Đề thi olympic toán ĐH GTVT Hà Nội

Olympic toán sinh viên đại học GTVT năm 2011
Đề thi môn: Đại số
Thời gian: 180 phút
CÂU 1: (6 điểm) Cho A=(a
ij
)
nxn
là ma trận vuông cấp n (n
)3≥
với
A
ij
=







2011
/1
0
x
x
nếu
0
1
1
2
=−

−=−
=−
≥−
ij
ij
ij
ij
Chứng minh rằng detA không phụ thuộc vào x.
CÂU 2: (6 điểm) Cho A và B là các ma trận thự vuông cùng cấp thỏa mãn
A
2010
= 0; AB = 2010A + 2009B. Chứng minh rằng:
a) AB = BA.
b) B
2010
= 0.
c) Mọi số thực
0≠
λ
đều không phải là giá trị riêng của A.
CÂU 3: (6 điểm) Cho A là ma trận phức vông cấp 2. Với mỗi số nguyên dương n ta
đặt x
n
= det(A
n
+ I), ( I là ma trận đơn vị ). Chứng minh rằng nếu x
1
= x
2
= 1 thì x

n

∈
{ }
4,1
với mọi n.
CÂU 4: ( 6 điểm) Cho ma trận A =










−
−
−−
466
8108
442
a) Tìm ma trận không suy biến T sao cho T
-1
AT là ma trận đường chéo.
b) Đặt B =
2
1
A. Hãy tính (B + I)

2011
. (I là ma trận đơn vị)
c) Tính det(A
2011
– A
1005
+ I).
CÂU 5: (6 điểm) Thí sinh chọn một trong hai bài sau đây để làm.
1. Có tồn tại hay không các đa thức P(x), Q(x), R(y) và S(y) sao cho ta có:
1 + xy + x
2
y
2
= P(x).R(x) + Q(x).S(x)?
2. Cho A và B là hai ma trận thực vông cấp n. Chứng minh rằng hai mệnh đề
sau tương đương:
a) r(A) + r(B)
≤
n.
b) Tồn tại ma trận không suy biến T sao cho ATB = 0.