Hệ phương trình phần 2

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 1
HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần II)
101.
2
21
23
x y y
x y x y y

  


   


102.
2 2 2 2
2
13
x y x y
x y x y

   


    



103.





   
22
22
log 4 log 4 2
4 10 2 2 1
x x y y
xy x y x x

     



     

104.
1
11
3
xy xy x
y y y
x x x

  



  



105.
   
 
3 2 2 3
22
1 2 30 0
1 11 0
x y y x y y xy
x y x y y y

     


     


106.
4 2 2
22
4 4 2
2 6 23
x x y y
x y x y

   



  



107.
 
 
2
2
2
1
1
1
y x x
x
y x y x
x

  




  


108.
 
3

4
2 1 27
21
x y x
xy

    


  



109.
22
2 3 2
8
16
2
8 3 3 4 2
xy
xy
xy
x x x x y
yy

  






   


110.
4
4
2
1
2
4
2
1
1
4
xy
x
xy
xy
y
xy























111.
 
   
 
   
22
22
1 6 1
1 6 1
x y y x
y x x y

   


   



112.
3 2 3
3
4 12 9 6 5
xy x y
x x x y y
  


     


113.

22
22
11
3 3 17
x y xy x y xy
x y xy x y xy

    


    


114.

 
1
2
2 2 2
2 1 1 .2
log 2
y
x
x
x
xy



  






115.
7 6 2
3
5 2 2
3
60y y x
x
y x xy
y


  


  


116.
 
 
22
11
1 2 4 3
3 .2 7.2
x y x y x y
x y y x y
xy
    

     


  



117.
 
 
 

2 2 2
2 3 ln 2 ln 0
2 3.6 4.3 0
xy
x y x
e e x y x y x xy y xy

         


   


118.
 
  
2
2 1 2 1
2
2 3 2 4
xy
xy
x y x y x y


    


    


119.
 
3
2 4 3
1 1 2
99
xy
x y y x y y

   


    



120.
   
2 2 4 2
2
1
4 5 8 6
x x y y y
xy

  



   


121.
 
22
22
3
369
x xy xy y x y
xy

    






Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 2
122.
 
32
2 1 1
7
x y x y
xy

   






123.
22
10
20
x x y
y x y x y x

   


   



124.
2
2
22
121
2 27
9
3 4 4 0
x
xx
x y xy x y

  




     

125.
3 3 2
44
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y

  


   



126.
    
2 2 2 2 2
2 1 2 2 1 2 4 10 1
2 2 1 0
x x y y z
x y z zx yz x y

     



      


127.
 
4 3 3 2 2
33
99
7
x x y y y x x y x
x y x

    






128.
3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
y x x x y
y x xy x

    



   


129.
 
 
2
3
22
2 3 2 1 11
y
x x y
xy
x y x

  




   


130.
  
    
2
4 4 9 3
4 2 2 3 3

x x x y xy y
x y x x

    


   


131.
 
 
3 3 3 2
2 2 2 2
16 9 2 4 3
4 2 3
x y y xy y xy
x y xy y

   


  



132.
3 2 3 2
22
3 9 22 3 9

1
2
x x x y y y
x y x y

     


   


133.
 
22
2
4 5 2
xy
x y x y xy




  



134.
2
2
3 2 2 3

3
2
24
2 2 1 5
yy
x x y xy x y
xy


     





   

135.
 
 
2
2
2
1
8
1
2
2 4 3 2
3
7

2
22
y
x
xy
yx
xy




  









136.
 
 
 
33
3
3 2 2 2
21
, ; 0

5 2 2 4 2 3 3
x y x y xy x y x y
x y y
x x x y x x x y

        



        



137.
2 2 2 2
10 1
1
23
124 1
1
49
x y xy
x y x y












138.
 
 
22
log log log log
lg lg 8
x x y y
yx
xy








139.
 
2
2 1 6 1
42
xy xy y y y
xy x y

    



  


140.
 
3 2 2
3
2
64
36
y x x y
xy

  


  



141.
33
3
2
2 3. 3 1
4 3 3 4 3 2 2 1
y x y
x x x x x


   


     


142.
 
3 2 3 2 2
3
3 5.6 2 0
2
x y x x y
x y y y x
  

  


   



143.
 
3 2 3
3
3 3 2
12

log log 3
21
xy
x x y y
yx
x
xy

   





  







144.
2
63
4
x x y
x y x y

  



   



Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 3
145.
 
10 10
2
16 16 2 2
22
18 9
2 4 1 10
1 2 0
xy
x y x y
yx
x y y x


     





    


146.
2
2 3 2 3 2
1 4 8 0
x y y x
y x x

    


     



147.
 
 
 
2 4 2 4 2 4
2
3 3 2
3 2 1 2
1 1 2
x y x y x x y
x y x x x y

    




     

148.
  
 
3
2
2 2 1 20 28
2 2 2
x y x y
x y x x

    


   



149.
 
2
2
2 1 2 2 2 2
4 1 17
x y x x x y
y x x

      




  

150.
   
 
 
73
23
2log 2 3 log 2 2 3
ln 4 1 3 3 7
x y x y
x x x y
   



    



151.
22
22
2
2 3 0
1
2 3 1 0

6
x y y x y
xy
y y x

   




    

152.
 
2
2
2
22
1
3
22
2
2 2 1 4 0
y
x
x
xy
x y x x y x




   



    



153.
3 4 1
6 2 1
2 2 16
2 2 16
xy
xx









154.
 
 
23
2

3
8 2 1 2
21
41
3
x y xy y
y
xx

  



  



155.
3
2
5
9 3 6 0
3
2 2 2
x y y x
x x y


    






   

156.
3
3
2 2 2 2 1 1
3 1 8 2 1
0
x y x y xy
y x y
x

     


   






157.
 
3
3

23
2 3 3 1
32 29 12 2 4 3
x y x y
x y x x y

   


     


158.
2
22
4 32 100
x y x
y x y x y

   


   



159.
 
 
3

2
22
22
32
1 log
3 2 log 1 log
2 7 8
x
x y y
y x y y y x


   


  


160.
2 2 3 2 5 7
3 5 2 2 4 1
x y x y
x y x y

     


     



161.
   
4 2 2 4 2 2
11
55
1 log 1 log
2 1 1 2 2
x x y x y x y y
x y x y

    



     

162.
2
2
2
3
3
2012 ln 2012
2 5 4 5 4
yy
xx
x
y
x y y x








   


163.
 
 
1 1 6 2 20
3 2 3 2 2 2 18
x y x y x y
x y x y x y

      


      


164.
   
22
44
2 2 4
32

2 17
x xy y x
x xy y x

   


   



165.
 
 
2 1 2 1 5 5 9
3 1 3 1 8 3
x y x y x y
x y x y x y

      


      


166.
3
8 2 2 2
2 1 3
x y y y x

yx

    


  



167.
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2
17
4
4 52
x x y x x y
x x y x x y
x x y x xy

   



   


    



168.
2
3 2 3
3
16
16 4
2
2 3 3. 3 12 4
xy
yx
xy
x x x y

  





    



Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 4
169.
22
33
4

24 2 2
9
22
xy y x y
x y x y
x y x y









   

   

   

170.
 
