Hệ phương trình chọn lọc và giải chi tiết trong các đề thi thử 2015

PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
1.
(
)
2
2
(1 ) 1 (1 ) 1 1 1 2x x x x x
+ + + − − − = + −
(Trích Đề số 35 của ĐTN-Mathlinks)
Điều kiện:
1 1x
− ≤ ≤
Page 1
Lời mở đầu
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Đặt
2 2
1
( , 0) 2
1
a x
a b a b
b x

= +

≥ ⇒ + =

= −



Bất phương trình tương đương:
(
)
2
3 3 2
1 1 2a b x+ = + + −
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
1 2 1 1 3 1 1 0 1 2 1 2x x x x
+ − − = + − + − ≤ ⇒ + − + ≤
Mà
2 2
3 3 2 3 3 2 3 3
3( ) 2 3.2 2
1 3 ; 1 3 2
2 2
a b
a a a b b b a b
+ − −
+ + ≥ + + ≥ ⇒ + ≥ = =
Dấu bằng xảy ra khi

0x
=
.
1.
2 2
1
1 6 1
( 1) 8
( 1) 1
x y
x x xy y
x y
y x y x
+

=

+ + − − +


+

=

+ − −

(Trích Đề số 34 của ĐTN-Mathlinks)
Điều kiện:
0; 0x y
≠ ≠

Phương trình 1 tương đương:
2 2
6 1 1
1
xy y x x
y x
− − + + +
=
+

1 1
6
1
xy x
y x
⇔ − − + = +
+

1
(y 1) 6
( 1)
y x
x
y x
− −
⇔ + + = −
+
Phương trình 2 tương đương:
8 ( 1)
( 1)

1
y x
x y
y x
+
+ =
− −
Đặt
( 1)
1
( 1)
a x y
y x
b
y x
= +


− −

=

+

. Hệ phương trình tương đương :
2
6
4
8
4

2
a
a b
b
a
a
b
b
 = −



+ = −

= −
 

⇒


=
= −





= −




Với
2
4
a
b
= −


= −


x
y
=

⇒

=

Với
4
2
a
b
= −


= −


x
y
=

⇒

=

Page 2
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
2.

[ ] [ ]
2015 2015
2015 2015
2016 2016
2016 2016
(3 15) (9 3 ) 15 ( 4) 9 ( 4)x x x x+ + − = + − + − −

(Trích Đề số 36 của ĐTN-Mathlinks)
Điều kiện xác định:
[ ]
5;3x ∈ −
Xét hàm số:
2015 2015
2016 2016
( ) (15 ) (9 )f t t t= + + −

[ ]
, 15;9t∀ ∈ −

Suy ra:
1 1
2016 2016
2015
'( ) ( 15) (9 )
2016
f t t t
− −
 
= + − −
 
 

, '( ) 0 3f t t
= ⇔ =
… Suy ra hàm số
( )f t
đồng biến trên
( 15; 3)
− −
; nghịch biến trên
( 3;9)
−
.
Khi đó phương trình tương đương
[ ] [ ]
2015 2015
2015 2015
2016 2016
2016 2016

(3 15) (9 3 ) 15 ( 4) 9 ( 4)x x x x+ + − = + − + − −
(1)
Với:
[ ]
5;1x ∈ −
, phương trình (1) tương đương
3 4x x
= −
2x
⇔ = −
(thoả)
Với:
(
]
1;3x ∈ −
, phương trình (1) tương đương
3 4x x
= −
2x
⇔ = −
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm
2x
= −
3.
4 3 2
2 2
1 2
1
2( 1) 2

x x x
x
x x x x
− + +
+ ≤ +
− + − +
(Trích Đề số 32 của ĐTN-Mathlinks)
Phương trình tương đương
2
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
2 2 2
1 2
1 1 4 1
2 2 2 2 4 2
1 1 2 2
x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
+ + ≤ +
− + − +
⇔ + + + + ≤ + +
− + − + − + − +
Giải từng cái bằng cách quy đồng với bình phương
2
2 2
1 4

2 2
1 2
x x
x x x x
+ + ≥ +
− + − +
(1)
Page 3
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
2
2 2
1 1
2 2 4 2
1 2
x x
x x x x
+ ≥
− + − +
2
2 2
1 1
2
1 2
x x
x x x x
⇔ + ≥
− + − +
(2)
Cả 2 cái (1) và (2) đều đúng vì
2 2

2
2 2
( 1)
(1) ( 1) 0
( 1)( 2)
x x
x
x x x x
−
⇔ − + ≥
− + − +
2 4 2
(2) ( 1) ( 3 2) 0x x x x⇔ − + − + ≥
Từ (1) và (2) để dấu bằng xảy ra khi chỉ khi
1x
=
Vậy nghiệm của bất phương trình
1x
=
.
4.
2
9 1 11 3 2 3x x x x x+ − + − = +
( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế)
Điều kiện :
Phương trình tương đương:
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 3

3 2
2
9 1 11 3 2 3
9 1 2 3 11 3
9 1 15 3 12 9 2(2 3) 11 3
3 14 3 10 2(2 3) 11 3 0
11 3 1 11 3 3 2 11 3 7 0
10
11 3 1 0
3
2
11 3 3 0
3
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x
x
x
x
+ − + − = +
⇔ + − = + − −
⇔ + − = − + + − + −
⇔ − − − + + − =
⇔ − − − − + − + =

