Chuyên đề ôn thi thể tích

1




CHUYÊN ĐỀ
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
NỘI DUNG :
I. THỂ TÍCH KHÔI CHÓP
1. Phương pháp tính trực tiếp.
2. Phương pháp tính gián tiếp.
3. Phương pháp phân chia lắp ghép khối.
II. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁC.







2



BÀI 1 : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP.
I. Lý thuyết cần nhớ.
1. Công thức thể tích khối chóp :

1
.
3
V Bh
. (1)
Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao tương ứng.
2. Một số tính chất cần nhớ .
a) Cách xác định góc :
- Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) bằng góc giữa (d) và (d’), với (d’) là hình
chiếu của (d) trên mp (P).
- Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng nằm trong 2 mặt đó, vuông góc
với giao tuyến tại một điểm.
b) Một số tính chất về khoảng cách :
- Cho
/ /( ) à ,P v A B 
thì : d(A; (P)) = d (B; (P)).
- Cho
( ;( ))
( ) à ; ó:
( ;( ))
d A P IA
P I v A B tac
d B P IB
     
.
c) Cho hình chóp SABC trên SA, SB, SC lấy A’, B’, C’ ta có
' ' '

' ' '
SABC

SA B C
V
SA SB SC
V SA SB SC

.
II. Bài Tập.
1. Phương pháp tính trực tiếp.
Cơ sở : sử dụng công thức
1
.
3
V Bh
, vậy ta phải tính diện tích đáy, và tính độ dài đường cao.
1. Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC biết :
a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
b) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60
0
.
c) Cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 60
0
.
d) Cạnh đáy bằng a, và góc ASB bằng 120
0
.




3

2. Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết :
a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
b) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60
0
.
c) Cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 60
0
.
d) Cạnh đáy bằng a, và góc ASB bằng 120
0
, góc ACS bằng 120
0
.
3. Cho tứ điện SABC cạnh a, dựng đường cao SH.
a) CMR : SA vuông góc BC.
b) Tính thể tích SABC. Gọi O là trung điểm SH. CMR : OA, OB, OC đôi một vuông góc.
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
( ) ( ),SAB ABCD SAB
đều, H
là trung điểm AB, M là trung điểm BC. Tính thể tích S.ABCD và khoảng cách từ S tới MD.
Gợi ý : Kẻ
SK MD
thì H, K, C thẳng hàng. Ta có :
30
( ; )
5
a

d S MD 
.
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,
()SA ABCD
, cạnh SC hợp
với đáy góc 30
0
, hợp với (SAB) góc 45
0
. Tính SC và thể tích S.ABCD.
K quả : SC = 2a,
3
2
3
a
V 
.
Bài 6 (Tốt nghiệp THPT 2011)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AD=CD=a, AB=3a,
()SA ABCD
, SC tạo với đáy góc 45
0
. Tính thể tích S.ABCD. (
3
22
3
a
V 
)
Bài 7 (CĐ 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là t.giác ABC vuông cân tại B. AB = a,
()SA ABC
. Góc
(SBC) và (ABC) bằng 30
0
, M là trung điểm SC. Tính thể tích S.ABM. (
3
12 3
a
V 
)
Gợi ý : bài toán có thể giải theo 3 phương pháp
1. Tính trực tiếp : Coi M là đỉnh .
2. Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC.




4



3. Phân chia khối đa diện :
( ) ( )V V SABC V MABC

Bài 8 (A – 2011 )
Cho hình chóp S.ABC có đáy là t. giác ABC vuông cân tại B, BA=BC=2a, 2 mp (SAB)
và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). M là trung điểm AB, mp qua SM, và song song vơi
BC cắt AC tại N. biết góc (SBC) và (ABC) bằng 60
0

. Tính thể tích S.BCNM và d(AB; SN).
Kết quả :
3
3Va
. Kẻ NE//AB, từ A kẻ
; ó ( )AK NE AH SKtac AH SKE  

Ta có
2 39
( ; ) ( ;( ))
13
a
d AB SN d A SKE AH  

Bài 9 (A – 2010 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, M, N là trung điểm của AB,
AD, CN cắt MD tại H. Biết
()SH ABCD
và
3SH a
. Tính
.
à ( ; )
S CDNM
V v d MD SC
.
Kết quả :
3
53
24

a
V 
và
2 57
( ; )
19
a
d MD SC 


êCN MDn nke HK SC
thì HK là đường vuông góc chung.
Bài 10(A – 2009 )
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, D. AB=AD=2a, CD = a.
góc (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm AD, biết 2mp (SBI) và (SCI) cùng
vuông góc với (ABCD). Tính thể tích S.ABCD. (
3
3 15
5
a
V 
)
Gợi ý : Kẻ
IK CB
thì góc SKI bằng 60
0
.
Tính IK dựa vào S(IBC) = S(ABCD) – S(DIC) – S(AIB).

