DE THI HSG TOAN 8 NAM 2009

Phòng giáo dục & Đào tạo
huyện Quảng Xơng
Đề thi chọn học sinh giỏi môn toán lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1:
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x
2
-3x + 1.
b) x
2
- 2x 4y
2
- 4y
2) Cho x
2
- 4x + 1 = 0 . Tính giá trị biểu thức
2
24
1
x
xx
A
++
=
Bài 2:
Giải các phơng trình sau:
a) | 2x - 3| = | -7|
b) | x
3
x - 1 | = x

3
+ x + 1
Bài 3:
Cho biểu thức
A=








+

+








+
+

+

2

10
2:
2
1
36
6
4
2
3
2
x
x
x
xx
xx
x
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của A tại giá trị của x thỏa mãn | x+1 | = | - 1|
c, Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
d, Với các giá trị của x là số nguyên hãy tìm giá trị lớn nhất của A.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. E là một điểm thuộc BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc
với AE cắt đờng thẳng CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đờng
thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh:
a, AE =AF và EGFK là hình thoi.
b, AF
2
= FK . FC.
c, Khi E thay đổi trên BC thì chu vi tam giác EKC không đổi.
Bài 5:
a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

5x -3y = 2xy -11
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = | 11
m
5
n
| với m, n nguyên dơng.

Đáp án Thang điểm
Bài 1: (4đ)
1)
a. = 2x
2
2x x + 1
= 2x( x 1) ( x 1)
= (x - 1)(2x - 1)
b. = (x
2
2x + 1) ( 4y
2
+ 4y + 1)
= (x-1)
2
(2y +1)
2
= (x- 2y - 2)(x + 2y)
2)
x
2
- 4x + 1 = 0

x
2
+1 = 4x
Vậy A =
2
24
1
x
xx
++
=
( )
2
2
2
2
1
x
xx
+
=
( )
15
4
2
2
2
=

x

xx
Bài 2: (3đ)
a.
TH1: 2x 3 = 7

2x = 10

x = 5
TH2: 2x -3 = -7

2x = -4

x = -2
Vậy
{ }
2;5

x
b. ĐK: x
3
+ x + 1 0
+ Xét x
3
x 1 = x
3
+ x + 1

x= -1 (KhôngTMĐK)
+ Xét x
3

x 1 = - x
3
- x 1

x = 0 (TMĐK)
Vậy:
{ }
0

x
Bài 3(5đ)
a. ĐKXĐ: x 0, x 2
Rút gọn biểu thức đợc kết quả A=
x

2
1
b. | x+1 | = | - 1|

x = -2 hoặc x = 0
Với x= 0 hoặc x= -2 thì không thỏa mãn ĐKXĐ của A nên A không có giá
trị
c. Để A có giá trị nguyên thì 2-x
{ } { }
3;11;1

x
d.- Với x 3 thì A < 0
- Với x -1 thì A
3

1

- Với x = 1 thì A = 1
Vậy A
ln
= 1

x = 1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1.5
0.5
0.5
1
0.5
0.5
Bài 4(5đ)

I
A
D
B
C
F
E
K
G
a.
AFAEgcgADFABE
==
)..(
==
IKIGIKFIGE
I là trung điểm chung của GK và EF nên EGFK là
hình bình hành.
Ngoài ra tam giác AEF cân có AI là trung tuyến nên là đờng cao suy ra GK
vuông góc với EF. Vậy EGFK là hình thoi
b.
~AKF

CAF

( Vì chung góc AFK và các góc FAK và FCA đều bằng
45
0
)
suy ra AF
2

= KF. FC
c. Vì KE = FK = KD+ FD = KD + BE
suy ra C
CKE
= 2a (a là độ dài cạnh hình vuông) không đổi.
Bài 5(3đ)
a.

32
7
52
+
+=
x
y


x
{ }
52;2;1

Ta có bảng giá trị
x -1 -2 2 5
y 6 -1 3 2
b.
11
m
có tận cùng là 1
5
n

có tận cùng là 5
+) Nếu 11
m
> 5
n
thì A có tận cùng là 6
+) Nếu 11
m
< 5
n
thì A có tận cùng là 4


A 4
Vì m = 2, n = 3 thì A = 4

A
nn
= 4 khi chẳng hạn m = 2, n = 3
1
0.5
0.5
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5