giáo án công thức lượng giác chuẩn nhất

I. MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU.
1. Kiến thức trọng tâm:
- Hiểu công thức tính sin, côsin, tang, cô tang của tổng, hiệu hai góc.
- Từ các công thức cộng suy ra các công thức nhân đôi.
- Hiểu công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích.
2. Kĩ năng:
- Vận dụng được công thức cộng, công thức góc nhân đôi để giải các bài toán như tính giá
trị lượng giác của một góc, rút gọn những biểu thức đơn giản và chứng minh một số bất
đẳng thức.
- Vận dụng được công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích và
một số bài toán biến đổi, rút gọn biểu thức.
3.Tư tưởng, thực tế:
- Biết quy lạ về quen.
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác.
II. PHƯƠNG PHÁP VÀ ĐỒ DÙNG DẠY HỌC:
• Phương pháp: Thuyết trình, vấn đáp, đặt vấn đề.
• Đồ dùng dạy học: Thước kẻ, phấn, bảng phụ.
III. CHUẨN BỊ:
1. Chuẩn bị của giáo viên: Giáo án. Bảng phụ.
2. Chuẩn bị của học sinh: SGK, vở ghi. Ôn lại kiến thức bài giá trị lượng giác của 1 cung.
IV. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ:
Không kiểm tra bài cũ, đi thẳng vào bài mới.
3. Giảng bài mới:
 Giới thiệu bài: (2’)
Chúng ta dã biết giá trị lượng giác của các cung 30°, 45°, làm thế nào để tính giá trị
lượng giác của các cung 75°, 15°.
Ta thấy: 75°= 45° + 30°
15°= 45°
−

30°
Như vậy để tính giá trị lượng giác của cung 75°, 15° tức là ta tính giá trị lượng giác của
tổng và hiệu của hai cung 45°, 30°. Nếu ta xem 45° là a và 30° là b thì ta sẽ đi tính giá trị
lượng giác của tổng và hiệu hai cung a và b. Vậy làm thế nào để tính giá trị lượng giác
của tổng và hiệu hai cung a, b. Đó là một trong những nội dung của bài học hôm nay.
Mời các em đến với bài “Công thức lượng giác”.
 Tiến trình bài dạy: (40’)
TL Nội dung bài học Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Hoạt động 1: Tìm hiểu công thức cộng
15’ I. Công thức cộng.
cos(a
−
b) = cosacosb
+
sinasinb
cos(a
+
b) = cosacosb
−
sinasinb
sin(a
−
b) = sinacosb
−
cosasinb
sin(a
+
b) = sinacosb
+
cosasinb

tan(a
−
b) =
tana tan b
1 tanatan b
-
+
tan(a
+
b) =
tana tan b
1 tanatan b
+
-
- Ta thừa nhận công thức:
cos(a
−
b) = cosacosb
+
sinasinb
(1)
- Từ công thức (1) hướng dẫn HS
chứng minh công thức (2),(3),(4).
- Hướng dẫn HS chứng minh
công thức (2):
cos(a
+
b) = cosacosb
−
sinasinb

- Hướng dẫn HS chứng minh
công thức (3):
sin(a
−
b) = sinacosb
−
cosasinb
H: Hãy chứng minh công thức(3):
- HS theo dõi và ghi vào
vở.
● Ta có:
cos( a + b)
= cos[a-(-b)]
= cosacos(-b) +
sinasin(-b)
= cosacosb – sinasinb
● Ta có
sin(a
−
b)
= cos [(
2
π
−
a)+ b]
= cos(
2
π
−
a)cosb

−

sin(
2
π
−
a)sinb
VD1: a) Tính sin75°.
b) Tính tan
12
π
.
Giải:
a) Ta có
sin75° = sin(30° + 45°)
= sin30°cos45° + cos30°sin45°
=
1
2
.
2
2
+
3
2
.
2
2

=

2 6
4
+
.
b) Ta có
tan(
12
π
) = tan(
3 4
π π
−
) =
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
- Giới thiệu HS hai công thức:
tan(a
−
b) =
tana tan b
1 tanatan b
-
+
tan(a
+b) =
tana tan b
1 tanatan b
+
-

GV hướng dẫn HS về nhà tự

chứng minh.
- Hướng dẫn HS cách dễ nhớ
công thức cộng bằng các câu
thơ.
- GV hướng dẫn HS giải VD1
H: Ở câu a) ta thấy
sin75° = sin(30° + 45°). Như vậy
ta sẽ áp dụng công thức nào để
tính?
H: Cung
12
π
có phải là cung đặc
biệt không ?
= sinacosb
−

cosasinb.
Đ: sin( a + b)
= sin[a
−
(
−
b)]
= sinacos(
−
b)
−

cosasin(

−
b)
= sinacosb + cosasinb.
- HS về nhà tự chứng
minh 2 công thức:
tan(a
−
b) =
tana tan b
1 tanatan b
-
+
tan(a+b) =
tana tan b
1 tanatan b
+
-