Bài 11 (D – 2011 )
Cho hình chóp SABC có đáy là t. giác ABC vuông tại B, BA=3a, BC=4a.
( ) ( )SBC ABC
2 3;SB a
góc SBC bằng 30
0
. Tính V(SABC) và d(B;(SAC)).
Gợi ý : Kẻ
()SH BC SH ABC  
,
3
23Va
. d(B;(SAC))=4.d(H(SAC))=
67
7
a
.
Bài 12 (Thử ĐT 2011 lần 1 )




5



Cho hình chóp S.ABC có
( ) ( )SBC ABC
. SB=SC=1. Các góc đỉnh S bằng 60
0

. Tính V(SABC)
Gợi ý : Gọi H là trung điểm BC :
12
.
38
ABC
V SH S
.
Bài 13(Thử ĐT 2010 lần 1)
1. Cho tứ diện SABC có SA=x, các cạnh còn lại bằng 1. Tính V(SABC), tìm x để V Max?
2. Cho hình chóp S.ABCD có SA=x, các cạnh còn lại bằg 1.Tính V(SABCD),tìm x để V Max?
Gợi ý 2) + Tam giác SAC vuông tại S.
+ Kẻ
2
1
( ); 3
6
SH AC SH ABCD V x x    
.
Bài 14 (Thử ĐT 2011 lần 2)
Cho tứ diện OABC có OA=2, OB=3, OC=4, các góc ở đỉnh O bằng 60
0
. Tính V(OABC)?
Cách 1 :
1
. 2 2
3
OBC
V AH S
.

Cách 2 : Áp dụng
' ' '

' ' '
SABC
SA B C
V
SA SB SC
V SA SB SC

. Trên OB, OC lấy OB’=OC’=2 ta tính được V(OAB’C’).
Bài 15 (Thử TM 2011)
Cho hình chóp S.ABC có ABC là t. giác vuông tại C.
()SA ABC
CA=CB=a, góc (SBC) và
(ABC) bằng

. Gọi G là trọng tâm ABC. Tính V(SABC) và d(G;(SBC)).
Kết quả :
3
11
tan ; ( ;( )) asin
33
V a d G SBC


.
Bài 16 (Thi thử ĐH)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HCN, AB=AS=a,
2AD a

,
()SA ABCD
. M,N
là trung điểm AD, SC, I là giao của BM và AC. CMR :
( ) ( )SAC SMB
, tính V(ANIB) ?
 Sử dụng tích vô hướng =>
( ) ( ) ( )MB AC MB SAC SMB SAC    
.

AMB
vuông tại A có AI là đường cao, tính AI, BI =>
2
2
6
a
S 





6



 V(ANIB)= V(N.AIB)=
3
2
36

a

Bài 17 (Một số bài toán về tỉ số thể tích)
1. Cho khối chóp tam giác SABC có

ABC vuông cân tại B,
2AC a
,
()SA ABC
, góc
giữa SB và mp(ABC) bằng 60. H là hình chiếu của A trên SB, mp(P) chứa AH và song song
với BC, cắt SC tại K.
a) Hãy nêu cách dựng mp(P)?
b) Tính tỉ số thể tích của 2 khôi đa diện SAHK và ABCHK?
2. Cho khối chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông cân tại B,
2AC a
,
()SA ABC
, góc giữa SC và mp(ABC) bằng 60. H là hình chiếu của A trên SC, mp(P)
chứa AH và song song với BC, cắt SB tại K.
a) Hãy nêu cách dựng mp(P)?
b) Tính tỉ số thể tích của 2 khôi đa diện SAHK và ABCHK?
KQ :
3 3 3
1 3 7
( ) 3; ( ) 3; ( ) 3
6 32 96
V SABC a V SAHK a V ABCHK a  
=> Tỉ số
9

7

.
Bài 18 Cho khối chóp SABCD có
( ); 2SA ABC SA a
. Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, C’
là hình chiếu của A trên SC. Mặt phẳng (P) chứa AC’ và song song với BD, cắt SB, SD tại B’, D’.
a) Hãy nêu cách dựng mp(P) ?
b) Tính tỉ số thể tích 2 khôi đa diện SAB’C’D’ và ABCDD’C’B’
KQ :
3 3 3
1 1 2
( ) 2; ( ' ' ') 2; ( DD' ' ') 2
3 9 9
V SABCD a V SAB C D a V ABC C B a  

