Tài liệu bật phương trình và hệ phương trình vô tỉ

Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
1

PHƢƠNG TRÌNH-BÂT PHƢƠNG TRÌNH-HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ

A. Phƣơng trình - bất phƣơng trình chứa căn thức
I. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng
1. Kiến thức cần nhớ:
22
2 1 2 1
22
2 1 2 1
1.
2. 0
3. ,
4. 0
5. ,
n
n
nn
nn
nn
nn
aa
a b a b ab
a b a b a b
a b a b
a b a b a b

2. Các dạng cơ bản:
* Dạng 1:
2
0gx
f x g x
f x g x
(Không cần đặt điều kiện
0fx
)
* Dạng 2:
f x g x
xét 2 trường hợp:
TH1:
0
0
gx
fx
TH2:
2
( ) 0gx
f x g x

* Dạng 3:
2
( ) 0
0
fx
f x g x g x
f x g x

Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai
(ax
2
+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho
0gx
rồi bình phương 2 vế đưa
phương trình bất phương trình về dạng quen thuộc.
+ Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình
12
0 1 2 1
0
n n n
nn
a x a x a x a x a
có nghiệm x=
thì chia vế trái cho cho x– ta được
12
0 1 2 1
0
nn
nn
x b x b x b x b
, tương tự cho bất phương
trình.
* Phương trình bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng,
nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm
số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác.
* Phương trình bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình
theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trình bất phương trình bậc 3
và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác.

Ví dụ 1: Giải phương trình:
01312
2
xxx
(ĐH Khối D – 2006)
Biến đổi phương trình thành:
2
2 1 3 1x x x
(*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được:
028116
234
xxxx
ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được:
(*) (x – 1)
2
(x
2
– 4x + 2) = 0.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
2
2
4 1 2 10 1 3 2x x x
, ĐK:
2
3
x

2
2 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5pt x x x x x x x x
(1), Với

3
2
x
hai vế (1) đều không
âm nên ta bình phương 2 vế: x
3
– x
2
– 5x – 3
0
2
3 1 0xx

b) Tương tự với 2 dạng: *
f x g x
*
f x g x

Ví dụ 1: Giải bất phương trình
2
2 6 1 2 0 1x x x

Giải


Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
2
2
1 2 6 1 2x x x
bất phương trình tương đương với hệ:

2
2
2
20
3 7 3 7 3 7
2 6 1 0 3
2 2 2
2 6 1 2
13
x
x
x x x x x
x x x
x

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình
2
2 1 2x mx m
có nghiêm.
Giải
* Nếu m < 2 phương trình vô nghiệm.
* Nếu m 2 phương trình x
2
2mx m
2
+4m 3=0. Phương trình này có =2m
2
4m+3>0 với mọi m.
Vậy với m 2 thì phương trình đã cho có nghiêm.
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình

2
2 3 1x mx x
có hai nghiệm phân biệt.
Giải:
Cách 1:
2
1
2 4 0,(*)
x
PT
x m x
, phương trình (*) luôn có 2 nghiệm:
22
12
2 4 20 2 4 20
0, 0
22
m m m m m m
xx
. Phương trình đã cho có 2 nghiệm (*) có
2 nghiệm
1x
2
2
2
2
4
1 4 4 20 1
4 4 20
m

x m m m m
m m m

Chú ý: + x
1
> 0, x
2
< 0 vì x
1
> x
2
và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.
+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm.
+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với
10xt
.
(*) trở thành:
2
1 2 1 4 0t m t
(**). Để (*) có 2 nghiệm
1x
thì (**) phải có 2 nghiệm
0t
.
Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:
2
2 2 1x mx x
, (1)
Giải:
2

2 1 0
3 4 1 0, 2
x
pt
x m x
để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc
bằng
1
2
hay
2
4 12 0
19
0
22
1
22
m
fm
S
.
Chú ý : Cách 2: đặt
1
2
tx
, khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng
1
2
thì
2

11
3 4 1 0
22
t m t
có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0.
3. Các kỹ năng:
a. Để bình phƣơng 2 vế phƣơng trình – bất phƣơng trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âm
hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
5 1 1 2 4x x x
(ĐH Khối A – 2005)
Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành:
5 1 1 2 4x x x

khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
1 2 2 1x x x x x
.
Giải


Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
3
Điều kiện:
1
2*
0
x
x

x
2 2 2 2
2
2 2 2
2
1 2 2 1 2 4 2 1 2 2 1
4 2 2 1
8 9 0
x x x x x x x x x x x
x x x x x
xx

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0,
9
8
x
.
(Hãy tìm thêm cách giải khác)
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình
22
2 4 0x mx x
có nghiệm.
HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được
2
1,2
16
2
mm
x
. Kết hợp với điều kiện ta tìm

được |m| 4.
b. Chuyển về phƣơng trình – bất phƣơng trình tích:
- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức
Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích...
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
77xx
.
HD:
Bình phương hai vế.
Dùng hằng đẳng thức a
2
b
2
=0.
Nghiệm
1 29
2,
2
xx
.
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a.
2
2
4
11
x
x
x
b.

