CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN KÉP

Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email:
CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN KÉP
1. Các tính chất.
•
( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,
D D D
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy± = ± 
 
∫∫ ∫∫ ∫∫
.
•
( ) ( )
. , . ,
D D
k f x y dxdy k f x y dxdy=
∫∫ ∫∫
.
• Nếu
1 2
D D D= ∪
với D
1
và D
2
không có điểm chung thì :
( ) ( ) ( )
1 2
, , ,
D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +

∫∫ ∫∫ ∫∫
.
2. Các tính chất tích phân kép trong tọa độ đề-các.
 Trường hợp 1:
( )
{ }
, : ,D M x y a x b c y d= ≤ ≤ ≤ ≤
và
( )
,z f x y=
liên tục trên D thì:

( ) ( ) ( )
, . , , (1)
b d b d
D a c a c
f x y dxdy dx f x y dy f x y dy dx
 
= =
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
.
 Hoặc:
( ) ( ) ( )
, . , , (2)
d b d b
D c a c a
f x y dxdy dy f x y dx f x y dx dy
 

= =
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
.
*) Chú ý :-Trong biểu thức (1) khi tính
( )
,
d
c
f x y dy
∫
thì ta coi x là hằng số.
- Trong biểu thức (2) khi tính
( )
,
b
a
f x y dx
∫
thì ta coi y là hằng số.
- Nếu
( ) ( ) ( )
, .f x y g x h y=
và
: ,D a x b c y d≤ ≤ ≤ ≤
thì:
( ) ( ) ( )
, .
b d

D a c
f x y dxdy g x dx h y dy=
∫∫ ∫ ∫
 Trường hợp 2:
( ) ( ) ( )
{ }
1 2
, : ,D M x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤
và
( )
,z f x y=
liên tục trên D thì:

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
, . , , (3)
y x y x
b b
D a y x a y x
f x y dxdy dx f x y dy f x y dy dx
 
= =
 
 

 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 Trường hợp 3:
( ) ( ) ( )
{ }
1 2
, : ,D M x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤
và
( )
,z f x y=
liên tục trên D thì:

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
, . , , (4)
x y x y
d d
D c x y c x y
f x y dxdy dy f x y dx f x y dx dy
 
= =
 
 
 

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3. Đổi biến số trong hệ đề-các.
 Phương pháp:
 Bước 1: Đặt
( )
( )
,
,
x x u v
y y u v
=


=


.
 Bước 2: Tính
' '
' '
.
u v
u v
x x
J dxdy J du dv
y y
= ⇒ =
 Bước 3: Xác định
( ) ( )
'

, ,x y u v
D D→
.
Page 1
BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com
Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email:
 Bước 4: Tính
( ) ( )
( )
'
, , , . .
D
I f x u v y u v J dudv=
∫∫
4. Tích phân trong tọa độ cực.
DÊu hiÖu nhËn biÕt:
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
mà D chứa biểu thức:
2 2
2 2
2 2
;
x y
x y
a b
+ +

.
 Phương pháp:
 Đặt:
cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=


=

 Tính:
' '
' '
cos sin
.
sin cos
r
r
x x
r
J r dxdy rdr d
y y
r
ϕ
ϕ
ϕ ϕ

ϕ
ϕ ϕ
−
= = = ⇒ =
.
 Xác định
( ) ( )
'
, ,x y r
D D
ϕ
→
.
 Tính
( )
'
cos , sin . .
D
I f r r rdrd
ϕ ϕ ϕ
=
∫∫
 Trường hợp 1: Gốc cực O nằm ngoài miền D.
x
y
(D)
O
Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền
(D). Giả sử là:
1

ϕ ϕ
=
,
2
ϕ ϕ
=

( )
1 2
ϕ ϕ
<
suy ra cận
ϕ
:
1 2
ϕ ϕ ϕ
≤ ≤
Thay
cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=


=

vào biên D.

( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
, .r r r r r r
ϕ ϕ ϕ ϕ
→ = = <
suy
ta cận r:
( ) ( )
1 2
r r r
ϕ ϕ
≤ ≤
.
Vậy:
( ) ( )
1 2
1 2
':D
r r r
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
≤ ≤



≤ ≤


(Tính theo r

trước,
ϕ
sau).
 Trường hợp 2: Gốc cực O nằm trong miền D.
Luôn có:

0 2
ϕ π
≤ ≤
.
 Thay
cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=


=

vào biên D
( )
r r
ϕ
→ =
. Khi đó:
( )
0 r r

ϕ
≤ ≤
 Vậy
( )
0 2
':
0
D
r r
ϕ π
ϕ
≤ ≤



≤ ≤


.
 Trường hợp 3: Gốc cực O nằm trên biên của miền D.
Page 2
BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com
Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email:
(D)
x
y
O
( )
( )
0

0
r
r r
r r
ϕ
ϕ
=

→ ⇒ ≤ ≤

=

Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền
(D). Giả sử là:
1
ϕ ϕ
=
,
2
ϕ ϕ
=

( )
1 2
ϕ ϕ
<
suy ra cận
ϕ
:
1 2

ϕ ϕ ϕ
≤ ≤
Thay
cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=


=

vào biên D
Vậy:
( )
1 2
':
0
D
r r
ϕ ϕ ϕ
ϕ
≤ ≤



≤ ≤



Page 3
BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com