++
xxbxa
(1) luôn có nghiệm
với mọi tham số a, b.
Giải:
Đặt
⇒++= xxbxaxf cossin2cos)(
f(x) xác định trên R và phương trình (1)
trở thành f(x) = 0.

Với mọi
,
0
Rx ∈

)(cossin2cos)(lim
0000
0
xfxxbxaxf
xx
=++=
→
nên f(x) liên tục
tại mọi điểm thuộc R.
Ta lại có:
.)
2
3
(;)
2
(;1)(;1)0( bafbafafaf −−=+−=−=+=
ππ
π
Vì
0)
2
3
()
2
()()0( =+++

ππ
π
ffff
nên trong bốn số
)
2
3
(),
2
(),(),0(
ππ
π
ffff

phải có hai số mà tích của chúng bé hơn hay bằng không. Suy ra phương trình
f(x) = 0 có nghiệm với mọi giá trị của tham số a,b
3.5. Chứng minh phương trình :
032
24
=−−+ xxx
ít nhất hai nghiệm thuộc
(-1;1).
Giải:
Đặt
032
24
=−−+ xxx
.Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R và
phương trình trên trở thành f(x) = 0.
Vì là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục tại mọi điểm trên R ⇒ Hàm số f(x)

liên tục trên [-1:1]
Mặc khác ta có : f(-1) =4 ; f(0) = -3; f(1) = 2.
f(-1).f(0) = 4 3 = -12 < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( -1: 0)
f(0).f(1) = -3.2 = -6 < 0; ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
Vậy hàm số f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1;1).
.
1.Phương pháp : Muốn xét dấu f(x) với f(x) là một hàm số liên tục, ta thực hiên
các bước sau:
•
Tìm tập xác định của f(x);
•
Giải phuong trình f(x) = 0;
•
Áp dụng tính chất sau của hàm số liên tục:″ Nếu hàm số f(x) liên tục
trên (a;b) và phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc (a;b) thì f(x)
có dấu không đổi trên (a;b) và dấu của f(x) là dấu của f(c) với c là một
số thuộc (a;b)″.
2.Ví dụ:Xét biểu thức sau:
44)(
23
−−+= xxxxf
;
Giải:
44)(
23
−−+= xxxxf
là hàm đa thức xác định trên R nên f liên tuc trên R.
Ta có : f(x) = 0
⇔
x = 2, x = -1, x = -2.

Trên khoảng
)2;( −−∞
, hàm f(x) liên tục và phương trình f(x) = 0 vô nghiệm
nên f(x) có dấu khômg đổi trên khoảng này.
Vì f(-3) = -10 < 0 do đó f(x) < 0 với mọi
)2;(
−−∞∈
x
.
Tương tự vì
0)(0
8
7
)
2
3
( >⇒>=− xff
với mọi
)1;2(
−−∈
x
.
0)(04)0( <⇒<−= xff
với mọi
)2;1(−∈x
;
0)(020)3( <⇒<= xff
với mọi
);2( ∞+∈x
;

Bảng xét dấu:
x

∞−

2−

1
−

2

∞+
f(x)

−

0

+

0

−

0

+
3. Bài tập:
3.1 Xét dấu biểu thức sau

Vấn đề 5: Xét dấu một biểu thức
2
312)2(3)( xxxxf −+−=
.
Giải:
f(x) xác định khi và chỉ khi
400312
2
≤≤⇔≥−
xxx
.Với mọi
]4;0[
0
∈x
,ta có:
)2(3312)(312)2(3)(lim
2
0
2
000
0
xxxxfxxxxf
xx
−=−⇒=−+−=
→
1
0364812
2
)44(9312
2

222
=⇔



=+−
≤
⇔



+−=−
≤
⇔ x
xx
x
xxxx
x
Trên [0;1] hàm f(x) liên tục và phương trình g(x) = 0 vô nghiệm , lại có
0)
2
1
( <g
với mọi mọi
).1;0[
∈
x
Tương tự như trên ta có g(x) > 0 với mọi
]4;1[
∈

x
Bảng xét dấu:
x
0

1

4
g(x)

−

0

+
3.2.Xét dấu biểu thức sau:
9212)(
2
+−−−=
xxxxf
Giải:
Vì
092
2
>+− xx
với mọi
Rx
∈
, do đó tập xác định của hàm số f là R.
Ta có: f(x) = 0






−=+−
≥
⇔−=+−⇔
22
2
)12(92
2
1
1292
xxx
x
xxx
2
0823
2
1
2
=⇔





=−−
≥

x
xx
x
Bảng xét dấu:
x

∞−

2

∞+
f(x)

−

0

+
3.3.Xét dấu biểu thức sau:
45)(
24
+−= xxxf
Giải:
f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên f(x) liên tục trên R.
Ta có: f(x) = 0 ⇔ x = 1, x = -1, x =2, x = -2
Trên khoảng
( )
2;−∞−
, hàm số f(x) liên tục và phương trình f(x) = 0 vô nghiệm
nên f(x) không đổi dấu trên khoảng này.

Vì f(-3) = 40 > 0, do đó f(x) < 0 với mọi
)2;(
−−∞∈
x
.

Tương tự vì
0)(0
16
35
)
2
3
( <⇒>−=− xff
với mọi
)1;2( −−∈x
.
Vì f(0) = 4 > 0
⇒
f(x) > 0 Với mọi
)1;1(−∈x
.

Vì
0)(0
16
35
)
2
3

( <⇒>−=− xff
với mọi
)2;1(∈x
.
Vì f(3) = 40 > 0, do đó f(x) < 0 với mọi
);2(
∞+∈
x
.
Bảng xét dấu:
x
∞−

2−

1
−

1

2

∞+
f(x)
+

0

−

0

+

0

−

0

+
3.4 Xét dấu biểu thức sau:
x
xx
xf
−
+−
=
4
23
)(
2
;
Giải:
f(x) xác định khi và chỉ khi 4 – x ≠ 0 ⇔ x ≠ 4.
f(x) = 0 ⇔ x = 1; x = 2.
Trên khoảng
( )
1;∞−
, hàm số f(x) liên tục và phương trình f(x) vô nghiệm nên f(x)

không đổi dấu trên đoạn này.
Vì f(0) = 2 < 0 ⇒ f(x) < 0 với mọi
)1;(
∞−∈
x
.
Tương tự vì
10
1
)
2
3
( −=f
⇒ f(x) < 0 với mọi
)2;1(∈x
.
Ta cũng có trên khoảng ( 2;4 ) hàm sô liên tục và f(x) = 0 vô nghiệm nên f(x)
không đổi dấu trên đoạn này.
Vì f(3) = 2 < 0 ⇒ f(x) < 0 với mọi
)4;2(
∈
x
.
Tương tự Vì f(5) = - 12 ⇒ f(x) < 0 với mọi
);4( ∞−∈x
.
Bảng xét dấu:
x
∞−
1 2 4

∞+
f(x)
+

0

−

0
+ 
−

3.5 Giải bất phương trình :
94)3(
22
−≤−− xxx