=



− − =
⇔ ⇔


− − =



=


Thay lại thấy thoả mãn .
5.
( )
( )
2
2 2 2 2
3
4 1 4 3
( 1) 2 1 6 17
x y x y y x
x y x x y

+ + − + = − +



− − + = + −


( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế)
Điều kiện:
3x
≥ −
Phương trình 1 tương đương:
Page 4
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
(
)
( )
2 2
2
2
2
2
2
4 4 1 3 0
4 1 3 0
0
4 1 0
3
3 0
y x x y y x
x y y x
x
x y
y x
y x
+ + − + + − + =
⇔ + − + + − + =


≥

+ − + =

⇔ ⇔

= +


− + =

Thay
2
3y x= +
vào phương trình 2 ta được
(
)
3
3 2 2
3
3 33 2 2
2 2 1 6 1
( 1) ( 1) 6 1 6 1
x x x x x
x x x x x x
+ − + = + +
⇔ + + + = + + + + +
Xét hàm số
3

( )f t t t= +

, t R
∀ ∈

2
'( ) 3 1.f t t⇒ = +
Suy ra
(
)
3 2
( 1) 6 1f x f x x+ = + +
3
2
1 6 1
( 3)( 1) 0
x x x
x x x
⇔ + = + +
⇔ + − =
0 3
3 0
1 2
x y
x y
x y

= ⇒ =

⇔ = − ⇒ =



= ⇒ =

Vậy hệ phương trình trên có nghiệm
( )
( ) ( )
( ; ) 0; 3 ; 3;0 ; 1;2x y = −
6.
(5 4) 3 2 5 2 (6 1) 3x x x x x+ − + − = + +
( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế)
Điều kiện:
2
2
3
x≤ ≤
. Phương trình tương đương:
( ) ( )
(5 4) 3 2 5 2 (6 1) 3 0
3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 2 3 0
3 2 2 3 0
3 3 3 2 2 3 2 3 0
x x x x x
x x x x x x x x
x x x
x x x x x
+ − + − − + + =
− + − − + + − − − − − + =

− + − − + =


+ − − − − − + =


Ta có:
3 2 2 3x x x− + − = +

1
2 2 3 2 2 3
25
13
x
x x x x
x
=


⇔ + − − = + ⇔

=

Page 5
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Ta lại có:
3 3 3 2 2 3 2 3 0x x x x x+ − − − − − + =

6 6 2 3 2 2 2 3 2 3x x x x x⇔ + = − − + − +
Suy ra
( ) ( ) ( )
6 6 3 2 2 3 2 6 1x x x x x+ ≤ − + − + − = +

(Vô lí)
Vậy phương trình có nghiệm
25
1;
13
x x
= =

7.
2
1 2 2 3 ( 1)( 2)x x x x+ + + = − −
(Đề thi thử ĐH Vinh 2014)
Điều kiện:
1x
≥ −
Nhận thấy
1x
= −
thoả mãn phương trình.
Xét
1x
> −
, phương trình tương đương

( ) ( )
3 2
2
2
4 1 2 2 2 3 3 2 12
4( 3) 4( 3)

( 3)( 2 4)
1 2 2 3 3
4 4
( 3) ( 1) 3 0
1 2 2 3 3
x x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
+ − + + − = − − −
− −
⇔ + = − + +
+ + + +
 
⇔ − + − + − =
 ÷
+ + + +
 
Vì
1x
> −
nên
1 0; 2 3 1x x+ > + >
. Suy ra
4 4
3
1 2 2 3 3x x
+ < −

+ + + +
Hay
2
4 4
( 1) 3 0
1 2 2 3 3
x
x x
+ − + − <
+ + + +
.
Do đó phương trình tương đương:
3 0 3x x
− = ⇔ =
Vậy phương trình có 2 nghiệm
1x
= −
;
3x
=
Page 6
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
8.
3 3
3
3
2 2 2( )
1 2
2 1
y x x y x y

y
x x
y x

+ − + = −



 
−
+ = +

 ÷
 


(1)
(2)
(Trích Đề số 15 của ĐTN-Mathlinks)
Điều kiện:
; 2x y
≥ −
;
, 0x y
≠
;
1
0x
y
+ ≥

Nhận thấy
2x
= −
hoặc
2y
= −
không là nghiệm của hệ phương trình .
Xét
; 2x y
> −
Phương trình 1 của hệ tương đương với:
3 3
2( )
2 2 2 2
y x x y
y x x y
−
− =
+ + + +

Xét hàm số
3
2
4
2 2
( ) '( ) 0
2
2
2 ( 2)
t

t
t t
t
f t f t
t
t
t
+ −
+
+
= ⇒ = = >
+
+
+
,
2t
∀ > −
Suy ra
( )f t
đồng biến.
TH1:
( ) ( )x y f y f x
> ⇒ >
(*) 0
(*) 0
VP
PTVN
VT
>


