Đề Thi HSG Toán 8 Năm học 2010-2011

ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn : Toán lớp 8
Thời gian làm bài 90 phút
Câu 1: ( 3 điểm ) Cho biểu thức:
A=
1212
36
.
6
16
6
16
2
2
22
+
−






+
−
+
−
+
x
x
xx

x
xx
x
( Với x ≠ 0 ; x ≠
6
±
)
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A với
1
3
x = −
3) Với giá trị nào của x thì A có giá trị nguyên ? Tìm các giá trị nguyên đó ?
Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình:
2 2 2 2
1 1 1 1 1
5 6 7 12 9 20 11 30 8x x x x x x x x
+ + + =
− + − + − + − +
Câu 3: (3 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a)
x
2
- (2x + 3)(x + 5) + 3
b)
x
20
+ x

+1

c)
(x
2
+ y
2
+ 1)
4
- 17(x
2
+

y
2
+

1)
2
x
2
+ 16x
4
Câu 4 (8 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh CE vuông góc với DF.
b) Chứng minh
=
.CM CE
a
CF
c) Gọi K là giao điểm CM và DA . Chứng minh

∆
MAD cân.
d) Tính diện tích
∆
MDC theo a.
Câu 5: (3 điểm )
a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( )
2 2
1 3A x x= + + −
b) Cho a + b = 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức a
2
+ b
2
Câu 6 : (3điểm)
a/ Chứng minh: a + b = c thì a
4
+ b
4
+ c
4
= 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2a

2
c
2
b/ Chứng minh : n
5
– n chia hết cho 30
c/ Nếu q
1
5
+ q
2
5
+ . . . + q
5
2009

+ q
5
2010

M
5 thì q
1
+ q
2

+ . . . + q
2009

+ q

2010
M
5
(q ∈; i = 1, 2, . . ., 2010)
Hết
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Lần 2 - Năm học 2009-2010
Môn : Toán lớp 8
Thời gian làm bài 150 phút
Đáp án
Gợi ý Điểm
Câu 1: ( 4 điểm ) Cho biểu thức:
A=
1212
36
.
6
16
6
16
2
2
22
+
−







+
−
+
−
+
x
x
xx
x
xx
x
( Với x ≠ 0 ; x ≠
6±
)
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A với x =
1
19 24 5+
Giải
1) ( 1 điểm ) ĐK: x ≠ 0; x ≠
6
±
)
A =
)1(12
)6)(6(
.
)6(
16

)6(
16
2
+
−+






+
−
+
−
+
x
xx
xx
x
xx
x
=
2 2
2
6 36 6 6 36 6 1
.
12( 1)
x x x x x x
x x

+ + + + − − +
=
+
=
x
x
x
x 1
)1(12
1
.
)1(12
2
2
=
+
+
2) A=
1 1
19 24 5
1
19 24 5
x
= = +
+
3
1
Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình:
2 2 2 2
1 1 1 1 1

5 6 7 12 9 20 11 30 8x x x x x x x x
+ + + =
− + − + − + − +
ĐK :
∉{2;3;4;5;6}x
Phương trình tương đương
+ + + =
− − − − − − − −
⇔ − + − + − + − =
− − − − − − − −
1 1 1 1 1
( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 4 3 5 4 6 5 8
x x x x x x x x
x x x x x x x x
⇔ − + =
− −
− − + − − −
⇔ =
− − − −
1 1 1
2 6 8
8( 6) 8( 2) ( 2)( 6)
8( 2)( 6) 8( 2)( 6)
x x
x x x x
x x x x
0,5
0,5

0,5
0,5
0,5
K
M
F
E
C
B
A
D
⇒ = − +
⇔ − − =
⇔ + − =
2
2
32 8 12
8 20 0
( 2)( 10) 0
x x
x x
x x
x 2⇔ = −
hoặc x = 10 (thỏa điều kiện )
Vậy nghiệm của phương trình là x=-2;x=10
0,5
Bài 3.(6điểm)
a) x
2
- (2x + 3)(x + 5) +3= x

2
- 2x
2
-13x-15 +3 = -x
2
-13x -12
=-(x
2
+x+12x+12)=-[x(x+1)+12(x+1)]=-(x+1)(x+12)
b) x
20
+ x

+1 =x
20
-x
2
+x
2
+x+1 =x
2
(x
18
-1) +(x
2
+x+1)
=x
2
(x
9

+1)(x
9
-1)+(x
2
+x+1) =x
2
(x
9
+1)(x
3
-1)(x
6
+x
3
+1)+(x
2
+x+1)
=x
2
(x
9
+1)(x-1)(x
2
+x+1)(x
6
+x
3
+1)+(x
2
+x+1)

