Một số dạng toán về phân số lớp 5

A. Đặt vấn đề
I Lý do chọn đề tài:
Xuất phát từ chủ trơng của Đảng và nhà nớc là đào tạo nhân tài cho đất nớc. Cuộc
sống mới yêu cầu phải đổi mới phơng pháp dạy học, đáp ứng nhu cầu của xã hội là đào
tạo con ngời lao động sáng tạo, linh hoạt.
Trong các đề thi học sinh giỏi Tiểu học, hầu nh đều có các bài tập về phân số. Vì
vậy đòi hỏi học sinh không chỉ làm tốt các bài tập đại trà mà còn phải làm tốt các bài tập
nâng cao.
Kiến thức toán về phân số trải dài từ lớp 2 đến lớp 5, tập trung nhiều ở lớp 4 và lớp
5, điều đó chứng tỏ vai trò quan trọng của mạch toán phân số. Thế nhng khi dạy toán về
phân số có rất nhiều giáo viên còn lúng túng, cha biết dạy nh thế nào, phân loại ra sao,
chọn phơng pháp nào, nội dung nào dạy trớc, nội dung nào dạy sau.
Xuất phát từ lý do trên, tôi mạnh dạn lựa chọn để viết một vài điều mà tôi biết và
học hỏi đợc về phân số. Rất mong nhận đợc sự đóng góp, giúp đỡ của BGH và đồng
nghiệp.
II. Nội dung
Các dạng bài toán, và phơng pháp giải.
Sau khi tìm hiểu kĩ về nội dung, phân phối chơng trình của lớp 4, 5, ta có thể chia thành
các dạng bài sau.
- Dạng bài về cấu tạo phân số
- Dạng bài về so sánh và sắp xếp phân số
- Dạng bài về rèn kĩ năng 4 phép tính phân số.
- Dạng bài về giải toán có lời văn điển hình về Phân số
A.Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số
Một số kiến thức cần lu ý
1. Để kí hiệu phân số có tử số bằng a, mẫu số bằng b(với a, b N và 0),ta viết
b
a
Mẫu số b chỉ phần bằng nhau đợc chia ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần đợc lấy đi
Phân số
b

a
còn hiểu là thơng của phép chia a : b ( còn dấu gạch ngang của phân số
là dấu chỉ phép chia)
2. Mọi số tự nhiên a đều có thể coi là một phân số có mẫu số bằng 1.
a =
1
a
và có mẫu số khác nhau 5 =
3
15
=
=
4
20

3. Phân số a/b có:
a> b phân số > 1
a< b phân số < 1
a= b phân số = 1
4. Nếu nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho một số tự nhiên
khác 0 thì ta đợc một phân số mới bằng phân số đã cho.
5. Phân số không rút gọn đợc nữa gọi là phân số tối giản, phân số có mẫu số là
10, 100,1000 gọi là phân số thập phân.
6. Nếu cộng cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số hoặc trừ cả tử
và mẫu số đi cùng một số thì giữa tử số và mẫu số không thay đổi,
7. Quy đồng mẫu số các phân số:
a. Quy đồng mẫu số các phân số là làm cho các phân số ấy cùng mẫu số chung
mà giá trị của chúng không thay đổi.
b. Muốn quy đồng mẫu số các phân số, ta làm nh sau:
Bớc 1: Tìm mẫu số chung

Bớc 2 : Chia mẫu số chung cho từng mẫu số để tìm thừa số phụ
Bớc 3 : Lần lợt nhân cả tử số và mẫu số của từng phân số với thừa số phụ t-
ơng ứng.
c. Ba cách tìm mẫu số chung :
Quy tắc 1 : Nhân tất cả mẫu số với nhau
Quy tắc 2 : Nếu mẫu số lớn nhất chia hết cho các mẫu số khác thì lấy luôn
mẫu số lớn nhất đó làm mẫu số chung
Quy tắc 3 : Đem mẫu số lớn nhất lần lợt nhân với 2, 3, 4, cho đến khi tích
chia hết cho các mẫu số còn lại thì lấy tích đó làm mẫu số chung.
Sau khi tóm tắt các kiến thức, tôi đa các ví dụ và hớng dẫn học sinh cách giải từng
loại bài :
I. Loại bài : Rút gọn phân số :
1. Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
VD: Rút gọn phân số
4
3
8
6
=
cùng chia cả tử số và mẫu số cho 2
2. Chia dần từng bớc hoặc gộp các bớc (theo quy tắc chia một số cho một tích)
VD: Rút gọn phân số
204
132

102
66
4:204
2:132
204

132
==
,
51
33
2:102
2:66
=
,
17
11
3:51
3:33
=
Vậy
17
11
204
133
=
Hoặc gộp: vì 2 x 2 x 3 = 12 nên
17
11
12:204
12:132
204
132
==
3. Dùng cách thử chọn theo các bớc:
VD: Rút gọn phân số