⇒ ⇒

<

TH2:
( ) ( )x y f y f x
< ⇒ <
(*) 0
(*) 0
VP
PTVN
VT
<

⇒ ⇒

>

TH3:
( ) ( )x y f y f x
= ⇒ =
(*) 0
(*) 0
VP
VT
=

⇒

=


(thoả mãn hệ phương trình)
Thay
x y
=
vào phương trình 2:
3
3
1 2
2 1
x
x x
x x
−
 
+ = +
 ÷
 
Điều kiện:
0x
>
Page 7
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
(
)
( )
( )
3
3
3

3
3 3
2
3
2
3 3
3
2
3
2
3 3
3
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2 2
2 1
( 2) 0
2 2 2
2 2
2 0
( 1)( 2) 0
1 1
x x x x x
x x x x x
x x x x
x
x x

x x x x
x
x x
x x
x x x x
x x
x x x
x y
⇔ + = + −
⇔ + − = − −
+ − − −
⇔ =
+ +
− + − +
 
 ÷
⇔ + − + =
 ÷
+ +
 ÷
− + − +
 
⇔ + − =
⇔ − + + =
⇔ = ⇒ =
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; ) (1;1)x y
=
9.
2 2

2 2
3 2
1 1
1 1
3 1 5
x y
x y x y
y x
x x y

+ +
+ = +


+ +


− − = −


(1)
(2)
(Trích Đề số 16 của ĐTN-Mathlinks)
Điều kiện:
2
5 0 5 5y y− ≥ ⇒ − ≤ ≤
. Phương trình 1 tương đương:
( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
. 2 2 1 1 0
1 1 1 1
. . 0 ( ) 0
1 1 1 1
( ) 0 ( ) ( 1) 0
x y x y
x xy y x xy y x y
y x y x
x y y x x y
x y x y
y x y x
x y x x y y x y x y x y
   
+ + + +
⇔ + + = + + ⇔ − + − =
 ÷  ÷
+ + + +
   
 
− −
⇔ + = ⇔ − − =
 ÷
+ + + +
 

⇔ − + − − = ⇔ − + + = ⇔ =
Thay
2 2
x y=
vào phương trình 2, ta có
3 2 3 2
2
2 2
2 2
2 2 2
3 1 5 3 2 5 1
4 2
( 2)( 1) ( 2) ( 1) 0
5 1 5 1
( 2) ( 1) 5 3 3 0 2 2
x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x x x y
− − = − ⇔ − − = − −
 
− +
⇔ − + = ⇔ − + + =
 
− + − +
 
 
⇔ − + − + + + = ⇔ = ⇒ = ±
 

Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ;y) (2;2);(2; 2)x
= −
Page 8
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
10.
(
)
2 3 2
5 4 1 2 4x x x x x+ < + + −
. (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015)
Điều kiện:
3 2
1 5
2 4 0
1 5 0
x
x x x
x

≥ − +
+ − ≥ ⇔

− − ≤ ≤


Bất phương trình tương đương:
2 2
( 2 4) 3 4 ( 2 4)x x x x x x+ − + < + −

TH1:
1 5 0x− − ≤ ≤
. Khi đó:
2
2 4 0;3 0x x x+ − ≤ ≤
. Hơn nữa hai biểu thức không đồng thời bằng 0.
Vì vậy
2 2
( 2 4) 3 0 4 ( 2 4)x x x x x x+ − + < ≤ + −
Suy ra
1 5 0x− − ≤ ≤
thoả mãn bất phương trình đã cho.
TH2:
1 5x ≥ − +
. Khi đó
2
2 4 0x x
+ − ≥
. Đặt
2
2 4 0; 0a x x b x= + − ≥ = >
. Bất phương trình trở thành:

2 2
3 4 ( )( 3 ) 0 3a b ab a b a b b a b+ < ⇔ − − < ⇔ < <

2
2
2
4 0

1 17 7 65
2 4 3
2 2
7 4 0
x x
x x x x x
x x

+ − >
− + +

⇔ < + − < ⇔ ⇔ < <

− − <


Page 9
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1 17 7 65
; 1 5 0
2 2
S x
 
− + +
 
= ∪ − − ≤ ≤
 ÷
  ÷
 

11.
3
2 4 3 2 2
4 2 4 4 ( 1) 1x x x x x x
− + − + = − + −
(Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015)
Điều kiện:
2
4 0 2 2x x
− ≥ ⇔ − ≤ ≤
Phương trình đã cho tương đương :
2 2 2 2
3
4 2 2 ( 2 ) 2x x x x x x+ − = − − − +
(1)
Ta có:
(
)
2
2 2
4 4 2 4 4,x x x x+ − = + − ≥
với mọi
[ ]
2; 2x ∈ −
Suy ra
2
4 2,x x
+ − ≥
với mọi
[ ]

2; 2x ∈ −
(2)
Dấu “=” ở (2) xảy ra khi
0; 2x x
= = ±
.
Đặt
3 2
2t x x= −
. Điều kiện
[ ]
1;2t ∈ −
với mọi
[ ]
2; 2x ∈ −
Khi đó VP (1) chính là
3 2
( ) 2 2,f t t t= − +

