Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu hàm số
BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Nhắc lại định nghĩa: Ta kí hiêu K là khoảng hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số

y  f ( x ) xác định trên K

Hàm số f đồng biến (tăng) trên K  x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến (giảm) trên K  x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K .
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K .
a) Nếu f đồng biến trên khoảng K thì f(x)  0, x  K
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng K thì f(x)  0,x  K
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K
a) Nếu f (x)  0, x  K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên K .
b) Nếu f (x)  0, x  K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên K .
c) Nếu f(x) = 0, x  K thì f khơng đổi trên K .
Chú ý:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
1


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số
 Nếu khoảng K được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
 Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a;b) thì hàm số
f(x) đồng biến trên [a;b]

 Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)<0 trên khoảng (a;b) thì hàm số
f(x) nghịch biến trên [a;b]
II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm xi (i  1,2,.., n) mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các
điểm tới hạn của hàm số)
– Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
– Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến cuả hàm số.

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
2


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
DẠNG TOÁN 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Phương pháp:
Dựa vào quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Xét chiều biến thiên của hàm số sau
a)y   x 3  3x 2  24 x  26;

b) y  x 3  3 x 2  2;

c) y  x 3  3 x 2  3 x  2

Hướng dẫn:
a) Hàm đồng biến trên (-4;2) và nghịch biến trên các khoảng  ; 4  vaø  2;  

b) Hàm nghịch biến trên (0;2) và nghịch biến trên các khoảng  ; 0  vaø  2;  
2

c)y'=3  x  1 , y'=0  x=-1 và y'>0 với mọi x  -1
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng  ; 1 và  1;   nên hàm


số đồng biến trên 
Hoặc ta có thể trình bày:

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đồng biến trên 
Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số sau

1
a)y   x 4  2 x 2  1;
4

b)y  x 4  2 x 2  3;

c) y  x 4  6 x 2  8 x  1

Hướng dẫn:
a) Hàm đồng biến trên  ; 2  và (0;2), Hàm nghịch biến trên (-2;0) và (2; )

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
3


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

b) Hàm đồng biến trên  0;   và nghịch biến trên  ; 0 
c) Hàm đồng biến trên khoảng  2;   và nghịch biến trên  ;2 
Nhận xét: Đối với hàm số bậc 4 ln có ít nhất một khoảng đồng biến và một khoảng nghịch
biến. Do vậy với hàm số không thể đơn điệu trên R.
Bài 3. Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

2x  1
;
x 1
x2  2x 1
c) y 
;
x2
a) y 

x2
x 1
x2  4x  3
d )y 
x2
b) y 

Hướng dẫn:
a) Hàm đồng biến trên  ; 1 vaø  1;  
b) Hàm nghịch biến trên  ;1 vaø 1;  
c) Hàm đồng biến trên  5; 2  vaø  2;1 , Hàm nghịch biến trên  ; 5 vaø 1;  
d) Hàm đồng biến trên  ; 2  vaø  2;   ,
Nhận xét:
 Đối với hàm số y 

ax  b
 a.c  0  luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác
cx  d

định của chúng;
 Đối với hàm số y 

ax 2  bx  c
ln có ít nhất hai khoảng đơn điệu;
dx  e

 Cả hai hàm số trên không thể ln đơn điệu trên  .
Bài 4. Xét tính đơn điệu của hàm số sau:
a) y  x 2  2 x  3 ;

b) y  3 x 2  x 3

Hướng dẫn:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
4


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số
a) Ta có:

x2  2x  3

y 2

 x  2 x  3

2 x  2
 y'  
 2 x  2

khi x  1  x  3
khi  1  x  3
khi x  1  x  3
 y'  0  x  1
khi  1  x  3

Hàm không có đạo hàm tại x  -1 và x  3
Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên mỗi khoảng  1;1 và  3;   , nghich biến trên  ; 1 và 1;3 
b) Hàm đã cho xác định trên nưả khoảng  ;3

3 2x  x3
Ta coù: y'=
, x  3, x  0
2 3x 2  x 3
x  3, x  0 : y '  0  x  2. Haøm số không có đạo hàm tại x=0 và x=3





