SKKN tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai
Phần 1. Phần mở đầu
1/ Lý do chọn đề tài.
Hiện nay chúng ta đang sống trong thế kỷ XXI, một thế kỷ đòi hỏi con ngời
phải hoàn thiện hơn và phát triển hơn về tri thức và khoa học. Trong lĩnh vực phát
triển của các lĩnh vực khoa học thì toán học là một trong những lĩnh vực khoa học
đợc ra đời từ rất sớm.
Xuất phát từ những đòi hỏi của cuộc sống đã làm nảy sinh các kiến thức toán
học. Toán học đã góp phần không nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa học
tự nhiên, cũng nh thúc đẩy các bộ môn khoa học xã hội phát triển. Một khoa học
chỉ thực sự phát triển nếu có thể sử dụng đợc các phơng pháp toán học.
Ngày nay với sự phát triển nh vũ bão của các ngành khoa học thì việc nâng
cao kiến thức toán học cho học sinh là rất cần thiết, góp phần thực hiện thắng lợi cơ
bản của nhà trờng phổ thông Việt Nam là Đào tạo thế hệ trẻ thành công dân kiên
trì, dũng cảm, thông minh, sáng tạo. Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hớng vào đào
tạo những con ngời lao động - tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề
thờng gặp qua đó góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nớc là: Dân
giàu, Nớc mạnh, Xã hội công bằng, dân chủ văn minh .
(Nghị quyết hội nghị lần thứ VI BCH Trung ơng Đảng CSVN khoá VII )
Mặt khác: Phơng pháp giáo dục phải hớng vào dạy học, rèn luyện và phát
triển khả năng suy nghĩ, khả năng giả quyết vấn đề một cách năng động độc lập,
sáng tạo, nâng lực giải pháp giải quyết vấn đề.
(Nghị quyết Đại Hội lần II BCH Trung ơng khoá VIII năm 1997 và 24 Luật
giáo dục (1998) viết: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học).
Từ những nhận thức về mục tiêu giáo dục, phơng pháp dạy học đặc biệt là
phơng pháp dạy toán ở trờng THCS. Muốn có hiệu quả, hiệu suất cao thì từng bài
dạy, từng phần của chơng trình của từng lớp học trong cấp học phải đợc tiến hành
theo kiểu phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua các hoạt động : Học sinh đóng

vai trò chủ động nắm kiến thức, thầy giáo đóng vai trò tổ chức tình huống có vấn
đề, hớng học sinh hoạt động theo trình độ nhận thức của họ, làm trọng tài cho học
sinh trong thảo luận, tranh luận làm có vấn cho học sinh chốt vấn đề và khẳng định
kiến thức mới trong hệ thống kiến thức đã có của học sinh.
Nói về chơng trình toán ở cấp học THCS nêu lên và giải quyết nhiều vấn đề.
Song trong phạm vi đề tài này tôi xin chỉ đề cập đến Một số phơng pháp tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức trong chơng trình toán bậc THCS.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là nội dung kiến
thức toán học khó, quan trọng, lý thú, đồng thời cũng rất phong phú và không đơn
giản đối với các lớp THCS.
Thực tế cho thấy trong chơng trình Đại số cũng nh Hình học ở cấp THCS
không đề cập rõ đến cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
mà cho cho bài tập ở dạng nâng cao. Do đó đa số học sinh còn rất lúng túng và đối
với học sinh khá, giỏi thì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức cha đợc đề cập.
Vậy việc dạy học Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
nh thế nào cho phần đa học sinh và để bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi đạt kết quả
tốt là một vấn đề cần đợc qua tâm và để đạt đợc kết quả đó, ngoài phơng pháp
truyền thụ ngời thầy phải nắm đợc kiến thức một cách nhuần nhuyễn.
Về nội dung đề tài này, sau khi giới thiệu các phơng pháp giải và một số
dạng toán thờng gặp tôi có đa ra những bài tập vận dụng cụ thể. Tất cả đều đợc
trình bày theo một lôgic, giới thiệu phơng pháp các bớc làm, ví dụ minh hoạ.
Với nội dung và cách trình bày hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu hớng
dẫn đối với học sinh mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho việc giảng dạy của
giáo viên dạy toán ở các trờng THCS.
2/ Mục tiêu của đề tài.
Nh chúng ta đã biết, chơng trình toán học ở trờng THCS giữ một vai trò hết
sức quan trọng, nó là cơ sở, tiêu đề, nền tảng cho chơng trình toán học ở các lớp
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai

tiếp theo. Bởi vậy, trong quá trình giảng dạy ở trờng thì khâu tìm ra các phơng pháp
giải các bài toán là vô cùng quan trọng.
Bởi vậy bản thân tôi đã chọn cho mình một đề tài đó là Phơng pháp tìm giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức ở trờng THCS.
3/ Phạm vi và đối tợng nghiên cứu.
Vai trò của giáo viên hết sức quan trọng, song giáo viên không là ngời giảng
giải, minh hoạ, làm mẫu cho học sinh bắt chớc mà giáo viên phải là ngời tổ chức
các tình huống học tập trong đó kích thích đợc hứng thú, sự sáng tạo của học sinh,
từ đó học sinh tự rút ra phơng pháp giải cho từng loại toán. Từ đó xác định đối tợng
nghiên cứu của đề tài này là quá trình dạy và học toán ở trờng THCS.
4/ Phơng pháp nghiên cứu và tiến hành.
Trong những năm gần đây, sách báo, khoa học giáo dục và trong thực tế dạy
học đợc diễn đạt bằng các thuật ngữ khác nhau nh: Dạy học nêu vấn đề; Dạy
học tích cực; Hoạt động hoá ngời học; Công nghệ dạy học; Dạy học theo
cách tiếp cận quá trình .
Tuy nhiên mục đích cuối cùng cần đạt đợc là kết quả của sự vận dụng tổng
hợp những khía cạnh bản chất tích cực trong các xu hớng lý luận nói trên. Không
một phơng pháp giáo dục nào là vạn năng, có thể áp dụng cho mọi hoàn cảnh, mọi
đối tợng học sinh, chúng ta phải sử dụng tổng hợp nhiều phơng pháp, đặc biệt là
Môn Toán.
đề tài gồm những phần.
Phần I: Hệ thống các dạng bài toán các Phơng pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của một biểu thức. ở đây tôi đa ra một số nhiệm vụ nghiên cứu sau:
- Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.
- Các phơng pháp giải.
- Các dạng toán thờng gặp.
Phần II: Bài tập vận dụng.
Giới thiệu các dạng bài tập về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thông qua
việc nghiên cứu.
- Nghiên cứu về nội dung bài dạy ở trờng THCS thông qua sách giáo khoa,

sách bài tập và các tài liệu tham khảo giành cho học sinh khá giỏi.
- Qua thực tế giảng dạy ở trờng THCS và đặc biệt là công tác bồi dỡng học
sinh giỏi. Đồng thời qua việc trao đổi, học hỏi bạn bè, đồng nghiệp, các thầy cô
giáo có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy.
- Kiểm tra chất lợng học sinh.
Phần III: Phát huy trí tuệ của học sinh qua việc giải toán và sai lầm thờng gặp. Ph-
ơng pháp giải các dạng toán là một trong những vấn đề trung tâm của việc dạy và
học, bởi lẽ nó là một công việc mà cả ngời học lẫn ngời thầy thờng xuyên phải làm.
Đặc biệt đối với học sinh THCS thì việc tìm ra phơng pháp giải toán là một hình
thức chủ yếu của việc học toán. Việc tìm kiếm cách giải cho từng loại toán cụ thể
giúp các em có một phơng pháp trong suy nghĩ, trong suy luận, trong công việc giải
quyết các vấn đề. Qua đó rèn luyện trí nhớ, trí thông minh, tính sáng tạo, phát triển
năng lực, t duy của học sinh.
ở chơng trình toán THCS thì mảng Phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của một biểu thức là loại toán khó, đa dạng và phức tạp.
Trong chơng trình dạy học toán thì có rất nhiều phơng pháp giải toán, không
có một phơng pháp nào chung cho mọi loại toán. Vì thế học sinh phải biết linh hoạt
sử dụng, lựa chọn sao cho phù hợp với từng kiểu bài.
Việc tìm ra lời giải của một bài toán hay phơng pháp giải toán gây nên sự
hào hứng trong học tập của học sinh. Từ đó vun đắp lòng say mê học toán và ớc mơ
vơn tới vinh quang trong lĩnh vực nghiên cứu, khám phá, phát minh những vấn đề
mới.
Thành công của mỗi giáo viên trên con đờng dạy học là giúp các em có lòng
say mê, sự tìm tòi không mệt mỏi trong con đờng học tập. Từ đó, các em có ý thức
tự bồi dỡng, tự rèn luyện cả tài và đức cho bản thân.
Phần 2. Nội dung.
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai
1/ Cơ sở lý luận.