65
26
Bớc 1: 26 : 13 = 2
Bớc 2: 65 : 13 = 5
Bớc 3: Cùng chia cho 13

5
2
13:65
13:26
65
26
==
4. Phân số có dạng đặc biệt:
111
11
ax
ax
aaaa
aa
=
,
10101
101
abx
abx
ababab
abab
=
Rút gọn các phân số sau:

3
2
333
222
=
(cùng chia tử số và mẫu số cho 111)
VD2: Rút gọn các phân số:
a.
1442
1133
Bớc 1: 1133 : 11 = 103
Bớc 2: 1442 : 14 = 103
Bớc 3: Chia cả tử số và mẫu số cho 103

14
11
103:1442
103:1133
1442
1133
==
b.
95 9999
9 1999
(100 chữ số 9 ở tử số và 100 chữ số 9 ở mẫu số)
Ta nhận xét: 99.95 = 5 x 19999 9 (100 chữ số 9)
Vậy
5
1
95 9999

9 1999
=
II. Loại bài : Tìm số cha biết khi thêm bớt tử số và mẫu số :
Vận dụng tính chất ở mục 6 phần những kiến thức cần lu ý, ta có ví dụ sau :
VD1 : Cho phân số
28
17
. Tìm 1 số tự nhiên sao cho bớt một số tự nhiên đó ở
tử số và thêm số đó vào mẫu số ta đợc 1 phân số mới. Rút gọn phân số mới, ta đợc
phân số tối giản
4
1
.
Giải
Khi bớt 1 số tự nhiên ở tử số và thêm số đó vào mẫu số thì tổng của tử số và
mẫu số của phân số đó là không thay đổi
Tổng của tử số và mẫu số của phân số đó là:
17 + 18 = 45
Ta có sơ đồ: ?
TS mới: ? 45
MS mới:
Tử số mới là: 45 : (1 + 4) x 1 = 9
Số tự nhiên cần tìm là: 17 - 9 =8
Đáp số : 8
VD2 : Cho phân số
21
33
phải cùng bớt đi ở tử số và mẫu số với số nào để đợc
phân số mới có giá trị là
3

5
?
Giải
Tơng tự nh ví dụ 1 nhng lu ý : khi bớt ở cả tử số và mẫu số của cùng một phân số
với 1 số tự nhiên khác 0 thì hiệu giữa tử số và mẫu số không thay đổi.
Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đã cho là:
33 - 21 = 12
HS giải và tìm đợc số tự nhiên cần tìm là:
21 - 18 = 3
Đáp số: 3
III. Loại bài: Tìm phân số ban đầu:
VD1: Tìm 1 phân số biết rằng nếu nhân tử số của phân số với 2 và giữ nguyên
mẫu số thì ta đợc 1 phân số mới hơn phân số ban đầu là
36
7
.
Gợi ý: Khi ta nhân 1 phân số với số tự nhiên, ta chỉ việc nhân tử số của
phân số với số tự nhiên đó và giữ nguyên mẫu số. Vậy nhân tử số của phân số với
2 , giữ nguyên mẫu số tức là ta gấp phân số đó lên 2 lần. Bài toán đợc chuyển về
dạng: tìm 2 số biết hiệu và tỉ số.
Giải
Nếu nhân tử số của phân số với 2 và giữ nguyên mẫu số thì ta đợc phân số
mới gấp 2 lần phân số ban đầu. Ta có sơ đồ sau:
Phân số ban đầu:
36
7
Phân số mới:
Phân số ban đầu là:
36
7

: (2 - 1) =
36
7
Thử lại:
36
7
36
7
36
27
=
x
Tơng tự với bài: chia mẫu số của phân số với a và giữ nguyên tử số thì ta giảm số
chia đi 3 lần hay giá trị của phân số đó gấp lên 3 lần. Do đó phân số mới gấp 3 lần phân
số ban đầu, bài toán đa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỷ.
B.Dạng hai : So sánh phân số
Một số kiến thức cần lu ý
1. Khi so sánh 2 phân số
- Có cùng mẫu số, ta so sánh 2 tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó
lớn hơn.
- Không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi so sánh nh trên.
2. Các phơng pháp thờng dùng khi so sánh 2 phân số
- So sánh 2 phấn số cùng mẫu ( nh mục 1)
- Nếu 2 phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì phân số đó sẽ
lớn hơn.
- So sánh qua một phân số trung gian:
d
c
b
a