 
2
22
2
22
1
3

5
1
4
5
xy
xy
yx
xy














171.
   
 
2
2
4
2
1 1 4 3

log 3 2 log 1 4
x y x y x y
x y x

      


   


172.
  
 
 
22
3
2
4 16 3 80 144.
6 12 8 1
y y x x
y y y x x

    


   



173.

 
 
 
 
2
2
14
xy x y xy x y y
x y xy x x

     



    

174.
  
3 2 3 1
5
3 2 2 2
2
x y x y
x
y xy y

   




    



175.


22
1 1 1 2 1
1 1 2
11
1
x x y
xy
xy

    









176.
 
5
1

2
3
2 3 1
4
xy
y x x

  





   



177.
2 2 2
22
3 2 6 3 3 7 7 2
3 4 3 3 1
y y y x x x
y x y x

       


   



178.
 
 
   
2
4 3 2 11 17
3 3 5 3 2
x y y y
y y x x

    


   



179.
 
 
 
22
33
3 1 9 6 2 1 4 16 1
227 227 log log 134 4
xx
x y y y x x
y x xy


      


   


180.
 
 
3 2 2
2
2 6 7 3
9
2 3 2 1 4
4
y x x x y
y y x

    


    



181.
22
sin
sin
3 8 3 1 6 2 2 1 8

, 0;
4
xy
x
e
y
x y y y
xy







     









182.
1
2
11
y

x
xy
xy
yx








  







183.
 
 
2
22
1 4 3 0
22 9 18 4 3 76
x x y y
x y x


    


   


184.
   


3 2 2
2 2 2
4 1 2 1 6
2 2 4 1 1
x y x x
x y y x x

   


    



185.
4 2 2 2 3 2 2
2 2 3
3
12 2 . 7 7 2 7 5 11 10
x y x y y x y x

y x x y x x x

    


      


186.
 
42
2
2 6 7 2 9
1
2 2 5 0
2
x xy y y x
x y xy y

     


   



187.


2

32
20
3 2 1 2 4
x xy y
x xy y x x y

  


     


188.
   
2 3 2
2
22
1 2 2 1 4 7
1 1 5
x x y x y x
x xy x x y x

    


    



189.

 
2
32
3 1 2
2 1 2
x x y x y
x x y x y

     


    


190.
22
2 1 2 1 2 2
4 6 4 1 0
x y y x
x xy y

    


   



Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 5

191.
      
2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 2 3
4
x x y y x y
x y xy

       






192.
   
33
2
2 2 2
3
1
1 2 1 1
log 2 1 3log 2 2 log 1 2 2
2 3 2 2
xy
xy
xy
x
x y x x y x
x y x


  







         






193.
 
     
 
 
 
22
2
22
1 2 3 2 2 1 5
17 12 4 7 3 8 5
x x xy x y y x y y
x y x y x x y


      


       



194.
   
2
22
11 2 16 3 13 3 23 2
48
4
x y x y x y x y x y
xx
xy
y

      



   



195.
     
22

3
22
1 1 6 2
31
x x y x y x x
x xy y

        



  


196.
 
 
2
22
22
1 1 3
6
23
56
x y y x
xy
xy
x y x y xy
xy y x


   



       



197.
 
   
22
2
2 4 2 3
41
1 3 2 5 2 3 3
xy
xy
xy y x
x xy x y x x y x y



   







         



198.
 
 
 
 
 
2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
1
3 6 48 3 12
1 3 3 31 1
x y y xy x y y x y y x y
y
y x y x y xy xy x x y y

       




          



199.
     
 
2
2 2 2
33
22
3
log 2 1 log 4 4 2 1 3 4 2 1
log 2 4 4 2 1 2
x x y x x x y x y x xy
x x x x y

             



      


200.
   
2
2
22
2 2 2
16 8
4 3 1 4 3 4 8 17
1 4 3 8 ln 3 3 0
x y y

x x y y y
y x x x x x


        


       



Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 6
CÁC BÀI GIẢI
Bài 101: Điều kiện
0 , 2 0x y x y   
.
Đặt
 
2 2 2
, 2 , 0 3
3
ab
a x y b x y a b a b y a b x y b

             
.
Hệ đã cho trở thành:
  
 

2
2
22
22
01
21
I
33
2 4 7 3 3 9 0
a b a b
a b a b
b
a ab b a b
a b a b a b a b



    
  






     


     


Dễ thấy nếu
0ab
thì
3 0 0 0y a b y x      
, không thỏa mãn hệ đã cho. Như vậy
hệ
 
I
trở thành:

     
2
2
2
1
1
2 8 0
2 1 4 1 . 7 3 1 3 9 0
ab
ab
bb
b b b b b b








   
        




1
2 (loai) 4
ab
bb




   

ï
(thỏa mãn)
5
5 25 22
4 2 16 3
24
xy
a x y x
b x y y
xy


   
  


   
   
   

  



Vậy nghiệm của hệ là
   
, 22;3xy

Lưu ý: Xét
0y 
rồi xét trường hợp
0y 
. Với
0y 
, thực hiện phép nhân liên hợp:
3
23
2
y
x y x y y
x y x y
    
  
21x y x y    
.

Tiếp tục sử dụng phép thế
2
21x y y  
vào phương trình này, sau đó chuyển vế, bình
phương có điều kiện ta cũng tìm được nghiệm.
Bài 102: Điều kiện
0x y x y   
.
Đặt
 
22
2 2 2 2
, 0 ,
2
ab
a x y b x y a b ab x y x y

          
.
Lúc này hệ đã cho trở thành:

 
2
22
24
2
2
22
3
3

2
2
a b ab
ab
ab
a b ab
ab
ab


  






  






 
 
2
24
24
4 16 16 2 2

8 9 3
3
2
a b ab
a b ab
ab ab ab
ab ab ab
ab

  

  




   
   






2 4 4
0
0
a b ab a
b
ab


   









(vì
ab
)
4
2
0
xy
xy
xy


   



(thỏa mãn)
Vậy nghiệm của hệ là
   
, 2;2xy

Bài 103: Điều kiện
1
2
y 
.
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 7
Ta thấy
22
4x x x x   
nên
2
40xx  
. Tương tự
2
40yy  
nên ta có thể
nhân liên hợp như sau:









2 2 2 2
2 2 2

log 4 log 4 2 log 4 4 2x x y y x x y y

           










2
2 2 2 2
2
4 .4
4 4 4 4 4 4
4
xx
x x y y x x y y
yy

             


 


 

22
22
22
4 4 0 0
44
xy
x y x y x y
xy

          
  

 
22
1 0 0
44
xy
x y x y x y
xy



        

  


(Dễ thấy





22
2 2 2 2
44
10
4 4 4 4
x x y y
xy
x y x y
    

  
     
)
Thay
xy
vào phương trình thứ hai ta được:
 
2
8 10 2 2 1x x x x    
(1).
Để dễ nhìn ta đặt
   
2 1, 2 0a x b x a    
thì phương trình (1) trở thành:
  
2 2 2 2
6 6 0 2 3 0b a ab a ab b a b a b         

(+) Nếu
2 0 2 2 1 2 0a b x x      
, điều này không thể xảy ra do
1
2
xy
.
(+) Nếu
   