Qua quá trình dạy học toán và thu thập những thông tin bản thân tôi nhận
thấy khi giải bài toán về Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức học sinh
còn mắc nhiều thiếu sót dẫn đến không nắm đợc phơng pháp giải. Vì thế, khi đi vào
các bài toán cụ thể các em không định hớng đợc lời giải.
- Nhiều học sinh chịu khó học bài nhng vẫn không làm đợc hoặc làm sai, những
học sinh này thờng mắc những thiếu sót sau:
+ Học thuộc các phơng pháp nhng cha thực sự hiểu thấu đáo vấn đề.
+ Cha đọc kỹ đề bài đã vội giải bài toán, bỏ qua các dữ liệu của bài toán.
+ Không biết vận dụng hoặc vận dụng cha thành thạo các phơng pháp vào
từng bài toán cụ thể. Đôi khi áp dụng một cách máy móc, áp đặt thiếu linh hoạt.
+ Khi giải bài toán không chịu kiểm tra lại kết quả khi đã làm xong dẫn đến
sai lầm đáng tiếc đó là hớng giải thì đúng nhng kết quả bài toán thì sai.
+ Không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác nhau cho một bài toán dẫn đến sự
hạn chế trong việc phát triển năng lực và t duy khi giải toán.
- Bên cạnh những thiếu sót của học sinh thì ngay cả giáo viên cũng mắc một số
thiếu sót.
+ Giáo viên có đa ra những phơng pháp cụ thể cho từng loại toán song thời
gian lên lớp có hạn nên việc lấy ví dụ để áp dụng các phơng pháp đó đang còn ít,
dẫn đến các em chỉ biết tiếp thu một cách thụ động chứ cha đợc thực hành do đó
mà kém hiệu quả.
+ Đôi khi có những trờng hợp giáo viên cho học sinh làm quá nhiều ví dụ,
nhng lại không chú trọng đến việc phân tích bài toán theo nhiều khía cạnh làm cho
học sinh coi việc giải bài toán là gánh nặng, không gây đợc hứng thú cho các em.
2/ Tình hình thực tiễn.
Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của chơng trình toán THCS tôi thấy cha cơ bản, cha sâu, cha đáp ứng đầy
đủ yêu cầu của dạng toán này bởi trên thực tế bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của một biểu thức rất đa dạng, phong phú và là một thể loại toán khó của
THCS. Khi dạy phần này nhất thiếu là đối với học sinh khá, giỏi giáo viên phải tự
biên soạn, su tầm, lựa chọn Vì thế mà nội dung giảng dạy cha thống nhất.

Là giáo viên chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho học sinh Chiếc chìa
khoá để giải từng dạng toán cụ thể, song không phải lúc nào cũng có một qui tắc
nhất định.
Qua quá trình giảng dạy, tham khảo đồng nghiệp, tôi mạnh dạn phân dạng
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức và cách giải từng dạng với
mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu về phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của một biểu thức dới nhiều góc độ và làm nhẹ nhàng quá trình giải cho học sinh.
3/ Các giải pháp thực hiện áp dụng
A/. N, các PP giải và một số dạng toán thờng gặp.
1/ Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.
1.1. Định nghĩa giá trị lơn nhất.
Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, ký
hiệu M = max f(x), nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
+ Với mọi x thuộc D tìm f(x) M, với M là hằng số.
+ Tồn tại x
0
thuộc D sao cho f(x
0
) = M.
1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất.
Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, ký
hiệu m = min f(x) nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
+ Với mọi X thuộc D thì f(X) m, với m là hằng số.
+ Tồn tại Xo thuộc D sao cho f(Xo) = m.
* Ta cũng định nghĩa giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y, ). Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức f(x,y, ) bằng cách tơng tự.
2/ Các phơng pháp giải.
2.1. Ph ơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.
Biến đổi biểu thức: y = f(x) sao cho:
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang

Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai
* y = M - [g(x)]
2n
, n Z
+
=> y M.
Do đó: max y = M <=> g(x) = 0.
* y = m + [h(x)]
2k
, k Z
+
=> y m.
Do đó: min y = m <=> h(x) = 0.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
y = ( x+1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 )
Giải: Ta có:
y = ( x
2
+ 5x + 4 ) ( x
2
+ 5x + 6 )
y = ( x
2
+ 5x + 4 ) [( x
2
+ 5x + 4 ) + 2 ]
y = ( x
2
+ 5x + 4 ) + 2(x

2
+ 5x + 4 ) + 1 1
y = ( x
2
+ 5x + 5 )
2
1
=> y -1
Vậy: min y = -1 <=> x
2
+ 5x + 5 = 0 <=> x =
2
55
2.2. Ph ơng pháp 2: Vận dụng các bất đẳng thức đã biết.
2.2.1. Bất đẳng thức Côsi.
* áp dụng cho 2 số không âm: a

0; b

0.
Ta có:
2
ba +


ab
* áp dụng cho n số không âm: a1

0; a2

0; an

0.
Ta có: (a+a2 an)
n


a1a2 an.
2
Dấu = xảy ra <=> a1 = a2 = =an.
2.2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski
* áp dụng cho 2 dãy số: a,b và x,y
Ta có: (ax = by)
2
(a
2
+ b
2
) ( x
2
+ y
2
)
Dấu = xảy ra <=>
b
a
=
y
x
* áp dụng cho trờng hợp tổng quát.