 Một số bài tập luyện tập .
1. (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B. AB = a,
()SA ABC
. Góc
(SBC) và (ABC) bằng 30, M là trung điểm SC. Tính V(S.ABM) (
3
12 3
a
V 
).
2. (CĐ2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
( ) ( )SAB ABCD
,
,SA=SB, góc SC và đáy bằng 45

0
. Tính V(S.ABCD) . (
3
5
6
a
V 
).
3. (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB =a,
2SA a
. Gọi M,N,P là trung




7



điểm SA, SB, CD. CMR : MN vuông góc SP và tính V(AMNP) ?
4. (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang. Góc BAD, ABC cùng
bằng 90. BA=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M, N là trung điểm SA,
SD. CMR : BCNM là HCN và tính V(S.BCNM) ?
5. (TN 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AD=CD=a,
AB=3a,
()SA ABCD
, SC tạo với đáy góc 45
0
. Tính thể tích S.ABCD. (
3

22
3
a
V 
).
6. (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA
vuông góc với đáy, góc giữa (SBD) và đáy bằng 60
0
. Tính V(S.ABCD) .
7. (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là HCN tâm O; SA=SB=SC=SD. Biết AB=3a,
BC=4a và góc OAS bằng 45
0
. Tính V(S.ABCD) .
8. (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt đáy. Biết góc BAC bằng 120. Tính V(S.ABCD) ?
9. (TN 2008) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2a. Gọi I là trung điểm
BC. CMR : SA vuông góc BC, và tính V(S.ABI) ?
10. (TN 2007) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. Tính V(S.ABC) ?
11. (TN 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy, cạnh
3SB a
.
a) Tính V(S.ABCD)?
b) CMR : trung điểm SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD .
12. (B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA=a,
3SB a
và mp
(SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm Ab, BC. Tính V(S.BMDN) và cosin
của góc giữa 2 đường thẳng SM, DN.

13. (A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là t.giác đều
và nằm trong mp vuông góc với đáy. Gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD. CMR :
AM vuông góc với BP, và tính V(CMNP).
14. (B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm
đối xứng với D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.
CMR : MN vuông góc BD và tính d(MN; AC).
15. (D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC, BAD bằng 90.




8



BA=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và
2SA a
. Gọi H là hình chiếu của
A trên SB. CMR : t.giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H tới (SCD).
16. (B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HCN với AB=a,
2AD a
, Sa=a và
SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm AD, SC; I là giao điểm của BM và AC.
CMR : mp(SAC) vuông góc mp(SMB) và tính V(ANIB).
17. (B – 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng

. Tính tan của góc giữa 2 mp (SAB) và (ABCD), V(S.ABCD)?
18. (A – 2002 ) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M,
N là trung điểm SB, SC. Tính S(AMN), biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).

19. (D – 2002) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với (ABC), AC=AD=4, AB=3, BC=5.
Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD) ?




9




2. Phương pháp gián tiếp.
a) Cơ sở : Để tính V(H) ta có thể tính thể tích V’ của một khối chóp khác đơn giản hơn. Dựa
vào mối quan hệ giữa V và V’ => V.
b) Một số tính chất.
+ Cùng chiều cao :
''
VB
VB


+ Chung đáy :
''
Vh
Vh


+ Sử dụng :
' ' '

' ' '
SABC
SA B C
V
SA SB SC
V SA SB SC


(CT chỉ dùng cho hình chóp tam giác)
Bài 1(CĐ 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là t.giác ABC vuông cân tại B. AB = a,
()SA ABC
. Góc
(SBC) và (ABC) bằng 30
0
, M là trung điểm SC. Tính thể tích S.ABM. (
3
12 3
a
V 
)
Gợi ý : Bài toán có thể giải theo 3 phương pháp
1. Tính trực tiếp : Coi M là đỉnh .
2. Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC.
3. Phân chia khối đa diện :
( ) ( )V V SABC V MABC

Bài 2 (CĐ 2009)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB=a,
2SA a

. Gọi M, N, P là trung
điểm SA, SB, CD. CMR :
MN SP
, và tính V(AMNP) ?
Gợi ý :
3
1 1 1 6
( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( )
4 4 8 48
a
V P AMN V C AMN V C SAB V S ABC V SABCD    
.
Bài 3 (D – 2010 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a. Hình chiếu vuông góc
của S trên (ABCD) là H thuộc AC sao cho AC=4.AH. Gọi CM là đường cao của SAC.
CMR : M là trung điểm SA và tính V(SMBC) ?
Gợi ý :
3
1 1 14
( ) ( . ) ( . ) ( . )
2 2 48
a
V SMBC V C SMB V C SAB V S ABC   
.