2
3 0 3 2 1 2 9 2 1 2a b x x x x         
(do
20x 
)

2
14 13 0 1 13x x x x       
(thỏa mãn)
Vậy nghiệm của hệ là
     
, 1;1 , 13;13xy

Bài 104: Điều kiện
0, 0xy
. Hệ đã cho viết lại thành:
 
1
1
1 1 3
13

xy xy x
xy xy x
xy xy x xy
xy xy x x xy

  

  



  
  





Đến đây đặt
 
0t xy t
thì hệ trên trở thành:

 
 
 
 
22
2
2

3 2 2
3
32
11
1
1
1 1 1 3 2 2 0
1 1 3
2 4 4 0
x t t x t t
t t x
x t t
t t t t t t t
t x t
t t t

     


  
  
   
  
   
       
  
  








 
2
2
2
1
1
11
00
0
0 (do 2 2 1 1 0)
x
x t t
xx
ty
xy
t t t t


  




   
   



      






Vậy nghiệm của hệ là
   
, 1;0xy

Bài 105: Rút gọn đưa hệ về dạng:
 
 
   
2 2 2 2 2 2
2 30 0
11 0
x y x y x y xy x y
xy x y xy x y

     


     



Ta đặt

 
2
,4u x y v xy u v   
thì hệ trên lại trở thành:
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 8
 
   
2 2 2
22
11
2 2 30 0
30
11 30 1
11
11
u v uv
v v u v u v
u v uv
uv uv
uv u v
uv v u

  
    






  

  
  





Từ
 
1
suy ra
5uv 
hoặc
6uv 
.
+) Nếu
56uv u v   
. Giải hệ này ta tìm được các nghiệm
 
5 21 5 21
,;
22
xy






và
 
5 21 5 21
,;
22
xy





.
+) Nếu
65uv u v   
. Giải hệ này ta được các nghiệm
     
, 1;2 , 2;1xy
.
Vậy nghiệm của hệ là
     
5 21 5 21 5 21 5 21
, ; , ; , 1;2 , 2;1
2 2 2 2
xy
   
   

   
   

Bài 106: Biến đổi hệ thành
 
 
 
2
2
2
2
2 2 10
2 6 23
xy
x y y

   



  


Đặt
 
2
2, 2 2u x v y u    
thì hệ được viết lại thành:
    
22
10
2 4 6 2 23
uv

u v v




    



 
 
   
22
2
19 4
10 4
3
4 19
2 19 4 10
uv u v
u v u v
uv
uv u v
u v u v
  


   



  
  

  
    








12
67
uv
uv
  






+) Nếu
12, 67u v uv   
, không thỏa mãn
 
2
4u v uv

, loại.
+) Nếu
4, 3u v uv  
thì
3
1
u
v





(thỏa mãn) hoặc
1
3
u
v





(loại do
2u 
)
Với
2
31
23

13
21
ux
x
vy
y

  



  





Vậy nghiệm của hệ là
   
, 1;3xy

Cách giải khác: Chúng ta có thể dùng phép rút
2
23 6
2
y
x
y




để giải hệ phương trình trên.
Bài 107: Điều kiện
0x 
. Rút
 
2
2
1
1
x
y
xx



từ phương trình thứ nhất và thế vào phương trình
thứ hai ta được:
       
  
22
2 2 4 2 4
22
2 2 2 2
11
1 1 1 1 1

1 1 1 1
xx
x x x x x

x
xx
x x x x x x x x


    

   

   



 
 
 
 
2 4 4
2 2 2
2 2 2
22
1 1 1
1 0 1 1
11
x x x
x x x
x
xx

  


        





+) Nếu
2
1 1 0x x y     
.
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 9
+) Nếu
 
   
4
3
2 4 2
2
2
1
1 0 1 1 (*)
1
x
x x x
x

      


Đặt
   
2
24
1 1 do 0 1t x t x x t      
nên phương trình (*) tương đương với:
   
 
2
3 3 2 2
1 1 2 2 0 1 2 0 1 0 1t t t t t t t t t                
(không thỏa mãn)
Vậy hệ có hai nghiệm là
   
, 1;0xy

Bài 108: Điều kiện
2, 1xy
.
Từ phương trình thứ hai
   
42
1 2 1 2y x y x       
. Thay vào phương trình thứ
nhất ta được:
   
2
3 3 2
2 2 27 2 4 31 0 1x x x x x x x           

Xét hàm số
 
32
2 4 31f x x x x x     
trên


2;
.
Đạo hàm:
   
2
1
' 3 2 4 0 2;
22
f x x x x
x
        

nên
 
fx
đồng biến trên khoảng
 
2;
.
Nhận thấy
 
30f 

nên
 
1 3 2xy   
.
Vậy nghiệm của hệ là
   
, 3;2xy

Bài 109: Điều kiện
32
0, 0, 0
34
xx
x y y
y
    
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

    
 
2
24
8
16 2 0 4 4 0
xy x y
xy
x y xy x y x y
x y x y




           





   
 
22
2
4 4 0 4 4 4 0
xy
x y x y x y x y x y
xy

             




 
22
40
*
4 4 0
xy
x y x y
  




   


Khai thác phương trình thứ hai của hệ:
+) Nếu
0x 
, thay vào phương trình thứ hai tìm được
0y 
. Cặp số
0, 0xy
không thỏa
mãn phương trình thứ nhất của hệ (loại).
+) Nếu
0x 
thì pương trình thứ hai của hệ tương đương với:
 
2
2 1 2 1
.1
8 3 3 4 2 8 3 3 4 2
x x x y x x y
x
y y y y x
        

Đặt
3

0,
4
x
t t t
y


  


thì
 
1
trở thành:

2
2 1 1 12
3 16 4 12 9 3 16 12 4 12 9
8 3 3 4 2
tt
t t t t t t
tt
             

 
2
2
2
4 2 12 9
3 4 12 9 12 9 0 3 0 3 2 12 9

33
t
t t t t t t t


           



Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 10
 
2
0
6 6 6
9 4 12 9 0
t
x
t x y
y
tt



      

  


mà

00xy  

Kết hợp với
 
22
6
24
40
7
*
4
4 4 0
7
,0
xy
x
xy
x y x y
y
xy






  






   









+) Nếu
0x 
thì phương trình thứ hai tương đương với:
21
8 3 3 4 2
x x y
y y x
    

 
2

Tiếp tục đặt
3
0,
4
x
t t t

y


  


thì
 
2
trở thành:

2
2 1 1 12
3 16 4 12 9 3 16 12 4 12 9
8 3 3 4 2
tt
t t t t t t
tt
                

 
2
2
2
4 2 12 9
3 4 12 9 12 9 0 3 0 3 2 12 9
33
t
t t t t t t t



            



 
2
0
2 2 2
3 3 3
9 4 12 9 0
t
xy
tx
y
tt


  

      

  


mà
00xy  

Kết hợp với
 

22
2
3
40
8
*
12
4 4 0
0, 0
y
x
xy
x
y
x y x y
xy





  









   








Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là
   
24 4
, 8;12 , ;
77
xy





Bài 110: Điều kiện
,0xy
. Đưa hệ về dạng:
 