Dựa vào bảng biến thiên: Hàm đồng biến trên khoảng  0;2  , nghịch biến trên  ;0  và  2;3
Bài 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  sin x trên khoảng  0;2 

Hướng dẫn:
Ta có:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
5


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

y '  0, x   0;2   x 


3
,x 
2
2

Bảng biến thiên:

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

x2  2x
b) y 
x 1

1
a)y  x 3  3 x 2  8 x  2;
3

Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số

a) y  2 x 3  3 x  1;

4
2
b) y   x 3  6 x 2  9 x 
3
3

c)y  x 4  2 x 2  5;

d )y  2 x  x 2

Hướng dẫn:

c)Trình bày tương tự bài mẫu 1c);

d)Trình bày tương tự bài mẫu 2b)

Bài 3. Chứng minh rằng

a)y  4  x 2 nghòch biến trên đoạn  0;2 
 
3
b)y  x  x  cos x  4 đồng biến trên 
c)y  cos 2 x  2 x  3 nghòch biến trên 
Hướng dẫn:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
6


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

a) Hàm số liên tục trên đoạn  0;2  và có đạo hàm f '( x ) 
 

x

4  x2
với mọi x   0;2  . Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn  0;2 
 

0

b) Hàm số xác định trên . Ta thấy f '( x )  3x 2  1  sin x  0, x  

c) f '( x )  2  sin 2 x  1  0, x   vaø f '( x )  0  x    k , k  
4
 


Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn    k ;    k  1   , k  
4
 4

Do đó hàm số nghịch biến trên 

Bài 4.
a) Cho hàm số y  sin 2 x  cos x . Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên

 
 
đoạn  0;  và nghịch biến trên đoạn  ;  
 3
3 
b) Chứng minh rằng với mọi m   1;1 , phương trình s in 2 x  cos x  m có nghiệm duy
nhất thuộc đoạn  0;  


Hướng dẫn:

a) Hàm số liên tục trên đoạn 0;   và có f '( x )  sin x  2 cos x  1 , x   0;  


1

Vì x   0;    sin x  0 neân trong khoaûng  0;   : f '( x )  0  cos x   x 
2
3
 
 
*y '  0, x   0;  neân hàm số đồng biến trên 0; 
 3
 3
 
 
*y '  0, x   ;   nên hàm số nghịch biến trên  ;  

3 
3 
b)

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
7


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

Ta có:
 
 
* x   0;  ta coù: y(0)  y  y    1  y  5 nên phương trình không có
 3
3
nghiệm thuộc  1;1
 
 
5
*x   ;   ta coù: y( )  y  y    1  y  . Theo định lí giá trị trung
4
3 
3

 
5
gian củahàm số liên tục m   1;1   1;  , nên tồn tại số thực c   ;  
4


3 
sao cho y(c)=0.

Số c là nghiệm của phương trình sin 2 x  cos x  m và vì hàm số nghịch
 
biến trên  ;   ,nên trên đoạn này phương trình có nghiệm duy nhất.
3 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất trên  0;  


BTTT: Cho hàm số f ( x )  sin 2 x  cos2 x

 
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên  0;  và nghịch biến trên đoạn
 3

 
 3 ; 



b) Chứng minh rằng với mọi m   1;1 phương trình sin 2 x  cos2 x  m

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
8


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

DẠNG 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN 
Phương pháp: Cho hàm số y  f ( x, m) , m là tham số, có tập xác định 
 Hàm số f đồng biến trên   f(x)  0, x   . Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn
điểm
 Hàm số f nghịch biến trên   f  0, x   . Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn
điểm
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) Nếu y '  ax 2  bx  c thì:

a  b  0

c  0
 y '  0, x  R  
a  0

  0


a  b  0

c  0
 y '  0, x  R  
a  0

  0


2) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c :
 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

b
)
2a
 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác
dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
3) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c với số 0:

 Nếu  = 0 thì g(x) ln cùng dấu với a (trừ x = 

  0

 x1  x2  0   P  0
S  0


  0

 0  x1  x2   P  0
S  0


 x1  0  x2  P  0
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Tìm m để hàm số luôn giảm (nghịch biến) trên 

1
y   x 3  2 x 2   2m  1 x  3m  2
3
Hướng dẫn:

Hàm số xác định trên . Ta coù: y '   x 2  4 x  2m  1,  '  2m  5
Bảng xét dấu '.