Cho 2 dãy số có n số hạng a1, a2, an và b1, b2 bn
Ta có: (
1 1 2 2

n n
a b a b a b+ + +
)
2
(
2 2 2
1 2

n
a a a+ + +
) ( )
Dấu = xảy ra <=>
1
1
b
a
=
2
2
b
a
= =
bn
an
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
y =

x6
+
2+x
Giải:
Điều kiện: -2
x
6.
y
2
= (
x6
+
2+x
)
2
y
2
= ( 1.
x6
+ 1.
2+x
)
2
<=> y
2
16
<=>
y
4
<=> -4 y 4

Do y > 0 => y 4
Vậy: max y = 4 <=>
x6
=
2+x
<=> x = 2
2.3. Ph ơng pháp 3:Vận dụng 2 định lý.
* Định lý 1: Nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất
khi hai số bằng nhau.
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai
* Định lý 2: Nếu hai số dơng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất
khi hai số bằng nhau.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
y = 8x +
x
2
( x > 0 ).
Giải:
Vì x > 0 => 8x > 0;
x
2
> 0 => 8x .
x
2
= 16 = Const
Theo định lý 1:
Min y = 8x +
x

2
<=> 8x =
x
2
=> x =
2
1
Vậy: min y = 8 <=> x =
2
1
2.4. Ph ơng pháp 4 Đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới.
Có những bài toán khi đi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với biến ban đầu phức
tạp hoặc khó khăn thì ta có thể đổi biến bằng cách Đặt biến ban đầu ( cả biểu thức
chứa biến ) bằng 1 ẩn khác. Sau đó ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với ẩn mới ( ẩn
đã đặt ). Cuối cùng tìm ẩn ban đầu thông qua ẩn mới.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A =
1
2
a
a
+
1
2
b
b
với a > 1, b > 1.
Giải:
Đặt: a 1 = x > 0
b - 1 = y > 0

Ta có: A = ( x + 1)
2
+ ( y + 1

)
2
x y
A = x
2 +
2x + 1 + y
2
+ 2y + 1
x y
A = ( x +
x
1
) + ( y +
y
1
) + 4
Với x > 0, y > 0 ta có: x +
x
1


2; y +
y
1

2

Nên A

8.
=> min A = 8 <=> x = y = 1 <=> a = b = 2
Vậy: min A = 8 <=> a = b = 2.
2.5. Ph ơng pháp 5. Xét biểu thức phụ.
Để tìm cực trị của A, do A>0 nên ta xét biểu thức phụ có thể là
A
1
; - A; A
2
;
A
hoặc xét biểu thức phụ sai khác với A một hằng số, rồi tìm cực trị của biểu thức
phụ, sau đó suy ra cực trị của biểu thức A ( ban đầu ).
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
32
1
x
A

=

Giải: Điều kiện:
x

3
Dễ thấy: A > 0
Ta xét biểu thức: B =

A
1
= 2 -
2
3 x

Ta có:
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai
0
2
3 x

3
=> -
3
-
2
3 x
0.
=> 2-
3
2 -
2
3 x
2
Min B = 2 -
3
<=>

3
=
2
3 x
<=> x = 0.
Khi đó: max A =
32
1

= 2 +
3
Max B = 2 <=>
2
3 x
= 0 <=> x =


3
.
Khi đó min A =
2
1
.
2.6. Ph ơng pháp 6: Dựa vào tập giá trị hàm.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
1
16
2
2
+

++
x
xx
Giải:
Đặt y =
1
16
2
2
+
++
x
xx
Hàm số trên xác định

x ( Vì x
2
+ 1 0

x )
Gọi yo là một giá trị của hàm số.
Khi đó phơng trình: =
o
y
1
16
2
2
+
++

x
xx
Có nghiệm
<=>
o
y
( x
2
+ 1 ) = x
2
+ 6x + 1 có nghiệm
<=> (
o
y
1 ) x
2
6x +
o
y
1 = 0 có nghiệm
Với
o
y
1 = 0 =>
o
y
= 1 =>
0
x
= 0 ( thích hợp )

Với
o
y
1 0 =>

|
= 9 (
o
y
1 )
2


0
=> (
o
y
1 )
2
9
<=>
o
y
-1 3
<=> -2
o
y
4
Vậy: Min y = -2.
Max y = 4.

