CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Vô tỷ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.48 MB, 33 trang )
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Mục lục
Loại 1. Phương pháp lũy thừa 1
A. Nội dung phương pháp 1
B. Một số ví dụ 3
C. Bài tập 8
D. Đáp số 9
Loại 2. Phương pháp ẩn phụ 11
A. Nội dung phương pháp 11
B. Một số ví dụ 12
C. Bài tập 18
D. Đáp số 20
Loại 3. Phương trình và bất phương trình tích 21
A. Nội dung phương pháp 21
B. Một số ví dụ 22
C. Bài tập 24
D. Đáp số 25
Loại 4. Một số phương pháp đặc biệt 27
A. Một số ví dụ 27
B. Bài tập 30
C. Đáp số 31
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
1
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
Loại 1. Phương pháp lũy thừa
A. Nội dung phương pháp
Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ -
phương pháp lũy thừa. Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này.
* Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ
+)
f x g x
f x g x
f x 0
.
+)
f x g x
2
f x g x
g x 0
.
* Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vô tỷ
f x g x
f x g x
g x 0
.
f x g x
f x g x
g x 0
.
f x g x
2
g x 0
f x 0
g x 0
f x g x
.
f x g x
2
g x 0
f x 0
g x 0
f x g x
.
f x g x
2
g x 0
f x 0
f x g x
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
2
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
f x g x
2
g x 0
f x 0
f x g x
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
3
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. GPT
3
x 2x 5 2x 1
.
1
Giải
Ta có
1
2
3
x 2x 5 2x 1
2x 1 0
32
1
2
x 4x 2x 4 0
x
.
2
3
2
2
x 2 x 2x 2
thoûa maõn 3
khoâng thoûa maõn 3
thoûa maõn 3
x2
x 1 3
x 1 3
.
Vậy tập nghiệm của
1
là
1;1 3
.
Ví dụ 2. [ĐHD06] GPT
2
2x 1 x 3x 1 0
.
1
Giải
Ta có
1
2
2x 1 x 3x 1
2
2
2x 1 x 3x 1
x 3x 1 0
.
2
3
3
2
x 3x 1 0
3 5 3 5
22
x
.
4
2
4 3 2
x 6x 11x 8x 2 0
2
2
x 1 x 4x 2 0
thoûa maõn
thoûa maõn
khoâng thoûa maõn
x 1 4
x 2 2 4
x 2 2 4
.
Tập nghiệm của
1
là
1;2 2
.
Ví dụ 3. [ĐHA05] GBPT
5x 1 x 1 2x 4
.
1
Giải
ĐK:
5x 1 0
x 1 0
2x 4 0
x2
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
4
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
Ta có:
1
5x 1 2x 4 x 1
2
5x 1 3x 5 2 2x 6x 4
2
2x 6x 4 x 2
(do
x2
x 2 0
)
22
2x 6x 4 x 4x 4
2
x 10x 0
0 x 10
Kết hợp điều kiện
tập nghiệm của
1
là
2;10
.
Ví dụ 4. [ĐHA04] GBPT
2
2 x 16
7x
x3
x 3 x 3
.
1
Giải
ĐK:
2
x 16 0
x 3 0
x4
.
Ta có:
1
2
2 x 16 x 3 7 x
2
2 x 16 10 2x
22
10 2x 0
10 2x 0
2 x 16 100 40x 4x
2
x5
x5
x 20x 66 0
x5
x5
10 34 x 10 34
x 10 34
(TMĐK).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
10 34;
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
5
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
Ví dụ 5. GPT
2x 3 x 6 x 5 2 x 4
.
1
Giải
ĐK:
x6
. Ta có
1
22
3x 3 2 2x 9x 18 3x 3 2 2 x x 20
22
2x 9x 18 2 x x 20
x2
(không TMĐK).
Vậy
1
vô nghiệm.
Ví dụ 6. GPT
x 7 4x 1 5x 6 2 2x 3
.
1
Giải
ĐK:
3
2
x
.