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
9


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

2
5
thì y'=-  x  2   0,x  , y '  0 chỉ tại điểm x=2. Do đó hàm số nghịch biến trên 
2
5
*m<- thì y'< 0,x  . Do đó hàm số nghịch biến trên 
2
5
*m>- thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  . Hàm số đồng biến trên
2
khoảng  x1; x2  .Trường hợp này không thỏa mãn

*m=-

Cách giải sau đây khơng “phù hợp” ở điểm nào?

Hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi
a  1  0
5
y '   x 2  4 x  2m  1  0, x     '

m
2
  0
5
Vậy hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi m  2
Nhận xét: Lời giải trên xem ra có vẻ đúng và hợp lý. Tuy nhiên về mặt lý luận thì trình
bày như trên chưa thỏa đáng, hơi tự nhiên. Do đó mất đi tính trong sáng và chặt chẻ
trong tốn học

Bài 2.Tìm a để hàm số y 

1 3
x  ax 2  4 x  3 ln tăng (đồng biến) trên 
3

Hướng dẫn:

Hàm số xác định trên . Ta có: y '  x 2  2ax  4,  '  a 2  4
Baûng xét dấu '.

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
10


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

*-22

*a=2 thì y'=  x  2  ,y'=0  x=-2,y'>0,x  2. Do đó hàm số đồng biến trên
mỗi nửa khoảng  ; 2  và 2;   nên hàm số y đồng biến trên 


*a  2 hoặc a  2 thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  . Hàm số nghịch
biến trên khoảng  x1; x2  , đồng biến trên mỗi khoảng  ; x1  và  x2 ;   .
Trường hợp này không thỏa mãn vậy hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi
-2  a  2
Bài 3. Tìm m để hàm số y  x  m cos x luôn tăng (đồng biến) trên 
Hướng dẫn:
Cách 1:

Hàm số xác định trên . Ta có: y '  1  m sin x
Hàm số đồng biến trên   y'  0,x    msinx  1,x   (1)
*m=0 thì (1) luôn đúng
1
1
*m>0 thì (1)  sin x  , x    1   0  m  1.
m
m
1
1
* m<0 thì (1)  sin x  , x    1   1  m  0.
m
m
Vậy -1  m  1 là những giá trị cần tìm
Cách 2:

Hàm đồng biến trên   y'  0,x  
1  m  0

 miny'=min 1  m;1  m  0  
 1  m  1
1 m  0

Chú ý:
Phương pháp:
 Hàm số f(x,m) tăng trên   y '  0, x    min y '  0, x  
 Hàm số f(x,m) giảm trên   y '  0, x    maxy '  0, x  
BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
11


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số
Bài 1. Tìm m để y   m  2 

x3
  m  2  x 2   m  8 x  m 2  1 luôn nghịch biến (giảm) trên 
3

Hướng dẫn:
Ta có: y '   m  2  x 2   m  2  x  m  8

*Khi : m  2 : hàm nghịch biến trên 
*Khi m  2 : tam thức bậc hai y '   m  2  x 2   m  2  x  m  8 coù =10  m  2 
Bảng xét dấu của  ' :

 m<-2: y '  0, x    hàm nghịch biến trên 

 m  2 : y '  0 coù hai nghieäm x1 ,x 2  x1  x 2  trường hợp này hàm đồng biến
trên khoảng  x1; x2  nên trường hợp này không thỏa mãn
Vậy m  -2 là những giá trị cần tìm
Bài 2. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến (giảm) trên tập xác định

 m  1 x
b) y 

1
a)y  m 2  1 x 3   m  1 x 2  3 x  5;
3





2

 2x 1

x 1

Hướng dẫn:





a) y '  m 2  1 x 2  2  m  1 x  3
Hàm đồng biến trên   y'  0,x  

Trường hợp 1: m 2  1  0
* m  1: trường hợp này không thỏa mãn
* m=-1:trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán



Trường hợp 1: m 2  1  0, lúc đó:  '=- m 2  m  2



Bảng xét dấu  ' :

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
12


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

 a  0 
* m  1hoặc m> 2 : hàm số y đồng biến trên   do 



 '  0 

* m =2:hàm số y đồng biến trên 
*  1  m  2, m  1: trường hợp này không thỏa mãn
Vậy hàm đồng biến trên  khi và chỉ khi m<-1 hoặc m  2

 m  1 x
b) y ' 

2

 2  m  1 x  1

 x  1

2



g( x )

 x  1

2

Dấu của y' là dấu của g(x),x  -1
Hàm y đồng biến trên  ; 1 và  1;    g '( x )  0, x  1
* m  1: trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán
* m  1: 1  m  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy khi 1  m  2 thì hàm đồng biến trên 
Bài 3. Tìm m để hàm số f ( x ) 

3 x 2  mx  2
nghịch biến trên khoảng từng khoảng xác định.
2x 1

Hướng dẫn:

1
Hàm số xác định trên  \  
2

y' 

6 x 2  6 x  4  m

 2 x  1

 y '  0, x 

2

. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

1
1
 6 x 2  6 x  4  m  0, x 
2
2

 '  33  6m

Bảng xét dấu  ' :

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế

13


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số
m

11


+

'

* Nếu m 



2
0

-

11
1
tức  '  0 thì y '  0, x  hay hàm đồng biến trên các khoảng xác định
2
2


3 

 x1 
11
* Nếu m 
thì y '  0 có hai nghiệm phân biệt 

2
3 
 x2 

ràng x1 

33  6m
6
33  6m
6

x

2

 x1  và rõ

1
 x2
2

Bảng biến thiên:

x

y'

1
2

x1


-

0

+

x2
+

0


-

y

 1
 1
Dựa vào bảng biến thiên thì ta thấy hàm đồng biến trên  x1;  và  x2 ;  nên ta loại
 2
 2
trường hợp này

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
14


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số
Kết luận: m 

11
2

LUYỆN TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập
xác định) của nó:
a) y  x 3  5 x  13

x2  2x  3
d) y 
x 1

b) y 

x3
 3x2  9 x  1
3

e) y  3x  sin(3x  1)

c) y 

2x  1
x2

x 2  2mx  1
f) y 
xm

Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập
xác định) của nó:
a) y  5 x  cot( x  1)

b) y  cos x  x

c) y  sin x  cos x  2 2 x

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau ln đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định)
của nó:
a) y  x 3  3mx 2  (m  2) x  m

mx  4
d) y 
xm

b) y 

x 3 mx 2

 2x  1
3

2

x 2  2mx  1
e) y 
xm

c) y 

xm
xm

x 2  2mx  3m 2
f) y 
x  2m

Bài 4. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f ( x )  x 3 -3x2  mx  1 đồng biến trên R.
Bài 5. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

m
a) y  x  2 
x 1

b) y 

2 x 2   m  2  x  3m  1
x 1

Hướng dẫn:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học

chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
15


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

a)
*m  0 : hàm đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và 1;  
*m  0 : y '  0  x  1  m . Lập bảng biến thiên ta thấy, hàm số nghịch



 



biến trên mỗi khoảng 1  m ;1 và 1;1  m do đó không thỏa mãn yêu cầu
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi m  0
b)y '  1 

2m  1

 x  1

2

1
 y '  0, x  1, Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1 và 1;  
2
1

* m  : phương trình y'=0 có hai nghiệm x1  1  x2
2
*m 

Bài toán này được mở rộng như sau:

a1 ) tìm giá trị m để hàm số đồng biến trên  ; 1
a2 )tìm giá trị m để hàm số đồng biến trên  2;  
a3 )tìm giá trị m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2
a4 )tìm giá trị m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  0;1 và 1;2 
2

a5 )gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình  x  1  m  0. Tìm m để
 x1  2 x2 ;

 x1  3x2  m  5

 x1  3x 2 ;

 x1  5x2  m  12

Bài 6. Với giá trị nào của m, hàm số: y  mx 3  3 x 2   m  2  x  3 nghịch biến trên R.

