Một số bài toán về khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ docx

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1. DẪN NHẬP

 !"#$
%&'()&*+,-
.'"/.01
0230/4
5607'86493
'(7(7:/1
;:0<609=1)0 0/4'>1
0"'"?''6 !:0<607
'8 4(@$'"'-4
(.A/!A"B6?CA6A" .,
"
)&DEAF G-'409<" H
%E.3
I>1=1:-'J=1" !:FK
=(0&<6L9."B""BJ
'"?''0-=D'MB'
34 GNO *AF9-
"BP'(.0:1:4F"B
/?
2. NỘI DUNG

2.1. Tóm tắt lí thuyết
2.1.1. Khoảng cách
2.1.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
56LQR"
8SH*T:.TUV"BE

F4
=QWRU
Hình 1
2.1.1.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
56O"8  :@6L
"8."8
7"B1
Hình 2
2.1.1.3. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
;QRA#QR0"8SH*T:.TUV5H
• 0#@M'E!0&S
QRQRXVW
Hình 3
• 0#@'E!0&S
QRQRYV
Hình 4

2.1.1.4. Công thức đường phân giác
 ;"8H*T.TUV0H*T.TUV5H
 I"?"'>1:Z0
U[
2.1.2. Góc giữa hai đường thẳng
2.1.2.1. Định nghĩa
\"80:%1:!]!N9
"B !O"80:A.?6
O0:
5  7M0&:A3."&O$:@
Hình 5
Kí hiệuHO"80:E/QRA.?6QA:R
2.1.2.2. Liên hệ góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ

^A("B);I"80"8:
#QR_QA:RUQR
#QRXQA:RUQR
2.1.2.3. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
;"8H*T.TUV0H*T.TUV5

O"80"B*`:Z4
UQaR
Chú ý: UV⟘
#"8="&=1H.U*T:AH.Ub*T:bQAb("B/
!"80R
 bUc⟘
2.2. Một số dạng toán liên quan đến khoảng cách và góc trong mặt phẳng
tọa độ.
Dạng 1: tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến đường
thẳng.
Phương phápH'=D14 H
• 56OdQRAeQRH
deUQcR
• 56LQR"8SH*T:.TUV"BEF
4
=QWRUQfR
• ^O"8%N9:!1
^("B);IW("B)I"80H
UUQgR
Chú ýH
• O"8  7M:@
• ^dde;O0F?0

• hE6L"8"8'6

0="&=1'"?i3
Bài toán 1HE6L"8"B"?4
" HQ]ecVj?:6R
a) dQgWaR0Hk*Tg.TcUV
b) eQjcWfR0bH
Giải
a) l'=D4E6
=QdARUU
b) L'"?QfR .HUjA.0'"?QcR"B
*UjcTfQjRUjcm.
0 '"?i3"8bH
*T.TcUVn'=D4QfRH
=QeWbbRUU
Bài toán 2H:'"?1H
*Tf.UVWf*T.UVW*T.UcQ]ecVj>R
Giải
opde;0&'"?1"+5
q//'"? H
WW
^6/."BqQVWVRAQfWjcRAQjcWfR
^6 rdQVWVRAeQfWjcRA;QjcWfR].
UQfWjcRAUQjcWfRAUQjgWgR

)deUd;Ude;>1d
 dUUUs
⇒Us
Dạng 2: vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng 
Phương phápH*p0`E"?!dAe!0&"8Q=R
" H
.dAe00'"?"8Q=R

• #"B`M=9-dAeM'E!0&Q=R
• #"B`=9-dAe'E!0&Q=R
Bài toán 1HHe1de;'"?H
a) \+.:!t@.@de;
deH*u.TkUVWe;Hg*Ta.TkUVWd;Hv*T.ucfUV
^6.("Bt00'=e;Ad;Ade"BH
gVTaVTkUkWvVTVucfUjcfWVuVTkUk
.dAeA;("B00'"?"8He;Ad;A
de"BH
gTaaTkUgfWvQjgRTcucfUgfWfTfTkUw
#"0 Ht0d@M'E!0&e;At0e@M'E!0&d;At0
;@M'E!0&de) t@de;
Nhận xétH