[ ]
1;2t ∈ −
2
0
'( ) 3 4 0
4
3
t
f t t t
t
=



⇒ = − = ⇔

=

Hơn nữa, ta lại có
4 22
( 1) 1, (0) 2, , (2) 2
3 27
f f f f
 
− = − = = =
 ÷
 

Page 10
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Suy ra
(t) 2f
≤
với mọi
[ ]
1;2t ∈ −
Do đó:
2 2 2
3
2 2 ( 2 ) 2 2x x x x− − − + ≤
với mọi
[ ]

2; 2x ∈ −
(3)
Dấu “=” xảy ra ở (3) khi
0; 2x x
= = ±
.
Từ (2) và (3) chúng ta có nghiệm của phương trình (1) là
0; 2x x
= = ±
Vậy phương trình trên có 3 nghiệm
0; 2x x
= = ±
12.
2 2
2 2
2 30 5( 5 ) 5 50
2 51
x xy x y xy y
x y

+ = + −


+ =


( Trích Đề thi thử ĐH Hồng Quang 2015)
Điều kiện:
0xy
≥

Hệ phương trình tương đương:

2 2
2 2
2 30 50 5( 5 ) 5
2 51
x xy y x y xy
x y

+ + = +


+ =


2
2 2
2( 5 ) 10 5( 5 ) 5
2 51
x y xy x y xy
x y

+ + = +

⇔

+ =


Do

0xy
=
không thoả mãn, từ phương trình (1) suy ra
5 0x y
+ >
lại có
0xy
>
nên
0; 0x y
> >
Hệ phương trình
⇔
2 2
5
5 5
(1)
2 2
5
2 51(2)
xy
x y
x y
xy
x y

+
+ =

+



+ =

Đặt
5
2,
5
x y
t
xy
+
= ≥
(vì theo BĐT Cosi
5 2 5x y xy+ ≥
)
Phương trình (1) trở thành
1 5
2 5 2 5
2
t t x y xy
t
+ = ⇔ = ⇔ + =
suy ra
5x y
=
Thế
5x y
=
vào (2) ta được:

5; 1x y
= =
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; ) (5;1)x y
=
13.
( )
2
2 2
( 1)( 1)( 4) 20
2 12 24
x y xy
x y xy x y xy
+ + + =



+ = + − +


(1)
(2)
(Trích Đề số 30 của ĐTN-Mathlinks)
Điều kiện:
; 0x y
≥
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
( )
2
( 1)(y 1)x x y+ + ≥ +

Page 11
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Từ phương trình 1 của hệ, ta có:
( )
2
20 ( 1)( 1)( 4) ( 4)x y xy xy x y
= + + + ≥ + +

( )
2
20
4
x y
xy
⇒ + ≤
+
Từ phương trình 2 ta có:

( )
( )
(
)
2
2 2
2 2
40
2 12 24
4
4 12 24 40
x y xy x y xy

xy
xy xy x y xy
+ = + − + ≤
+
⇔ + + − + ≤
Đặt
t xy
=
(
0t
≥
)

(
)
(
)
2
2
2
2
2
( 4) 12 24 40
144( 4) 40 12 24
13 12 5 24
144 288 144 0
( 1) 0
1
1
t t t t

t t t t
t t t
t t
t
t
xy
+ + − + ≤
⇔ + ≤ + + +
⇔ + ≤ +
⇔ − + ≤
⇔ − =
⇔ =
⇔ =
Với
1xy
=
, ta có hệ phương trình
2 1
1 1
x y x
xy y
+ = =
 
⇔
 
= =
 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) (1; 1)x y

=
14.
( )
2
2 2
5 8 1
8 8
1
8( ) 5
y y
y x xy
x x xy
x y
xy

 
−
− + = +

 ÷

 


+ + =


(1)
(2)
( Đặng Thành Nam)

Page 12
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Điều kiện:
, 0x y
>
Phương trình 2 của hệ tương đương:
2 2 2 2
1 1
8( ) 5 5 8 8x y y x
xy xy
+ + = ⇒ − = +
Thay
2 2
1
5 8 8y x
xy
− = +
vào phương trình 1, ta có :

( )
( )
2
1
8
1
8 8
1 1
8 8 8
1
0 ( ) 1 0

1
x
xy
y
y x xy
x x xy
y x x y
x xy x xy
x y
y x x y x y
x y
y x
+
 
− + = +
 ÷
 
⇔ − + + = +
=
 

⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔
 ÷

 ÷
+ =
+


 

TH1:
x y
=
,phương trình 2 của hệ tương đương:

2 3 2
1
16 5 16 5 1 0 (4 1)(4 4 1) 0
1 1
4 4
( 0)
17 1 17 1
8 8
x x x x x x
x
x y
x
x y
+ = ⇔ − + = ⇔ − + − =

= ⇒ =


⇔ >
− −

= ⇒ =


TH2:

1x y+ =
. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM

[ ]
( )
2
4
2
2
2 2 2 2
1 1
4
2
8( ) 4( ) 2( ) ( ) 1
xy
x y
x y x y x y x y x y
≥ =
 
