ĐỀ -24 HSG TOÁN 8

Trờng thcs nguyễn khắc viện
đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi khối 8 lần 2
Năm học:2010-2011
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: Rút gọn phân thức
( )
( )
( )
( )
11
11
222
222
++
++++
=
xaaax
xaaax
P
Câu 2: a)Cho biểu thức A=
3
3
2 1
2 2x x
x x

.Hãy phân tích A thành tích
b)Cho
1
=
+

+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
.Chứng minh rằng
0
222
=
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Câu 3: Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì
a
3
+ b
3
+ c

3
+ 3a
2
+ 3b
2
+ 3c
2
chia hết cho 6.
Câu 4: Cho x+y=2011.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P=x(x
2
+y)+y(y
2
+x)
Câu 5: Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A vẽ đờng thẳng AK song song
với BC. Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD, BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E.
Chứng minh rằng
a) EF//AB
b) AB
2
= CD.EF
Hết
Câu 2: (4 điểm)
a)Rút gọn P ta đợc kết quả cuối cùng:
P=
1
1
2
2
+
++

aa
aa

b) với mọi x thì
1
1
2
2
+
++
=
aa
aa
P
P không phụ thuộc vào x
xét mẫu a
2
- a + 1= (a - 1/2)
2
+ 3/4>0 vì (a - 1/2)
2
0
nên P có nghĩa với mọi x, mọi a
Câu 3: (4 điểm)
a) (2 điểm): Nhân cả 2 vế của
1
=
+
+
+

+
+
ba
c
ac
b
cb
a
với a+ b+ c
sau đó rút gọn kết quả cuối cùng ta đợc :

0
222
=
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
b) đặt
r
c
c
q

b
b
p
a
a
===
2
1
2
1
2
1
,,
ta có p + q + r = 0 (1)
và
1
111
=++
rqp
(2)
từ (2)
12
111
222
=
++
+++
pqr
rqp
rqp

Kết hợp với (1) ta có:
1
111
222
=++
rqp
Vậy
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
=
++
++
cba
cba
Câu 5: (5 điểm)
a)(2,5 điểm)
AEB đồng dạng với KED (g.g)

KD

AB
EK
AE
=
àB đồng dạng với CFI (g.g)

CI
AB
FC
AB
=
Mà KD = CI = CD AB
⇒
KCEF
FC
AF
EK
AE
//
⇒=
(®Þnh lý ®¶o talÐt trong ∆ AKC
b)(2,5 ®iÓm)
∆AEB ®ång d¹ng víi ∆ KED (CMT) ⇒
EB
DE
AB
DK
=
⇒
EB

EBDE
AB
ABDK
+
=
+
⇒
EB
DB
AB
DC
EB
DB
AB
KCDK
=⇒=
+
(1)
Bµi 2. Cho 3 sè tù nhiªn a, b, c. Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho 3 th× a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3a
2
+ 3b
2
+ 3c
2

chia hÕt cho 6. (3 ®iÓm)
A = a + b + c

3 =>2A

6; B = a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3a
2
+ 3b
2
+ 3c
2
C = B + 2A = a
3
+ 3a
2
+ 2a + b
3
+ 3b
2
+ 2b + c
3
+ 3c
2
+ 2c

= a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2)
a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) lµ tÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp nªn
chia hÕt cho 6 => C

6 => B

6