\=1O=1?:60&DE"
&"B4?:6x"y,KE.A
:N3:Z? Z$'$OP"Z&
0/6:'41'?7:/:0<`A:3zE
 G*pZ'( 
57':=1.q0/ r=D4AE9+
Z'('"?''7(q0G'A('6:
={E*L.L"87'8
h>.x"'"?''7'8
Dạng 3Hmột số bài toán viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng
cách
Bài toán 1H0'"?"'>
Phương phápH
cách 1Hh"'>dnde;" H
• |-''"?1deAd;
• '"?"'>1:Z"8deA

d;F4+:
• op0`E"?!eA;!0&"'>
0L^6 r"8QR
#eA;'E!0&QRQR"'>d
#"B1-"'>d
cách 2:
• :dA
eA;^nA}("B>
"'>0~
Ldde;

• EA⇒UAU
• hn'=D/4HU⇒UjUjL/4."B
n50'"?"8dn3dAn
\•
• h}'=D/4HUUUL/4.
"B}50'"?"8d}
cách 3:
• EA⇒UAU
• h7UUUQ€W€RWUUUQ€W€R
• 5);I"'>dH⇒'"?"
'>d
• );I"'>dH⇒'"?"'>
d
Ví dụH)'"?"'>~Lqdde;0&H
dQfW•RAeQjgWjkRA;QaWVR
Giải
Cách 1H
I"?"8deHU⇔f*u.TfUV
I"?"8d;H⇔ f*T.ucVUV

l'=D4'"?"'>'"?"'>
dH
U[⇔.u•UVQR7*ufUVQR.1e00
'"?"8QRAHjku•UjcVYV.;0
0'"?"8QRAHVu•Uj•YV].e;@M'E

!0&Q⇒QR"'>d) '"?"'>
dH*ufUV
Cách 2:
HUQjaWjcVR⇒deUaWUQgWj•R⇒d;Ug^n>"'>
~Ldde;/4HU⇒Uj⇔Qjgu*Wjku.RUjQa
u*Wj.R⇔⇔
) nQfWjR
5"'>d(H
dnH*jfUV
Hình 7
Cách 3
^A("B0F??0`Dde0d;AH
UUUQjaWjcVRUQjWjfR
UQWjfR57UQVWjkR••QVWcRE);I
"'>dn'"?
"'>.HU⇔ *ufUV
Bài toán 2:
a) ;dQcWcR0eQgW•RA)'"?"83d0
e6:@f
b) ;"8='"?w*u•.uaUV)'"?"
8  0&=0=6:@a
Bài toán 3H0'"?"8QSR3d010&"8Q=R
‚

Phương phápH)I"8QSRUQW:R
• )'"?"8QSR3d
• nM4EO"8QSR0Q=RAL"B:
4/O0:A
• )"80 !)I:A:N+
:40L"B.A:0'"?i3:(
"B'"?"8(
Ví dụH0'"?"8
a) ƒdQjfWVR010&"8=H*Tg.ugUVW
b) ƒeQjcWfR010&"8=H
Q]ecV>R
I"?''H
Giải
a) h"83dQjfWVR0&)IQW:R'"?H
Q*TfRT:.UV.*T:.TfUVQW
)I"8Q=RHQcWgR
FH10&Q=R
# Ufjg:jfUV
)&Uf:A:UcAUf"B"8Hf*T.TkUV
)&UjA:UjfAUcA"B"8H*jf.TfUV
b) ^QW:R);I"8(QR
h"8Q=R);IUQgWjfR
10&Q=R0q
⇔⇔cgQR
⇔fgUV
U7U
)&UA:UcAUA"B)ISUQjcWR0"B"8HjQ*T
cRTUV

j*T.uUV

)&UA:UcAUA"B"8
Hj*T.jUV
Bài toán 4H7'8t*.A0'"?"8Q=R3
QcWfR0%Dt*At.("B1dAet :p9
Cách 1:
\1t\ Q=R0tdeAH⟘
n984*6.0qH
\⇔t Q=R⟘
Hình 8
n1`:p9"8Q=R3QcWfR0)I
QcWfR
) "8Q=R(H
cQ*ucRTfQ.ufRUV⇔*Tf.uaUV
Nhận xét:

• Ip':i.:4:(0&1"B:tdA
te0<:421"B:t\
• ;6Z"B:i3?H*`0`E
"8Q=RN9QA:; >.i3?
Cách 2H"8Q=R3QcWfRA%D03!
"8/ !0&„VA„f=1H.ufUQ*ucR⇔.U*u
Tf
HdQAeQVWfuR0
op !H…QRUQ„VA„fRH…bQRU
…bQRUV⇔jkT•TkUV⇔Uf7Uj
:6: !…QRH
) …QRN90qUj
nN9Uj⇔Q=RH*Tf.uaUV
Cách 3:
^6 rdQWVRAeQVWRAQA„VR

