Đề +HD thi Toán chuyên NNHN 2010

Đại học quốc gia hà nội
Tr ờng đại học ngoại ngữ
cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2010
Đề Môn Thi : Toán
Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề)
Ngày thi 06-06-2010 Đề thi gồm 01 trang
( Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng bất kỳ tài liệu nào ,CBCT không giải thích gì thêm)
Câu 1: (2điểm)
Cho biểu thức

+
+
=
xxx
x
x
x
x
x
P
2
3
1
:
9
2
3

1) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
2) Tìm giá trị x để
3
4
=P
Câu 2 : ( 2 điểm)
1) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x
2
+ 4x +1 =y
4
2) Giải hệ phơng trình :

=+
=++
1)(3
3
3
22
xyx
yxyx
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho phơng trình ẩn x : (m-10)x
2
+2(m-10)x + 2 =0
1)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
2) Chứng minh rằng khi đó
4
2
212
2
1
3
2

3
1
<+++
xxxxxx

Câu 4:(3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC). Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác
trong AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC). Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với
AB, AC tại M , N
1) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn.
2) Chứng minh gócBDM = gócCDN .
3) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I .Đờng thẳng AI cắt
BC tại K .Chứng minh K là trung điểm cạnh BC
Câu 5: ( 1 điểm)
Cho a , b , c là các số dơng thoả mãn điều kiện : a + b+c +ab +bc+ ca=6
Chứng minh rằng:
3
222
333
++++
cba
a
c
c
b
b
a
Hết
-Họ và tên thí sinh Số báo danh Phòng thi
HD thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2010

Đề chính thức
Câu 1: (2điểm)
Cho biểu thức





















+
+
=
xxx
x
x

x
x
x
P
2
3
1
:
9
2
3

2) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
2) Tìm giá trị x để
3
4
=P
Hớng dẫn
1) ĐKXĐ
9;0
>
xx
;
25

x
55
)3(
.
)3)(3(

)3(
)3(
)3(2)1(
:
)3)(3(
2)3(

=


+
+
=

+
+
=
x
x
x
xx
xx
xx
P
xx
xx
xx
xxx
P
2)
DKXDxxx
xxxxx
x
x
P
==+
=+=+

=



=

40)103)(2(
020106302043
3
4
5
3
4
Câu 2 : ( 2 điểm)
3) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x
2
+ 4x +1 =y
4
4) Giải hệ phơng trình :





=+
=++
1)(3
3
2
22
xyx
yxyx
Hớng dẫn
1) x
2
+ 4x +1 =y

4


(x+2)
2
-y
4
=3

(x-y
2
+2)(x+y
2
+2)=3 vì x;y

Z nên










==
=

==
=













=++
=+





=++
=+

11
4
11
0

12
32
32
12
2
2
2
2
hoacyy
x
hoacyy
x
yx
yx
yx
yx
Phơng trình có 4 nghiệm (x;y)

{ ( 0;1) ;(0;-1) ; ( -4; 1) ; (-4;-1) }.
2)

=
=



=
=




=+
=




=+
=






=++
=

=+
=++






=+++
=++






=+
=++
1
2
1
1
0)2)(1(
1
02
1
3

1
1
3
1))((
3
)2(1)(3
)1(3
2
22
3
333
22
223
22
3
22
y
x
y
x
xx
y
xx
y
yxyx
y
xyx
yxyx
xyyxyxx
yxyx

xyx
yxyx
Hệ có 2 nghiệm (x;y)

{(1;1) ;( -2;1)}.
Cách khác
Nếu x= y tta có x=y=1 là một nghiệm
Với x khác y nhân 2 vế PT(1) với (x-y ) ta có hệ



=
=




=
=+




=
=+




=

=






=+
=






=
=
1
2
1
0)2()1(
1
023
1
)1(31
1
)(3
1)(3
)(3
23

3
333
33
3
33
y
x
y
xx
y
xx
y
xx
yxx
yxyx
yxx
yxyx
Hệ có 2 nghiệm (x;y)