- HS theo dõi và ghi vào
vở.
- HS theo dõi GV
hướng dẫn VD1
Đ: sin(a+b)= sinacosb +
cosasinb.
tan tan
3 4
1 tan tan
3 4
π π
π π

−
+
=
3 1
1 3
−
+
.
- Cung
12
π
không phải cung đặc
biệt, do vậy ta sẽ áp dụng công
thức cộng để tính.
H: Phân tích
12
π
thành tổng (hiệu)
của 2 cung đặc biệt nào?
H: Ta sẽ áp dụng công thức nào
để giải câu b).
- Gọi 2 HS lên bảng giải VD1
Đ: Cung
12
π
không
phải cung đặc biệt.
Đ:
12
π

=
3
π
−
4
π
hoặc
12 4 6
π π π
= −

Đ:

Ta sẽ áp dụng ct
tan(a
−
b) =
tana tan b
1 tanatan b
-
+
để giải.
- 2 HS lên bảng giải,
các em còn lại làm vào
giấy nháp.
Hoạt động 2: Tìm hiểu công thức nhân đôi
8’ II: Công thức nhân đôi
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos
2

a – sin
2
a
= 2cos
2
a
−
1
= 1 – 2sin
2
a
tan2a =
a
a
2
tan1
tan2
−
.
Từ công thức nhân đôi ta suy ra
công thức hạ bậc như sau:
cos
2
a =
2
2cos1 a+
- Cho a = b trong công thức cộng
ta được các công thức nhân đôi.
- Cho a = b trong công thức cộng
thứ 4 ta được:

sin2a = sinacosa + cosasina
= 2sinacosa
- Cho a = b trong công thức cộng
thứ 2 ta được:
cos2a = cosacosa
−
sinasina
= cos
2
a – sin
2
a
H: Ta có sin
2
a + cos
2
a = 1. Tìm
cos2a theo cos
2
a ( sin
2
a) ?
H: Từ: cos2a = 2cos
2
a-1 ,
cos2a = 1 – 2sin
2
a
Tìm cos
2

a, sin
2
a theo cos2a ?
H: Từ công thức vừa tìm được
tìm tan
2
a ?
- GV giới thiệu công thức hạ bậc.
- GV treo bảng phụ có ghi công
thức hạ bậc.
- HS tiếp thu và ghi vào
vở.
Đ: cos2a = 2cos
2
a
−
1
= 1 – 2sin
2
a
Đ:
cos
2
a =
2
2cos1 a+
sin
2
a =
2

2cos1 a−
Đ:
tan
2
a =
a
a
2
2
cos
sin
=
a
a
2cos1
2cos1
+
−
.
- HS theo dõi và ghi vào
vở.
sin
2
a =
2
2cos1 a−
tan
2
a =
a

a
2cos1
2cos1
+
−
VD2: Tính cos
8
π
.
Giải: Ta có
cos
2
8
π
=
2
8
2cos1
π
+

=
2
4
cos1
π
+
=
2
2

2
1+

=
4
22 +
Vì 0 <
8
π
<
2
π
nên cos
8
π
> 0
⇒
cos
8
π
=
2
22 +
- GV hướng dẫn HS giải VD2
H: Cung
8
π
có liên quan đến
cung đặc biệt nào để ta có thể sử
dụng 1 trong 2 công thức trên ?

H: cos
2
8
π
= ?
H: 0 <
8
π
<
2
π
thì cos
8
π
mang
dấu gì ?
- HS theo dõi GV
hướng dẫn VD2
Đ:
8
π
và
4
π
, ta sử dụng
công thức hạ bậc.
Đ: cos
2
8
π

=
2
4
cos1
π
+
=
4
22 +
Đ: cos
8
π
> 0
Hoạt động 3: Tìm hiểu công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích
17’ III. Công thức biến đổi tích
thành tổng, tổng thành tích.
1. Công thức biến đổi tổng
thành tích.
cosu + cosv = 2cos
2
u v+
cos
2
u v−
cosu
−
cosv =
−
2sin
2

u v+
sin
2
u v−
sinu + sinv = 2sin
2
u v+
cos
2
u v−
sinu
−
sinv = 2cos
2
u v+
sin
2
u v−
-Bằng cách đặt
u = a + b, v = a
−
b (
⇒
a =
2
u v+
, b =
2
u v−
), ta sẽ biến đổi: cosu

