Bất đẳng thức và Min, Max

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408
Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ
BÀI T P V NHÀẬ Ề
B T Đ NG TH C VÀ MIN, MAX.Ấ Ẳ Ứ
Bài 1 : Cho 3 s d ng tùy ý x,y,z.ố ươ
CMR:
3
2 2 2 4
+ + ≤
+ + + + + +
x y z
x y z x y z x y z

Bài 2 : Cho 3 s d ng x,y,z thõa mãn: xyz=1ố ươ
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
Bài 3 : Cho 3 s không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.ố
CMR:
2 4 2 4 2 4 3 3
x y z
+ + + + + ≥
Bài 4 : Cho 3 s d ng tùy ý a,b,c:ố ươ
Tìm Min:

3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
 
= + + + + + + + +
 
 
Bài 5 : Cho 3 s d ng tùy ý x,y,z.ố ươ
Tìm Min c a: ủ
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
   
 
 
   
Bài 6 : Cho 3 s d ng x,y,z thõa mãn đi u ki n: ố ươ ề ệ xyz=1. Ch ng minh r ng:ứ ằ

2 2 2
3 3 3
1

x y z
P
x y y z y z z x z x x y
= + + ≥
+ + + + + +

Bài 7 : Cho 3 s th c a,b,c tùy ý. Ch ng minh r ng:ố ự ứ ằ

2 2 2 2 2 2
(*)
1 . 1 1 . 1 1 . 1
a c a b b c
a c a b b c
− − −
≤ +
+ + + + + +
Bài 8 : Cho 4 s th c a,b,c,d thõa mãn: ố ự a
2
+b
2
=1; c – d =3. Ch ng minh:ứ

9 6 2
4
F ac bd cd
+
= + − ≤
Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t ườ ủ ọ ệ 1

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE

P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408
Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ
Bài 9 : Cho:
0;a c b c
≥ ≥ ≥
Ch ng minh:ứ

( ) ( )c a c c b c ab
− + − ≤
Bài 10 : Cho x,y,z thu c kho ng (0;1) thõa mãn đi u ki n: xy + yz + zx = 1. Tìm Min c a:ộ ả ề ệ ủ

2 2 2
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
− − −
Bài 11: Cho x, y, z >1 và tho mãn đi u ki nả ề ệ : xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).ị ớ ấ ủ ể ứ
Bài 12. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s : ị ớ ấ ỏ ấ ủ ố

4 2 2
2 2
2 1 1 1
1 1 2
x x x
y
x x
− + + − −

=
+ − − +
Bài 13. Cho 4 s b t kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4. CMR: ố ấ
2 2 2 2 2 2 2 2
12 8 52 2 2 4 8 20 4 5a a b b a c b d ac bd c d c d
− + − + + + + + − − + + − + + ≥
Bài 14: Cho 3 s d ng x,y,z thõa mãn: ố ươ 3
-x
+ 3
-y
+ 3
-z
=1. CMR:

9 9 9 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4
x y z x y z
x y z y z x z x y
+ + +
+ +
+ + ≥
+ + +
Bài 15:
Tìm Min c a: ủ
2 2 2
x y z
H
y z z x x y
= + +
+ + +

Trong đó:
2 2 2 2 2 2
, , 0
2010
x y z
x y y z z x
>



+ + + + + =


Bài 16 : Tìm Min, Max c a:ủ

( )
(
)
2
2 2 2 2
3 12
xy
A
x y x x y
=
+ + +
Bài 17 : Cho 3 s th c thõa mãn: xố ự
2
+ y
2

+ z
2
=1.
Page 2 of 15

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408
Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ
Tìm Min, Max c a: ủ
( ) ( )P x y z xy yz zx
= + + − + +
Bài 18 : Cho 2 s d ng x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min c a: ố ươ ủ