5Q=RHUc3QcWfRHUc
l'=D:984e' H
cU_

n984*6.0qH
) n9:8*6.0qUaAUA4
Q=RH*Tf.uaUV
Bài toán 4HQ0ZR
|-''"?"83IQfWcR M0&f"8
Q=RHf*u.TaUV0Q=bRHg*T•.ucUV1>q
Q=R0Q=bR
Giải
Cách 1H
L'"?"8Q=R0Q=bRH
)IQ=RQfWjcR
)IQ=bRQgW•R
)fgTQjcR•UVQ=RQ=bR
n>1:ZQ=RAQ=bR0"8
(Q=bbR0>A .Q=bbR1
0&Q=R
Hình 9
^QA:R)IQ=bbR(5


⇔Ug:7UjA
)&Ug:A:UcAUg"B'"?"8Q=bbRHgQ*ufR
TQ.ucRUV
⇔g*T.uvUVQ=bbR
)&UA:UjgAUc"B
'"?"8Q=bbRH

Q*ufRugQ.ucRUV
⇔*ug.TcUVQ=bbR
) "8Q=bbRN+:
H
g*T.uvUV0*ug.TcUV
Hình 10

Cách 2:
L'"?"8Q=R0Q=bRH
)IQ=RQfWjcR
)IQ=bRQgW•R
)fgTQjcR•UVQ=RQ=bR
n>1:ZQ=RAQ=bR0"8
(Q=bbR0>A .Q=bbR G
00&"'>1:ZQ=R0Q=bRQ\ccA\cfR
\cc
I"?"'>1:ZQ=R0Q=bRH
⇔gQRUQR
⇔g*u†.Tc•UVQ7†*Tg.TckUV
QSbR^QA:R)IQ=bbR(
h"8Q=bbRSR0qgu†:UV⇔
Ug:A:UcAUg"B'"?
"8Q=bbRHgQ*ufRTQ.ucRUV
⇔g*T.uvUVQ=bbR

Hình 12
h"8Q=bbRSbR0q†Tg:UV⇔UA
Dạng 3: Tìm tọa độ của một điểm thỏa mãn một số điều kiện cho trước.
h>.=19<:-'.0.00x9"
'"?''6D.9."&69"H

^(QRA =06L:D-'
'"?A:4/O0B'EA .
Bài toán 1HQ5djfVV•R7'80&/t*.A"8H
H*T.TgUVAH*‡.‡kUVAH*‡f.UV
@"8 6L"
8
:@(6L"8
Giải
)Qf.W.R
H=QWRUUW=QWRUU
F6H=QWRUf=QWR⇔ Uf⇔.UjccA.Uc
)&.Ujcc"BQjffWjccR
)&.Uc"BQfWcR
Bài toán 2:Q5eufVVvR7'80&/t*.AdQfWfR0
"8HH*T.ufUVAH*T.uwUV
e0;("B0 de;0>1
d

Giải
)eW;eQ:Wfu:RA;QWwjR0de;0>1d
H⇔⇔
h7*U:ucA.Uuk/
^6/"B*UjfA.Ujc7*UfA.Uc
].HeQjcWgRA;QgWaR7eQgWjcRA;QaWgR
Bài toán 2H7'80&/D0t*.eQfWjcR
0;QcWjfR>^de;ZF"8H*T.ufUVn/
Ede;:@dQ:C="ˆ \I
6ER
^6
^QR^

^Z"8H*T.jfUVA
QcR
h"8e;3eQfWjcR0;QcWjfR
'"?HU⇔*u.ugUV
56L^QR&e;H
=Q^We;RU
7H
].e;U

|1Un
⇔

TH1HQfR
^6/QcRAQfR"BA
\.^QR
F4>HA.eA;A^0"BaAjf) dQaWjfR
TH2H⇔QgR
^6/QcRAQgR"B^QRE"?F4>"B
dQkWfR
Chú ýH69'60GE*
Bài toán 2H7'80&/D0t*.dQc
WVRAeQjfWkRA;QjcWkRAnQgWaR"8QSR'"?g*u.jaU
VQSR de0;n=/E:@
Giải
H⇒deUaA
⇒;nU
I"?"8de3dQcWVR0eQjfWkRH
QdeRH
⇔k*Tg.ukUV
I"?"8;n3;QjcWkR0nQgWaRH