 
4
4
2
12
1

4
2
11
2
4
xy
xy
x
xy
xy
y














Cộng vế theo vế
 
1
và
 

2
ta được:
 
4
4
2 1 1
3
2
xy

.
Lấy
 
1
trừ đi
 
2
vế theo vế ta được:
 
 
4
4
22
21
4
xy
xy
xy




.
Nhân
 
3
và
 
4
vế theo vế ta được:
 
 
 
2
41
42
xy
y x x y x y xy
xy
xy

      


Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 11
 
 
2 2 4 0 2 2 0 2 (do 2 0)x x x y y x y y x y x y x y x y            

4

4
2.xy
.
Thay vào
 
3
:
44
2 1 1
272 192 2 1088 768 2
2
2.
yx
yy
       
.
Vậy nghiệm của hệ là
 
 
, 1088 768 2 ;272 192 2xy  

Bài 111: Cộng vế theo vế hai phương trình cho nhau và rút gọn ta được:
22
5 5 1
2 2 2
xy
   
   
   
   

(1)
Trừ vế theo vế của hai phương trình đã cho:

          
6xy y x x y x y x y x y x y y x         

  
2 7 0
2 7 0
xy
x y x y xy
x y xy


      

   


+) Nếu
xy
, thay vào (1) tìm được
     
, 2;2 , 3;3xy
.
+) Nếu
1 1 15
2 7 0
2 2 4
x y xy x y

  
       
  
  
.
Đặt
5
2
ax
và
5
2
by
thì kết hợp với (1) ta có hệ:

  
 
 
 
   
2
22
2
1
11
2
2
4
22
11

15 1
22
2 2 2
42
44
ab a b
a b a b ab
a b a b
a b a b ab



  
    


  

  



  
    
     








0
1
4
ab
ab









(thỏa mãn)
4
31
4
ab
ab
  






(loại do

 
2
4a b ab
)
Với
 
 
   
   
11
,;
0
, 3;2
22
1
, 2;3
11
,;
4
22
ab
ab
xy
ab
xy
ab










  




















Vậy hệ có các nghiệm thỏa mãn là
         
, 2;2 , 3;3 , 2;3 , 3;2xy

Bài 112: Đặt
1tx
thì hệ tương đương với:

   
     
 
32
33
3
1 1 3
2*
4 3 1 6 5
4 1 12 1 9 1 6 5
t y t y
ty t
t t y y
t t t y y
    

  



     
        





33
33
2
2
1
4 3 6 6 0
4 3 6 6 0
t
ty t
y
t y t y
t y t y








    


    


Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 12
Đến đây ta sẽ thấy với

2
1
t
y


thì
2
2
66
3 6 6 6 6 3
11
y
t y y ty
yy
      

nên thay vào
phương trình thứ hai của hệ ta được:

   
3 3 2 3 2 2 3 2 2
4 3 0 4 4 4 4 0t y ty t t y ty y ty t y         

      
2 2 2
2 2 0 2 0
2
yt
t t y y t y t y t y

yt


         




(+) Nếu
yt
, thay vào
 
*
:
2
2
17
20
24
t t t

      


, vô lý.
(+) Nếu
2yt
, thay vào
 
*

:
 
 
2
1 17 17 3 1 17
,;
4 4 2
2 2 0
1 17 3 17 1 17
,;
4 4 2
t x y
tt
t x y


  
  




   


   

  






Vậy hệ có hai nghiệm là
 
17 3 1 17 3 17 1 17
, ; , ;
4 2 4 2
xy
   
    

   
   

Cách giải khác: Biến đổi tương đương đưa về hệ đẳng cấp ngay từ đầu:
 
   
 
   
3
3
3
3
13
13
4 1 3 2 1 0
4 1 3 2 3 0
y x x
y x x

x y y y x
x y y x
  

  




     

     






 
   
 
   
33
3 3 2
1 3 1 3
4 1 3 3 0 4 1 3 1 0 (*)
y x x y x x
x y y x x y y x
     





         



Đến đây ta có (*) là phương trình đẳng cấp bậc ba có thể giải được dễ dàng!
Bài 113: Biến đổi hệ về dạng:

   
   
  
    
1 12 1 1 12
3 1 18 1 3 1 18 1
xy x y x y xy xy x y
xy x y x y xy xy x y
         




         



   
51
18 1 12 3 1

3
y
x y x y x

       
. Thay trở lại phương trình
 
1
ta được:

 
 
 
2 3 2
51
. 1 5 1 1 18 5 3 4 2 54 10 7 7 24 0
3
y
y y y y y y y y y


              



 
 
2
1 10 17 24 0 1 0 1 2y y y y y x           
(dễ thấy

2
10 17 24 0yy  
)
Vậy nghiệm của hệ là
   
, 2;1xy

Bài 114: Điều kiện
1
2
2
x
.
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
21
2
22
yy
x
x


.
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

 
2 2 2 2
2 1 1 . 2 1 1 1 2 2 1 2 2
x
x x x x x

xx

             

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 13
     
1 2 2 1 2 4 2 2 1 2 3x x x x x x          

    
2
4 2 1 2 3x x x    
(do điều kiện)
2
2
1 2 log 1 2
17 17
2 log
99
xy
xy
    




   


Vậy nghiệm của hệ là

   
2
17 17
, 1;2 , ; 2 log
99
xy





Bài 115: Với điều kiện
0y 
thì phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
  
8 3 2 3 5 5 2 3 3 5 2
0y x x y xy y x x y x y y x          

(+) Nếu
3
xy
, thay vào phương trình thứ nhất ta được:
 
7 6 6 6 3
6 0 5 0 5 0 (do 0) 5 5 125y y y y y y y y x              

(+) Nếu
25
xy
, thay vào phương trình thứ nhất ta được:

52
7 6 5 2
52
2 2 4 2
6 0 6 0
3 3 , vô lí, loai
y x x
y y y y y
yx

     
       

    


ï

Vậy nghiệm của hệ là
   
 
, 125 ; 5 , 4 2;2xy

Bài 116: Xét hàm số
 
3
2. 4 7
2
t
f t t


  


trên .
Hàm số có đạo hàm
 
33
' 2. .ln 4 0
22
t
f t x

    


(do
3
ln 0
2

) nên hàm số
 
fx
đồng
biến trên

phương trình
 
0ft

có nhiều nhất một nghiệm.
Thấy rằng phương trình thứ hai tương đương với:
     
1
11
32
. 7 0 2.3 4 7 0 *
22
x y x y
xy
x y x y
x y x y
  

   
        

Thấy rằng
 
*
có dạng
 
0f x y
mà
 
10f 
nên
 
* 1 1x y x y     
.