2.7. Ph ơng pháp 7.Dùng đồ thị để tìm cực trị.
Phơng pháp này thờng dùng cho các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức mà đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: Tìm giá trị lơn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
y = x 1 + x 3 - 2x + 2 với -2 x 4.
Gi ải:
Xét giá trị của y ứng với từng khoảng giá trị của x.
Ta có: Với -2 x - 1.
Thì y = ( 1- x ) + ( 3 x ) ( -2x 2 ) = 6
Với -1 < x 1
Thì y = ( 1-x ) + ( 3 x ) ( 2x + 2 ) = -4x + 2
Với 1 < x < 3
Thì y = ( x 1 ) + ( 3 x ) ( 2x + 2 ) = - 4x + 2
Với 3 x 4
Thì y = ( x 1 ) + ( x 3 ) ( 2x + 2 ) = -6
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-15 -10 -5 5 10 15 20 25
O

-2 -1
4
3
1
6
x
y
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai



Trên hình ta có đồ thị hàm số.
y = x 1 + x 3 - 2x + 2
Với -2 x 4.
Từ đồ thị ta thấy: Max y = 6 <=> -2 x -1
Min y = -6 <=> 3 x 4.
2.8. P h ơng pháp 8.
Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho
tích của chúng là một hằng số.
Thông thờng: Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một
hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong
biểu thức đã cho ( có thể sai khác một hằng số ).
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A=
3
4
163
x
x +

Giải: A =
3
4
163
x
x +
A = 3x +
3
3
16
x
A = x + x + x +
3
3
16
x



4
3
16
4
x
xxx
A

4.2
A

8.
Dấu = xảy ra <=> x =
3
3
16
x
<=> x = 2.
Vậy: Min A = 8 <=> x = 2
Nhận xét: Hai số dơng 3x và
3
3
16
x
có tích không phải là một hằng số. Muốn khử đợc
x
3

thì ở tử phải có x
3
= x.x.x do đó phải biểu diễn 3x = x + x + x rồi dùng bất đẳng
thức Côsi cho 4 số dơng.
2.9. Ph ơng pháp 9.Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho.
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai
Ví dụ: Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức.
zy
x
P

+
=
2
+

yx
z
xz
y
+
+
+
22
Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi với hai số dơng
zy
x
+
2
và
4
zy +

Ta đợc:
zy
x
+
2
+
4
zy +

x
xzy
zy
x
==
+
+ 2
.2
4
.2
2
(1)
Tơng tự:
y
xz
xz
y

+
+
+ 4
2
(2)


z
yx
yx

z

+
+
+ 4
2
(3)
Từ (1) (2) (3) ta có:
zyx
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++
++
+








+
+
+

+
+ 2
222

( )
1
2
=
++
++
zyx
zyxP
Dấu = xảy ra <=> x = y = z =
3
2
Vậy: Min P = 1 <=> x = y = z =
3
2
* Nhận xét: Với ví dụ trên đã thêm
4
zy +
vào hạng tử thứ nhất
zy
x
+
2
có trong đề
bài,
để khi vận dụng bất đẳng thức Côsi có thể khử đợc ( y + z ). Cũng nh vậy đối với
hạng tử thứ hai và thứ ba dấu đẳng thức xảy ra đồng thời trong (1), (2), (3) khi và

chỉ khi x = y = z =
3
2
.
Chú ý: Nếu lần lợt thêm ( y + z ), ( z + x ), ( x + y ) vào
yx
z
xz
y
zy
x
+++
222
,,
Thì ta cũng khử đợc ( y + z ), ( z + x ), ( z + y ) nhng điều quan trọng là không tìm
đợc giá trị của x, y, z để dấu đẳng thức xảy ra đồng thời do đó không tìm đợc giá trị
nhỏ nhất của P.
2.10. Phơng pháp 10.Cực trị của đa thức bậc hai.
Xét đa thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c ( a 0 )
Ta có: f(x) = a ( x
2
+
a
b
x ) + c
f(x) = a ( x
2
+

a
b
+
a
b
4
) + c -
a
b
4
f(x) = a ( x +
a
b
2
)
2
-
a4

Nếu a > 0 thì min f(x) = -
a4

<=> x = -
a
b
2
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai
Nếu a < 0 thì max f(x) = -

a4

<=> x = -
a
b
2
Ví dụ: Tìm giá trị lơn nhất của biểu thức: C = -5x
2
4x + 1 .
Giải:
Ta có: C = -5 ( x +
5
2
)
2
+
5
9