+
 ÷
 ÷
 
 
⇒ + ≥ + = + ≥ + = + =
 
Cộng 2 vế trên của bất đẳng thức, ta có
2 2
1
8( ) 5x y

xy
+ + ≥
. Dấu “=” xảy ra khi
1
4
x y
= =
.
Page 13
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Vậy hệ phương trình trên có nghiệm
1 1 17 1 17 1
( ; ) ; ; ;
4 4 8 8
x y
 
− −
 
=
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
15.
( ) ( )
(1)
2 2 ( 2)
1 1 12
1 2 3 2 1 1 0

x y xy x y xy
x y y y x x xy

+ + + + + =


+ − + − − + − =


(1)
(2)
Điều kiện:
1 1
1; 1
2 2
x y≤ ≤ − ≤ ≤
Nếu
1
0
2
y− ≤ ≤
0
1
0
2
x y
xy
+ ≥



⇒

− ≤ ≤


( ) ( )
1 1 0 12x y xy x y xy PTVN⇒ + + + + + > ≥ ⇒
Suy ra
1
1;0 1
2
x y≤ ≤ ≤ ≤
(*)
1xy⇒ ≤
Từ
( ) ( )
(1)
12 2 1 2 1PT xy xy xy xy⇒ ≥ + + +
Đặt
[ ]
( )
2 2 2
0;1 12 (2 1)( 1) ( 1)(2 5 1) 0t xy t t t t t t t= ∈ ⇒ ≥ + + ⇔ − − − ≤
Do
[ ]
2 (**)
0;1 2 5 1 0 1 1t t t t xy∈ ⇒ − − < ⇒ ≥ ⇒ ≥
Từ
(*)
và

(**)
1x y
⇒ = =
Vậy hệ phương trình
( ; ) (1; 1)x y
=
16.
2 2
2 2 2
2 3
2( ) 2 3 3 5
x y x y y
x y x y x y

− − + = −


+ − + = − +



(1)
(2)
(Trích Đề số 39 Mathlinks- ĐTN)
Điều kiện:
2
2
2
0
2 0

2 0
0
y
x y
x y
x y y
≥

− + ≥


⇔
 
− + ≥
+ ≥



2 2 2
(1) 3 2 ( 1) 1 1PT x y x y x y y⇔ − + = + ≤ + + ⇔ ≥
( )
2 2 2
(2) 3( 2 ) 2 ( 2) 2 2 2 1 0PT x y x y y x y
⇔ − + − − + + − − + − =
(3)
Page 14
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Đặt
2
2t x y= − +

(
0t
≥
)
2 2
PT(3) 3 2( 2 2) 1 0t t y t⇔ − + − − =

2 3
2
3 2 4 1
1
4
( 1) (2 1) 0
t t t
y
t
t t
− + −
⇔ = ≥
⇔ − + ≤
Dấu “bằng” xảy ra khi
2 2
2
1 1
0
1 1
1
1
2 1
x y x y

x
y y
y
t
x y


+ = + =

=



= ⇔ = ⇔
  
=

 
=
− + =



Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; ) (0;1)x y
=
17.
( )
(
)

(*)
2
1 1 2 2 1 1x x x x x x
+ + − + + − =
(Huỳnh Kim Kha)
Điều kiện:
0x
≥
Xét
0x
=
không là nghiệm phương trình.
Xét
0x
>
. Phương trình tương đương

(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
2
2
2 2
2

2 2 1 1
1 1
2 2 1 1 1 1
1 1 2 2 1 1
1 1 2 2 1 1
x
x x x x x
x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
⇔ − + + − =
+ −
⇔ − + + − = + −
⇔ = + − − + − +
⇔ = + − − + − +
Suy ra
( )
(
)
( )
(
)
2 2
1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1x x x x x x x x+ − − + − + = + + − + + −

2
2 2 1 (1 ) 1x x x x⇔ − + = − +
(điều kiện
1x

≤
)
Page 15
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha

2 2
2
2 2 1 (1 ) ( 1)
( 3 1) 0
0
3 5
3 5
2
2
x x x x
x x x
x
x
x
⇔ − + = − +
⇔ − + =
=

−

⇔ ⇒ =
±

=



Vậy phương trình có nghiệm
3 5
2
x
−
=
18.
3 2
2
3
5
3 ( 1) 2 3 2
2 3 2 3
x xy
x x y x y
x y
x
y x x y
y

−
= − + −

+



− + − + =



(Bạn Bình Phương)
Điều kiện:
2
3
3 2
0
2
0
3 2
x y
x
y x
y
x y

≥
≥


≥ ⇔
 
≥


≥


3 2
2 2

5
(1) 3 ( 1) 2 3 2 3
x xy
PT x x y x y x y
x y
−
⇔ − − = − ≤ −
+

3 2
2 2
5
3
x xy
y x
x y
−
⇔ + ≤
+
(*)
Đặt
0
x
t
y
= ≥
PT(*)
3
2 2
5

1 3 ( 1) (2 1) 0 1
1
t t
t t t t
t
−
⇔ + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ =
+

(4)


3
(2 ) 2 3 2 3 2
x
PT y x x y
y
⇔ − + − = − ≥
Page 16
(1)
(2)
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Mà
3
3
2 1 3 2 1
2 3 2
2
y x x y
y x x y