10

Bài 4 (Thử ĐT 2010 lần 2)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, M,N là trung điểm SA, BC. Biết góc
MN và (ABCD) bằng 60
0
. Tính V(SMNC)?
Gợi ý :
1 30
( . ) ( . ) ( . ) .
3 48
ANC
a
V S MNC V AMNC V M ANC MH S   
.
Bài 5 (Thử ĐT 2011)
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=5, BC=6, AC=9,
27
4
SA SB C  
. Tính V(S.ABCD) ?
Gợi ý : V(S.ABCD)=2.V(S.ABC)
Theo herong :
( ) 10 2S ABC 
.
Do SA=SB=SC nên kẻ đường cao SH thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC.
SA=R
4

abc
S

, tính được SA => tính được SH => V(S.ABCD)=45.
Bài 6 (Thử ĐT lần 2 – 2011 )
Cho tứ diện OABC có OA=2, OB=3, OC=4, các góc ở đỉnh S bằng 60
0
. Tính V(O.ABC) ?
Gợi ý : Áp dụng
' ' '

' ' '
SABC
SA B C
V
SA SB SC
V SA SB SC

. KQ :
22V 

Trên OB, OC lấy OB’=OC’=2 ta tính được V(OAB’C’).
Bài 7 (B – 2009 )
Cho lăng trụ ABC.A’BC’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 60
0
. Hình chiếu vuông
góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm
ABC
. Tính V(A’ABC).
KQ : V(A’ABC)=V(B’.ABC) =

3
9
208
a

 G là trọng tâm
ABC
=> góc B’BG bằng 60
0
=>
3
24
aa
BG BD  
(D trung điểm AC)
 Đặt AB=x, biểu diễn BC, CD theo x, dựa vào
BCD
=> x .
Bài 8




11



Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HV cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với
đáy. Gọi B’, C’, D’ là hình chiếu của A trên SB, SC, SD.
a) CMR : A, B’, C’ D’ đồng phẳng . (cùng nằm trên mp vuông góc với SC).

b) Tính V(S.AB’C’D’)
Gợi ý : Áp dụng
' ' '

' ' '
SABC
SA B C
V
SA SB SC
V SA SB SC

bằng cách chia khối chóp tứ giác thành 2 khối chóp
tam giác.
Bài 9 (Một số bài toán về tỉ số thể tích)
1. Cho khối chóp tam giác SABC có

ABC vuông cân tại B,
2AC a
,
()SA ABC
, góc
giữa SB và mp(ABC) bằng 60. H là hình chiếu của A trên SB, mp(P) chứa AH và song song
với BC, cắt SC tại K.
a) Hãy nêu cách dựng mp(P)?
b) Tính tỉ số thể tích của 2 khôi đa diện SAHK và ABCHK?
2. Cho khối chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông cân tại B,
2AC a
,
()SA ABC
, góc giữa SC và mp(ABC) bằng 60. H là hình chiếu của A trên SC, mp(P)

chứa AH và song song với BC, cắt SB tại K.
a) Hãy nêu cách dựng mp(P)?
b) Tính tỉ số thể tích của 2 khôi đa diện SAHK và ABCHK?
KQ :
3 3 3
1 3 7
( ) 3; ( ) 3; ( ) 3
6 32 96
V SABC a V SAHK a V ABCHK a  
=> Tỉ số
9
7

.
Bài 10 Cho khối chóp SABCD có
( ); 2SA ABC SA a
. Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, C’
là hình chiếu của A trên SC. Mặt phẳng (P) chứa AC’ và song song với BD, cắt SB, SD tại B’, D’.
a) Hãy nêu cách dựng mp(P) ?
b) Tính tỉ số thể tích 2 khôi đa diện SAB’C’D’ và ABCDD’C’B’
KQ :
3 3 3
1 1 2
( ) 2; ( ' ' ') 2; ( DD' ' ') 2
3 9 9
V SABCD a V SAB C D a V ABC C B a  

12




3) Phương pháp phân chia lắp ghép khối đa diện.
Bài 1 (CĐ 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là t.giác ABC vuông cân tại B. AB = a,
()SA ABC
. Góc
(SBC) và (ABC) bằng 30
0
, M là trung điểm SC. Tính thể tích S.ABM. (
3
12 3
a
V 
)
Gợi ý : Bài toán có thể giải theo 3 phương pháp
1. Tính trực tiếp : Coi M là đỉnh .
2. Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC.
3. Phân chia khối đa diện :
( ) ( )V V SABC V MABC
.
Bài 2
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính thể tích khối chóp BDC’A’ .
HD : Thể tích lập phương bằng a
3

.
 V(BDC’A’) bằng V(L.phương) trừ đi thể tích 4 hình chóp vuông đỉnh là B’, D’, A, C.
 Mỗi chóp vuông này có V
3
1
6
a
=> V(BDC’A’)
3
1
3
a
.