5
9
Vậy max C =
5
9
<=> x = -
5
2
3/ Một số dạng toán thờng gặp.
3.1 Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc hai.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x

2
4x + 1.
Giải:
Ta có: A = x
2
4x + 4 3
A = ( x- 2 )
2
3

3.
Vậy min A = -3 <=> x = 2.
3.2 . Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức bậc cao.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = ( x
2
+ x + 1 )
2
Giải:
Ta có: B = ( x
2
+ x + 1 )
2
B = ( x
2
+ x +
4
1
+
4
3

)
2
B = [ ( x +
2
1
)
2
+
4
3
]
2
Mà: ( x +
2
1
)
2
+
4
3



4
3
Do đó: min B = (
4
3
)
2

<=> x = -
2
1
Vậy: min B =
16
9
<=> x = -
2
1
.
3.3. D ạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức có dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C = x - 1 + x 3
C ách 1: Xét khoảng:
x 1 3
x -1 - 0 + +
x-3 -
- 0 +
C -x + 1 x + 3 x - 1 - x + 3 x - 1 + x - 3
- Trong khoảng: x < 1 thì C = - x + 1 x + 3 = 4 2x .
Do x < 1 nên -2x > -2
Do đó: 4 2x > 2
- Trong khoảng: 1 x 3 thì C = x 1 x + 3 = 2
- Trong khoảng: x > 3 thì C = x 1 + x 3 = 2x 4
Do x > 3 nên 2x 4 > 2
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai
So sánh các khoảng, ta thấy giá trị nhỏ nhất của C = 2 <=> 1 x 3
Vậy min C = 2 <=> 1 x 3

Cách 2: áp dụng bất đẳng thức: A + B

A + B
Dấu = xảy ra <=> A.B

0
Ta có: C = x - 1 + x - 3
C = x-1 + 3 - x

x 1 + 3 x = 2
=> min C = 2 <=> ( x 1 ) ( 3 x )

0 <=> 1 x 3
Vậy min C = 2 <=> 1 x 3
3.4. D ạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có tử là hằng số mẫu là
tam thức bậc hai.
Ví dụ: Tìm giá trị lơn nhất của biểu thức:
544
3
2
+
=
xx
D
Giải: Ta có:
544
3
2
+
=

xx
D

( )
412
3
2
+
=
x
D
Ta thấy: ( 2x 1 )
2


0 nên ( Zx 1 )
2
+ 4

4
Do đó:
( )
412
3
2
+x

4
3
( Theo qui tắc so sánh 2 phân thức cùng tử,

tử và mẫu đều dơng )
Vậy: Max D = ắ <=> x = ẵ
Sai lầm của học sinh khi giải dạng 4:
Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng: D có tử là hằng số nên D lớn nhất khi
mẫu nhỏ nhất.
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm:
Chẳng hạn phân thức:
3
1
2
x
Max mẫu số = 3 <=> x = 0
Nhng với x = 0 thì:
3
1
2
x
= 1 =
3
1
là giá trị lớn nhất của phân thức.

Chẳng hạn: Với x = 2 thì
3
1
2
x
= 1 > -
3
1

Nh vậy từ -3 < 1 không thể suy ra -
3
1
>
1
1
( Từ a < b chỉ suy ra đợc
a
1
>
b
1
khi a, b là 2 số cùng dấu )
3.5. Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của phân thức có mẫu là bình phơng của
nhị thức.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
2
2
1
1
+
++
=
x
xx
E
Giải: Cách 1: Viết tử thức dới dạng luỹ thừa của ( x + 1 ) rồi đổi biến.
Đặt

1
1
+x
= y
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang 10
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai
E =
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
1112
1
1
+
+++
=
+
++
x
xxx
x
xx
= 1 -

( )
2
1
1
1
1
+
+
+
x
x
Đặt
y
x
=
+1
1
E = 1 y + y
2
E = ( y -
2
1
)
2
+ ắ

ắ
Min E = ắ <=> y =
2
1

<=> x = 1
Vậy min E = ắ <=> x = 1
C ách 2: Viết E dới dạng tổng của ắ với một biểu thức không âm.
E = x
2
+ x + 1 = 4x
2
+ 4x + 4 = 3(x+1)
2
+ (x 1)
2
(x + 1) 4(x + 1)
2
4(x + 1)
2
E = ắ + [
)1(2
1
+

x
x
]
2


ắ
Min E = ắ <=> x = 1
3.6. D ạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các phân thức khác.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F

( )
2
2005+
=
x
x
Giải:
F = 8020 = x
2
+ 4010 x + 4020025 x
2
+ 4010 x 4020025
8020(x+2005)
2
8020( x + 2005 )
2
= ( x + 2005)
2
- ( x 20005)
2
8020(x + 2005)
2
8020(x + 2005)
2
= 1 - ( x 2005)
2
1
8020 8020(x + 2005)
2
8020

Vậy: Max F =
8020
1
<=> x = 2005.