Ta có
1
x 7 2 2x 3 5x 6 4x 1
22
9x 5 4 2x 11x 21 9x 5 2 20x 19x 6
22
2 2x 11x 21 20x 19x 6
22
4 2x 11x 21 20x 19x 6
2
12x 63x 78 0
2
4x 21x 26 0
13
4
x2
x
.
Thử lại ta thấy chỉ
13
4
x
là nghiệm của
1
. Vậy
1
có nghiệm duy nhất
13
4
x
.
Nhận xét:
+) Hai phương trình:
f x g x
và
22
f x g x
nói chung là không tương đương.
Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại.
+) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng. Trong ví
dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế. Nhờ thế mà sau khi
bình phương, ta giản ước được
9x 5
ở hai vế.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
6
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
Ví dụ 7. Biện luận số nghiệm của PT
3
x x m 1 x
.
1
Giải
Ta có
1
32
x x m x 2x 1
1 x 0
32
x x x m 1
x1
.
2
Do đó số nghiệm của
1
bằng số nghiệm thỏa mãn
x1
của
2
nên bằng số điểm chung của
đường thẳng
y m 1
với đồ thị hàm số
32
f x x x x
(
x1
).
Ta có
2
f ' x 3x 2x 1
.
f ' x 0
1
3
x1
x
.
Kết luận:
*
m 1 1
m2
:
1
vô nghiệm.
*
25
7
m1
18
7
m
:
1
có
1
nghiệm.
*
25
7
m1
m 1 1
18
7
m
m2
:
1
có
2
nghiệm.
*
25
7
m 1 1
18
7
2m
:
1
có
3
nghiệm.
Ví dụ 8. [ĐHB06] Tìm
m
để PT sau đây có hai nghiệm phân biệt
2
x mx 2 2x 1 1
.
Giải
Ta có
1
2
2
x mx 2 2x 1
2x 1 0
2
1
2
3x 4 m x 1 0 2
x
.
2
là phương trình bậc hai có
2
4 m 12 0 m
2
luôn có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
. Theo định lý Vi-ét thì
m4
12
3
1
12
3
xx
3
xx
.
1
có hai nghiệm phân biệt
2
có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng
1
2
1
1
2
1
2
2
x
x
1
1
2
1
2
2
x0
x0
1
-
25
7
1
-
∞
+
+
-
0
0
f
x
( )
f '
x
( )
x
-
∞
1
1
3
-1
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
7
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
11
12
22
11
12
22
x x 0
x x 0
12
11
1 2 1 1
24
x x 1 0
4
x x x x 0
.
Thay
3
vào
4
ta thu được
m4
3
1 1 m 4 1
3 2 3 4
10
.0
m 1 0
2m 9 0
9
2
m1
m
9
2
m
.
Vậy
1
có hai nghiệm phân biệt
9
2
m
.
Chú ý: Ví dụ trên có thể được làm bằng cách khác như sau:
Biến đổi
1
về dạng:
2
3x 4x 1
x
1
2
m
x
.
1
có hai nghiệm phân biệt
ym
có hai điểm chung với ĐTHS
2
3x 4x 1
x
y
,
1
2
x
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
8
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
1)
2
x x x 2 3
.
2)
2
x 2 x 3x 1 0
.
3)
3
3x x x 1 2
.
4)
32
x x 6x 28 x 5
.
5)
43
x 4x 14x 11 1 x
.
6)
4 3 2
x 5x 12x 17x 7 6 x 1
.
Bài 2. Giải các phương trình sau
1)
x 3 3x 1 2 x 2x 2
.
2)
22
x 2x x 2 x x 2x 2
.
3)
11
x
x
xx
.
Bài 3. Giải các phương trình sau
1)
3 3 3
x 1 x 1 x 2
.
2)
33
3
x 1 x 3 2
.
3)
33
33
2x 1 1 x x
.
Bài 4. Giải các bất phương trình sau
1)
x 9 2x 4 5
.
2)
2
x 1 2 x 1
.
