Một số bài toán chứa yếu tố vuông góc

Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa


Yếu tố vuông góc được sử dụng khá nhiều trong các bài toán hình toạ độ phẳng, dưới đây
a giới thiệu đến các em 5 bài toán đặc trưng về yếu tố vuông góc cách chứng minh và bài
toán ứng dụng hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn và các em trong việc giải quyết các bài
toán hình học toạ độ phằng. Vì thời gian không cho phép nên chỉ có 5 phần thôi nhé, hi
vọng a sẽ có thời gian viết tiếp hehe. Chúc mọi người học tốt !.
Phần 1: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có
2CD AB
.Gọi H là chân đường
vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng đường thẳng qua
DM vuông góc với đường thẳng qua BM.
Bài giải
Cách 1: Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp.
Hạ
,BE DC E DC
. Theo bài ta có ME là đường trung bình trong
//DEC ME DH ME AC   
. Mặt khác :

0
90ABE 
(theo cách dựng)

Chứng minh được 5 điểm A,B,M,E,D nội tiếp trong một đường tròn là tâm của hình vuông
ABED. Khi đó tứ giác ABMD nội tiếp có tổng 2 góc đối bằng
0
180
từ đó suy ra được
DM BM

.
Cách 2: Dựa vào tính chất đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song.Kẻ
MI // AB (1)

MI

AD (vì AB

AD) (2)
01.MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA YẾU TỐ VUÔNG
GÓC VÀ ỨNG DỤNG.
Mod: Lê Văn Tuấn (Moon.vn)
Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa


Lại có
DH AC
(giả thiết )
DI AM
(3)
Từ (2) và (3) suy ra I là trực tâm của
 
*ADM AI DM  
. Mặt khác : Trong

DHC có :
/ / / /MI DC AB
MH MC





suy ra MI là đường trung bình
 
1
4
2
MI CD MI AB   
.Từ (1) và (4)

ABMI là hình bình hành suy ra BM // AI (**)
Từ (*) , (**) suy ra
BM DM
(điều phải chứng minh)
Cách 3 : Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông. Kẻ
BE DC
tại E. Dễ
dàng chứng minh được ABDE là hình chữ nhật . Suy ra AB = DE = EC . ( trong tam giác vuông
trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh ấy : nhớ nhé ).

Trong
DHC
có :
ED EC
EM
MH MC







là đường trung bình
EM HC AME  
là tam giác
vuông tại M . Gọi O là trung điểm của AE
O
cũng là trung điểm của
BD MO
là đường
trung tuyến trong tam giác BDM (1)
Trong tam giác vuông AEM có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
1
2
MO AE

Mà AE = BD (tính chất đường chéo hình chữ nhật)
Nên
1
2
MO BD
.Từ (1) và (2) suy ra
BDM
là tam giác vuông tại M hay
BM DM
tại M
(điều phải chứng minh).
Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa

Ứng dụng: Có vố số bài toạn ứng dụng từ bài toán này , các bạn tự làm nhá hichic.

Đề thi đh khối A 2013. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm C
tuộc đường thẳng
:2 5 0d x y  
và
 
4;8A 
. Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình
chiếu vuông góc của B trên MD. Tìm toạ độ các điểm B,C biết rằng
 
5; 4N 
. ( bài này nhiều
cách giải, có cách chứng minh vuông góc dựa vào cách 1 của bài toán trên rất nhanh hoặc
có thể làm theo cách số 3).
Bài 2: [ Khoá LGBT Moon.vn ]Trong mặt phẳng tọa độ cho hình thang ABCD vuông tại A và
D có
2AB CD
và
 
2;3B
, gọi E là trung điểm cạnh CD, H là hình chiếu vuông góc của E
lên AC, biết phương trình đường thẳng
: 2 3 0DH x y  
và đường thẳng AC đi qua
 
1;3K
.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD.
Bài 3: [ Trên Facebook] Trong mặt phẳng toạ độ cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và
D có
2CD AB

có đỉnh
 
1;2B
. Hình chiếu vuông góc của D lên AC là điểm
 
1;0H 
. Gọi N
là trung điểm của HC. Tìm toạ độ các đỉnh A,C,D biết rằng
: 2 2 0DN x y  

Phần 2 : Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC.
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO vuông góc với BE.
Bài làm
Gọi K là trung điểm của EC. Ta có : HK là đường trung bình
của

BEC nên HK // EB (1)
Trong

EHC ta cũng có OK là đường trung bình nên OK //
HC.(2)
Mà
AH HC
(giả thiết ) (3)
Từ (2) và (3) ta có
OK AH
(*)
Lại có
HE AC
(vì E là hình chiếu của H trên AC) (**)

Từ (*) , (**) suy ra O là trực tâm của

AHK
 
4AO HK

Từ (1) và (4) suy ra
AO BE
(điều phải chứng minh)


Bài 2.1. Cho tam giác đều ABC,gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC.
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO vuông góc với BE.
Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa

Bài 2.2. Cho tam giác vuông cân ABC tại A . Gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu
của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO vuông góc với BE.
Bài 2.3. Cho tam giác vuông AHC có vuông tại H . Đường cao HE. Gọi O , K lần lượt là trung
điểm của EH và EC. Chứng minh AO vuông góc với HK.
Ứng dụng:
Câu 1: [ Khoá LGBT_ Moon.vn] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC

cân tại
 
2; 4A 
. Gọi H là trung điểm của BC , E là hình chiếu của H xuống cạnh AC. Biết
M

11
;
22



là trung điểm của HE, điểm B thuộc đường thẳng
: 2 4 0xy   
và đường thẳng
BE đi qua điểm N
 
5;1
. Tìm tọa độ các điểm B,C của tam giác ABC.
Câu 2: [ Khoá rèn kỹ năng Moon.vn] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông
tại
 
2;0A 
, gọi E là hình chiếu của A trên BC và F là điểm đối xứng của E qua A, biết trực
tâm tam giác BCF là
 
2;3H 
và trung điểm của BC thuộc đường thẳng
:4 4 0d x y
.
Tìm toạ độ các đỉnh B,C của tam giác ABC.