13

.




14




BÀI 2 : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁC
I. Một số công thức thể tích.
1. Lăng trụ :
.V Bh
Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao.
2. Khối trụ tròn xoay :
.V Bh
Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao.
3. Khối chóp nón :
1
.
3
V Bh
Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao.
4. Hình hộp chữ nhật : V = a.b.c Với a, b, c là độ dài 3 cạnh.
5. Hình lập phương : V = a
3
Với a là độ dài cạnh hình lập phương.
II. Bài tập.

Bài 1 (Bài tâp cơ bản)
a) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa A’B và (ABC)
bằng 60. Tính thể tích khối lăng trụ.
b) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa (A’BC) và (ABC
bằng 60. Tính thể tích lăng trụ.
Bài 1
a) (B – 2009) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 60
0
. Tam
giác ABC vuông tại C, góc BAC bằng 60. Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng
với trọng tâm
ABC
. Tính V(A’ABC).
HD : V(A’ABC)=V(B’.ABC) =
3
9
208
a

 G là trọng tâm
ABC
=> góc B’BG bằng 60
0
=>
3
24
aa
BG BD  
(D trung điểm AC)
 Đặt AB=x, biểu diễn BC, CD theo x, dựa vào

BCD
=> x .
b) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 60
0
. Tam giác ABC
vuông tại A, góc BCA bằng 60. Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng
tâm
ABC
. Tính V(A’ABC).
c) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 60
0
. Tam giác ABC




15



vuông tại B, góc ACB bằng 60. Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng
tâm
ABC
. Tính V(A’ABC).
Bài 2 (B - 2010)
a) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB=a. Góc (A’BC) và (ABC) bằng 60
0
. Gọi G
là trọng tâm
'A BC

. Tính thể tích lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp GABC.
Gợi ý : + Lăng trụ đều là lăng trụ đứng, có đáy là đa giác đều. => Mặt bên là HCN, cạnh bên
vuông góc với đáy.
+ GA=GB=GC, kẻ
()GH ABC
thì H là tâm đáy, Gọi I là tâm mặt cầu thì I là giao
của GH và trung trực của AG =>
3
7 3 3
;
12 8
aa
IG V
.
b) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB=a. Góc (B’AC) và (BAC) bằng 60
0
. Gọi G
là trọng tâm
'B AC
. Tính thể tích lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp GABC.
Bài 3 (B - 2011)
Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có dáy ABCD là HCN, AB=a,
3AD a
. Hình chiếu vuông
góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa 2 mp (ADD’A’) và
(ABCD) bằng 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ B’ tới (A’BD) ?
Gợi ý :
3

3
2
Va
. Do B’C//A’D nên d(B’;(A’BD))=d(C(A’BD))=CK =
3
()
2
a CK BD
.
 Một số bài luyện tập.
1. (A – 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, AB=a,
3AC a
và hình chiếu
vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. Tính V(A’.ABC) và cosin của góc giữa hai
đường thẳng AA’, B’C’.
2. (D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là t.giác vuông, AB=BC=a, cạnh
bên
AA' 2a
. Gọi M là trung điểm BC. Tính thể tích lăng trụ và d(AM;B’C).
3. (A – 2006) Cho hình trụ có đáy là 2 hình tròn tâm O, O’, bán kính đáy bằng chiều cao và
bằng a. Trên (O) lấy A, trên (O’) lấy B sao cho AB=2a. Tính V(OO’AB).
4. (B – 2003) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng
60. Gọi M là trung điểm AA’và N là trung điểm CC’. CMR : B’, M, D, N đồng phẳng. Tìm
độ dài AA’ để B’MDN là hình vuông.
5. (B – 2002) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a.




16

a) Tính khoảng cách giữa A’B và B’D ?
b) Gọi M, N , P là trung điểm BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa MP và C’N ?

Sưu tầm: Cao Văn Tú
Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên
Email:
Website: www.caotu.tk