{(1;1) ;( -2;1)}.
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho phơng trình ẩn x : (m-10)x
2
+2(m-10)x + 2 =0
1)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
2) Chứng minh rằng khi đó

4
2
212
2
1
3
2
3
1
<+++
xxxxxx

Hớng dẫn
1) Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì



>

0
10
/
m
( )



<
>

<>>>
===
10
12
1)11(:;1)11(01)11(0
1)11(1)110(102)10(
2/
222/
m
m
mHoacmm
mmmm
2) với ĐK trên theo Viét ta có






=
=+
10
2
2
2.1
21
m
xx
xx
Đặt Q=

2
212
2
1
3
2
3
1
xxxxxx
+++
12:;100
10
448
04
10
888
4
10
888
10
8
8)(2)(
)()(3)(
2121
3
21
21212121
3
21
2

212
2
1
3
2
3
1
><<


<+


<


=

+=++=
++++=+++=
mhoacm
m
m
m
m
Q
m
m
m
xxxxxxQ

xxxxxxxxxxxxxxxxQ
Thoả mãn điều kiện



>

0
10
/
m
Câu 4:(3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC). Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác
trong AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC). Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với
AB, AC tại M , N
4) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn.
5) Chứng minh gócBDM = gócCDN .
6) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I .Đờng thẳng AI cắt
BC tại K .Chứng minh K là trung điểm cạnh BC
P
Q
K
I
O'
N
M
O
D
B
A

C
1) ta có

AMO=

ADO=

ANO=90
0
nên 5 điểm A, M.D, O, N thuộc đờng
tròn Tâm O
/
đờng kính AO
2) Ta có

ADB=

ADC=90
0
(1) mà

ADM=

ADN (2) ( góc nội tiếp chắn
2 cung bằng nhau)
từ (1);(2) ta có ĐPCM
3)Qua I ta kẻ đờng thẳng //BC cắt AB,AC tại P;Q ta có tứ giác OMPI; OQNI nội
tiếp nên

POI=

PMI;

QOI=

INA mà

PMI=

INA (do tam giác AMN cân
tại A)
Nên

POI=

QOI xét tam giác POQ có OI vừa là đờng cao vừa là pân giác nên
IP=IQ. áp dụng hệ quả Ta-lét cho 2 tam giác ABK và ACK có PQ//BC
Ta có
)(dpcmCKBK
IQ
CK
AI
AK
IP
BK
===
Câu 5: ( 1 điểm)
Cho a , b , c là các số dơng thoả mãn điều kiện : a + b+c +ab +bc+ ca=6
Chứng minh rằng:
3

222
333
++++
cba
a
c
c
b
b
a
Hớng dẫn
¸p dông B§T
xyyx 2
22
≥+
dÊu “= “ x¶y ra khi x=y
Ta cã
bbaacccaaccbbcabba 21;21;21;2;2;2
222222222
≥+≥+≥+≥+≥+≥+
Nªn
312)(23)(3
222222
≥++⇔=+++++≥+++ cbacabca bcbacba
(*)
DÊu “ =” x¶y ra khi a=b=c=1
MÆt kh¸c
;2;2;2
2
3

2
3
2
3
cac
a
c
bbc
c
b
aab
b
a
≥+≥+≥+
T cã
)(2)(
222
333
cbacabcab
a
c
c
b
b
a
++≥+++









++
Mµ
cabcabcba
++≥++
222
nªn
)(2)(
222
333
222
333
cbacabcab
a
c
c
b
b
a
cba
a
c
c
b
b
a
++≥+++









++≥+++








++
Nªn
(**)
222
333
cba
a
c
c
b
b
a
++≥++

DÊu “=” Khi a=b=c=1
Tõ (*) vµ (**) ta cã §PCM