Phần 3 : Cho hình chữ nhật ABCD .Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi N và M lần lượt là
trung điểm của HD và BC. Chứng minh MN vuông góc với AN.
Lời giải :
Kẻ

/ / / /NI AD BC
ta có I là trung điểm của AH khi
đó NI là đường trung bình của tam giác AHD ta có:
1
//
2
NI BC BM
nên BMNI là hình bình hành.
Dễ thấy
//
NI AB
BI MN AN
AI BD






.

Bài toán 3.1. Cho

ABC cân tại A, đường cao AH. Dựng hình chữ nhật AHCK, HI vuông
góc với AC. M , N lần lượt là trung điểm của IC và AK . Chứng minh MN vuông góc với BI.
Bài toán 3.2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC . E , F , M lần lượt
là trung điểm của AB , DH , BH .Chứng minh AM vuông góc với EF .
Lời giải
Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa

Gọi N là trung điểm của CH .
Ta chứng minh được tứ giác BEFN là hình bình hành ( vì
//BE FN
) suy ra EF //NB
Mặt khác
BN AM
( chứng minh bài trước ))).
Vậy ta có
AM EF
(điều phải chứng minh )


Bài toán 3.2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B lên AC . E , F , M , N lầm
lượt là trung điểm của AB , DH , HC , AD . Chứng minh
EF MN
( tương tự chứng minh 2 bài
trên ).
Ứng dụng:
Câu 1[ Đề thi HSG Thanh Hoá 2015] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật
ABCD có
 
1;2H
là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm
9
;3
2
M




là trung điểm của
cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH là
4 4 0xy  
. Tìm toạ
độ đỉnh B ,C và viết phương trình đường thẳng BC .
[Câu 2: [Trên FaceBook] Trong Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc:
1
:2 2 0d x y
và C thuoc
2
: 5 0d x y  
. Goi H là hình chiếu của B xuống đường chéo AC.
Biết
92
;
55
M



và
 
9;2K
là trung điểm của AH và CD. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Phần 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD trên các cạnh AD,AB lấy lần lượt
các điểm
,EF
sao cho
AE AF
, H là hình chiếu của A trên BE chứng minh

CH HF
.
Lời giải:
Gọi
K AH CD
, chứng minh được
ADK BAE  

Chứng minh được AFKD là hình chữ nhật.
Khi đó tứ giác HBCK nội tiếp đường tròn đường kính BK
Lại có tứ giác KFBC nội tiếp đường tròn đường kính BK
Do đó 4 điểm C,H,F,B thuộc cùng một đường tròn hay tứ
giác CHFB nội tiếp. Khi đó :



00
180 90CHF EBC CHF   



Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa

Câu 1: [ Khoá rèn kỹ năng Moon.vn].Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD trên
các cạnh AD,AB lấy lần lượt các điểm
,EF
sao cho
3
AB
AE AF

, K là hình chiếu của F
trên CD ,đường thẳng AK cắt đường thẳng BE tại
62
;
55
H



, biết điểm
 
1;2F
. Tìm toạ độ đỉnh
C của hình vuông ABCD.
Câu 2: [ Facebook] Trong mặt phẳng Oxy,cho hình vuông ABCD.Trên các cạnh AB,AD lấy lần
lượt các điểm F và E sao cho AE=AF.Gọi H là hình chiều vuông góc của A lên BE. Tìm tọa độ
đỉnh C thuộc đường thẳng
: 2 1 0d x y  
và tọa độ
   
2;0 ; 1; 1FH
.
Câu 3: [ Sưu tầm] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có M và N lần lượt là
trung điểm của BC và CD , gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên DM, phương trình đường
thẳng AH là:
4 3 5 0xy  
. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông biết
 
6;3N
.

Phần 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
 
C
tâm
I
. Gọi E
và F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C. Chứng minh
EF IA

Lời giải:
Ta có:


BAM BCA
cùng chắn cùng AB.
Lại có tứ giác EFBC là tứ giác nội tiếp nên


AFE BCA
( vì
cùng phụ với góc

BFE
) suy ra


//AFE FAM AM EF
.
Do đó chứng minh được
IA BC

Ứng dụng:
Câu 1: [ Khoá LGBT Moon.vn].Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp
đường tròn
 
C
tâm
 
1;2I
. Gọi E và F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C,
phương trình đường thẳng EF là
3 7 0xy  
,biết tiếp tuyến tại A của đường tròn
 
C
đi qua
 
3; 2M 
và điểm B thuộc tia Oy Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Câu 2: [ Trích tạp trị toán học tuổi trẻ] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn
 
22
: 25C x y
ngoại tiếp tam giác nhọn ABC . Chân đường cao hạ từ B và C của tam giác
Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa

ABC lần lượt là
 

1;3M 
và
 
2; 3N 
. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết A có tung độ
âm.
Câu 3 [ 1 bạn hỏi trên FB] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp
đường tròn tâm
 
0;3I
, đỉnh
 
0; 2B 
. Gọi E,F là chân các đường cao hạ tù các đỉnh B và C
của tam giác ABC. Đường thẳng
:4 3 4 0EF x y  
. Tìm tọạ độ các đỉnh A và C.
Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2015!