− + + − +
− + − ≤

3
2 1 3 2 1
2
2
y x x y− + + − +
⇒ ≥

2
1 2 (5)y x y y x y⇔ + ≥ + ≥ ⇒ ≥
Từ (4) và (5), ta suy ra
x y
=
Dấu “=” xảy ra các bất đẳng thức khi
1x y
= =

Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; ) (1; 1)x y
=
19.
( )
3 3 3
2 2
2 2 2
29 2
3 3 2
6

( 4 ) 2( 2 ) 3 17
x y x
y x y
x xy x y
x y x x y x

−
+ = + +

+ +


− + + = +

( Bình Phương)
Vì
0x
=
không là nghiệm nghiệm của hệ phương trình. Xét 2 khả năng:
Với
4 0 4 0
0 4 2 4 0 0
2 0 2 4 0
y x x y
x x y x y x
x y x y
− ≤ − ≥
 
< ⇒ ⇒ ⇒ − + + ≥ ⇒ ≥
 

+ ≥ + ≥
 
(Loại)
Với
4 0
0 4 4 0 0
2 0
y x
x y x x y y
x y
− ≥

> ⇒ ⇒ − + + ≥ ⇒ ≥

+ ≥

Khi đó ta có:
2 2 2 2 2 2
2( ) ( ) ( ) 0 2( )x y x y x y x y x y+ − + = − ≥ ⇒ + ≥ +
( Áp dụng BĐT Bunhiacopxki)
Ta lại có:
3 3 2 2 2 3 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 ( ) 2
(2 ) 0 (2 )
x x x x y xy y y x y x
x y x y
x y x y x y x y
− + − + −
− − = = ≥ ⇒ ≥ −

+ + + +
Khi đó :
3 3
3 3 2
2
3 3 3 2 2 2
3 3
2
29
PT(1) 3 (2 ) 3( ) 29 (5 )(6 )
6
29 30 5 6
( ) 0
( )( ) 0
x y
y x y x y x y x y x xy
x xy
x y x x y x y xy
x y xy x y
x y x y x y
−
⇒ + ≥ − + + ⇒ − ≥ − +
+
⇒ − ≥ + − −
⇒ + − + ≤
⇒ + − ≤ ⇒ =
Page 17
(1)
(2)
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha

Thay
x y
=
vào (2)
17 17
(2) 3 6 3 17
6 6
PT x x x x y⇔ + = + ⇔ = ⇒ =
Vậy hệ phương trình có nghiệm
17 17
( ; ) ;
6 6
x y
 
=
 ÷
 
20.
( ) ( )
2 2 2 2
(2 ) 2 1
2 2 3 8 3 2
y x x x xy
x y xy x y xy x y

− − − = +



− + − − = − +


(Nguyễn Thanh Tùng)
Điều kiện:
0;0 2y x
≥ ≤ ≤
( )
2(2 )( 1)
(1) 1 (2 )( 1) 0
2
y x
PT x xy y x
x x
− −
⇔ = + ⇔ − − ≥
+ −
(3)
2 2
(2) ( 2)(2 7 1) ( 2) ( 1) 6 (3 )PT y x x y x x x⇔ − − − = − + + −
(4)
TH1:
(
]
1;2x ∈
2
2 7 1 0x x
⇒ − − <
mà
(4) 0 y 2 0VP
> ⇒ − <
nên

( )
3 1x⇒ ≥
(Vô lí)
TH2:
[ ]
0;1x ∈
2
2 7 1 0x x⇒ − − <
mà
(4) 0VP ≥
2 0y⇒ − ≤
nên
( 2 )( 1) 0y x− − ≤

(5)
Từ (3) và (5) ta suy ra
2; 1y x= =
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; ) (1;2)x y =
21.
3
3
2 3 2
3
3 2 6 2( 2) 2 2 2 1
2 1 3 2 2 7 7 6 0
xy x y x y xy x y
x y x x y x x x

+ + + + + + − + + + =



 − + − + + − + − =


(1)
(2)
(Olympic toán 10 Nguyễn Du-Đắk Lắk)
Điều kiện:
1
; 2
2
x y
≥ ≥ −
( )
2
3
3
(1) ( 2) 2 1 1 ( 1)( 2)PT x y x y⇔ + + + = + + +
(3)
Đặt
1 0; 2 0a x b y= + > = + ≥
Page 18
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Từ (3), ta có:
3
2 2
3
(1 )(1 ) 1a b ab+ + = +

3 3
1 1 1
1 . . . .
1 1 1 1 1 1
a b b
a b b a b b
⇔ = +
+ + + + + +
(4)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
3 3
1 1 1 1 1 2 1 2
. . . . 1
1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1
a b b a b
a b b a b b a b a b
   
+ ≤ + + + =
 ÷  ÷
+ + + + + + + + + +
   
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b
=
hay
2
1 2 2 1x y y x x+ = + ⇔ = + −

Thay
2

2 1y x x= + −
vào PT(2), ta có:
( )
(
)
( )
( )
3 2 4 3 2
3
2 4 3 2
2
2
32 2
3
2
2
32 2
3
2 1 1 2 3 5 6 0
2 1 1 1 1 2 3 5 6 2 0
2( 1) ( 1)
( 1)(2 1)( 2) 0
2 1 1
1 1 1
2
( 1) (2 1)( 2) 0
2 1 1
1 1 1
1 2
x x x x x x x

x x x x x x x
x x x
x x x
x
x x x x
x
x x x
x
x x x x
x y
− + − + + − + − =
⇔ − − + − + − + − + − + =
− −
⇔ + + − − + =
− +
− + + − + +
 
