Chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng khảo sát hàm số

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
§1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau
đây:
1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)
Giả sử
f
xác định trên
D ⊂ ¡
. Ta có
( )
max
x D
M f x
∈
=

⇔

( )
( )
0 0
:
f x M x D
x D f x M
≤ ∀ ∈



∃ ∈ =


;
( )
min
x D
m f x
∈
=

⇔

( )
( )
0 0
:
f x m x D
x D f x m
≥ ∀ ∈


∃ ∈ =


.
2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN,
GTNN của hàm số
f
xác định trên đoạn

[ ]
;a b
, ta làm như sau:
• B1 Tìm các điểm
1
x
,
2
x
, …,
m
x
thuộc khoảng
( )
;a b
mà tại đó hàm số
f
có đạo
hàm bằng
0
hoặc không có đạo hàm.
• B2 Tính
( )
1
f x
,
( )
2
f x
, …,

( )
m
f x
,
( )
f a
,
( )
f b
.
• B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là
GTLN của
f
trên đoạn
[ ]
;a b
; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của
f
trên đoạn
[ ]
;a b
.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
;
max max , , , , ,
m
x a b

f x f x f x f x f a f b
∈
= K
.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
;
min min , , , , ,
m
x a b
f x f x f x f x f a f b
∈
= K
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số
f
mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào
thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của
f
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
2 3 3
1

x x
y
x
+ +
=
+
trên đoạn
[ ]
0;2
.
Giải. Ta có
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
4 3 1 2 3 3
2 4
' 0
1 1
x x x x
x x
y
x x
+ + − + +
+
= = >
+ +
( )

0;2x
∀ ∈
. Lại có
( )
0 3y =
,
( )
17
2
3
y =
. Suy ra
[ ]
0;2
min 3
x
y
∈
=
,
[ ]
0;2
17
max
3
x
y
∈
=
.

Nhận xét.
•
f
đồng biến trên
[ ]
;a b

⇒

[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
;
;
min
max
x a b
x a b
f x f a
f x f b
∈
∈
=



=



;
•
f
nghịch biến trên
[ ]
;a b

⇒

[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
;
;
min
max
x a b
x a b
f x f b
f x f a
∈
∈
=


=


.

Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
4y x x= + −
.
Giải.
[ ]
2;2TXÑ
= −
. Ta có
2
2 2
4
' 1
4 4
x x x
y
x x
− −
= − =
− −
(
( )
2;2x
∈ −
).
Với mọi
( )
2;2x
∈ −
, ta có

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
' 0y =
⇔

2
4 0x x
− − =

⇔

2
4 x x
− =

⇔

2 2
0
4
x
x x
≥


− =


⇔

2x
=
.
Vậy
( ) ( )
( )
{ }
{ }
min min 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2y y y y= − = − = −
, đạt được
⇔

2x
= −
;
( ) ( )
( )
{ }
{ }
max max 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2 2y y y y= − = − =
, đạt được
⇔

2
.
Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
1
1

x
y
x
+
=
+
trên đoạn
[ ]
1;2
−
.
Giải. Ta có
( )
( )
2
2
2
2 2
1 1
1
1
'
1
1 1
x
x x
x
x
y
x

x x
+ − +
−
+
= =
+
+ +
.
Với mọi
( )
1;2x
∈ −
ta có
' 0y =

⇔

1x
=
.
Vậy
( ) ( ) ( )
{ }
3 5
min min 1 ; 2 ; 1 min 0; ; 2 0
5
y y y y
 
 
= − = =

 
 
 
, đạt được
⇔

1x
= −
;
( ) ( ) ( )
{ }
3 5
max max 1 ; 2 ; 1 max 0; ; 2 2
5
y y y y
 
 
= − = =
 
 
 
, đạt được
⇔

1x
=
.
Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
ln x

y
x
=
trên đoạn
3
1;e
 
 
.
Giải. Ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
2
2
2 2
ln
2 . ln
2ln ln
'
x
x x
x x
x
y
x x
 