3)
2
2x 5 x 4x 3
.
4)
2 2 2
x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4
.
5)
x 1 2x 1 3 x 1
.
6)
2x
2x 2
2x 1 1
.
Bài 5. Giải và biện luận theo
m
các phương trình
1)
2
x 1 x m
.
2)
x m x m m
.
Bài 6. [ĐHB07] Chứng minh với mọi
m0
, phương trình
2
x 2x 8 m x 2
có hai
nghiệm phân biệt.
Bài 7. Giải và biện luận theo
m
các bất phương trình sau
1)
m 2 x x m
.
2)
x m x 2
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
9
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
D. Đáp số
Bài 1 1)
1
. 2)
3
3)
1
.
4)
1
,
1 13
2
. 5)
2
,
1
. 6)
23
.
Bài 2 1)
1
. 2) vô nghiệm. 3)
1
.
Bài 3 1)
0
,
1
. 2)
1
,
3
. 3)
0
,
1
,
1
3
2
.
Bài 4 1)
x0
. 2)
x1
hoặc
1 x 3
. 3)
14
5
1x
.
4)
x1
hoặc
x4
. 5)
1 x 2
. 6)
1
2
x0
.
Bài 5 1)
m1
hoặc
0 m 1
: vô nghiệm,
1 m 0
hoặc
m1
:
2
m1
2m
x
.
2)
m0
hoặc
0 m 2
: vô nghiệm,
m0
:
x0
,
m2
:
2
m4
4
x
.
Bài 7 1)
m1
:
x m 1
,
m1
:
xm
hoặc
m 2 x m 1
.
2)
9
4
2m
:
xm
,
9
4
m
:
95
42
x
,
m2
:
x2
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
10
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
11
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
Loại 2. Phương pháp ẩn phụ
A. Nội dung phương pháp
Dùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô
tỷ nói riêng. Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau:
+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ.
+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ.
+) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ.
+) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
12
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải các PT
1)
22
x x 11 31
.
1
2)
2
x 5 2 x 3 x 3x 1
1)
2) .
Giải
1) Đặt
2
t x 11 2
22
t 11 3
x t 11
, ta thu được phương trình
2
t 11 t 31
2
t t 42 0
thoûa maõn
khoâng thoûa maõn
t 6 3
t 7 3
Thay
t6
vào
2
ta có
2
x 11 6
2
x 11 36
2
x 25
x5
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
5
.
2)
1
22
x 3x 3 x 3x 10 0
.
Đặt
2
t x 3x 2
22
t 0 3
x 3x t
, ta thu được phương trình
2
t 3t 10 0
thoûa maõn
khoâng thoûa maõn
t 2 3
t 5 3
.
Thay
t2
vào
2
ta có
2
x 3x 2
2
x 3x 4
2
x 3x 4
x1
x4
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
1; 4
.
Ví dụ 2. Giải các phương trình
1)
2
1
x
x 2x x 3x 1 1
.
2)
3
2 4 2
x x x 2x 1 1
.
Giải
1) Ta thấy
x0
không phải nghiệm của
1
nên
1
11
xx
x 2 x 3
11
xx
x 2 x 3 0
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
13
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
Đặt
1
x
t x 2
1
2
x
03
tx
t
, ta thu được phương trình
2
t 2t 3 0
thoûa maõn
khoâng thoûa maõn
t 1 3
t 3 3
.
Thay
t1
vào
2
ta có
1
x
x1
1
x
x1
2
x x 1 0
15
2
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
15
2
.
2) Ta thấy
x0
không phải nghiệm của
1
nên
1
11
3
xx
x x 2
11
3
xx
x x 2 0
.
Đặt
x
3
1
t x 2
x
3
1
x t
, ta thu được phương trình
3
t t 2 0
2
t 1 t t 2 0
t 1 0
(do
2
2
17
24
t t 2 t 0 x
)
t1
.
Thay
t1
vào
2
ta có
1
3
x
x1
1
x
x1
2
x x 1 0
15
2
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
15
2
.