Phương trình thứ nhất viết lại thành:
         
2
2 2 2
1 1 3 1 2 1 3 2 **x y x y x x x x            

Đặt
22
22
1, 3 2
22
ab
a x b x x x        
nên
(**)
viết lại thành:
 
22
2
1
0
2 2 2
ab
ab a b a b      

 
2
2
2
1

1 3 1 1 0
31
x
x x x y x
xx



          

  



Vậy hệ có một nghiệm là
   
, 1;0xy

Bài 117: Điều kiện
2x xy y
.
Xét ba trường hợp sau:
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 14
(+) Nếu
 
 
 
2
22

2 2 3 0
ln 2 ln
xy
ee
x y x y x y
x y xy xy




     


  



 
 
 
2 2 2
2 3 ln 2 ln 0
xy
e e x y x y x xy y xy          
, mâu thuẫn với phương trình
thứ nhất của hệ, loại.
(+) Nếu
2xy
tương tự cũng mâu thuẫn với hệ, loại.
(+) Nếu

2xy
thì thỏa mãn hệ. Thay vào phương trình thứ hai ta được:

2
22
2 2 2 2
2 3.6 4.3 3. 4 0 4 . 1 0
3 3 3 3
y y y y
y y y
   
       
         
   
       
       
   
   

22
33
22
4 (do 1 1) log 4 2 log 16
33
yy
y x y
   
        
   
   

.
Vậy hệ có duy nhất một nghiệm là
 
22
33
, log 16 ; log 4xy






Bài 118: Ta thường chọn cách khai thác ở phương trình thứ hai. Nhận xét thêm phương trình
thứ hai là bậc hai với
,xy
nên ta sẽ đưa nó về phương trình bậc hai với một ẩn và sẽ chỉ có hai
trường hợp xảy ra: một là

là một bình phương của một đa thức, còn nếu nó không là bình
phương của một đa thức mà lại có hệ số trước
2
x
âm (nếu là phương trình ẩn
y
tham số
x
) (và
ngược lại) thì hai là ta sẽ nhận được đánh giá
,xy
lọt vào một khoảng nào đó nhờ điều kiện

0
, sau đó kết hợp với điều kiện xác định
,xy
ở phương trình thứ nhất để suy ra giá trị cụ
thể của
x
(hoặc
y
). Với bài toán này thì rơi vào trường hợp thứ nhất.
Điều kiện
1
,
2
xy


. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
 
 
 
2 2 2 2
2 3 3 2 4 3 1 2 2 4 0x y xy x y x y x y y           

Xem đây là phương trình ẩn x , tham số y có biệt thức:
 
 
 
22
22
9 1 4 2 2 4 10 25 5y y y y y y          

Nên phương trình có hai nghiệm là
   
3 1 5
1 2 4
2
yy
x x y x y
   
       
.
+) Nếu
17
24
24
x y y

     
, không thỏa mãn điều kiện xác định, loại.
+) Nếu
13
1
22
x y y

    
. Kết hợp điều kiện xác định suy ra
13
22
y



.
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

 
   
22
1 2 1 2
2 1 1 2 1 3 2 2 1
22
yy
y y y y

         

 
2
2 3 2 2 1 4 4 1y y y y      
(*)
Đặt
3 2 2 1t y y   
.
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 15
Với
13
22
y



thì
2; 2 2t



(có thể dùng điều kiện yếu hơn là
0t 
) và
  
 
  
 
2
2 2 2
4 2 3 2 2 1 4 4 3 2 2 1 4 4 4 3t y y t y y y y            

 
2
2
24
2
4
8
4 4 1 4
44
t
tt
yy



     
. Phương trình (*) được viết lại thành:
 
 
24
4 2 2
8
2 8 8 0 2 2 4 0 2
4
tt
t t t t t t t t t

           
(do
2;2 2t



)
Quay lại bước đặt ta có
13
3 2 2 1 2
22
y y y y

       
.
+) Với
13

22
yx

  
. +) Với
31
22
yx

  
.
Vậy nghiệm của hệ là
 
1 3 3 1
, ; , ;
2 2 2 2
xy

   

   
   


Bài 119: Điều kiện
1y 
.
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
   
   

 
2 3 4 3 3
9 9 0 9 0 9 0x xy xy y x y x y y y x y y y                

Thấy rằng
1y 
thì
3
90yy  
nên suy ra
xy
. Thay vào phương trình thứ nhất:
3
1 1 2xx   

Đến đây ta đặt
 
3
3
1 , 1 2, 0a x b x a b     
thì ta có:

 
 
2
3 2 3 2
2
22
1 2 2 0
2 4 4 2

ba
a b b a
a a a
a b a a a


   



  
   
     




2
1 1 3 1 3
ba
a a a





        


(thỏa mãn)

+) Nếu
3
1 1 1 1 0 1a x a x y         
.
+) Nếu
 
3
3
1 3 1 3 1 1 11 6 3 11 6 3a x a x y                
.
+) Nếu
 
3
3
1 3 1 3 1 1 11 6 3 11 6 3a x a x y                 
.
Vậy hệ có ba nghiệm là
   
   
, 0;0 , 11 6 3 ; 11 6 3 , 11 6 3 ; 11 6 3xy        

Bài 120: Điều kiện
5
4
x


.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

        
3 6 2 4 2 2 2 4 2 2
00x y xy y x y x xy y y x y          

  
2
2 2 4 2
2 2 4
0
0
xy
x y x xy y y
x y xy y


      

   



Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 16
+) Nếu
2
2
2 2 4 4
3
0 0 0
24

yy
x y xy y x y x y

           


.
Cặp số này không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
+) Nếu
2
0xy
, thay vào phương trình thứ hai ta được:

  
4 5 8 6 4 5 8 2 4 5 8 36x x x x x x           

  
    
2
2
23
23
0
0
5
5
2 4 5 8 23 5
42 41 0
4 4 5 8 23 5
x

x
x x x
xx
x x x





      


  
   



2
1 1 1x y y      
.
Vậy nghiệm của hệ là
   
, 1; 1xy

Bài 121: Điều kiện
0xy
.
Dùng phép đặt ẩn phụ
 
   

2 2 2 2
2
2
22
2
,0
u v x y
u x xy
uv
u v x y u v
v xy y


  




   





Hệ đã cho trở thành
 
 
  
2
22

22
22
22
22
4 5 0
9
3
369
369
369
u v u v
u v u v
u v u v
uv
uv
uv


   
  
  
  

  










22
4 5 0
369
uv
uv







(do
0uv
thì
0uv
, không thỏa mãn)

15
12
u
v







(thỏa mãn)
Với
 
2
2
2
2
2
22
2
225
15
15 225
12
144
15 12 81
12
x xy
x xy
u x xy
v
xy y
xy
xy y






  

  
  
   


   









2
25
225
16
9 (do 0)
x
x xy
y
x y x y








   



Vậy hệ có một nghiệm là
   
, 25;16xy

Chú ý: Nếu chưa tinh ý trong việc đặt ẩn phụ thì trong bài này có thể giải theo hướng sau: Thấy
rằng phương trình thứ nhất là phương trình đẳng cấp với
,xy
nên ta bình phương hai vế
phương trình thứ nhất lên để khử căn, sau đó ta được một kết quả khá đẹp:
         
2
2 9 2 9x x y y x y x y xy x y x y xy x y           

Dường như kết quả này đẹp hơn nhiều so với lời giải trên (phương trình trên là phương trình
đẳng cấp với
,xy
)!
Bài 122: Điều kiện
3
7x 
(suy ra từ phương trình thứ hai) và
10y 
.