4 1
4
A
x y
= +
Bài 19 : CMR: V i m i tam giác ABC ta luôn có:ớ ọ

1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A A A
c c c
A A A
+ + +
+ + >
Bài 20 : Cho 2 s không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max c a: ố ủ

1 1
x y
S
y x
= +
+ +
………………….H t…………………ế
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Tr nh Hào Quangị

Page 3 of 15

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408
Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ
HDG Đ LUY N T P S 08Ề Ệ Ậ Ố
Ki n th c v B t đ ng th c và tìm Min, Max đôi khi còn xa l v i nhi u b n. Khiế ứ ề ấ ẳ ứ ạ ớ ề ạ
đ ng đ n ph n này các b n th ng th y r t ng i làm. K c vi c đ c m t bài gi i c aụ ế ầ ạ ườ ấ ấ ạ ể ả ệ ọ ộ ả ủ
ai đó các b n luôn đ t ra các câu h i: Vì sao l i tách nh th mà không tách ki u khác?ạ ặ ỏ ạ ư ế ể
Sao mình ch ng minh BĐT nó l i có chi u quay l i…Đây là ki n th c đã làm quen tứ ạ ề ạ ế ứ ừ
c p II, trong quá trình h c các b n ph i rèn luy n nhi u, tham kh o nhi u bài gi i hay,ấ ọ ạ ả ệ ề ả ề ả
nhi u th thu t bi n đ i thì m i t m yên tâm đ c. Tôi có đôi đi u nh v y. Mong cácề ủ ậ ế ổ ớ ạ ượ ề ư ậ
b n ôn t p th t t t!ạ ậ ậ ố

Bài 1 : Cho 3 s d ng tùy ý x,y,z.ố ươ
CMR:
3
2 2 2 4
+ + ≤
+ + + + + +

x x x
x y z x y z x y z
Gi i:ả
Ta có:

( ) ( )
1 1 1 1 1
2 4
1
2 4
1 1 3
2 4 4 4
1
2 4
x y z x y x z x y x z
x x x
x y z x y x z
y y y x y y z x z
VT
x y z x y y z x y y z x z
z z z
x y z x z y z
 
= ≤ +
 
+ + + + + + +
 

 
≤ +


 
+ + + +
 


   
+ + +

⇒ ≤ + ⇒ ≤ + + =

   
+ + + + + + +
   


 

=≤ +
 
+ + + +

 

D u “=” x y ra khi và ch khi x=y=zấ ả ỉ
Bài 2 : Cho 3 s d ng x,y,z thõa mãn: xyz=1ố ươ
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2

x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
Gi i:ả
Ta có:
Page 4 of 15

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408
Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ

2
2
3
2
1
1 4
9 3
1 3 ( ) 3( ) 3 3
( )
1 4 4 4 4 2
1
1 4
x y
x
y
xyz
y z x y z x y z
y VT x y z

z
z x
z
x

+
+ ≥

+


−
+ + + + + + −

+ ≥ ⇒ ≥ + + − = ≥ =

+


+
+ ≥

+


D u “=” x y ra khi và ch khi x=y=z=1ấ ả ỉ
Bài 3 : Cho 3 s không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.ố
CMR:
2 4 2 4 2 4 3 3
x y z

+ + + + + ≥
Gi i:ả
Đ t: ặ

( )
1 1 1 1
3
6 6 6 6
(1)
1
18
4
, , 0
4 à : 2 2 2 3 3 (1)
1
4
ó : 2 1 1 3 2 3. 3.
3 3. 3 3
x
y
z
a
a b c
b V a b c
abc
c
Ta c a a a a a VT a b c
abc

=

>


= ⇒ + + + + + ≥
 
=


=

 
+ = + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + +
 
 
≥ =
D u “=” x y ra khi và ch khi x=y=z=0ấ ả ỉ
Bài 4 : Cho 3 s d ng tùy ý a,b,c:ố ươ
Tìm Min:
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
 
= + + + + + + + +
 
 
Gi i:ả

Page 5 of 15

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408
Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ

( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3
3
3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
3
2 2 2
3 3
4( ) 4( ) 4( ) 2
ì :4( ) 8 ( ) 4( ) 2
4( ) 4( ) 4( ) 2 6
1 1
à 2 6 6 12 12
a b c
A a b b c c a
b c a
V a b ab a b ab
a b b c c a ab bc ca abc
a b c
V A abc Min A

b c a
abc abc
 
= + + + + + + + +
 
 
+ ≥ ⇒ + ≥
⇒ + + + + + ≥ + + ≥
 
 
+ + ≥ ⇒ ≥ + ≥ ⇒ =
 
 
 
 

D u “=” x y ra khi và ch khi a=b=c=1.ấ ả ỉ
Bài 5 : Cho 3 s d ng tùy ý x,y,z.ố ươ
Tìm Min c a: ủ
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
   
 
 

   
Gi i:ả
Ta có:


( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
2
3
2
3
2
3
1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 3 1
ì : 3 ( ) à 1 .
2 2 2
( )
3 1 9 9
3 ( ) . .
2 2 2
( )
x y z x y z x y z x y z
P x y z
xyz xyz xyz xyz xyz
V x y z xyz V

xyz xyz xyz
xyz
P xyz MinP
xyz
 
+ + + + + +
= + + + = + = + + +
 
 
 
+ + ≥ + = + + ≥
 
 
⇒ ≥ = ⇒ =
D u “=” x y ra khi và ch khi x=y=z=1ấ ả ỉ
Bài 6 : Cho 3 s d ng x,y,z thõa mãn đi u ki n: ố ươ ề ệ xyz=1. Ch ng minh r ng:ứ ằ

2 2 2
3 3 3
1
x y z
P
x y y z y z z x z x x y
= + + ≥
+ + + + + +
Gi i:ả
Page 6 of 15

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408

Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ

2 3
3 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
ì :
à : 0
2 .
x x
V
x y y z x xy y
x y x y y z z x
M x y
x xy y x xy y y yz z z zx x
x y z y z x
x xy y y yz z z zx x x xy y y yz z z zx x
x y y z z x
P
x xy y y yz z z zx x
V
=
+ + + +
− − − −
= − ⇒ + + =
+ + + + + + + +

⇔ + + = + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + +
⇔ = + +
+ + + + + +
3 3 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3
3
2 2
1
ì : ( ) . à :
3
2
2 ( ) 2 2 1.
3 3
x y x xy y x xy y
x y m
x xy y x xy y x xy y
x y x y
P x y z xyz P
x xy y
+ − + − +
= + ≥
+ + + + + +
+ +
⇒ ≥ ⇒ = + + ≥ = ⇒ ≥
+ +

Bài 7 : Cho 3 s th c a,b,c tùy ý. Ch ng minh r ng:ố ự ứ ằ

2 2 2 2 2 2
(*)
1 . 1 1 . 1 1 . 1
a c a b b c
a c a b b c
− − −
≤ +
+ + + + + +
Gi i:ả
Đ t:ặ

[ ]
tan
tan (*) sin( ) sin( ) sin( )
tan
ì : sin( ) sin ( ) ( ) ) sin( ) os( ) os( )sin( )
sin( ) os( ) os( ) sin( ) sin( ) sin( )
a
b
c
V c c
c c
α
β α β β γ α γ
γ
α γ α β β γ α β β γ α β β γ
α β β γ α β β γ α β β γ
=



= ⇒ ⇔ − + − ≥ −


=

− = − + − = − − + − −
≤ − − + − − ≤ − + −
 Đi u ph i ch ng minh. ề ả ứ
Bài 8 : Cho 4 s th c a,b,c,d thõa mãn: ố ự a
2
+b
2
=1; c – d =3. Ch ng minh:ứ

9 6 2
4
F ac bd cd
+
= + − ≤
Gi i:ả
G i: ọ
Page 7 of 15