−
 ÷
−

 
= =
.
Với mọi
( )
3
1;x e
∈

ta có
' 0y =

⇔

2
2ln ln 0x x− =

⇔

ln 0x
=
hoặc
ln 2x
=

⇔

1x
=
hoặc

2
x e=

⇔

2
x e=
(
( )
3
1 1;e∉
).
Vậy
( )
( ) ( )
{ }
3 2
3 2
9 4
min min 1 ; ; min 0; ; 0y y y e y e
e e
 
= = =
 
 
, đạt được
⇔

1x
=

.
( )
( )
( )
{ }
3
3 2 2
9 4 4
max max 1 ; ; max 0; ;y y y e y e
e e e
 
= = =
 
 
, đạt được
⇔

2
x e=
.
Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số
2 2
4 21 3 10y x x x x= − + + − − + +
.
Giải.
TXÑx ∈

⇔

2

2
4 21 0
3 10 0
x x
x x

− + + ≥


− + + ≥



⇔

3 7
2 5
x
x
− ≤ ≤


− ≤ ≤


⇔

2 5x
− ≤ ≤
, suy ra

[ ]
2;5TXÑ=
−
. Ta
có
2 2
2 2 3
'
4 21 2 3 10
x x
y
x x x x
− −
= − +
− + + − + +
.
' 0y =
⇔

2 2
2 2 3
4 21 2 3 10
x x
x x x x
− −
=
− + + − + +
⇒

( )

2 2
2
2
4 4 4 12 9
4 21
4 3 10
x x x x
x x
x x
− + − +
=
− + +
− + +
⇔

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 3 10 4 4 4 21 4 12 9x x x x x x x x
− + + − + = − + + − +
⇔

2
51 104 29 0x x− + =
⇔

1
3
x =
hoặc
29

17
x =
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Thử lại, ta thấy chỉ có
1
3
x =
là nghiệm của
'y
.
( )
2 3y
− =
,
( )
5 4y
=
,
1
2
3
y
 
=
 ÷
 

⇒

min 2y =
, đạt được
⇔

1
3
x =
.
C. Bài tập
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1)
2
4y x= −
.
2)
2
2 5y x x= + −
trên đoạn
[ ]
2;3−
.
3)
2
2 4y x x= − + +
trên đoạn
[ ]
2;4
.

4)
3
3 3y x x= − +
trên đoạn
3
3;
2
 
−
 
 
.
5)
3 2
1
2 3 4
3
y x x x= + + −
trên đoạn
[ ]
4;0−
.
6)
3 2
3 9 1y x x x= + − +
trên đoạn
[ ]
4;4−
.
7)

3
5 4y x x= + −
trên đoạn
[ ]
3;1−
.
8)
4 2
8 16y x x= − +
trên đoạn
[ ]
1;3
.
9)
1
y x
x
= +
trên khoảng
( )
0;
+∞
.
10)
1
1
y x
x
= +
−

trên khoảng
( )
1;
+∞
.
11)
1
y x
x
= −
trên nửa khoảng
(
]
0;2
.
12)
2
x
y
x
=
+
trên nửa khoảng
(
]
2;4−
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

13)
2
2 5 4
2
x x
y
x
+ +
=
+
trên đoạn
[ ]
0;1
.
14)
4 4
sin cosy x x= +
.
15)
2
2sin 2sin 1y x x= + −
.
16)
2
cos 2 sin cos 4y x x x= − +
.
17)
3 2
cos 6cos 9cos 5y x x x= − + +
.

18)
3
sin cos2 sin 2y x x x= − + +
.
19)

3
sin 3 3siny x x= − −
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
2
2cos cos 1
cos 1
x
y
+ +
=
+
§2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức
A. Nguyên tắc chung
Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:
• Xác định ẩn phụ
t
.
• Từ giả thiết, tìm miền giá trị của
t
.
• Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một

hàm biến
t
trên miền giá trị của
t
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho
x
,
0y ≥
thỏa mãn
4x y+ =
. Tìm GTLN, GTNN của
( ) ( )
3 3
1 1S x y
= − −
.
Giải. Đặt
t xy
=
, suy ra
( )
2
0 4
4
x y
t
+
≤ ≤ =