Ví dụ 3. Giải các phương trình
1)
2
2x x 1 x 2 x x 1
1
.
2)
2
x 2x x 3 2x x 3 9
.
Giải
1) Đặt
t x 1 x
2
22
t 1 3
2x 2 x x t 1
.
Với phép đặt ẩn phụ như trên
1
trở thành
2
t 1 t 1
2
t t 2 0
thoûa maõn
khoâng thoûa maõn
t 1 ( 3 )
t 2( 3 )
.
Thay
t1
vào
2
ta được
x 1 x 1
4
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
14
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
Xét
4
:
ĐK:
x0
.
* Dễ thấy
x0
là nghiệm của
4
.
*
x0
VT 4 1
x
không phải nghiệm của
4
.
Vậy
1
có nghiệm duy nhất
x0
.
2)
1
2
x x x x 3 2x x 3 9
.
Đặt
t x x 3
2
22
t 3 3
x x 2x x 3 t 3
.
Với phép đặt ẩn phụ như trên
1
trở thành
2
t 3 t 9
2
t t 12 0
thoûa maõn
khoâng thoûa maõn
t 3 ( 3 )
t 4 ( 3 )
.
Thay
t3
vào
2
ta được
x x 3 3
4
.
Xét
4
:
ĐK:
x3
.
* Dễ thấy
x1
là nghiệm của
4
.
*
x1
VT 4 4
x
không phải nghiệm của
4
.
*
3 x 1
VT 4 4
x
không phải nghiệm của
4
.
Vậy
1
có nghiệm duy nhất
x1
.
Ví dụ 4. Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm:
2 2 2
x 2x 2m 5 2x x m 1
.
Giải
Đặt
2
t 5 2x x 2
22
x 2x 5 t
. Phương trình
1
trở thành:
Khi đó phương trình trở thành:
22
t 2mt m 5 0 3
t m 5
.
Xét hàm
2
f x 5 2x x
. Ta có
2
f x 6 x 1
. Ta thấy
f x 0 x
, dấu bằng xảy
ra
x 1 6
;
f x 6 x
, dấu bằng xảy ra
x1
. Do đó tập giá trị của hàm
f
là
0; 6
, thành thử
2
có nghiệm
t 0; 6
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
15
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
Vậy
1
có nghiệm
2
có nghiệm
t 0; 6
0 m 5 6
0 m 5 6
5 m 6 5
5 m 6 5
.
Chú ý:
Điều kiện phương trình
f x m *
có nghiệm:
o
*
có nghiệm
đường thẳng
ym
có điểm chung với đồ thị hàm
số
y f x
.
o
*
có nghiệm
m
thuộc tập giá trị của hàm số
y f x
.
Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương trình
có nghiệm. Về việc tìm tập giá trị của hàm số
y f x
, ta có thể dùng khẳng
định sau: Nếu
f
đạt giá trị nhỏ nhất là
m
tại
a
, đạt giá trị lớn nhất là
M
tại
b
và
f
liên tục trên đoạn với hai đầu mút
a
,
b
thì tập giá trị của
f
là
m;M
.
Ví dụ 5. Giải phương trình
22
2 1 x x 2x 1 x 2x 1 1
.
Giải
Đặt
2
t x 2x 1 2
,
1
trở thành:
2
2 1 x t t
t t 2 1 x 0
t0
t 2 1 x 0 t 2 1 x
.
Thay
t0
vào
2
ta có
2
x 2x 1 0
2
x 2x 1 0
x 1 2
.
Thay
t 2 1 x
vào
2
ta có
2
x 2x 1 2 1 x
22
2 1 x 0
x 2x 1 4x 8x 4
2
x1
3x 10x 5
5 10
3
x1
x
5 10
3
x
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
5 10
3
1 2;
.
Ví dụ 6. Giải phương trình
33
33
x 35 x x 35 x 30 1
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
16
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
Giải
Đặt
3
3
t 35 x
33
t 35 x
33
x t 35 2
.
Thay
3
3
t 35 x
vào
1
, ta có
xt x t 30 3
.
Ta có hệ gồm hai phương trình
2
và
3
:
33
x t 35
xt x t 30
3
x t 3xt x t 35
xt x t 30
3
x t 125
xt x t 30
(thay phương trình dưới vào phương trình trên)
x t 5
xt x t 30
x t 5
xt 6
(thay phương trình trên vào phương trình dưới)
Ta có
2
T 5T 6 0
T2
T3
. Do đó, hệ nói trên tương đương với
x2
t3
x3
t2
.
Vậy tập nghiệm của
1
là
2;3
.
Chú ý: Định lý Vi-ét đảo
Xét hệ
x y S
(1)
xy P
và phương trình
2
t St P 0 (2)
.
Khi đó:
(1)
có nghiệm
(2)
có nghiệm.
Trong trường hợp
(2)
có nghiệm
1
t
và
2
t
thì:
1
2
2
1
xt
yt
(1)
xt
yt
.
Ví dụ 7. [ĐHA09] Giải phương trình
3
2 3x 2 3 6 5x 8 0 1
.
Giải
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
17
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
Đk:
6 5x 0
6
5
x
.
Đặt
3
u 3x 2 2a
2
v 6 5x 2b
v0
.
Ta có
2
3
2
u 3x 2
v 6 5x
3
2
5u 15x 10
3v 18 15x
32
5u 3v 8
32
5u 3v 8 0 3
.
Thay
2
vào
1
, ta được
2u 3v 8 0
2
3
v u 4 4
.
Thay
4
vào
3
, ta có:
2
3
2
3
5u 3 u 4 8 0 3
32
4
3
5u u 8u 16 8 0
32
15u 4u 32u 40 0
2
u 2 15u 26u 20 0
2
u 2 0
15u 26u 20 0 ' 131 0
u2
.
Thay
u2
vào
2a
, ta được
3
3x 2 2
3x 2 8
x2
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
x2
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
18
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1)
2
1 x 1 x 2 1 x 4
.
2)
2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2
.
3)
3
32
x 3x 2 x 2 6x 0
.
4)
3 x 6 x 3 3 x 6 x
.
5)
22
2x x 5x 6 10x 15
.
6)
2
7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x
.
7)
51
5 x 2x 4
2x
2x
.
8)
2
x
1 x 1 x 2
4
.
Bài 2. Cho phương trình
3 x 6 x 3 x 6 x m
.
1) Giải phương trình với
m3
.
2) Tìm
m
để phương trình có nghiệm.
Bài 3. Tìm
m
để BPT
2
m x 2x 2 1 x 2 x 0
có nghiệm
x 0;1 3
.
Bài 4. Tìm
m
để BPT
2
2 x 4 x x 2x m
nghiệm đúng với mọi
x 2;4
.
Bài 5. Giải các PT sau:
1)
22
1 1 x 2x
.
2)
3
3 2 2
x 1 x x 2 1 x
.
3)
23
1 x 4x 3x
.
Bài 6. Giải các PT sau:
1)
32
5 x 1 2 x 2
.
2)
22
5x 14x 9 x x 20 5 x 1
.
3)
23
2x 5x 2 4 2 x 21x 20
.
4)
23
2 x 3x 2 3 x 8
.
Bài 7. [ĐHA07] Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm:
4
2
3 x 1 m x 1 2 x 1
.
Bài 8. Giải các phương trình:
1)
3
24 x 12 x 6
.
2)
3
x 3 x 3
.
3)
44
x 17 x 3
.
4)
22
33
3
2 x 7 x 2 x 7 x 3
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
19
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
5)
3
33
x x 16 x 8
.
6)
4 4 4
x x 1 2x 1
.
Bài 9. Với giá trị nào của
a
thì phương trình:
33
1 x 1 x a
có nghiệm.
Bài 10. Giải các phương trình sau
1)
3
3
x 1 2 2x 1
.
2)
2
x3
2x 4x
2
.