Để dễ nhìn, ta đặt
,1a x b y  

 
6
7, 0ab
thì phương trình thứ nhất của hệ được
viết lại thành:
  
22
2 0 2 0 0a ab b a b a b a b         
(do
20ab
).
Suy ra
1 1 1x y x y y x       
. Thay vào phương trình thứ hai ta được:
   
 
2
3 3 2 2
1 7 2 8 0 2 4 0 2 1 1x x x x x x x x x y x                  

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 17
(dễ thấy rằng
2
2
1 15
40

24
x x x

     


)
Vậy nghiệm của hệ là
   
, 2;1xy

Bài 123: Điều kiện
0, 1x x y  
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

1 1 1 2 1 1 2 1x x y x x y x y y x y               

 
 
2
2
0
0
22
41
24
y
y
yx

y x y
yx





    

  






Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
 
2
2
y x y x y x y x    
(do
0y 
)
Lúc này ta có hệ:
   
2
1
2 2 2
2 2 2 2

1
4
2 2 2
20
4
y
y x y
x y y x
x
x
y y y y
yy
y x y x





  
   

   
   
    


   
  












Thử lại thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn hệ.
Vậy nghiệm của hệ là
   
1
, 4;2 , ; 1
4
xy





Bài 124: Xem phương trình thứ hai của hệ như phương trình ẩn y, tham số x :
 
 
22
2 3 4 0y x y x x     

Phương trình này có nghiệm
2
4

0 3 4 0 0
3
x x x         
.
Với điều kiện này ta có đánh giá sau:
2
2
2
3
2
4 8 121
2 27 27
3 3 9
x
xx

     


nên suy ra
4
3
x 
,
thay vào phương trình thứ hai của hệ:
22
4 16 8 16 4
2 4 4 0 . 0
3 9 3 9 3
y y y y y

   
           
   
   

Vậy nghiệm duy nhất của hệ đã cho là
 
44
,;
33
xy





Bài 125: Đặt
2ty
thì hệ tương đương với:

 
 
   
3 2 2
3 3 2
44
33
1
11
4 4 0

4 1 1 0
t x t x
x t xt
x t x t
x x t t

  

  



   
   





   
 
3 2 2
3 3 2
3 3 2
0
0
4 1 0
4 1 0
44
x

x
x x xt t x
x t tx
x t tx




      


   
  




Thấy rằng
0x 
không thỏa mãn hệ phương trình nên
 
3 3 2
4 4 2x t tx  
.
Mặt khác
 
3 3 2
1 4 4 4 4x t xt   
, kết hợp với
 

2
ta suy ra
 
3 2 2 2 2
3 4 0 3 4 0 0
3
x
t xt tx t t xt x t t x t             

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 18
TH1: Nếu
00ty  
, không thỏa mãn hệ ban đầu.
TH2: Nếu
tx
, thay vào
 
1
ta có:
3 3 3 3
1
1 1 1
22
t
x x x x x y         
.
TH3: Nếu
3
x

t 
, thay vào
 
1
ta có:
3 3 3
3
33
25 3 1
11
27 9 27
25 200
x x x
x x y        
.
Vậy hệ có các nghiệm là
   
33
31
, 1;2 , ;
25 200
xy





Bài 126: Điều kiện
10 1 0z 
.

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ:

   
   
22
2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 0 1 0x y z xy yz zx x y xy x y z xy              

 
1
0
1
1
y
x y z
x
xy
z x y x
x



  









     





Thay vào phương trình thứ nhất của hệ thành:

  
  
22
2
4 1 4
2 1 2 1 1
2 1 2 4 1 10 4 1 10
xx
xx
x x x x
x x x x
x


      
        
      
      

 
2

2
11
4 17 4 1 10 *xx
x
x
   
     
   
   

Đặt
 
1
2t x t
x
   
(do
 
2 và 1 10 0tt  
) thì
22
2
1
2tx
x
  
nên
 
*
trở thành:

 
 
2
2
2
2
42
5
4 25 và 2
2
4 25 4 1 10
4 25 16 1 10
16 200 160 609 0
tt
t
tt
tt
x t t



  


    

  

   




  
 
2
5
7 1 7 7 33
2
2 2 4
2 7 2 3 4 20 29 0
t
t x x
x
t t t t



   

       


    


+) Nếu
 
7 33 1 7 33 7
4 4 2

x y z x y
x
    
        
.
+) Nếu
 
7 33 1 7 33 7
4 4 2
x y z x y
x
    
        
.
Vậy nghiệm của hệ là
 
7 33 7 33 7 7 33 7 33 7
, , ; ; , ; ;
4 4 2 4 4 2
x y z
   
         

   
   

Bài 127: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
   
     
 

2
4 3 3 2 2
2
9 0 9 0
9
xy
x xy x y x y x y x y x x y
x x y



           






+) Nếu
xy
, thấy ngay không thỏa mãn phương trình thứ hai, loại.
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 19
+) Nếu
   
2
9 * 0x x y x   
. Biến đổi phương trình thứ hai:
 
3 3 3 3 3

3
77
7x y x y x y x
xx
       

Thay vào
 
*
ta được
2
2
3 2 3 3
3
33
7 7 7
9 2 9x x x x x x x x
x x x




        







 
2
3
3 6 2 4
3
2 . 7 7 9x x x x x x     

Ta thấy vế trái của phương trình này là một hàm số đồng biến trên
 
0;
nên phương trình
này có nhiều nhất một nghiệm. Thấy rằng
1x 
là một nghiệm của phương trình.
Với
12xy  
.
Vậy hệ có duy nhất một nghiệm là
   
, 1;2xy

Bài 128: Điều kiện
11x  
.
Đặt
 
1 0 2a x a   
thì
2
1ax

. Thay vào phương trình thứ nhất của hệ:

   
   
 
3 2 3 3 2 2
2 2 1 3 2 0 2 2 2 1 0y a a a y y a y a y a y ya a              

ya
(do
2
2
22
3
2 2 2 1 2 1 0
22
aa
y ya a y

       


)
Vậy
1yx
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ được:
22
1 2 1 2 1x x x x    
.
Đặt

 
 
cos 0;x t t


thì phương trình trên trở thành:

2 2 2
1 cos 2cos 1 2cos . 1 cos 2sin cos2 sin2
2
t
t t t t t t       

2sin 2sin 2 sin sin 2
2 4 2 4
tt
tt

   
     
   
   

 
4
22
63
42
34
22

4 2 10 5
t
tk
tk
k
t
t k t k



  





  


  




     




mà

 
3
0;
10
tt


  

3 3 3
cos 1 cos 2sin
10 10 20
xy
  
     
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
 
33
, cos ; 2sin
10 20
xy






Bài 129: Đây là một phương trình khó vì nó phải sử dụng phương pháp đánh giá. Đầu tiên ta
hãy tìm điều kiện xác định:

2
1
; 0 ;
2
x x y x y x    
.
Bây giờ ta sẽ đi khai thác điều kiện này kết hợp với các phương trình đã cho:
+) Nếu
0y 
thì hệ sẽ trở thành
2
3
2
2
1
.0
2 3 2 1 11
2 3 2 1 11
x
x x x
xx
xx







  


  



(vô lý).
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 20
+) Nếu
 
2
3
0 0 0
y
y x x y
xy
      

. Có hai trường hợp xảy ra:
TH1: Nếu
3
0
0
0
0
0
y
y
xy
xy

xy





   