x
x
Bài 7. Tìm điều kiện của tham số a để hàm số y  sin - cos  ax đồng biến trên R
2
2
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định trên 

x 
1
x
x
2
Ta có: y '   cos  sin  
sin     a
2
2
2 2
2 4
Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi
Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
16


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

y '  0, x   

x 
2
2
2
sin     a, x    
 a  a 
2
2

2
2 2

DẠNG 3: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN TẬP CON CỦA 
Phương pháp:
 Hàm số y  f ( x , m ) taêng x  I  y'  0,x  I  min y'  0,x  I
 Hàm số y  f ( x , m ) giaûm x  I  y'  0,x  I  max y'  0,x  I

BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Tìm giá trị của m để hàm số

mx  4
luôn nghịch biến trên khoảng  ;1
xm
2)y  x 3  3 x 2   m  1 x  4m nghòch biến trên khoảng  1;1

1) y 

Hướng dẫn:
1. Sai lầm thường gặp:

ycbt  f '( x )  0, x   ;1  y ' 

m2  4

 x  m

2

 0, x   ;1

 m 2  4  0  2  m  2
Nguyên nhân sai lầm:
2

Khi giải và biện luận bất phương trình có mẫu thức chứa tham số  x  m  phải đặt điều kiện

x   m , x   ;1
Lời giải đúng

Hàm số đã cho xác định trên  \{-m}
y'=

m2  4

 x  m

2

, x  m.

 y '  0, x   ;1
 2
2  m  2

m  4  0
ycbt  


 2  m  1

m   ;1
m  1
 m   ;1





BTTT: Tìm m để hàm số f ( x ) 

3 x  5
đồng biến trên  2;  
2x  m

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
17


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số
2. Cách 1:
Hàm số xác định trên 
Ta có: y '  3 x 2  6 x  m  1
Hàm số nghịch biến trên (-1;1)  y '  0, x   1;1 , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm
Ta có :  y '  9  3  m  1  6  3m
 TH 1: Nếu  'y '  0  m  2 thì y '  0, x    hàm đồng biến trên  . Trường hợp
này loại vì yêu cầu bài toán nghịch biến trên (-1;1)
 TH 2: Nếu  'y '  0  m  2 thì y’=0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử là

x1  x2 ) .

x

x1



y'

+

0

x2
-

0


+

Dựa vào bảng xét dấu y’ ta thấy hàm số nghịch biến trên (-1;1)

 x1  1  1  x2 (*)
Hướng 1:

 x1  1  x2

 *   x





1

 1  x2


 x  1  0  x2  1  x1  1 .  x2  1  0

 1

(I )
 x1  1  0  x2  1  x1  1 .  x2  1  0



Áp dụng định lí Vi-et để giải hệ (I) ta được m  10


3 
 x1 
Hướng 2: Phương trình y’=0 có hai nghiệm là 

3 
 x2 


6  3m
3
,  x1  x2 

6  3m
3

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
18


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

 x  1

*   x1  1




2

m  2

 m  10
m  10

Cách 2:

Hàm số đã cho xác định trên 
y'=3x2  6 x  m  1
Hàm số nghịch biến treân  1;1  y '  0, x   1;1





 m   3 x 2  6 x  1 , x   1;1





 m  min g( x ), với g( x )   3 x 2  6 x  1
 1;1

Hàm số g( x ) nghịch biến trên  1;1 và lim g( x )  2; lim g( x )  10.

x 1

x 1

Bảng biến thiên

 m  -10
@ Bài tốn trên ta có thể mở rộng như sau: Tìm m để hàm số
 Đồng biến trên [2;  )
 Đồng biến trên  ; 0 
Bài 2. Tìm m để các hàm số sau:

a) y  2 x 3  2 x 2  mx  1 đồng biến trên khoaûng 1;  
b)y  mx 3  x 2  3x  m  2 đồng biến trên khoảng  3;0 
1

c)y  mx 3  2  m  1 x 2   m  1 x  m đồng biến trên khoảng  2;  
3
Hướng dẫn:
a) Cách 1:
Hàm số xác định trên 
Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
19


