bdt chung minh bang luong giac

Tổ Toán
Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng
thức mà các số bị ràng buộc với nhau bởi các điều kiện nhất định chẳng hạn:
• Nếu có hệ thức thì có thể đặt x = cosa; y = sina.
• Nếu có hệ thức xy=1 thì có thể đặt: x = tana; y = cota;
Ghi chú: Ở đây không ngoại trừ bài toán sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác
với các quan hệ lượng giác.
BÀI TẬP ÁP DỤNG.
BÀI TẬP 1.
Cho bốn số thực x, y, u, v thoả mãn:
CMR:
GIẢI.
Đặt: và
Khi đó : u(x – y) + v(x + y) = cosb(cosa-sina)+sinb(cosa+sina) = cos(a-b)+sin(b-a)
=
)
4
cos(2
π
−− ab
Do đó
bài toán chưa thấy ngay yếu tố để ta chuyển về dạng lượng giác, cần qua một quá
trình biến đổi và đặt ẩn phụ thích hợp mới có thể chuyển về dạng lượng giác thuận
lợi cho quá trình giải. Ví dụ :
BÀI TẬP 2.
Cho 4 số dương a, b, c, d. CMR:
(1)
GIẢI

Với bài này ta có thể sử dụng BĐT BunhiaCopski với 4 số , tuy nhiên
chúng ta có thể dùng phương pháp lượng giác để giải bài này.
Các yếu tố để chúng ta chuyển về dạng lượng giác vẫn chưa xuất hiện. Chúng ta
cần biến đổi để làm xuất hiện yếu tố đó.
Ta có : (1) tương đương với.
1
)1)(1()1)(1(
1
1
))(())((
≤
++
+
++
<=>≤
++
+
++
b
c
a
d
ab
cd
b
c
a
d
cbda
cd

cbda
ab
Đặt
b
c
y
a
d
x ==
22
tan;tan

Ta có
1)cos(sin.sincos.cossin.sincos.cos
2222
≤±=+=+= yxyxyxyxyxVT
BĐT cuối đúng, do đó (2) được CM. Suy ra (1) được CM.
Năm học: 2008 – 2009
Tổ Toán
Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng
Nếu so sánh với cách giải này với cách dùng BĐT cổ điển thì quả thật cách này là
khá dài và hơi phức tạp. Tuy nhiên nó cho ta một hướng mới để nhìn nhận một bài
toán.
BÀI TOÁN 3.
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn
CMR
GIẢI.
Giả thiết tương đương với
c
ab

b
ac
a
bc
c
ab
b
ac
a
bc
abc
abc
abc
abacbc
abcabacbc 2.3.6236
36236
36236 =++⇔=
++
⇔=++
Trong tam giác ta có:
2
cot.
2
cot.
2
cot
2
cot
2
cot

2
cot
CBACBA
=++
Đặt
;
2
cot3;
2
cot2
B
b
caC
c
ab
==
từ giả thiết suy ra
2
cot6
A
a
bc
=

Với A,B,C là 3 góc của tam giác ABC
Vậy
2
cot1
1
.

2
cot1
1
.
2
cot1
1
222
CBA
VT
+++
=

BÀI TẬP 4.
Cho a,b,c, dương và 2009ac+ab+bc=2009
Tìm Max P=
1
3
2009
2
1
2
222
2
2
+
+
+
−
+ cb

b
a
GIẢI.
Năm học: 2008 – 2009
Tổ Toán
Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng
Từ giả thiết ta có:
1.
20092009
. =++ c
bb
aac
Đặt
2
tan
2009
;
2
tan
BbA
a ==
với A; B∈( 0;π)thay vào giả thiết ta có
2
tan
C
c =
với
A,B,C là 3 góc của tam giác ABC. Nên

3

10
2
cos
3
1
2
sin3
2
cos
3
1
3)
2
sin1(3coscos
2
cos3
2
sin2
2
cos2
2
tan1
3
2
tan
1
1
2
2
tan1

2
2
22
222
2
2
2
≤






−
−−
−
+=−++=
+−=
+
+
+
−
+
=
BACBAC
BA
CBA
C
B

A
P
BÀI TẬP 5.
cho x,y thay đổi thoả mãn
Tìm Max ,Min của Z=y-2x+5
GIẢI
Đặt
ax sin
6
5
=
thì từ giả thiết ta có
ay cos
4
5
=
.
Nên
5cos
2
5
sin
6
5
5cos
2
5
sin
6
5

−=−⇔+−= ZaaaaZ
(*)
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi
( )
6
37
6
23
36
49
4
5
36
5
5
2
≤≤⇔=+≤− ZZ
BÀI TẬP 6.
CMR
Với a,b thỏa mãn
GIẢI
Đặt a=sinx; b=siny.
Ta có
( )
yxyxxyyVT
2222
sin1)sin1(sin.(sin3sin1sinsin1sin −−−+−+−=
TH1. cosx ≥ 0 và cosy ≥ 0 ta co
2)
3

sin(2)cos(3)sin( ≤−+=+−+=
π
yxyxyxVT
BÀI TẬP 7.
Chứng minh rằng:
GIẢI
Đặt a=tanx; b=tany ta có
Năm học: 2008 – 2009
Tổ Toán
Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng

( )( )
( )( )
2
1
)(2sin
2
1
)cos()sin(
tan1tan1
tan.tan1tantan
22
≤−=−−=
++
−−
= yxyxyx
yx
yxyx
VT

BÀI TẬP 8.
Chứng minh rằng:

GIẢI.
Đặt a=tanx; b=tany; c=tanz:
BĐT tương đương với
)sin()sin()sin(
tan1.tan1
tantan
tan1.tan1
tantan
tan1.tan1
tantan
222222
zxzyyx
zx
zx
zy
zy
yx
yx
−≥−+−
++
−
≥
++
−
+
++
−

Thật vậy
)sin()sin()sin()sin()sin( zxzyyxzyyx −≥−+−≥−+−
đfcm
BÀI TẬP 9.
Cho a, b, c dương, thỏa mãn a.b+bc+ca=1
Chứng minh
2
33
111
222
≥
+
+
+
+
+ c
c
b
b
a
a
GIẢI.
Đặt
2
tan;
2
tan
B
b
A

a ==
từ giả thiết suy ra
2
tan
C
c =
; với A, B, C là 3 góc của tam
giác nhọn ABC
BĐT tương đương với
2
33
)tantan(tan
2
1
≥++ CBA
luôn đúng
BÀI TẬP 10.
Cho a, b, c>0 và abc+c+2b=2a. Chứng minh rằng
2
3
411
1
2
2
2
2
2
≤
+
+

+
+
+ c
c
b
b
a
GIẢI.
Đặt a=tanA;
B
b
tan
1
=
. Từ giả thiết suy ra được
C
c
tan
2
=
. Với A,B,C là 3 góc của
tam giác nhọn ABC. Nên BĐT tương đương với
2
3
coscoscos ≤++ CBA
. Luôn đúng
BÀI TẬP 11
Cho a, b, c thuộc (0;1). Ch ứng minh rằng
GIẢI.
Đ ặt a=sin

2
x; b= sin
2
y; c=sin
2
z. ta c ó s inx.siny.sinz+c os
Năm học: 2008 – 2009
Tổ Toán
Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng
Năm học: 2008 – 2009