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: G = x
2
2x + y
2
+ 4y + 5
Giải: G = x
2
2x = y
2
= 4y + 5
G = x
2
2x + 1 + y
2
+ 4y + 4
G = (x 1)
2
+ 9y + 2)
2


0
Vậy Min G = 0 <=> x = 1, y = -2
B/.Bài tập áp dụng.
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x

2
20x + 53
Cách giải: Dùng phơng pháp 10.
A = 2x
2
20x + 53
A = 2 (x 5)
2
+ 3

3
Vậy min A = 3 <=> x = 5
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = (x 2) (x 5) (x
2
7
10)
Cách giải: Dùng phơng pháp 1.
B = (x 2) (x 5) (x
2
7x 10)
B = (x
2
5x + 2x + 10) (x
2
7x 10 )
B = (x
2
7x + 10) (x
2
7x 10 )

Trng Trung hc c s Song c 2 Trang 11
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai
B = (x
2
7x )
2
100
Vì (x
2
7x )

0

x <=> (x
2
7x )
2
100

- 100
Vậy min B = -10 <=> x
2
7x = 0 <=> x = 0; x =7
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x
2
+ y
2
+
xy

2
(x, y > 0)
Cách giải: Dùng phơng pháp 2.
Ta có: (x y )
2


0 <=> x
2
2xy + y
2


0
<=> x
2
+ y
2


2xy
=> C = x
2
+ y
2
+
xy
2
> 2xy +
xy

2
= 2 (xy +
xy
1
)
Dấu = xảy ra <=> x = y
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số: xy và
xy
1

Ta có: (xy +
xy
1
)
2


4xy.
xy
1
= 4
=> xy +
xy
1


2
=> C = x
2
+ y

2
+
xy
2


4
Min C = 4 <=> xy =
xy
1
<=> x
2
y
2
= 1 <=> (xy)
2
= 1
<=> xy = 1.
Mà: x = y => x = y = 1
x = y = -1
Vậy: Min C = 4 <=> x = y = 1 hoặc x = y = -1.
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = x
3
(16 x
3
)
Cách giải: Dùng phơng pháp 3.
Ta có: x
3
+ (16 + x

3
) = 16 = Const
=> Max x
3
(16 x
3
) <=> x
3
= 16 x
3
<=> 2x
3
= 16
<=> x
3
= 8 = 2
3
<=> x = 2
Vậy: Max D = 64 <=> x = 2
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E =
4
2
1 x
x
+
(x0)
Cách giải: Dùng phơng pháp 5.
Ta có:
E
1

=
4
2
1
1
x
x
+
=
2
4
1
x
x +
= x
2
+
2
1
x
Vì: x 0 => x
2
0 =>
2
1
x
0
Vì: x
2
.

2
1
x
= 1 = Const => Min (x
2
+
2
1
x
) <=> x
2
=
2
1
x


<=> x = 1
=> Min
E
1
<=> x 1
=> Mà Max E <=> min
E
1
=
2
1
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang 12
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:

Trn Vn Hai
Vậy max E =
2
1
<=> x 1
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F =
x
x
2
9
+
x
2
Cách giải: Dùng phơng pháp 6.
F =
x
x
2
9
+
x
2
+ 1
F 2
x
x
x
x

2

.
2
9
+ 1 = 2
9
+ 1 =7
Dấu = xảy ra <=>
x
x
2
9
=
x
x2
<=> x =
2
1
Vậy min F = 7 <=> x =
2
1
Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tách
x
2
thành tổng
x
x2
+ 1. Hạng tử
x
x2
, nghịch đảo với

x
x
2
nên khi vận dụng bất đẳng thức Côsi ta đợc tích của
chúng là một hằng số.
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
G =
1+y
x
+
1+x
y
Với x, y không âm thoả mãn x + y = 1.
Cách giải: Dùng phơng pháp 4.
G =
1
22
+++
+++
yxxy
yyxx
=
2
1
22
+
++
xy
yx
=