Q;nRH⇔*uk.TcvUV
^QRS⇒
h="~Lde;H

=QWdeRU
h="~L;nH
=QW;nRU
=QWdeRUU
UU
⇔
⇔kUQ
TH1H⇔⇔
"BQ
\fH
"BQj†WjgfR
Dạng 4Hmột số bài toán quỹ tích liên quan đến khoảng cách và góc.
Bài toán 1H3zE"8Q=RHjf*Ta.ucUV
6:@g
Giải
hQ*W.R"Z8Hjf*Ta.ucUV6:@g
⇔
⇔
jf*Ta.jcUgf*ua.TcTgUV

7jf*Ta.ucUjg f*ua.TcjgUV⇔
) 3zE"8  '"?H
f*ua.TcTgUV0f*ua.TcjgUV
Bài toán 2H7'8t*.dQcWcRAeQ†WvR3zE
 Q0ZR
Giải

Cách 1H^Q*W.R
5H
n
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
) 3zE"2>‰QaWkRA:EŠUf
Cách 2: )dQcWcRAeQ†WvR ⇒
‰18deA .‰QaWkRA‰dU‰eUa0
H
#

f⇔
⇔
^Q*W.R5H
) 3zE"2>‰QaWkRA:EŠUf
Tổng quátHAAA0Tc !H
N+H-'B' Q]ecVu>R
^6
^Q*W.RA
‹Œ‹ŒU⇔
QRQjfQR*ufQR.TU⇔
h7UA:UAU
.0'"?"BH
⇔
- #-'B'"2>‰QW:RA:EŠU
- #-'B'‰QW:R
- #-'B'-'J

Bài toán 2H7'80&/D0t*.!
`dQW:RAdbQbW:bR3zEO QRi0<
<0&Q:C="ˆ \I6ER
^6

h7QRi
^‚A‚bB':Zd0
db0&<="?Dt*
‚bU‚A
•U‚bu‚
 bU⇔
H
‚bUW
‚U
 UUU.nnnnnnnnnnnnnnn
HQcR
)<QRi3zE"2'"?
QcRh"2.3d0db
; .i"B"2'"?QcR-d0db
K4
• #d0dbZDAD4"ddb
ZjWbZW:U:bUV0'"?QcRZH

Dạng 5Hbài toán cực trị
Bài toán 1H7'8t*.A0 !H0"8
S
a) S N9W
b) #S N9

Phương phápH

Cách 1H^‰N+HTTUVA .‰
a) 5HTTUTTTUQR
nH  ‰"8S⇔ ⇔
b) 5HUUUQT
)i  #‰"8S⇔ ⇔
cách 2H0SQ*W.Q*RR
R
• EAAF*A .F*
•  ⇔
• 4:-!0&*A"B^##4.A .
(
b) EAAF* .4:-!0&*"B^##
4. .#(
Ví dụH7'81t*.dQfWgRAeQjkWcR0"
8Q=RH*T.TcUVQ=R 
a) N9
b) QRN9
Giải
Cách 1:
a) ^‰18de ‰QjcWfR0⇒
HUfUf‰
#  ‰"8Q=R⇔ ⇔

I"?"8Q=bR3‰000&Q=RHjcQ*TcRTcQ.ufRUV
j*T.ugUVhQ=R0Q=bR//⇔
'"?H
  .QjfWcR⇔
b) ^ŽQ*W.R fTgUV
HUQfu*Wgu.RAUQjku*Wcu.RfTgUQjwua*W†ua.R
nHfTgUV  .ŽQR⇔ ⇔

nHUfTgUaTfTg0
fTgi ⇔
Ž"8Q=R⇔
I"?"8Q=bbR3ŽQR000&Q=RH
jcQ*TRTcQ.jRUV j*T.jUV)Q=R0Q=bbR⇔
//'"?H
 ⇔
) QWR
Cách 2:
a) ^Q*Wj*ucRQ=RdQfWgRAeQjkWcR
UQfu*WkT*RAUQjku*WfT*R
nHUQjfuf*W•Tf*RA
 .UUw‹Œ•w

LHUf0q*Ujf .Uc⇒
) QjfWcR
b) ^Q*Wj*ucRQ=RdQfWgRAeQjkWcR
UQfu*WkT*R UUfTk*UfV⇒
UQjku*WfT*R UUfTcf*TfV⇒
nHUcVTkk*TcVVUcV‹TŒ•
].HU0q*UA.U
) QWR

Bài toán 2HIAƒ0"8S
a) S ITƒN9W
b) #S &9
Phương phápH
op0`E"?!IAƒ!0&"8QSR
• #IAƒ'E!0&"8QSR
a) )&QSRITƒ•Iƒ

nQITƒRUIƒ:Iƒ8
QSR0Iƒ
b) ^Ib!*40&I3SIb
)&#S#IU#IbU_Ibƒ