Ì khao sat toan 9

UBND HUYỆN NÔNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(2 điểm)
a) Chứng minh bất đẳng thức: a
2
+ b
2
+ 1
≥
ab + a + b với mọi a, b
∈
R
b) Với a > 0, b > 0, c > 0 hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
cba
b
ca
a
bc
c
ab
++≥++
Bài 2: (1 điểm) Cho phương trình:
011612
2
=−+−−+ mmxx
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m
Bài 3: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A =
1

34
2
+
+
x
x
Bài 4: (2điểm) Giải hệ phương trình, phương trình:
a)
2
4
22
=++
=++
yxyx
yxyx
b)
222
14)43)(42( xxxxx =+++−
Bài 5: (1,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Về phía ngoài của hình bình hành ta
dựng các tam giác vuông cân BAE và BCF đỉnh B. Chứng minh rằng:
BD = EF và BD
⊥
EF.
Bài 6: (1,5điểm )Cho hình vuông ABCD. Trên đoạn AC lấy điểm M. Gọi E và F lần
lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BA và BC
a) So sánh diện tích tam giác DEF và diện tích tứ giác AEFC.
b)Xác định vị trí của M để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất
Bài 7: (1điểm) Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi tăng thêm mỗi chữ số
1 đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương.
UBND HUYỆN NÔNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1:(2 điểm)
a) Chứng minh bất đẳng thức: a
2
+ b
2
+ 1
≥
ab + a + b với mọi a, b
∈
R
b) Với a > 0, b > 0, c > 0 hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
cba
b
ca
a
bc
c
ab
++≥++
a) Ta có: a
2
+ b
2
+ 1
≥
ab + a + b

⇔
2a
2
+ 2b
2
+ 2
≥
2ab + 2a + 2b

⇔
(a
2
– 2ab + b
2
) + (a
2
- 2a + 1) + ( b
2
– 1-2b +1)
≥
0

⇔
(a – b)
2
+ (a – 1)
2
+ (b – 1)
2

≥
0 bất đẳng thức đúng với mọi a, b
∈
R
Do đó, bất đẳng thức cho được chứng minh
1 đ
b) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:

b
a
bc
c
ab
a
bc
c
ab
2.2 =≥+
(1)
Tương tự:
a
b
ca
c
ab
2≥+
(2)

c
b

ca
a
bc
2≥+
(3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
cba
b
ca
a
bc
c
ab
++≥++
0,5 đ
0,5 đ
Bài 2: (1điểm) Cho phương trình:
011612
2
=−+−−+ mmxx
ĐK: x
≥
1 Đặt:
01 ≥=− tx
pt trở thành: t
2
+2t –m
2
+ 6m – 10 = 0
a) Khi m = 2 ta có: t

2
+2t – 2 = 0




−−=
+−=
⇔
)(31
)(31
loait
chont
Với
32531
−=⇒+−=
xt
0,5 đ
b) pt có hệ số a = 1 > 0
hệ số c = -(m
2
- 6m + 10) = -(m - 3)
2
- 1 < 0 với mọi m
Do a và c trái dấu nên pt có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
0,5 đ
Bài 3: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A =
1
34
2

+
+
x
x
2
1
4
4
1
)12(
4
1
)12()1(4
1
34
2
2
2
22
2
=⇔=⇒
≤
+
−
−=
+
−−+
=
+
+

=
xMaxA
x
x
x
xx
x
x
A
0,5 đ
21
1
1
)2(
1
1
)2()1(
1
34
2
2
2
22
2
−=⇔−=⇒
−≥
+
+
+−=
+

+++−
=
+
+
=
xMinA
x
x
x
xx
x
x
A
0,5 đ
Bài 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình, phương trình:
a)



=++
=++
2
4
22
yxyx
yxyx

⇔




=++
=−+
2)(
4)(
2
xyyx
xyyx
Đặt:
vxy
uyx
=
=+
Ta được hệ:



=+
=−
2
4
2
vu
vu

⇔



=+

=−+
2
06
2
vu
uu

⇔




=+
−=∨=
2
32
vu
uu
Với u = 2
⇒
v = 0
Với u = -3
⇒
v = 5
Giải hệ:



=
=+

0
2
xy
yx
ta được nghiệm: (0; 2), (2; 0)
Giải hệ:



=
−=+
5
3
xy
yx
Hệ vô nghiệm
Vậy hệ cho có 2 nghiệm: (0; 2), (2; 0)
0,5 đ
0,5 đ
b) Giải phương trình:
222
14)43)(42( xxxxx =+++−
222
14)43)(42( xxxxx =+++−
(1) Chia hai vế cho x
2

≠
0
(1)

14)3
4
()2
4
(
=++−+⇔
x
x
x
x
Đặt: y =
x
x
4
+
ta được pt:
5;4
02014)3)(2(
21
2
−==⇔
=−+⇔=+−
yy
yyyy
+Với y = 4 ta có:
20)2(0444
4
22
=⇔=−⇔=+−⇔=+
xxxx

x
x
+Với y = -5 ta có:
4;10455
4
21
2
−=−=⇔=++⇔−=+
xxxx
x
x
S = 2; -1; -4
0,5 đ
0,5 đ
Bài 5: (1,5điểm) Chứng minh BD = EF và BD
⊥
EF.
j
H
F
E
A
D
C
B
Ta có: BE = AB (vì tam giác ABE vuông cân)
AB = CD (vì ABCD là hình bình hành)
⇒
BE = CD
BF = BC (vì tam giác BCF vuông cân)

BCDFBE
ˆ
ˆ
=
(cùng bù với
CBA
ˆ
)
EFBDcgcCDBBEF
=⇒−−∆=∆⇒
)(
1 đ
Gọi H là giao điểm của BD và EF
Ta có:
HFBCBD
ˆˆ
=
(cmt)
Mà
0
90
ˆˆ
=+
FBHCBD
0
90
ˆˆ
=+⇒
FBHHFB

EFBDđóDoFHB
⊥=⇒
0
90
ˆ
0,5 đ
Bài 6: (1,5điểm )
M
F
E
D
C
B
A
a) So sánh diện tích tam giác DEF và diện tích tứ giác AEFC
Ta có: S
DEM
= S
AEM
(do AD // EM)
S
DFM
= S
CFM
(do CD // FM)
Suy ra: S
DEF
= S
AEFC
0,75 đ

b) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất
Theo chứng minh trên ta có:
S
DEF
= S
AEFC
= S
ABC
– S
BEF
Diện tích
∆
DEF nhỏ nhất khi diện tích
∆
BEF lớn nhất
S
BEF
=
2
1
BE.BF
Mà BE + BF = BE + EM = BE + EA = AB (hằng số)
Tổng BE + BF không đổi nên tích BE.BF có giá trị lớn nhất khi BE = BF
Do đó diện tích
∆
BEF lớn nhất khi BE = BF
⇔
M là trung điểm của AC
Vậy diện tích tam giác DEF nhỏ nhất khi M là trung điểm của AC.
0,75 đ

Bài 7: (1điểm) Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi tăng thêm mỗi chữ số
1 đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương.
Gọi số có 4 chữ số cần tìm là a, theo giả thiết ta có: a = m
2
, với 32
≤
m
≤
99
Số có được khi tăng thêm mỗi chữ số 1 đơn vị là: a + 1111 = n
2

⇒
n
2
– m
2
= 1111
⇒
(n - m)(n + m) = 1111 = 1. 1111 = 11. 101
Ta có: m, n
∈
Z, n + m > n – m suy ra:



=+
=−
1111
1

mn
mn

⇔




=
=
)(555
556
loaim
n



=+
=−
101
11
mn
mn

⇔



=
=

)(45
56
chonm
n

Vậy số cần tìm là a = 45
2
= 2025
1 đ
HẾT