ĐỀ - 23 HSG TOÁN 8

phòng GD - ĐT Hạ Hoà
TRờng THCS hạ Hòa
Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Năm học 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian : 150 phút( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 15.04.2010
Bài 1:
a) Chứng minh rằng: A= (n
2
+ n -1)
2
- 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
b, Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình sau: xy-2x-3y+1=0
Bài 2: Cho biểu thức:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
P
a a a 3a 2 a 5a 6 a 7a 12 a 9a 20
= + + + +
+ + + +
a. Tìm điều kiện để P xác định và rút gọn P.
b. Tính giá trị của P biết a
4
-3a
3
+2a
2
+ 2a-4 = 0

Bài 3: Tìm các số x,y, z thoả mãn:

2 2 2
2009 2009 2009 2010
x y z xy xz yz
x y z 3

+ + = + +


+ + =



Bài 4: Cho tam giác đều ABC có AB = a. Gọi O là trung điểm cạnh BC. Một
góc xOy = 60
0
quay quanh đỉnh có các cạnh Ox, Oy lần lợt cắt các cạnh AB và
AC của tam giác ở M và N.
a) Chứng minh 4BM.CN = a
2
b) Gọi H;K là hình chiếu của B;C trên đờng thẳng MN. Chứng minh rằng
Tổng BH+CK luôn không đổi khi góc xOy quay quanh O nhng hai tia Ox
và Oy vẫn cắt các cạnh AB và AC của tam giác.
Bài 5: Chứng minh :
1 3 5 7 9 9999
. . . . 0, 01
2 4 6 8 10 10000
<
Hết
Hớng dẫn chấm
Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Năm học 2009-2010

Môn: Toán
Bài 1: 2 điểm
a. Phân tích đợc:
A=(n-1).n.(n+1)(n+2) (0,5 đ)
Chỉ ra A chia hết cho 3 (0,25đ)
Chỉ ra đợc A chia hết cho 8;
Mà (3;8)=1 nên A chia hết cho 3.8=24 (0,25 đ)
b) Biến đổi đợc (x-3)(y-2)=5 (0,5 đ)
Tìm đợc x;y (0,5đ)
Bài 2 2 điểm)
a) ĐKXĐ: 0,25 đ
Rút gọn đợc
5
( 5)
P
x x
=

(0,75đ)
b) Giải phơng trình:
a
4
-3a
3
+2a
2
+ 2a-4 = 0

(a-2)(a+1)(a
2

-2a+2)=0 (0,5đ)

a=2 hoặc a=-1
a=2 loại vì không thoả mãn ĐKXĐ (0,25đ)
Vậy a=-1 từ đó tính đợc P=5/6 (0,25đ)
Bài 3(2 điểm)
2 2 2
2009 2009 2009 2010
x y z xy xz yz (1)
x y z 3 (2)

+ + = + +


+ + =


Từ (1) suy ra đợc x=y=z (1,5đ)
Thay vào (2) và tính đợc x=y=z=3 (0,5đ)
Bài 4: (3 điểm)
Vẽ hình: 0.25 đ
a. Chứng minh tam giác MBO và ONC đồng dạng (0,75đ)
Từ đó suy ra BM.CN= BO.OC=BC
2
/4=a
2
/4 (0,5đ)
b. Hạ OT vuông góc MN; OP vuông góc với AB
CH/m BH+CK=2OT (0,5 đ)
Ch/m OT=OP (0,5đ)

Mà OP Không đổi(
3
4
a
=
) suy ra: BH+CK không đổi (0,5đ)
Bài 5: (1 đ)
A=
1 3 5 7 9 9999 2 4 6 9998 10000
. . . . . . .
2 4 6 8 10 10000 3 5 7 9999 10000
B
< =

Suy ra: A
2
<A.B (0,5đ)
Tính A.B=
1 1
. Hay A<0,01
10000 100
A
<
(0,5đ)