( )
2
12
2
+
++
xy
xyyx
=
2
22
+

xy
xy
Ta có:
xy

2
yx +
=
2
1
nên xy
4
1
Đặt xy = t thì: 0 t
4
1
, G =

t
t
+

2
22
= -2 +
2
6
+t
Min G <=>
2
6
+t
min <=> t + 2 max <=> t max <=> t =
4
1
<=> x = y =
2
1
khi đó G min =
3
2
Max G <=>
2
6
+t
max <=> t + 2 min <=> t = 0
<=> x = 0, x = 1; y = 1, y = 0 khi đó max G = 1.
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

1
1
2
2
+
++
x
xx

Cách giải: Dùng phơng pháp 6.
Gọi
0
y
là một giá trị của hàm.
Ta có:
0
y
=
1
1
2
2
+
++
x
xx
<=> (
0
y

1) x
2
x +
0
y
1 = 9 *

+ Nếu
0
y
= 1
(*) => -x = 0 <=> x = 0.
=>
0
y
= 1 thuộc tập phải tìm.
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang 13
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai
+ Nếu
0
y
1
Ta có:

= 1 4 (
0
y
1)
2

0
<=> [1 + 2 (
0
y
1)] [1 2 (
0
y
1)] 0
<=> (2
0
y
1) (3 2
0
y
) 0
<=>
2
1

0
y

2
3
=> Tập giá trị của hàm số trong trờng hợp này là:
2
1

0
y

2
3
; y 1.
Vậy: Max y =
2
1
Min y =
2
3
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Y =
x
+
44 + xx
Cách giải: Dùng phơng pháp 7.
* Y = x + x 2 =









<

>
022

202
222
xkhix
xkhi
xkhix
Nhìn vào đồ thị: Min y = 2 <=> 0 x 2
4/áp dụng - kết quả:
Qua giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi học sinh khối 8, tôi nhận thấy học
sinh hiểu bài tốt, nắm kiến thức có hệ thống; là tiền đề để học sinh giải tốt các bài
bài toán tơng tự và là cơ sở để học sinh đa ra phơng pháp giải mới, đồng thời giải
quyết bài toán có tính chất tổng hợp.
Sau khi dạy 2 tuần về loại toán này nhng cha áp dụng thì cho ra kết quả sau
khi làm bài kiểm tra cụ thể nh sau:
a/. Trớc khi áp dụng:
Ss_hs
ĐIểM
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang 14
y
2
2
0
m
x
Sỏng kin kinh nghim: Phng phỏp gii bi toỏn cc trNgi thc hin:
Trn Vn Hai
Năm học
GHI CHú
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
2010 - 2011 8 0

0
2
25
3
37.5
3
37.5
0
0
b/. Sau khi áp dụng:
Năm học
Ss_hs
ĐIểM
GHI CHúGiỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
2010 - 2011 8 1
12.5
2
25
4
50
1
12.5
Nhận xét:
-Tỉ lệ học sinh dới TB giảm 25%.
-Tỉ lệ học sinh đạt Khá, Giỏi tăng: 12.5%
Căn cứ vào kết quả trên ta thấy sau khi áp dụng, tỉ lệ bài kiểm tra trên trung
bình đạt cao hơn nhiều so với cha áp dụng; điều này càng thể hiện rõ vài trò của ph-
ơng pháp tìm cực trị nh trên trong việc bồi dỡng học sinh giỏi toán 8,9
Phần 3. KếT THúC

Nh vậy ta có thể thấy rằng do có vận dụng tốt phơng pháp tìm cực trị vào việc
giảng dạy các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cho ta kết quả rất tốt, nên việc
tìm hiểu và vậy dụng một cách hợp lí phơng pháp tìm cực trị là rất cần thiết đối với
ngời dạy, nhất là giáo viên bồi dỡng học sinh giỏi. Đặc biệt với việc giải quyết các
bài toán tìm cực trị nhiều giáo viên đã bồi dỡng cho rằng khó khăn trong việc
truyền đạt cho học sinh hay thành công cha cao.
Bài viết này với mong muốn cùng trao đổi học tập với quý đồng nghiệp về
phơng pháp giảng dạy, để mỗi chúng ta thực hiện tiết dạy hiệu quả, chất lợng cũng
nh đảm bảo chỉ tiêu chất lợng giáo dục mà Trờng THCS Sông Đốc 2 đa ra.
Nội dung trên đây không thể tránh khỏi những sai sót nhất định, mong quý
đồng nghiệp chia sẻ, góp ý để cho bài viết hoàn thiện hơn.
Sụng c, ngy 02 thỏng 12 nm 2010
Ngi vit
Trn Vn Hai
Trng Trung hc c s Song c 2 Trang 15
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải bài toán cực trịNgười thực hiện:
Trần Văn Hai
PhÇn 4. môc lôc

Trường Trung học cơ sở Song Đốc 2 Trang 16