 ÷
⇔ − + + − + =
 ÷
− +
 ÷
− + + − + +
 
⇔ = ⇒ =
Vì
( )
2
2
32 2

3
2
(2 1)( 2) 0
2 1 1
1 1 1
x
x x
x
x x x x
+ + − + >
− +
− + + − + +
,
1
2
x∀ ≥
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; y) (1; 2)x
=
22.
2
3 3
2 2 2 2
2 1
1 (1 )(1 ) (1 ) (1 )
3
3
8( ) 12 (1 2 )
y
x y x x

x y x y xy x y y

−
 
+ − + + − − = +

 


+ + + − = + +

(Ngón Chân Cái)
Page 19
(1)
(2)
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Điều kiện:
1 1
1 1
x
y
− ≤ ≤


− ≤ ≤

Ta có:
2 2 2 2
8( ) 12 ( ) 7( )x y xy x y x y x y+ − = + + − ≥ +

2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 2 ) 8( ) 12
2 0 ( ) 0
x y y x y x y xy x y x y
x xy y x y x y
⇒ + + = + + + − ≥ + + +
⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ =
Thay
x y
=
vào phương trình 1 của hệ, ta có:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
2
3 3
2
3 3
2 2
2 2
2 2 (1 )(1 )
2 1
(1 ) (1 )
2 3
3

(1 ) 2 (1 )(1 ) (1 )
2 1
(1 ) (1 )
2 3
3
1 1
1 1 1 1 1 1 1 2 1
2 3
1 1
2 2 1 2 1
2 3
1 1 1
2
3 6 6
x x
x
x x
x x x x
x
x x
x x x x x x x x
x x x
x x y
+ − +
−
 
⇔ + − − = +
 
+ + − + + −
−

 
⇔ + − − = +
 
⇔ + + − + − − − + − + + = + −
⇔ + − = + −
⇔ = ⇔ = ⇒ =
Vậy hệ phương trình có nghiệm
1 1
( ; ) ;
6 6
x y
 
=
 ÷
 
23.
( )
( )
4
1 2 1 2 1 2
( 1) 3 3 1
x y x y x y y x y
x x y y x y xy x

+ + + = + + − +



+ + + + = + −


(1)
(2)
(Huỳnh Kim Kha)
Page 20
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Điều kiện:
1; 0x y
≥ ≥
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
1 2 ( 1)x y x y+ + ≥ +


( )
( )
1 2 1 2 ( 1)x y x y x y xy y⇒ + + + ≥ + + +
( )
( )
(1) : 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1)PT x y y x y x y x y x y xy y
+ + − + = + + + ≥ + + +

( )
1 ( 1)
1 ( 1) 0
y x y xy y
y xy y x y
⇔ − + ≥ +
⇔ − + − + ≥
Ta có:
0 1 ( 1) 0y xy y x y≥ ⇒ − + − + ≥

( )
2
1 ( 1)
1 2
1 2 ( 1) 0
1 0 1 1
xy y x y
xy y xy y xy x
x y y x
x y x y x y
⇔ − + ≥ +
⇔ − + + − ≥ +
⇔ − + − − ≤
⇔ − − ≤ ⇔ − = ⇔ = +
( )
2
4
(2) 4 4 3 4 3 1 4 8 4PT x x y x x y xy x x x⇔ + + + = + − = + −
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
2 2
2.2 2( ) 2 4 2x x y x x y x x+ ≤ + + = + −
(3)
2 2 2 2
4
4.1. . . 3 1 ( 3 ) 2 3 1 2 4 2x x x y x x x y x x y x x+ ≤ + + + + = + + + = + −
(4)
Lấy (3)+(4)
2
4
4 4 3 4 8 4x x y x x y x x⇒ + + + ≤ + −

Dấu “=” xảy ra
1 0x y
⇔ = ⇒ =
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; ) (1; 0)x y
=
Page 21
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
24.
2 2
2 3 3
2
2 2
3 2 ( 1) 4 2
14 6
9
x y x y x x x y
xy y x y
x x
x xy y

+ + = + + −


− +
− + =

+ +

(Bạn BÌnh Phương)

Điều kiện:
2
2
2 0
14 6
0
9
x y
xy y
x
− ≥



−
− ≥


Ta có:
2 3 3
2
2 2
14 6
( 2)
9
xy y x y
PT x x
x xy y
− +
⇔ − = −

+ +
0
≥

2 2 3
0x y xy y⇔ + − ≥

2 2
( ) 0y x xy y⇔ + − ≥
(*)
Ta lại có
2 2
(1) : 4 4 2 2PT x x x y x y x xy y− − + − = + −


( )
2
2 2
2 2
2 2
0
x xy y x x y
x xy y
⇔ + − = − −
⇒ + − ≥
Do đó, từ (*) suy ra
0y
≥
kèm theo
0x

