đề thi học sinh giỏi toán 7- có đáp án

®Ò chän ĐỘI TUYỂN häc sinh giỎi
NĂM HỌC 2010-2011
Câu 1: Tìm các số x, y, z biết.
a/ (x – 1)
3
= - 8 b/
9 7 5 3x x− = −

c/ x - 3
x
= 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Câu 2:
a/ Tìm số dư khi chia 2
2011
cho 31
b/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6.
Chứng minh rằng: 4
a
+ a + b chia hết cho 6
c/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x
2
+ 5y
2
= 74
Câu 3:
a/ Cho tỉ lệ thức
a b
b c
=

. Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức:
2 2
2 2
a b a
b c c
+
=
+
b/ Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra
hai số bất kì và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên
bảng thì dừng lại. Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Giải thích?
C©u 4: TÝnh :
a) B = 1+
)20 321(
20
1
)4321(
4
1
)321(
3
1
)21(
2
1
++++++++++++++

®Ò chän ĐỘI TUYỂN häc sinh giỎi
NĂM HỌC 2010-2011
Câu 1: Tìm các số x, y, z biết.

a/ (x – 1)
3
= - 8 b/
9 7 5 3x x− = −

c/ x - 3
x
= 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Câu 2:
a/ Tìm số dư khi chia 2
2011
cho 31
b/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6.
Chứng minh rằng: 4
a
+ a + b chia hết cho 6
c/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x
2
+ 5y
2
= 74
Câu 3:
a/ Cho tỉ lệ thức
a b
b c
=
. Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức:
2 2
2 2
a b a

b c c
+
=
+
b/ Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra
hai số bất kì và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên
bảng thì dừng lại. Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Giải thích?
C©u 4: TÝnh :
a) B = 1+
)20 321(
20
1
)4321(
4
1
)321(
3
1
)21(
2
1
++++++++++++++

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =
12001 + xx
c) Cho đa thức: f(x) = 5x
3
+ 2x
4
x

2
+ 3x
2
x
3
x
4
+ 1 4x
3
. Chứng tỏ rằng
đa thức trên không có nghiệm
Cõu 5: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, ng cao AH. V v phớa ngoi tam giỏc
ABC cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng cõn ti A. T E v F k ng vuụng gúc EK
v FN vi ng thng HA.
a/ Chng minh rng: EK = FN.
b/ Gi I l giao im ca EF vi ng thng HA. Tỡm iu kin ca tam giỏc
ABC EF = 2AI.
Cõu 6:
a/ Cho bn s khụng õm tha món iu kin a + b + c + d = 1. Gi S l tng cỏc giỏ tr
tuyt i ca hiu tng cp s cú c t bn s a, b, c, d. Hi S cú th t c giỏ tr
ln nht bng bao nhiờu.
b/ Cho tam giỏc nhn ABC vi
ã
BAC
= 60
0
. Chng minh rng BC
2
= AB
2

+ AC
2
AB.
AC.
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =
12001 + xx
c) Cho đa thức: f(x) = 5x
3
+ 2x
4
x
2
+ 3x
2
x
3
x
4
+ 1 4x
3
. Chứng tỏ
rằng đa thức trên không có nghiệm
Cõu 5: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, ng cao AH. V v phớa ngoi tam giỏc
ABC cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng cõn ti A. T E v F k ng vuụng gúc EK
v FN vi ng thng HA.
a/ Chng minh rng: EK = FN.
b/ Gi I l giao im ca EF vi ng thng HA. Tỡm iu kin ca tam giỏc
ABC EF = 2AI.
Cõu 6:
a/ Cho bn s khụng õm tha món iu kin a + b + c + d = 1. Gi S l tng cỏc giỏ tr

tuyt i ca hiu tng cp s cú c t bn s a, b, c, d. Hi S cú th t c giỏ tr
ln nht bng bao nhiờu.
b/ Cho tam giỏc nhn ABC vi
ã
BAC
= 60
0
. Chng minh rng BC
2
= AB
2
+ AC
2
AB.
AC.
HƯỚNG DẪN CHẤM chän häc sinh n¨ng khiÕu
MÔN: TOÁN 7
========================================
Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm
1
(2đ)
a 0,5đ (x – 1)
3
= - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 0,5
b
0,5đ

9 7 5 3x x− = −
Điều kiện: x
≥

3
5
=>
9 7 5 3
9 7 3 5
x x
x x
− = −


− = −

=>
12 12 1
2 6 3
x x
x x
= =
 
⇒
 
= =
 
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 1 hoặc x = 3.
0,5
c
0,5đ
x - 3

x
= 0 Điều kiện x
≥
0
=>
( )
3x x −
= 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 0 hoặc x = 9
0,5
d
0,5đ
12x = 15y = 20z =>
5 4 3
x y z
= =
=>
48
4
5 4 3 12 12
x y z x y z+ +
= = = = =
=> x = 20; y = 16; z = 12
0,5
2
(2,5đ)
a, 1đ
Ta có 2
5
= 32

≡
1 (mod31) => (2
5
)
402

≡
1 (mod31)
=> 2
2011

≡
2 (mod31). Vậy số dư khi chia 2
2011
cho 31 là 2. 1
b
0,75đ
Vì a nguyên dương nên ta có 4
a

≡
1 (mod3) => 4
a
+ 2
≡
0
(mod3)
Mà 4
a
+ 2

≡
0 (mod2) => 4
a
+ 2
M
6
Khi đó ta có 4
a
+ a + b = 4
a
+ 2 + a +1 + b + 2007 – 2010
M
6
Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007
chia hết cho 6 thì 4
a
+ a + b chia hết cho 6
0,25
0,25
0,25
c
0,75đ
Từ 6x
2
+ 5y
2
= 74 => 6x
2

≤

74 => x
2

≤

74
6

mà x nguyên => x
2

∈

{ }
0;1;4;9

Mặt khác ta có x
2
+ 1 = 75 – 5x
2
– 5y
2

M
5 => x
2
= 4 hoặc x
2
= 9
0,25

Nếu x
2
= 4 => y
2
= 10 (loại vì y nguyên)
Nếu x
2
= 9 => y
2
= 4 => (x, y)
∈

{ }
(3,2);(3, 2);( 3, 2);( 3, 2)− − − −
0,25
0,25
3
1,75 đ
a
1đ
Ta có
a
c
=
.
a b
b c
=>
a
c

=
2 2
a b
b c
   
=
 ÷  ÷
   
=
2
2
a
b
=
2
2
b
c
=
2 2
2 2
a b
b c
+
+
.
Vậy nếu có tỉ lệ thức
a b
b c
=

ta có tỉ lệ thức:
2 2
2 2
a b a
b c c
+
=
+
0,75
0,25
b
0,75đ
Gọi S là tổng tất cả các số được ghi trên bảng
Ta có S = 1 + 2 + 3 + … + 2008 =
2008.2009
2
= 1004.2009 là
một số chẵn. Khi lấy ra hai số a, b và thay vào bằng hiệu của hai
số thì tổng S bớt đi (a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn.
Nên tổng mới phải là một số chẵn.
Vậy trên bảng không thể còn lại số 1
0,25
0,25
0,25
4
(2,5đ)
Vẽ hình và GT-KL đúng, đẹp 0,25
a
1,5
Chứng minh

∆
KAF =
∆
HBA ( ch – gn) => EK = AH
Chứng minh
∆
NFI =
∆
HCA ( ch – gn) => FN = AH
Suy ra EK = FN
0,5
0,5
0,5
b
0,75đ
Chứng minh
∆
KEI =
∆
NFI ( c.g.c) => EI = FI =
EF
2
Mà AI =
EF
2
(gt) => AI = EI = FI =>
·
·
IEA IAE=
và

·
¶
IAF IFA=
=>
·
EAF
= 90
0
=>
·
BAC
= 90
0

Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A
0,25
0,25
0,25
5
(1,25đ)
a
0,75đ
Giả sử
0a b c d
≥ ≥ ≥ ≥
Ta có S =
a b b c c d a c a d b d− + − + − + − + − + −
=> S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d
=> S = 3a + b – (c + 3d)
Mà c + 3d

≥
0 => S
≤
3a + b
Mặt khác a + b + c + d = 1 => a
≤
1.
Suy ra S = 3a + b = 2a + a + b
≤
2.1 + 1 = 3
Dấu bằng xảy ra khi
c 3d 0
1
1
a b c d
a
+ =


+ + + =


=

<=>
1
0
a
b c d
=



= = =

Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a, b, c, d có một số bằng
1 còn ba số bằng 0
0,25
0,25
0,25
b
0,5đ
Kẻ BH
⊥
AC
0,25
K
I
H
N
F
E
C
B
A
Vì
·
BAC
60
0
=>

·
ABH
= 30
0
=> AH =
2
AB
(1)
Áp dụng dịnh lí Pytago ta có
AB
2
= AH
2
+ BH
2
và BC
2
= BH
2
+ HC
2
=> BC
2
= AB
2
– AH
2
+ CH
2
=> BC

2
= AB
2
–
AH
2
+ (AC – AH)
2
=> BC
2
= AB
2
– AH
2
+ AC
2
– 2AH.AC + AH
2

=> BC
2
= AB
2
+ AC
2
– 2AH.AC (2)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
0,25
Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng
bằng cách khác cho điểm tối đa

H
C
B
A