, không thỏa mãn điều kiện xác định.
TH2: Nếu
3
0
0
0
y
xy
xy



  





. Khi đó phương trình thứ nhất tương đương với:

 
 
 
 
3
22
2
2
33
1
1
1
y x y
x y x y
x x y y y
x y x y
x x y y


  
      



  


  

 
 
3
2
3
1
1
y x y
x y x y
xy
x x y y

  


  
(1).
Đến đây, ta thấy rằng nếu
1xy
thì VT(1) dương, VP(1) âm, không thỏa mãn. Tương tự với
trường hợp
01xy  
cũng không thỏa mãn.
Thấy rằng
1xy
thỏa mãn. Thay vào phương trình thứ hai ta được:

 
2
22

2 1 3 2 1 11 4 4 3 2 1 9 0x x x x x x

          


 
 
  
2
52
4 4 15 3 2 2 1 0 2 5 2 3 3. 0
2 1 2
x
x x x x x
x

           


 
3 5 3
2 5 2 3 0 2 5 0 1
22
2 1 2
x x x x y x
x

             





(Dễ thấy
33
2 3 1 3 3
3
2 1 2
x
x
     

do
1
2
x 
)
Vậy nghiệm của hệ là
 
53
,;
22
xy





Bài 130: Điều kiện
  
2

4 4 9 0, 0x x x y xy    
và
  
2 2 0x y x  
.
Từ phương trình thứ nhất ta có nhận xét
0y 
.
Nếu
0y 
thay vào hệ:
 
   
   
2
9
0
4 4 9 0
8
4 2 2 3 3
4 2 2 3 3
xx
x x x
x x x
x x x


  
  




  

  


(vô nghiệm)
Vậy ta phải có
0y 
. Kết hợp với điều kiện ta suy ra
0x 
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
      
3 3 4 2 2 2 2 2 6 4 10 8 4 10x x y x x y x x y x y             

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

  


 
2
4 4 9 2 0x x x y y xy y      

 
  
  
22

2
2
4 4 9
0
4 4 9
x y x x y
xy y
xy y
x x x y y
   

  

   

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 21
  
  
 
2
4 4 4 9
0
4 4 9
x y x y x y x y
xy y
x x x y y
    
  


   

 
  
2
8 4 9
0
4 4 9
x y y
xy
xy y
x x x y y



   


   


Với
8 4 10xy
và
0y 
thì
  
2
8 4 9
0

4 4 9
x y y
xy y
x x x y y



   
nên phương trình trên
tương đương với
xy
.
Thay vào phương trình thứ hai ta được:

       
2
2
4 3 2 3 3 48 2 9 3 39 42 81 0x x x x x x x x          

27
(không TM) 1 (TM) 1
13
x x y

     
.
Vậy nghiệm của hệ là
   
, 1;1xy

Bài 131: Nhận thấy
0y 
không thỏa mãn hệ nên ta chia hai vế của phương trình thứ nhất cho
3
y
và chia hai vế của phương trình thứ hai cho
2
y
ta được:

 
 
 
3
2
2
2
32
2
2
3
3
16 9 2 1 4
4 2 1
3
16 9 2 1 4 2 1
4 2 1
x x x
xx
y

y
x x x x
xx
y



   


  






    
  




2
2
2
33
3
1
4 2 1

1
3
3
1
16 9 8 1
x
xx
x
y
y
y
xx



  



  
  




  



Vậy nghiệm của hệ là

   
, 1; 1xy

Bài 132: Xem phương trình thứ hai như là phương trình ẩn x, tham số y :
22
1
0
2
x x y y

    



Phương trình có nghiệm
22
1
1 4 0 4 4 3 0
2
x
y y y y

           



31
;
22
y






.
Tương tự, ta có được
13
;
22
x





.
Kết hợp hai điều trên ta suy ra:
 
31
1;
22
x





và
 

13
1;
22
y





.
Phương trình thứ nhất tương đương với:
       
32
1 12 1 1 12 1x x y y      
(1).
Xét hàm số
 
3
12f t t t
trên
33
D;
22





.
Đạo hàm

 
2
' 3 12 0f t t  
với mọi
Dt
. Như vậy hàm số
 
ft
nghịch biến trên D, mà
phương trình lại có dạng
   
1 1 1 1 2f x f y x y x y         
.
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 22
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
   
2
22
13
13
22
2 2 2 4 0
31
22
22
yx
y y y y y y
yx



  

          



  



Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là
 
3 1 1 3
, ; , ;
2 2 2 2
xy

   

   
   

(Đề thi Đại học Khối A năm 2012)
Cách giải khác: Từ đáp án của Bộ Giáo dục đào tạo, ta có thể rút ra một “kinh nghiệm” để đánh
giá x , y một cách nhanh hơn đó là nhóm hết
22
, , ,x x y y
để cho đủ hằng đẳng thức rồi sau đó
đánh giá (nếu chứa số hạng xy thì không làm như thế này). Làm như thế sẽ rút ngắn được thời

gian trình bày cũng như sẽ gặp ít sai sót hơn. Cụ thể như sau:
Với phương trình thứ hai ta biến đổi thành:
22
11
1
22
xy
   
   
   
   
.
Từ đây ta có
1
11
2
x

   


và
1
11
2
y

   



.
Một vấn đề đặt ra là làm sao để có thể biết được x – 1 = y + 1. Đó chính là dùng phương pháp
hệ số bất định, cụ thể ta đặt x = y + a và biến đổi vế trái phương trình thứ nhất về:
       
   
32
3 2 2 3 2
3 9 22 3 3 3 6 9 3 9 22y a y a y a y a y a y y a a a               

Đến đây ta phải có vế trái bằng vế phải, điều này xảy ra khi và chỉ khi:
2
32
11
3 3 3
2
3 6 9 9
3 9 22 0
a
a
aa
a a a







   



   

.
Như vậy nên a = 2, tức là x = y + 2. Từ đây có thể biến đổi x – 1 = y + 1 hoặc x + 1 = y + 3,…
để đưa phương trình thứ nhất về các hàm số khác nhau.
Ta cũng có thể giải hệ trên bằng cách đưa về hệ đối xứng bằng ẩn phụ t = –x. Khi đó đưa được
hệ về hệ đối xứng loại I, đặt ẩn phụ S = y + t và P = yt.
Bài 133: Điều kiện
0
,0
0
xy
xy
xy






.
Lúc này nhận thấy hai vế cả phương trình thứ hai đồng bậc nên ta sẽ phân tích nó thành nhân
tử. Và để thuận tiện trong qua trình biến đổi, ta đặt
 
, , 0a x b y a b  
.
Phương trình thứ hai của hệ trở thành:
 
4 4 2 2 4 3 3 4

4 5 2 4 10 5 0a b a b ab a a b ab b       
(*).
Nếu b = 0, thay vào phương trình trên ta được a = 0. Vậy tức là x = y = 0, mâu thuẫn phương
trình thứ nhất.
Vậy b ≠ 0. Ta chia hai vế của (*) cho
4
0b 
ta được:
43
4. 10. 5. 1 0
a a a
b b b
   
   
   
   
.
Đặt
 
0
a
tt
b

thì phương trình trên lại trở thành:
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 23

  
 