<
và
f
e
d
c
<
thì
f
e
b
a
<
- So sánh 2 phần bù với 1 của mỗi phân số:
d
c
b
a
<< 11
thì
d
c
b
a
>
- So sánh 2 phần lớn hơn với 1 của mỗi phân số:
11 <
d
c
b

a
thì
d
c
b
a
<
- So sánh bằng sơ đồ đoạn thẳng
- So sánh bằng cách nhân tử số và mẫu số của phân số kia, so sánh rồi rút ra kết
luận
d
c
b
a
<
suy ra a x d < c x d
- So sánh bằng cách rút gọn phân số
- So sánh phân số nghịch đảo
d
c
b
a
:1:1 <
hay
c
d
a
b
<
thì

d
c
b
a
>
c. Dạng 3: Thực hành 4 phép tính trên phân số:
Một số kiến thức cần lu ý:
1. Phép cộng:
- Muốn cộng 2 phân số cùng mẫu số, ta cộng tử số với tử số, giữ nguyên mẫu số (tơng tự
với phép trừ phân số)
- Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số của chúng, sau đó cồng tử số
với tử số và giữ nguyên mẫu số.
db
cbda
d
c
b
a
ì
ì+ì
=+
2. Phép trừ: tơng tự nh phép cộng
3. Phép nhân, phép chia: nh SGK
4. Các tính chất của phép tính trên phân số:
a. Tính chất giao hoán:
b
a
d
c
d

c
b
a
+=+

b
a
d
c
d
c
b
a
ì=ì
b. Tính chất kết hợp:








++=+

+
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
và








ìì=ì






ì

f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
c. Tính chất phân phối:
=








+ì
f
e
d
c
b
a
f

e
b
a
d
c
b
a
ì+ì
d.Một số nhân với một hiệu:
=








ì
f
e
d
c
b
a
f
e
b
a
d

c
b
a
ìì
e. Tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ:
n
m
d
c
n
m
b
a
n
m
d
c
b
a
::: +=






+
n
m
d

c
n
m
b
a
n
m
d
c
b
a
::: =







Một số loại toán:
Loại 1: Viết phân số
b
a
(a, b

N và 0 < a < b) dới dạng tổng của các phân số có tử số
là 1, mẫu số khác nhau.
VD: Hãy viết các phân số sau dới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác
nhau
35

13
;
;
12
5
;
35
6
Giải

35
1
5
1
7
1
35
1
35
7
35
5
35
175
35
13
++=++=
++
=
Tơng tự với

12
5
có
12
1
3
1
12
1
12
4
12
14
12
5
+=+=
+
=

35
1
7
1
35
1
35
5
35
15
35

6
+=+=
+
=
Loại 2: Tính tổng của phân số:
* Bài: 2 thừa số ở mẫu hơn kém nhau 1 đơn vị:

76
1
65
1
54
1
43
1
32
1
21
1
ì
+
ì
+
ì
+
ì
+
ì
+
ì

=
7
1
6
1
6
1
5
1
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1 +++++
=1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 +
7
1
=
7
6

7
1
1 =
Tổng quát:
11
1
1
1
1
)1(
1

54
1
43
1
32
1
21
1
+
=
+
+
=
+
=
+ì
++
ì

+
ì
+
ì
+
ì n
n
n
nn
nnn
*Bài : Thừa số ở mẫu hơn kén nhau 2 đơn vị:
VD: tính tổng:
119
2
97
2
75
2
53
2
31
2
ì
+
ì
+
ì
+
ì
+

ì
=
11
1
9
1
9
1
7
1
7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1 ++++
=
11
10
11
1
1 =
*Bài 3: Mẫu số của số hạng sau gấp đôi , gấp 3 số hạng đứng trớc:
VD: Tính tổng:a) S =
279

1
243
1
81
1
27
1
9
1
3
1
1 ++++++
Ta có: S x 3 =
243
1
81
1
27
1
9
1
3
1
13 ++++++
Vậy S x 3 - S =
729
1
3
S x 2 =
729

2186
suy ra S =
729
1093
2:
729
2186
=
b) S =
128
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
+++++
Cộng thêm
2
1
vào biểu thức đã cho, có:
S +
2
1
=

128
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
++++++
Nhận xét:
4
1
1
4
3
4
1
2
1
==+

8
1
1

8
7
8
1
4
1
2
1
==++
S +
2
1
=
128
127
128
1
1 =
S =
128
63
128
64127
2
1
128
127
=

=

d. Dạng 4: Các dạng toán có lời văn điển hình:
Loại 1: Tìm tỉ số của 2 số:
Loại 2: Tìm 1 phân số của một số:
VD: Ba ngời chia nhau 720 ngàn đồng. Ngời thứ nhất đợc
6
1
số tiền, ngời thứ hai đợc
8
3
số tiền, còn lại bao nhiêu của ngời thứ 3. Tính số tiền của ngời thứ 3.
Giải
Phân số chỉ số tiền của ngời thứ ba là:
24
11
8
3
6
1
1 =