=(x
2
+x+1)[x
2
(x
9
+1)(x-1)(x
6
+x
3
+1)+1]
c) (x
2
+ y
2
+1)
4
- 17(x
2
+y
2
+1)
2
x
2
+ 16x
4
=A
Đặt t =x
2

+y
2
+1
Ta có : A = t
4
-17t
2
x
2
+16x
4
= t
4
–t
2
x
2
-16t
2
x
2
+16x
4
= t
2
(t
2
-x
2
) -16x

2
(t
2
-x
2
)
=(t
2
-x
2
)(t
2
-16x
2
) =(t+x)(t-x)(t-4x)(t+4x)
= ( x
2
+y
2
+1+x) ( x
2
+y
2
+1-x)(x
2
+y
2
+1-4x)( x
2
+y

2
+1+4x)
1
1
1
1
1
1
Câu 4 (8 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh CE vuông góc với DF.
b) Chứng minh
=
.CM CE
a
CF
c) Gọi K là giao điểm CM và DA .
Chứng minh
∆
MAD cân.
d) Tính diện tích
∆
MDC theo a.
a.
µ
¶
1 1
( . . )BEC CFD c g c C D= ⇒ =V V

CDFV

vuông tại C
µ
¶
µ
µ
0 0
1 1 1 1
90 90F D F C CMF⇒ + = ⇒ + = ⇒V
vuông tại M
2
Hay CE
⊥
DF.
b.Xét
àCMF v CBEV V
có
·
·
0
90CMF CBE= =
và
·
MCF chung
=>
CMFV
đồng dạng
CBEV
(gg)
=>
.CM CF CM CE

BC
CB CE CF
= => =
Mà BC =a
Do đó :
.CM CE
a
CF
=
c.Gọi K là giao điểm của AD với CE. Ta có :
( . . )AEK BEC g c g BC AK= ⇒ =V V
⇒
AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M
1
2
AM KD AD AMD⇒ = = ⇒V
cân tại A
d.
( . )
CD CM
CMD FCD g g
FD FC
⇒ =V : V
Do đó :
2 2
.
CMD
CMD FCD
FCD
S

CD CD
S S
S FD FD
   
= ⇒ =
 ÷  ÷
   
V
V V
V
Mà :
2
1 1
.
2 4
FCD
S CF CD CD= =
V
.
Vậy :
2
2
2
1
.
4
CMD
CD
S CD
FD

=
V
.
Trong
DCFV
theo Pitago ta có :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 5
.
2 4 4
DF CD CF CD BC CD CD CD
 
= + = + = + =
 ÷
 
.
Do đó :
2
2 2 2
2
1 1 1
.
5
4 5 5
4
MCD
CD
S CD CD a
CD
= = =

V

2
2
2
Câu 5: (4 điểm ) Hai máy cày cùng làm việc trên một cánh đồng . Nếu cả hai
máy cùng làm việc thì sau 4 ngày sẽ cày xong cả cánh đồng .Trên thực tế thì
hai máy cùng làm việc trong hai ngày ,sau đó máy 1 bị điều động đi nơi khác
làm việc .Máy hai làm một mình thì sau 6 ngày nữa thì cày xong cánh đồng .
Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày xong cánh đồng trong bao lâu ?
Giải
Cả hai máy cùng làm việc 4 ngày cày xong cánh đồng
Và cả hai máy cùng làm việc trong hai ngày
Suy ra : còn
1
2
cánh đồng máy 2 phải hoàn thành công việc 1 mình .
Mà máy 2 phải cày một mình
1
2
cánh đồng đó trong 6 ngày
Suy ra : máy 2 cày xong hết cánh đồng mất 12 ngày .
Ta có : 1 ngày, máy 2 cày được
1
12
cánh đồng
=> 2 ngày , máy 2 cày được :
1
6
cánh đồng

Mà 2 máy , 2 ngày cày chung được ½ cánh đồng
=> 2 ngày máy 1 cày được
1 1 1
2 6 3
− =
cánh đồng
=> 1 ngày máy 1 cày được
1
6
cánh đồng
=> máy 1 cày hết cánh đồng hết 6 ngày
Vậy máy 1 cày hết cánh đồng mất 6 ngày .
Máy 2 cày hết cánh đồng mất 12 ngày .
(học sinh giải được bằng cách khác vẫn có điểm tối đa)
4