≥
.
Ta có:
3 3
2 2 2 2
2 1 2 1
,
3 3 3 3
x y
x y y x
x xy y x xy y
≥ − ≥ −
+ + + +
Biến đổi tương đương, ta có:
3 2 2 2
3 (2 )( ) ( )( ) 0x x y x xy y x y x y≥ − + + ⇔ + − ≥
(luôn dương vì
0x y
+ =
không thoả mãn hệ pt)
Xét PT(2), ta có:
2 2
2 3 3
2
2 2
9 14 6
14 6 1
( )
9 3 3
x xy y

xy y x y
x x x y
x xy y
− +
− +
= − + ≥ + +
+ +
Page 22
(1)
(2)
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha

2 2
2
9 14 6 2
5( ) 0
x xy y x y
x y x y
⇔ − + ≤ −
⇔ − ≤ ⇔ =
Thay
x y
=
vào PT(1), ta được:
( )
2
2
1 1
2
2

1 1
2
9 9
x y
x x x
x x x
x y
x x x
= ⇒ =


= −

= − ⇔ ⇔


= ⇒ =
= −



Vậy hệ phương trình có nghiệm
1 1
( ; ) (1;1); ;
9 9
x y
 
=
 ÷
 

25.
6 1 1
4
2
2 3 2
x
x
x
= +
+
+
− + +
(Công phá kì thi THPT Quốc Gia)
Điều kiện:
2 0
14
9
2 3 2 0
x
x
x
+ >

−

⇔ >

− + + >



Đặt
2
2
2 2
3
t x x t= + > ⇒ = −
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
6 1 1
2
3 2
2 2
6
3 2
2 2
3 3 0
3 2
3 2 2 3 3 2
0

3 2
3 2 3 3 2
3 2
0
3 2
3 3 2
3 2
3 2
3 2
0
3 2
3
1
1
3 2
3 2 0
3 2
PT
t t
t
t t
t
t
t t
t
t
t t t t
t
t
t t t t

t t
t
t
t t
t t
t t
t t
t
t
t t
t t
t
t
⇔ = +
+
−
+ +
⇔ + =
−
+ +
⇔ − + − =
−
− + + − −
⇔ + =
−
− + + − −
− +
⇔ + =
−
− +

− + +
− +
+ −
⇔ + =
−
 
+
 ÷
+ −
⇔ − + + =
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
Page 23
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Do
3
1
2 1
3 2
3
3 2
t t
t
t
t
+
+ −

> ⇒ +
−
2
1 2 1 2
3 2 0
2 1
2 2
t x x
t t
t x
x

= + = =
 
⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔

 
= = −
+ =
 


Vậy phương trình có nghiệm
2; 1x x
= = −
26.
3 2 2 3 3
3 3
4
11 3 4 2 6 4( ) 17 6

3 2 2
x x y xy x y x y
x
y x y x
y

− + + + = +


+ + = − +


(Bạn Bình Phương)
Điều kiện:
0
0
x
y
≥


>

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
3 3
3
6 4( )x y+ ≥
3
3
( )

6 4.
4
x y+
3
3 2 2
3
3
( )
17 6 11 3 4 2 6 4.
4
x y
PT x y x x y xy
+
⇔ + ≥ − + +

3 2 2
3
11 3 4 2 6( )x x y xy x y= − + + +

3 2 2
3
3 2 2
3
3 3 2 2
3 2 2
2
11 11 3 4 2
3 4 2
3 4 2
2 4 2 0

2 ( ) 0
x x x y xy
x x x y xy
x x x y xy
x x y xy
x x y x y
⇒ ≥ − +
⇔ ≥ − +
⇔ ≥ − +
⇔ − + ≤
⇔ − ≤ ⇔ =
Page 24
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha
Thay
x y
=
vào phương trình 2 của hệ, ta có:
( )
4
4
2
3 2 1
2 3 ( 1) 0
4 3
( 1) 0
4 3
( 1) 1 0
1 1
x x x
x x x

x x
x
A
x
x
A
x y
+ = + −
⇔ − + + − =
− +
⇔ + − =
+
 
⇔ − + =
 ÷
 
⇔ = ⇒ =
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ;y) (1;1)x
=
27.
( )
( )
(
)
2 2 2
1 (4 4 1) 4 5 1 ( 1) 5 6
2 2 5 ( 1) 4( 1) 1 2 7 2
x y x y x y y x
x x y y x x x x


− − + − = − − + −


+ − + − + + + = + +


(Huỳnh Kim Kha)
Điều kiện:
6
5
x ≥
;
1
5
y ≥
.
( )
2 2
(1) 4( ) 5 3 1 4 5 1 ( 1) 5 6PT x y x y x y y x⇔ − − − + = − − + −

( ) ( )
( )
2 2
2 2
4 4 5 1 5 1 4 8 4 4( 1) 5 6 5 6
2 5 1 2( 1) 5 6
2 5 1 2( 1) 5 6
2 5 1 2( 1) 5 6
x x y y y y y x x

x y y x
x y y x
x y y x
⇔ − − + − = + + − + − + −

− − = + − −

⇔ − − = + − − ⇔

− − = − + − −

Page 25
(1)
(2)