+
(tổng số tiền)
Số tiền của ngời thứ 3 là:
330
24

11
720 =ì
(ngàn)
Đáp số: 330 ngàn
Loại 3: Tìm 1 số khi biết giá trị một phân số của số ấy
Loại 4: Tìm các số biết tổng và tỉ số của chúng
Loại 5: Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của chúng
Loại 6: Tìm số trung bình cộng
VD: Tìm 4 phân số tối giản biết rằng:
- Trung bình cộng của số thứ 1 và thứ 2 là
12
5
- Trung bình cộng của số thứ 2, số thứ 3 và số thứ 1 là
36
19
- Trung bình cộng của cả 4 số là
20
143
và số đầu kém số trung bình cộng của 2 số cuối là
40
11
đơn vị
Giải
Tổng của hai số đầu là:
12
10
2
12
5
=ì

(1)
Tổng của 3 số đầu là:
12
19
3
36
19
=ì
(2)
Tổng của 4 số là:
60
143
4
240
143
=ì
Từ (1) và (2), ta thấy số thứ 3 là:
5
4
60
48
12
10
12
19
==
Từ (2) và (3), ta thấy số cuối là:
40
31
2:

5
4
4
3
=






+
Số đầu là:
2
1
40
20
10
11
40
31
==
Theo (1), số thứ 2 là:
3
1
12
4
2
1
12

10
==
Đáp số:
5
4
;
4
3
;
3
1
;
2
1
Loại 7: Làm tròn phân số thành đơn vị:
VD: Cô T bán
8
5
tấm vải theo giá 20 000đ/mét lãi 200 000đồng. Hôm nay cô T bán
phần còn lại của tấm vải theo giá 18 000 đồng/mét thì lãi 90 000đồng. Hỏi tấm vải dài
bao nhiêu mét?
Giải
(Làm tròn: Hôm nào cũng bán hết cả một tấm vải)
Hôm sau bán đợc:
8
3
8
5
8
8

=
(tấm vải)
Nếu hôm qua bán đợc cả tấm thì lãi
200.000 :
8
5
= 320.000 ( đồng)
Nếu hôm nay bán đợc cả tấm thì lãi
90.000 :
8
3
= 240.000 ( đồng )
Vậy hôm qua lãi nhiều hơn hôm nay là
320.0 - 240.000 = 80.000 ( đồng)
Mỗi mét hôm qua bán lãi hơn hôm nay là
20.000 - 18.000 = 2.000 ( đồng)
Tấm vải dài :
80.000 : 2.000 = 40 ( mét )
Đáp số 40 (mét)
Loại 8 Giả thiết tạm về phân số
Loại 9: Loại khử về phân số
VD: Cả đàn trâu bò có tất cả 50 con. Biết rằng nếu đem
5
2
số trâu và
4
3
số bò gộp
lại thì đợc 27 con. Hỏi số trâu và số bò?
Giải

Ta có :
Tr©u + Bß = 50 (1)
5
2
Tr©u +
4
3
Bß = 27 (2)
Muèn khö sè tr©u, ta nh©n 2 vÕ cña (1) víi
5
2
th× thÊy
5
2
Tr©u +
5
2
Bß = 20 ( 3 )
5
2
Tr©u +
4
3
Bß = 27 (4)
§em c¶ hai vÕ cña (4) trõ 2 vÕ cña (3) ta cã







−
5
2
4
3
Bß = 27 - 20 = 7
V×






−
5
2
4
3
=
20
7
nªn ta cã
20
7
sè Bß lµ 7 con
VËy sè Bß lµ 7 :
20
7
= 20 ( Con)

Sè Tr©u lµ : 50 - 20 = 30 ( Con)
§¸p sè :Tr©u 30 Con, Bß 20 Con
Lo¹i 10. TÝnh ngîc vÒ ph©n sè
VD. T×m 1 sè biÕt r»ng nÕu ®em sè ®ã chia cho 3 ®îc bao nhiªu trõ ®i
7
2
th× cßn
2
7
Gi¶i
3
÷
-
7
2
→

→

2
7
A B C
BiÕt C =
2
7
ta cã thÓ ®i ngîc l¹i ®Ó t×m a b»ng c¸ch ®¶o ngîc c¸c phÐp tÝnh -
7
2
b»ng +
2

7
: 3 thµnh x 3 nh sau
{
4
154


4
53

2
7
3ì
+
7
2
Lời kết:
Trong các sách bồi dỡng có rất nhiều bài toán hay về phân số, tôi không có điều
kiện nêu ở đây.
Một lần nữa tôi mong nhận đợc sự góp ý của đồng nghiệp cho bài viết của tôi.
Hà Nội , ngày 26 tháng 3 năm 2009
Ngời viết Lu Mai Hoa