22
3 2 3 2 0x x x x

ĐS: a. 1 x<8, b.
1
; 2 3;
2
.
Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai
nghiệm thực phân biệt:
2
2 8 2x x m x
.(1)
Giải: ĐK:
2x
, do m > 0.
)2(,326
2
242
23
mxx
x
xmxxpt
. Để chứng minh
0m
, phương trình (1) có
2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm khác 2.
Thật vậy: đặt
32
6 32, 2f x x x x

, ta có f(2) = 0,
'2
lim , 3 12 0, 2
x
f x f x x x x

nên f(x) là hàm liên tục trên
2;
và đồng biến trên khoảng đó suy ra
0m
phương trình (2) luôn có
nghiệm x
0
mà 2 < x
0
< .
Một số dạng chuyển thành tích:
- Dạng:
--a c x b d
ax b cx d
m

Ta biến đổi thành:
()m ax b cx d ax b cx d

Ví dụ: Giải phương trình:
3
4 1 3 2
5
x

xx
. ĐS: x=2.
- Dạng: u+v=1+uv (u-1)(v-1)=0
Ví dụ: Giải phương trình:
3
2
33
1 2 1 3 2x x x x
. ĐS: x=0, x= 1.
Ví dụ: Giải phương trình:
32
4
4
11x x x x
. ĐS: x=0, x=1.
- Dạng: au+bv=ab+uv (u b)(v a)=0
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x
. ĐS: x=0, x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
3 2 2 2
3 3 2 3 2 2x x x x x x x
. ĐS: x=0.
- Dạng: a
3
b
3
(a b)(a
2

+ab+b
2
)=0 a=b


Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
4
Ví dụ: Giải phương trình:
2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x
. ĐS: x=1.
c. Chuyển về dạng: A
1
+ A
2
+....+ A
n
= 0 với
,01
i
A i n
khi đó pt tƣơng đƣơng với:
,,
12
0 0 0
n
A A A

.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
4 3 3 4 3 2 2 1x x x x x
.
HD: Phương trình tương đương
2
4 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x
. ĐS: x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
22
4 2 4x y y x y
.
Giải
Bình phương hai vế ta được
22
2
1
2 1 2 2 2 4 0 , 2.
2
x y y x y x y

d. Sử dụng lập phƣơng:
Với dạng tổng quát
3 3 3
a b c
ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức
3
33
3a b a b ab a b

khi đó phương trình tương đương với hệ
3 3 3
3
3
a b c
a b abc c
. Giải hệ này ta có
nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Giải bất phương trình
3 3 3
1 2 2 3x x x
. ĐS:
3
1; 2;
2
x x x
.
e. Nếu bất phƣơng trình chứa ẩn ở mẩu:
- TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
2
2 16
7
31
33
x
x
x
xx
(ĐH Khối A 2004)

Giải
ĐK:
4x
.
22
1 2 16 3 7 2 16 10 2x x x x x


2
2
4
5
10 2 0
10 2 0
10 34 5
2 16 10 2
x
x
x
x
x
xx

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
10 34x
.
- TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a.
22
3 4 9x x x

b.
2
51 2
1
1
xx
x
.
HD: a. Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x<3. ĐS:
5
3
6
xx
.
b. Xét hai trừng hợp của x 1. ĐS:
1 52 5 1xx
.
Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
2
2 1 1 0x x x x x x
.
HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành:
2 2 3 2
2 4 4 6 4 0x x x x x x x x
.
22
( 2)(2 2 2) 0x x x x x

b.
22
4 5 1 2 1 9 3x x x x x
. HD: Nhân lượng liên hợp.
Bài 2: Giải bất phương trình sau:
2
1 2 1 2 2 .x x x

HD: Cách 1: Đặt
42
2
4
1 2 1 2
16
tt
t x x x
. Cách 2: Bình phương rồi đưa về dạng:A
1
+A
2
= 0, với
A
1
, A
2

0
.

Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
5
Bài 3: Giải phương trình
4 3 10 3 2xx
. (HD: Bình phương hai lần ra phương trình bậc 4 đầy
đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức).
Bài 4: Giải phương trình
2
2
11
3
x x x x
.
Bài 5: Giải phương trình
2
2 6 1 1x x x
.
Bài 6: Giải các phương trình sau:
1.
2
11xx
2.
33
2 2 3 1xx

3.
3 3 3
2 2 2 9x x x
4.
3

33
1 1 2x x x

5.
2
1 1 2
4
x
xx
6.
2
2 3 3 1
4
x
xx

7.
5 3 3 1 1x x x
. (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A
1
+A
2
= 0, với A
1
, A
2

0
).
Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

m x m x m
.
Bài 8: Tìm m sao cho phương trình:
2
4x x x m
.
a. Có nghiệm.
b. Có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Giải các bất phương trình sau:
a.
2
1 1 4
3
x
x
.
b.
2 2 2
3 2 6 5 2 9 7x x x x x x
.
c.
2 2 2
2 2 3 4 5x x x x x x
.
Bài 10: Giải các phương trình:
a.
33
22
33
1x x x x x

. b.
4
34
3
x
xx
x
.
c.
3
4 3 1 4xx
x
. d.
2
2 3 9 4x x x
.
e.
22
2 1 4 3 1 2 2 6x x x x x x
.

II. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ:
Dạng 1:
0
n
F f x
, đặt
n
t f x
(lưu ý nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t 0).

Ví dụ 1: Giải các phương trình: a.
22
11 31xx
. b.
2
5 2 3 3x x x x
.
HD: a. Đặt
2
11, 0t x t
. ĐS: x= 5.
b. Đặt
2
3 , 0t x x t
. ĐS:
3 109
2
x
.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2 2
2 2 5 2x x m x x m
.
Giải
Đặt:
2
2
5 2 6 1 0; 6t x x x t
.
Khi đó phương trình trở thành

22
2 5 0 * 5t mt m t m
. Phương trình đã cho có nghiệm khi (*)
có nghiệm
0; 6t
hay
0 5 6 5 6 5
0 5 6 5 6 5
mm
mm
.
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình:
2
( 2 2 1) 2 0m x x x x
, (1) có nghiệm
0;1 3x
.
Giải: Đặt
2 2 2
2 2 2 2t x x x x t
. Nếu
31;0x
thì
2;111
2
xt

BPT trở thành:
2
1 2 0, 2m t t