4 3 2
4 10 5 1 0 1 2 1 2 4 1 0t t t t t t t         

2 6 2 6
1(TM) 2 (kTM) (TM) (kTM)
22
t t t t

        
.
+) Với
1 1 1
ax
t x y
b
y
      
.
Thay vào phương trình thứ nhất:
2 1 1x x x y     
.
+) Với
2 6 2 6 2 6 5 2 6
2 2 2 2
ax
t x y
b
y
   
      

.
Thay vào phương trình thứ nhất:
5 2 6 28 8 6 4 6 6
2
2 25 25
y y y x
  
     
.
Vậy hệ có hai nghiệm là
   
4 6 28 8 6
, 1;1 , ;
25 25
xy






Bài 134: Điều kiện:
2x 
và
21y 
. Phương trình thứ nhất tương đương với:

3 2 2 2 2 3
20x x y xy x xy y y      

     
3 3 3 2 2 2 2
0x y x x y xy x xy y        

 
     
2 2 2 2 2 2
0x y x y xy x x y xy x y xy          

 
 
22
2 1 0x y x y xy     

22
2 1 0
21
0
0
xy
yx
xy
x y xy
  








  



Thấy rằng
0xy
không thỏa mãn điều kiện xác định, loại.
Thay
21yx
vào phương trình thứ hai ta có:
2 4 1 5xx   
(1)
+) Nếu
3
2
4
x


thì
22x
và
4 1 3 2 4 1 5x x x      
, mâu thuẫn (1).
+)
2x 
thỏa mãn (1).
+) Nếu
2x 

thì
22x
và
4 1 3 2 4 1 5x x x      
, mâu thuẫn (1), loại.
Như vậy (1) có một nghiệm là x = 2
5y
.
Hệ có duy nhất một nghiệm
   
, 2;5xy

Bài 135: Điều kiện
,0xy
.
Xét hàm số
 
2
3
2
2
t
t
ft
trên


0;
. Nhận thấy rằng khi t tăng thì cả
2

2
t
và
3
2
t
đều
tăng, vì thế nên
 
ft
đồng biến trên
 
0;
.
Mặt khác phương trình thứ hai của hệ có dạng
 
7
2
f x y
mà ta lại có
 
7
1
2
f 
, tức là
phương trình thứ hai tương đương với
11x y x y    
(1).
Viết lại phương trình thứ nhất của hệ như sau:

   
2
2 2 2
1
8
1 1 16 1
2
2 3 4 3 2 2 3 2 3 2
y
x x y
x y x y

  
      
(*)
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 24
Xét hàm số
 
2
1
23
t
g t t


trên


0;

. Một lần nữa ta thấy khi t tăng thì cả
2
1
2
t 
và
3 t

đều tăng, vì vậy nên
 
gt
đồng biến trên
 
0;
. Mặt khác (*) có dạng:
   
2 2 4g x g y x y x y    
(2).
Giải hệ (1) và (2) cho ta nghiệm
4
5
1
5
x
y










, thỏa mãn điều kiện.
Vậy nghiệm của hệ là
 
41
,;
55
xy





Bài 136: Đây là một hệ phương trình khó!
Điều kiện
 
33
20x y xy x y    
.
(+) Nếu
0x 
thì
 
33
0, 2 0x y xy x y    
 
33

20x y xy x y     
, không thỏa
mãn điều kiện.
(+) Nếu
0x 
. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

 
   
33
3
1 2 0x y x y xy x y x y

         


 
   
 
2
33
2 3 3
3
3
2
1
0
2
1
x y xy x y x y

xy
x y xy x y x y
x y x y
     

  
     
   

 
 
   
 
2 2 2 2
2 3 3
3
3
1
0
2
1
x y x y x y
xy
x y xy x y x y
x y x y
   

  
     
   

 
 
 
 
22
2 3 3
3
3
1
1 0 *
2
1
xy
xy
x y xy x y x y
x y x y



    

     
   


Dễ thấy rằng với
,0xy
thì
 

 
22
2 3 3
3
3
1
0
2
1
xy
x y xy x y x y
x y x y


     
   

nên
 
* 1 0 1x y y x      
. Do
0y 
nên
1x 
.
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

 
 
 

3 2 2 2
5 2 2 1 4 2 3 1 3x x x x x x x x          

 
3 2 2 2
5 4 2 2 3 2x x x x x x x        
(1)
    
2
3 2 2 2
5 4 2 2 2 3x x x x x x x        
(do hai vế đều dương)
6 5 4 3 2 6 5 4 3 2
10 33 44 36 16 4 5 16 30 41 33 18x x x x x x x x x x x x             

5 4 3 2
5 17 14 5 17 14 0x x x x x      
(**)
Đến đây có thể nhẩm được ba nghiệm “đẹp” của phương trình là
1x 
,
2x 
và
7
5
x


rồi
dùng sơ đồ Hoóc-ne để chia đa thức, thế nhưng ta có đánh giá sau:

Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 25
Với
1x 
thì
52
55xx
;
4
17 17xx
và
4
14 14x 
nên vế trái của phương trình (**) luôn không
âm. Vì vậy (**) có một nghiệm là
10xy  
. Thử lại nghiệm này thỏa mãn hệ.
Vậy nghiệm của hệ là
   
, 1;0xy

Bài 137: Đặt
23a x y
và
 
2
24b xy a b
thì hệ phương trình trở thành:
 
 

2
2
22
2
10 1
10
1
124 1
12
124 1
12
1
12
10
10
a
b
a
ab
a
a
a
a b b
a
a

























 
   
  
2
2 2 2
3 2 2 4 3 2
124 1240 10 12 20 100
124 10 10
2 1 1
10 12 10 12
a a a a a a

aa
a a a a a a a
     

    
   


4 3 2
432
432
30 164 480 1200
1 20 76 240 600 0
10 12
a a a a
a a a a
a a a
    
       

(*)
Đến đây ta bắt đầu áp dụng cách giải phương trình bậc 4. Cách giải phù hợp với bài toán này đó
là đưa phương trình đã cho về phương trình trùng phương, tức là đặt
20
5
4.1
t a a t

    
.

Thay vào (*) và rút gọn ta được:
42
74 625 0tt  
   
31 6 5 31 6ta       
.
(+) Nếu
5 31 6
5 31 6
5 31 6
ab

    
  
thì 2x và 3y là nghiệm của phương trình:
 
 
22
6 5 31 6
6 0 5 31 6 0
5 31 6
t at b t

        
  
.
Phương trình này có hai nghiệm là
6 186 5 6
5 31 6
t



  
. Từ đó tìm được hai nghiệm của hệ là:
 
6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6
, ; , ;
10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6
xy
   
       

   
           
   

(+) Nếu
5 31 6
5 31 6
5 31 6
ab

    
  
. Tương tự ta cũng tìm được hai nghiệm là:
 
6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6
, ; , ;
10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6
xy

   
           

   
           
   

(+) Nếu
31 6 5
5 31 6
5 31 6
ab

    

. Hệ có thêm hai nghiệm là:
 
6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6
, ; , ;
10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6
xy
   
       
    
   
       
   

(+) Nếu
5 31 6

5 31 6
6 31 5
ab

    

. Hệ có thêm hai nghiệm: