De toan HSG Lao cai

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
NĂm học 2010 - 2011
Câu 1: (4 điểm)
a. Cho A = 6
2011
6. Chứng minh rằng A chia hết cho 7
b. Chứng minh rằng với mọi số n

N và n >1 thì giá trị của biểu thức
( ) ( )
2
3 1
1 2 1 1
n
A
n n n
= +
+ +
không thể là một số tự nhiên
Câu 2: (5 điểm)
2.1. Cho
3 3
13 2 42 ; 17 5 38; 17 5 38x y z= = + =

Tính giá trị biểu thức
x
B
y z
=

2.2. Cho phơng trình:

2
1 1 1
2011 3 2011 2 2011 2 2011 1 2011 1 2011
m
x x x x x x
+ + =
+ + + + + + + +
a. Giải phơng trình khi m=1
b. Tìm điều kiện của m để phơng trình đã cho có nghiệm
Câu 3: (5 điểm )
3.1, Cho hàm số y=mx-2m-1 (m

0)
a. Xác định m đề đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1; 1)
b. Gọi A, B lần lợt là giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox và Oy. Tìm m>0
để diện tích tam giác OAB bằng 4 (đvdt)
3.2 Tìm số có hai chữ số. Biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích hai
chữ số của nó có phân số tối giản là
16
9
và hiệu của phân số cần tìm với số có cùng
các chữ số của nó nhng viết theo thứ tự ngợc lại là 27.
Câu 4: (4 điểm )
Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d không đi qua O, cắt đờng tròn (O; R) tại
hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên d ở ngoài đờng tròn (O; R) vẽ hai tiếp
tuyến MN và MP với đờng tròn tâm (O) (với N, P là các tiếp điểm)
a. Chứng minh rằng MN
2
= MP
2

= MA.MB
b. Xác định vị trí của điểm M trên d để tứ giác MNOP là hình vuông
c. Chứng minh rằng khi tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP chạy trên
đờng thẳng cố định khi M di động trên đờng thẳng d
Câu 5: (2 điểm )
Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của
ngũ giác có cùng diện tích bằng 1. Tính diện tích ngũ giác đó.
Đáp án:
Câu 1: a. Cho A = 6
2011
6. Chứng minh rằng A chia hết cho 7
A = 6
2011
6 = 6(6
2010
1) = 6(36
1005
1) = 6.(36-1)(36
1004
+36
1003
+ +36+1)
Thấy 6.35 chia hết cho 7 vậy A = 6
2011
6. chia hết cho 7
b.
( ) ( )
2
3 1 3 1
1

1 2 1 1 2 1 2 1
n n n
A
n n n n n

= + = = +
+ +
Với n>1 thì 2n -1> n> 1

0 <
2 1
n
n
<1
Vậy
( ) ( )
2
3 1
1 2 1 1
n
A
n n n
= +
+ +
không thể là một số tự nhiên.
Câu 2: 2.1. Cho
3 3
13 2 42 ; 17 5 38; 17 5 38x y z= = + =

Tính giá trị biểu thức

x
B
y z
=

Bg:
13 2 42 7 6x = =
( )
3
3 2
3 3
3
17 5 38 2 3.2 5 3.2.5 5 5 2 5 2 5y = + = + + + = + = +
( )
3
17 5 38 2 5z = =
Vậy
7 6
4
B

=
2.2. Cho phơng trình:
2
2
2
1 1 1
2011 3 2011 2 2011 2 2011 1 2011 1 2011
2011 3 2011 2 2011 2 2011 1 2011 1 2011
1 1 1

2011 3 2011
m
x x x x x x
x x x x x x
m
x x m
+ + =
+ + + + + + + +
+ + + + +
+ + =
+ =
a. Giải phơng trình khi m=1
b. Tìm điều kiện của m để phơng trình đã cho có nghiệm
Câu 3: Gọi số đó là
ab
thì phân số
16
. 9
ab
a b
=
(1)
Theo bài ra ta có:
27
10 10 27
3 3
ab ba
a b b a
a b a b
=

+ =
= => = +

Thay vào (1) có:
( )
( )
3 10
16
3 . 9
b b
b b
+ +
=
+
2
16 51 270 0
6 ( )
b b
b l
=
=> = ấy

a= 9
Vậy phân số phải tìm là
96
54

Câu 4:
a. Chứng minh rằng MN
2

= MP
2
= MA.MB
Cần chứng minh
MPB

MAP
(g-g)


MP MB
MA MP
=
(đpcm)
b. Xác định vị trí của điểm M trên d để tứ giác MNOP là hình vuông
(Loi giai chua het)
Nguyen Hien 0978143536 Vinh yen