HD chấm đề Toán HSG huyện (08-09)

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS
CẤP HUYỆN
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Khóa ngày 10 tha
́
ng 02 năm 2009
Môn: TOÁN
Bài Nội dung Điểm
Câu 1
(6,0đ)
1) (3,0 điểm)
 Điều kiện: x
≥

5
2
 Khi đó, phương trình đã cho tương tương với phương
trình:
2 2
( 2x 5 3) ( 2x 5 1) 4− + + − − =
⇔
2x 5 3 2x 5 1 4− + + − − =
⇔

1 2x 5 2x 5 1− − = − −
 Do đó:
1 2x 5 0 x 3− − ≥ ⇔ ≤
 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có:
5
x 3
2

≤ ≤
 Vậy tập nghiệm của phương trình là mọi x:
5
x 3
2
≤ ≤
2) (3,0 điểm)
 Ta có: P =
1 2x 3 2x
+ + −
 Mà:
1 2x 3 2x+ + −

1 2x 3 2x 4≥ + + − =
Nên P
≥
4
 Vậy: P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi (1+ 2x)(3-2x)
≥
0

⇔

1 3
x
2 2
− ≤ ≤
0,25
1,0
0,5

0,5
0,25
0,5
0,5x2
1,0
0,5
0,5
Câu 2
(3,0đ)
 S =
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 3 1 4 1 n 1
...
2 3 4 n
− − − −
+ + + +
S =
2 2 2 2
1 1 1 1
(1 ) (1 ) (1 ) ... (1 )
2 3 4 n
− + − + − + + −
S = n – 1 – (
2 2 2 2
1 1 1 1
...
2 3 4 n
+ + + +
) < n – 1

Vậy: S < n – 1 (1)
 Ta chứng minh: S > n – 2
Thật vậy:
0,5
0,5
1

2 2 2 2
1 1 1 1
...
2 3 4 n
+ + + +
<
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 (n 1).n
+ + + +
−
<
1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( ) ... ( )
2 2 3 3 4 (n 1) n
− + − + − + + −
−
< 1 -
1
n

Do đó: S > n – 1 – (1 -
1

n
) = n – 2 +
1
n
> n -2
Vậy: S > n – 2 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: n – 2 < S < n – 1 với mọi số
nguyên dương n
≥
2.
Mà: n – 2 và n – 1 là hai số nguyên dương liên tiếp.
Nên: S không là số nguyên.

0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 3
(3,0đ)
 Gọi x (km/h) là vận tốc người thứ hai.
y (km) là chiều dài quãng đường đua.
Điều kiện: x
≥
3, y > 0
 Ta có: x + 15 (km/h) là vận tốc môtô thứ nhất.
x – 3 (km/h) là vận tốc môtô người thứ ba.
12 phút =
1
5
giờ

3 phút =
1
20
giờ
 Theo đề bài ta có hệ phương trình:
y y 1
x x 15 5
y y 1
x 3 x 20

− =


+


− =

−

 Phương pháp giải hệ phương trình trên.
Kết quả: x = 75, y = 90
 Vậy: vận tốc môtô thứ nhất là: 90 km/h;
vận tốc môtô thứ hai là: 75 km/h;
vận tốc môtô thứ ba là: 72 km/h.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,5
0,25x2
0,25x3
Câu 4
(3,0đ)
 Đặt AC = AB = x, BC = y.
Ta có: tam giác AHC đồng dạng với tam giác BKC ( vì
có góc nhọn C chung) nên:
AH BK
AC BC
=

Hay AH.BC = BK.AC
0,5
0,5
2
K
H
A
B
C
Vậy: 5y = 6x (1)
 Mặt khác: trong tam giác AHC vuông tại H ta có:
2 2 2
AC AH HC= +
Hay
2
2 2
y
x 10

2
 
= +
 ÷
 
(2)
 Từ (1) và (2) ta suy ra: x =
25
2
, y = 15.
Vậy: AB = AC =
25
2
cm, BC = 15cm
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 5
(5,0đ)
1) (2,5 điểm)
 Lấy điểm D trên cạnh MC sao cho MD = MB
Ta có: góc BMD bằng 60
0
.
Vậy: tam giác BMD đều.
 Suy ra: BM = BD (1)
 Ta có:
·
·

MBA DBC=
( vì cùng bằng 60
0
-
·
ABD
). (2)
AB = BC (3)
 Từ (1), (2), (3) suy ra:
MBA DBC∆ = ∆
.
 Do đó: DC = MA
 Vậy: MA + MB = CD + DM = MC
2) (2,5 điểm)
 Do M thuộc cung nhỏ AB nên theo câu 1)
Ta có: P = MA + MB + MC = MC + MC = 2MC
P = 2MC
≤
2. 2R = 4R ( R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.)
 Mà: R =
a 3
3

 Nên P
4a 3
3
≤
0,5
0,5

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
3
C
D
B
A
M
 Vậy: P đạt giá trị lớn nhất bằng
4a 3
3
khi đó M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB.
0,5
0,5
4