+ cosv, cosu
−
cosv, sinu + sin v ,
sinu
−
sinv thành tích.
- Từ công thức cộng ta có:
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ = −
(1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
(2)
- Lấy (1) cộng (2) ta được:
cos(a
+
b)
+
cos(a
−
b) = 2cosacosb
(1’)
Suy ra
cosu
+ cosv = 2cos
2
u v+
cos
2
u v−
- Lấy (1) trừ (2) ta được:

cos(a
+
b)
−
cos(a
−
b) =
−
2sinasinb
(2’)
Suy ra
- HS theo dõi và ghi vào
vở.
- HS theo dõi và ghi vào
vở.
VD3: Chứng minh
sin 3 sin
tan 2
cos3 cos
a a
a
a a
+
=
+

Giải:
Ta có:
sin 3 sin
cos3 cos

a a
a a
+
+
=
3 3
2sin cos
2 2
3 3
2cos cos
2 2
a a a a
a a a a
+ −
+ −

=
2sin 2a cosa
2cos2a cos a
=
sin 2
cos2
a
a
=
tan 2a

⇒
đpcm
2. Công thức biến đổi tích thành

tổng.
cosacosb
cosu
−
cosv=
−
2sin
2
u v+
sin
2
u v−
Ta có:
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
(
3)
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
(4)
Lấy (3) cộng (4) ta được:
sin(a
+
b) + sin(a
−
b) = 2sinacosb
(3’)
Suy ra
sinu + sinv= 2sin
2
u v+

cos
2
u v−
Tương tự ta có công thức:
sinu
−
sinv= 2cos
2
u v+
sin
2
u v−
- Treo bảng phụ có ghi công thức
biến đổi tổng thành tích.
- Hướng dẫn HS cách dễ nhớ
công thức.
- GV hướng dẫn HS giải VD3
H: sin3a + sina =?
- HS theo dõi và ghi vào
vở.
- HS theo dõi GV
hướng dẫn VD3.
Đ:
sin3a + sina=2sin2acosa
Đ:
cos3a+cosa=2cos2acosa
- HS theo dõi và ghi vào
vở.
=
2

1
[cos(a
−
b)
+
cos(a
+
b)]
sinasinb
=
2
1
[cos(a
−
b)
−
cos(a
+
b)]
sinacosb
=
2
1
[sin(a
−
b)
+
sin(a
+
b)]

VD4: Tính giá trị biểu thức:
A = sin
8
π
cos
8
3
π
.
Giải:
• Ta có:
A=
2
1
[sin(
8
π
-
8
3
π
) sin(
8
π
+
8
3
π
)]
=

2
1
[sin(
−
4
π
) + sin
2
π
]
=
2
1
[
−
sin
4
π
+ sin
2
π
]
H: cos3a +cosa =?
- Từ (1’) ta suy ra
cosacosb
=
2
1
[cos(a + b) + cos(a-b)]
=

2
1
[cos(a - b) + cos(a+b)]
- Từ (2’) ta suy ra
sinasinb
= -
2
1
[cos(a + b) - cos(a-b)]
=
2
1
[cos(a - b) - cos(a+b)]
H: Tương tự từ (3’) suy ra
sinacosb = ?
- Treo bảng phụ ghi công thức
biến đổi tích thành tổng.
- Hướng dẫn HS cách dễ nhớ
công thức.
- GV hướng dẫn HS giải VD4.
Đ: sinacosb
=
2
1
[sin(a - b) +sin(a+b)]
- HS theo dõi GV
hướng dẫn VD4.
Đ: Có dạng sinacosb.
a =
8

π
, b =
8
3
π
Đ: sin
8
π
cos
8
3
π
=
2
1
[sin(
8
π
−
8
3
π
) +
sin(
8
π
+
8
3
π

)].
=
2
1
[
−
2
2
+ 1]
=
2
1
(1
−

2
2
).
H: Biểu thức A có dạng gì? Xác
định a và b?
H: Áp dụng công thức
sinacosb=
2
1
[sin(a
−
b)
+
sin(a
+

b)
]
suy ra sin
8
π
cos
8
3
π
=?
4. Củng cố kiến thức: (2’)
- Nắm vững được công thức tính sin, cô sin, tang, cô tang của tổng, hiệu hai góc, công
thức góc nhân đôi để giải các bài toán như tính giá trị lượng giác của một góc, rút gọn những
biểu thức lượng giác đơn giản và chứng minh một số bất đẳng thức.
- Nắm vững được công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích
vào một số bài toán biến đổi, rút gọn biểu thức.
5. Dặn dò học sinh, bài tập về nhà: (1’): Học bài. Làm bài tập 1 đến 8 SGK trang 153 đến 155.
V. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG.









VI. NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN.

Ngày tháng năm 2015 Ngày tháng năm 2015
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC TẬP
(Ký, ghi rõ họ tên) (Ký, ghi rõ họ tên)