. Ta có
S

=
( ) ( ) ( )
3 2
3 1xy x y x y xy
 
− + + − +
 

=
3 2
4 4 3 1t t
 
− − +
 

=
3
12 63t t+ −
.
Xét hàm
( )
3
12 63f t t t
= + −
, với
[ ]
0;4t ∈

. Ta có
( )
2
' 3 12 0f t t
= + >

[ ]
0;4t
∀ ∈

⇒

( )
f t
đồng
biến trên
[ ]
0;4
. Do đó
•
[ ]
( ) ( )
0;4
min min 0 63
t
S f t f
∈
= = = −
, đạt được khi và chỉ khi
4

0
x y
xy
+ =


=


⇔

( ) ( )
; 4;0x y
=
hoặc
( ) ( )
; 0;4x y
=
.
•
[ ]
( ) ( )
0;4
max max 4 49
t
S f t f
∈
= = =
, đạt được khi và chỉ khi
4

4
x y
xy
+ =


=


⇔

( ) ( )
; 2;2x y
=
.
Ví dụ 2. Cho
x
,
0y ≥
thỏa mãn
2 2
2x y+ =
. Tìm GTLN, GTNN của
S x y xy= + −
.
Giải. Đặt
t x y
= +
⇒

0t
>
. Ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
( )
( )
2
2 2 2
2 4t x y x y= + ≤ + =

⇒

2t
≤
,
( )
2
2 2 2 2 2
2 2t x y x y xy x y= + = + + ≥ + =

⇒

2t
≥
.
Suy ra
2;2t
 

∈
 
. Lại có
( )
( )
2
2 2
2
1
1
2 2
x y x y
xy t
+ − +
= = −

⇒

( )
2
1
1
2
S f t t t= = − + +
.
Ta có
( )
' 1 0f t t
= − + >

với mọi
( )
2;2t ∈
,
( )
2 1f
=
,
( )
3
1
2
f =
. Do đó
•
( )
min 2 1S f
= =
, đạt được
⇔

2 2
2
2
x y
x y
+ =


+ =



⇔

1
1
x
y
=


=

.
•
( )
3
max 1
2
S f= =
, đạt được
⇔

2 2
1
2
x y
x y
+ =



+ =


⇔

1 3
2
1 3
2
x
y

−
=



+

=


hoặc
1 3
2
1 3
2
x
y


+
=



−

=


.
Ví dụ 3. Cho
x
,
0y ≥
thỏa mãn
2 2
8x y+ =
. Tìm GTLN, GTNN của
1 1
x y
S
y x
= +
+ +
.
Giải. Đặt
t x y
= +

, ta có
( )
( )
2
2 2
2 2 8 16x y x y+ ≤ + = × =

⇒

4t
≤
,
( )
2
2 2 2 2
2 8x y x y xy x y
+ = + + ≥ + =

⇒

2 2t
≥
.
Suy ra
2 2 4t
≤ ≤
. Lại có
( )
( )
2

2 2
2
8
2 2
x y x y
t
x y
+ − +
−
× = =
.
Ta có biến đổi sau đây
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
S
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
x x y y
y x
+ + +
=
+ +

( ) ( )
2
2
1

x y x y xy
x y xy
+ + + −
=
+ + +
( )
2 2
2
8
8
1
2
t t t
t
t
+ − −
=
−
+ +

2
8
2
2 6
t
t t
+
= ×
+ −
.

Xét hàm
( )
2
8
2 6
t
f t
t t
+
=
+ −
với
2 2 4t
≤ ≤
. Ta có
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 6 8 2 2
16 22
' 0
2 6 2 6
t t t t
t t
f t

t t t t
+ − − + +
− − −
= = <
+ − + −
,
: 2 2 4t t
∀ ≤ ≤
.
Suy ra
f
nghịch biến trên
2 2;4
 
 
. Do đó
( ) ( )
2 2;4
2
min 4
3
t
f t f
 
∈
 
= =
.
( )
( )

max 2 2 2f t f= =
.
+)
( )
2 2;4
4
2 min
3
t
S f t
 
∈
 
≥ × =
, dấu bằng xảy ra
⇔

2 2
8
4
x y
x y

+ =

+ =


⇔

2x y= =
. Vậy
4
min
3
S =
, đạt
được
⇔

2x y= =
.
+)
( )
2 2;4
2 max 4 2
t
S f t
 
∈
 
≤ × =
, dấu bằng xảy ra
⇔

2 2
8
2 2
x y
x y


+ =


+ =



⇔

0
2 2
x
y
=



=


hoặc
2 2
0
x
y

=



=


.
Vậy
4
max
3
S =
, đạt được
⇔

0
2 2
x
y
=



=


hoặc
2 2
0
x
y

=



=


.
Ví dụ 4. Cho
x
,
0y ≥
thỏa mãn
3x y xy+ + =
. Tìm GTLN, GTNN của
2 2
1
1 1 3
x y
S
y x x y
= + −
+ + + +
.
Giải. Đặt
t x y
= +

⇒

2
3 0

3
4
xy t
t
t
= − ≥



≤ +



⇒

3
2 3
xy t
t
= −


≤ ≤

.
Ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
S

=

( ) ( )
3 3 2 2
1
1 1 3
x y x y
x y x y
+ + +
−
+ + + +
=

( ) ( ) ( )
( )
3 2
3 2
1
1 3
x y xy x y x y xy
xy x y x y
+ − + + + −
−
+ + + + +
=

( ) ( )
( )
3 2

3 3 2 3
1
3 1 3
t t t t t
t t t
− − + − −
−
− + + +

=

3
2
7 1 3
4 4 3 2
t t
t
t
+ − − −
+
.
Xét hàm
( )
3
2
7 1 3
4 4 3 2
t t
f t t
t

= + − − −
+
,
[ ]
2;3t
∈
.
Ta có
( )
( )
2
2
3 7 1
' 2 0
4 4
3
t
f t t
t
= + − + >
+
,
[ ]
2;3t
∀ ∈

⇒

( )
1f

đồng biến trên
[ ]
2;3
.
Do đó
•
( ) ( )
4
2
5
S f t f= ≥ =
. Dấu “
=
” xảy ra
⇔

3
2
x y xy
x y
+ + =


+ =


⇔

1x y= =
⇒

4
min
5
S =
, Đạt được
⇔

1x y= =
.
•
( ) ( )
35
3
6
S f t f= ≤ =
. Dấu “
=
” xảy ra
⇔

3
3
x y xy
x y
+ + =


+ =


⇔

0
3
x
y
=


=

hoặc
3
0
x
y
=


=

.
⇒

35
max
6
S =
, Đạt được

⇔
0
3
x
y
=


=

hoặc
3
0
x
y
=


=

.
Ví dụ 5. Cho
x
,
y
thỏa mãn
2 2
1x xy y+ + =
. Tìm GTLN, GTNN của
2 2

S x xy y= − +
.
Giải.
Cách 1. Từ giả thiết suy ra
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
3
1
4 4
x y x y
x y xy x y
+ +
= + − ≥ + − =
. Do đó, nếu đặt
( )
t x y
= +
thì
2
3
1
4
t ≤
, hay
2 3 2 3
;
3 3
t

 
∈ −
 
 
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Ta có
( )
2
2
1 1xy x y t= + − = −
, suy ra
( )
( )
2
2 2 2
3 3 1 2 3S x y xy t t t
= + − = − − = − +
.
Xét hàm
( )
2
2 3f t t
= − +
với
2 3 2 3
;
3 3

t
 
∈ −
 
 
. Ta có
( )
' 4f t t
= −
,
( )
'f t
có nghiệm duy nhất
2 3 2 3
0 ;
3 3
t
 
= ∈ −
 ÷
 ÷
 
.
Ta có
( )
0 3f
=
,
2 3 2 3 1
3 3 3

f f
   
= − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
.
Do đó
•
1
min
3
S =
, đạt được chẳng hạn khi
2 2
2 3
3
1
x y
x xy y

+ =



+ + =


⇔

( )
2
2 3
3
1
x y
x y xy

+ =



+ − =


⇔

2 3
3
1
3
x y
xy

+ =




=




⇔

( )
1 1
; ;
3 3
x y
 
=
 ÷
 
.
•
max 3S
=
, đạt được khi và chỉ khi
2 2
0
1
x y
x xy y
+ =


+ + =


⇔

( )
2
0
1
x y
x y xy
+ =



+ − =



⇔

0
1
x y
xy
+ =


= −


⇔

( ) ( )
; 1; 1x y
= −
hoặc
( ) ( )
; 1;1x y
= −
.
Cách 2. Ta có
2 2
2 2
x xy y
S
x xy y
− +
=
+ +
.
• Xét
0y =
. Khi đó
1S
=
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
• Xét
0y ≠
. Chia cả tử và mẫu của

S
cho
2
y
và đặt
x
t
y
=
, ta được
2
2 2
1 2
1
1 1
t t t
S
t t t t
− +
= = −
+ + + +
.
Xét hàm
( )
2
2
1
1
t
f t

t t
= −
+ +
, ta có
( )
( )
( )
2
2
2
2 1
'
1
t
f t
t t
−
=
+ +
.
Bảng biến thiên của hàm
( )
f t
:

( )
2
2
lim lim 1 1
1 1

1
t t
t
f t
t t
→±∞ →±∞
 
 ÷
= − =
 ÷
 ÷
+ +
 
.
Suy ra:
+)
1
min
3
S =
, đạt được khi và chỉ khi
2 2
1
1
x
y
x xy y

=




+ + =


⇔

( )
1 1
; ;
3 3
x y
 
=
 ÷
 
hoặc
( )
1 1
; ;
3 3
x y
 
= − −
 ÷
 
.
+)
max 3S
=

. Đạt được khi và chỉ khi
2 2
1
1
x
y
x xy y

= −



+ + =


⇔
( ) ( )
; 1; 1x y
= −

hoặc
( ) ( )
; 1;1x y
= −
.
Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho
x
,
y
thỏa mãn

( )
3
4 2x y xy+ + ≥
. Tìm GTNN của
( ) ( )
4 4 2 2 2 2
3 2 1A x y x y x y
= + + − + +
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Giải. Áp dụng bất đẳng thức
( )
( )
2
2 2
3
4
a b ab a b+ + ≥ +
với
2
a x=
,
2
b y
=
ta được
( ) ( )
2

4 4 2 2 2 2
3
4
x y x y x y+ + ≥ +

⇒

( ) ( )
2
2 2 2 2
9
2 1
4
A x y x y≥ + − + +
.
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức
( )
2
4xy x y
≤ +
, ta có
( ) ( )
3 2
2x y x y+ + + ≥

⇔

( ) ( ) ( )
2
1 2 2 0x y x y x y

 
+ − + + + + ≥
 

⇔

1x y+ ≥

(do
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 1 1 0x y x y x y+ + + + = + + + >

x∀
,
y
).
Đặt
2 2
t x y= +

⇒

( )
( )
2
2
1
2 2
9

2 1
4
x y
t
A f t t t

+
≥ =




≥ = − +


.
Xét hàm
( )
2
9
2 1
4
f t t t= − +
,
1
2
t ≥
. Ta có
( )
9

' 2 0
2
f t t= − >

1
2
t∀ ≥

⇒

( )
f t
đồng biến trên
1
;
2
 
+∞
÷

 

⇒

( )
1 9
2 16
f t f
 
≥ =

 ÷
 

1
2
t∀ ≥
.
Như vậy
9
16
S ≥
, dấu “
=
” xảy ra khi và chỉ khi
2 2
1
2
x y
x y
=



+ =



⇔

( )

1 1
; ;
2 2
x y
 
=
 ÷
 
hoặc
( )
1 1
; ;
2 2
x y
 
= − −
 ÷
 
.
Vậy
9
min
16
S =
, đạt được
⇔

( )
1 1
; ;

2 2
x y
 
=
 ÷
 
hoặc
( )
1 1
; ;
2 2
x y
 
= − −
 ÷
 
.
Ví dụ 7. [ĐHB12] Cho các số thực
x
,
y
,
z
thỏa mãn các điều kiện
0x y z+ + =
và
2 2 2
1x y z+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
5 5 5

P x y z= + +
.
Giải. Từ
0x y z+ + =
suy ra
( )
z x y
= − +
, thay
( )
z x y
= − +
vào đẳng thức thứ hai của giả
thiết, ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2
1 3
1 2 2 2
2 2
x y x y x y xy x y x y x y= + + + = + − ≥ + − + = +
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Do đó, nếu đặt
t x y
= +
thì ta có
2
3

1
2
t ≤

⇔
6 6
;
3 3
t
 
∈ −
 
 
,
2
2 1
2
t
xy
−
=
.
Biến đổi

P
( )
5
5 5
x y x y= + − +
( ) ( )

( ) ( )
5
3 3 2 2 2 2
x y x y x y x y x y
= + + − + − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 5
2 2
3 2x y xy x y x y xy x y x y x y
   
= + − + + − − + − +
   
2
2 2 2
3 2 5
2 1 2 1 2 1
3 2
2 2 2
t t t
t t t t t
     
− − −
= − × × − × − −
 ÷
   
     
( )
3
5
2

4
t t= − −
.
Xét hàm
( )
( )
3
5
2
4
f t t t= − −
, với
6 6
;
3 3
t
 
∈ −
 
 
. Ta có
( )
( )
2
5
' 6 1
4
f t t= − −
có hai nghiệm là
6 6 6

;
6 3 3
t
 
= ± ∈ −
 
 
.
Ta có
6 5 6
3 36
f
 
− =
 ÷
 ÷
 
,
6 5 6
6 36
f
 
− = −
 ÷
 ÷
 
,
6 5 6
6 36
f

 
=
 ÷
 ÷
 
,
6 5 6
3 36
f
 
= −
 ÷
 ÷
 
.
Vậy
5 6
min
36
P = −
, đạt được chẳng hạn khi
6
6
x y= =
,
6
3
z = −
.
Ví dụ 8. Cho

x
,
y
,
0z
>
thỏa mãn
3
2
x y z+ + ≤
. Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
2 2 2
1 1 1
S x y z
x y y z z x
= + + + + +
.
Giải. Đặt
3
t xyz
=
. Ta có
0t
>
và
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
3

3
3
2
x y z xyz≥ + + ≥

⇒

1
2
t ≤
.
Suy ra
1
0;
2
t
 
∈


 
.
Lại có
2 2 2 2 2 2 2
3
3 3x y z x y z t+ + ≥ =
,
3
2 2 2 2 2 2 3
1 1 1 1 1 1 3 3

3
x y y z z x x y y z z x xyz t
+ + ≥ × × = =
⇒

2
3
1
3S t
t
 
≥ +
 ÷
 
.
Xét hàm
( )
2
3
1
f t t
t
= +
với
1
0;
2
t
 
∈



 
. Ta có
( )
5
4 4
3 2 3
' 2 0
t
f t t
t t
−
= − = <

1
0;
2
t
 
∀ ∈


 
, suy ra
f
nghịch biến trên
1
0;
2

 


 
. Vậy
1 99
min 3
2 4
S f
 
= =
 ÷
 
, đạt được khi và chỉ khi
3
1
2
x y z
xyz
= =



=



⇔

1

2
x y z= = =
.
Ví dụ 9. [ĐHA03] Cho
x
,
y
,
0z
>
thỏa mãn
1x y z+ + ≤
. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥
.
( )
1
Giải. Xét
1
;a x
x
 
 ÷
 
r

,
1
;b y
y
 
 ÷
 
r
,
1
;c z
z
 
 ÷
 
r
, ta có
1 1 1
;a b c x y z
x y z
 
+ + = + + + +
 ÷
 
r r r
.
Từ
a b c a b c+ + ≥ + +
r r r r r r
suy ra

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
( )
2
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y z x y z
x y z x y z
 
+ + + + + ≥ + + + + +
 ÷
 
Đến đây ta có hai cách đi tiếp:
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
3
3x y z xyz
+ + ≥
,
3
1 1 1 1
3
x y z xyz
+ + ≥
.
Do đó
( )
9

1 9VT t
t
≥ +
, với
( )
2
3
t xyz=
.
Ta có
2
1
0
3 9
x y z
t
+ +
 
< ≤ ≤
 ÷
 
.
Xét
( )
9
9f t t
t
= +
với
1

0;
9
t
 
∈


 
. Ta có
( )
2
9
' 9 0f t
t
= − <

1
0;
9
t
 
∀ ∈


 

⇒

( )
f t

nghịch biến trên
1
0;
9
 


 
.
⇒

( )
1
82
9
f t f
 
≥ =
 ÷
 

⇒

( )
1 ( ) 82VT f t≥ ≥
(ĐPCM).
Cách
2.
( )
2

2
1 1 1
x y z
x y z
 
+ + + + +
 ÷
 

=

( ) ( )
2
2 2
1 1 1
81 80x y z x y z
x y z
 
+ + + + + − + +
 ÷
 
≥

( ) ( )
2
2 2
1 1 1
2 81 80x y z x y z
x y z
 

+ + + + − + +
 ÷
 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
16
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
( ) ( )
2
1 1 1
18 80x y z x y z
x y z
 
≥ + + + + − + +
 ÷
 

≥
18.9 – 80 82
=
.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
C. Bài tập
Bài 1. [ĐHD09] Cho
x
,
0y ≥
thỏa mãn
1x y+ =
. Tìm GTLN, GTNN của
( ) ( )

2 2
4 3 4 3 25S x y y x xy
= + + +
.
Bài 2. Cho
x
,
0y ≥
thỏa mãn
1x y+ =
. Tìm GTLN, GTNN của
1 1
x y
S
y x
= +
+ +
.
Bài 3. Cho
x
,
0y ≥
thỏa mãn
1x y+ =
. Tìm GTLN, GTNN của
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1S x y x y= − − − + +
.
Bài 4. Cho

x
,
0y ≥
thỏa mãn
3x y xy+ + =
. Tìm GTLN, GTNN của
6
2 2 1
x y
S
x y x y
= + +
+ + + +
.
Bài 5. Cho
x
,
y
thỏa mãn
2 2
1x y xy+ = +
. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
4 4 2 2
S x y x y= + −
.
Bài 6. Cho
x
,
y
thỏa mãn

2 2
1x y+ =
. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
1 1S x y
= + + +
.
Bài 7. [ĐHD12] Cho
x
,
y
thỏa mãn
( ) ( )
2 2
4 4 2 32x y xy
− + − + ≤
. Tìm GTNN của
( ) ( )
3 3
3 1 2A x y xy x y
= + + − + −
.
Bài 8. [ĐHA06] Cho
0x
≠
,
0y ≠
thỏa mãn
( )
2 2
x y xy x y xy

+ = + −
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
3 3
1 1
A
x y
= +
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
17
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Bài 9. [ĐHB08] Cho
x
,
y
thỏa mãn
2 2
1x y+ =
. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
( )
2
2
2 6
1 2 2
x xy
P
xy y
+
=

+ +
.
Bài 10. Cho
x
,
y
thỏa mãn
2 2
1x y xy+ + =
. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2 2
2S x xy y= + −
.
Bài 11. Cho
x
,
y
thỏa mãn
2 2
2 1x y xy+ + ≥
. Tìm GTNN của biểu thức
2 2
S x y= +
.
Bài 12. Cho
x
,
y
,
0z

>
thỏa mãn
3
2
x y z+ + ≤
. Tìm GTNN của biểu thức
1 1 1
S x y z
x y z
= + + + + +
.
Bài 13. [ĐHB10] Cho
a
,
b
,
0c
≥
thỏa mãn
1a b c
+ + =
. Tìm GTNN của biểu thức
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 2M a b b c c a ab bc ca a b a= + + + + + + + +
.
Bài 14. Cho
x
,

y
,
0z
>
thỏa mãn
3
2
x y z+ + ≤
. Tìm GTNN của biểu thức
5 5 5
2 2 2
x y x x y z
P
y z z x x y y z x
= + + + + +
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
18