3)
3
3
x1
2x 1
2
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
20
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
D. Đáp số
Bài 1 1)
0
. 2)
2
.
3)
2
,
2 2 3
. 4)
0
,
3
.
5)
5 3 5 5 3 5
22
;;
. 6)
6
7
;6
.
7)
33
22
0; 2 2;
. 8)
1;1
.
Bài 2 1)
3
,
6
. 2)
6 2 9
m3
2
.Bài 3
2
m
3
.
Bài 4
m4
.Bài 5 1)
3
2
. 2)
2
2
,
1 2 2 2
2
.
3)
1
2
,
22
4
.
Bài 6 1)
5 37
2
. 2)
5 61
2
,
8
.
3)
9 193
4
,
17 3 73
4
. 4)
x 3 13
Bài 7
1
1m
3
.
Bài 8 1)
24
,
88
,
3
. 2)
1
.
3)
1
,
16
. 4)
1
,
6
.
5)
8
,
56 3010
7
. 6)
0
.
Bài 9
0 a 2
.
Bài 10 1)
1
,
15
2
. 2)
3 17
4
,
5 13
4
.
3)
1
2
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
21
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
Loại 3. Phương trình và bất phương trình tích
A. Nội dung phương pháp
Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình,
bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích.
Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản. Việc sử
dụng biểu thức liên hợp đôi khi cho ta lời giải bất ngờ.
Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết:
Biểu thức liên hợp của
ab
là
ab
:
a b a b a b
.
Biểu thức liên hợp của
33
ab
là
22
3 3 3
a ab b
:
22
3 3 3 3 3
a b a ab b a b
.
… .
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
22
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
x 3 2x x 1 2x x 4x 3 1
.
Giải
1
x 3 2x x 1 2x x 3 x 1
(ĐK:
x1
)
x 3 1 x 1 2x x 1 1 0
x 1 1 2x x 3 0
x 1 1 0
2x x 3 0
x 1 1
x 3 2x
2
x 1 1
2x 0
x 3 4x
x0
x1
.
Ta thấy cả
2
giá trị
0
và
1
đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa. Vậy tập nghiệm
của phương trình là
0;1
.
Ví dụ 2. [ĐHD02] Giải bất phương trình
22
x 3x 2x 3x 2 0 1
.
Giải
Đk:
2
2x 3x 2 0
1
2
x
x2
.
1
2
2
x 3x 0
2x 3x 2 0
hoặc
2
2
x 3x 0
2x 3x 2 0
1
2
x0
x3
x2
x
hoặc
1
2
x0
x3
x
x2
1
2
x0
x3
x2
x
hoặc
1
2
x
x3
.
ST&BS: Cao Văn Tú Email:
23
PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com
Kết hợp với điều kiện để
1
có nghĩa, ta có tập nghiệm của
1
là:
1
2
; 2 3;
.
Ví dụ 3. Giải phương trình
3
x x 2 0 1
.
Giải
Đk:
x0
.
Ta có
1
3
x 1 x 1 0
2
x1
x 1 x x 1 0
x1
2
1
x 1 x x 1 0
x1
x 1 0
(do
2
1
x x 1
x1
=
2
1
2
13
x0
4
x1
x0
)
x1
(thỏa mãn điều kiện để
1
có nghĩa).
Vậy
1
có nghiệm duy nhất
x1
.
Ví dụ 4. [ĐHB10] Giải phương trình
2
3x 1 6 x 3x 14x 8 0 1
.
Giải
Đk:
3x 1 0
6 x 0
1
3
x 6 2
.
Ta có
1
2
3x 1 4 1 6 x 3x 14x 5 0
3 x 5
x5
x 5 3x 1 0
3x 1 4 1 6 x
31
x 5 3x 1 0
3x 1 4 1 6 x
x 5 0
(do
31
3x 1 0
3x 1 4 1 6 x
1
3
x: x 6
)
x5
(thỏa mãn
2
).
Vậy
1
có nghiệm duy nhất
x5
.