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số
Ta có: y '  6 x 2  4 x  m
Hàm số đồng biến trên (1;  )  y '  0, x  1;   , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm
Ta có :  y '  4  6m
 TH 1: Nếu  'y '  0  m 

2
thì y '  0, x    hàm đồng biến trên   hàm đồng
3

biến trên 1;   . Trường hợp này ta nhận
 TH 2: Nếu  'y '  0  m 

2
(*)thì y’=0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử là
3

x1  x2 ) .
x

x1



y'

+

0

x2
-

0


+

Dựa vào bảng xét dấu y’ ta thấy hàm số đồng biến trên (1;  ) thì điều kiện là

 x2  1 

2  4  6m
2
 1  m  2 kết hợp điều kiện (*) thì 2  m 
6
3

Hợp hai trường hợp m 

2
2
và 2  m  ta được kết quả cuối cùng là m  2
3
3

Cách 2:

ycbt  y '  0, x  1;    g( x )  6 x 2  4 x  m, x  1
Hàm số g(x)  6 x 2  4 x liên tục trên 1;   . Ta có: g'(x)>0,x  1  g(x) đồng biến
trên khoảng 1;   và lim g( x )  2, lim g( x )  

x 1

x 

Baûng biến thiên.

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
20


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

Dựa vào bảng biến thieân suy ra: 2  -m  m  -2

b)ycbt  y '  0, x   3;0   3mx 2  2 x  3  0, x   3; 0   m 

2x  3

, x   3; 0 
3x 2

2x  3
lieân tục trên  3;0  . Ta có: g'(x)<0,x   3; 0   g(x) nghịch biến
3x 2
1
trên khoảng  3; 0  vaø lim g( x )   , lim g( x )  
x  3
9 x 0
Bảng biến thiên.
Hàm số g(x) 

Dựa vào bảng biến thieân suy ra: m  -

1
9

c)ycbt  y '  0, x   2;    mx 2  4  m  1 x  m  1  0, x   2;  





 x 2  4 x  1 m  4 x  1, x   2;    m 

4x  1
, x   2;  
x  4x  1
2

4x  1
liên tục trên  2;   . Ta coù: g'(x)<0,x   2;  
x  4x  1
9
 g(x) nghịch biến trên khoảng  2;   vaø lim g( x )  , lim g( x )  0
x  2
13 x 
Baûng biến thiên.
Hàm số g(x) 

2

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
21


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số

Dựa vào bảng biến thieân suy ra: m 

9
13

Cách 2:
Cách 2: Phương pháp tam thức bậc hai
Ta có: y '  mx 2  4  m  1 x  m  1
+ TH1: m=0: Hàm nghịch biến trên R nên loại
+TH2: m  0 ,  '  3m 2  7m  4

ta dễ dàng lập luân để suy ra được m khơng thể < 0. Do đó m > 0
* Nêu  '  0  1  m 

4
(*)thì hàm đồng biến trên R nên đồng biến trên  2; 
3

m  1
* Nếu   0  
(I) thì y'=0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 giả sử x1  x2
m  4

3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đồng biến trên  2;  thì điều kiện là

x2  2 

2  m  1  3m 2  7m  4
m

2m

9
kết hợp điều kiện (I) thì trường hợp này
13

 9  4

hàm đồng biến trên  2;   m   ;1   ;   (**)

13   3

Kết hợp (*) và (**) ta được m 

9
13

Cách 3:
Các trường hợp khác tương tự trên. Bây giờ ta xét trường hợp   0
Xét phương trình: y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1  x2 , khi đó để hàm số đồng biến trên

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
22


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số
khoảng (2; ) thì điều kiện là x1  x2  2  x1  2  x2  2  0
Đặt: x  2  t , dẫn tới ta có phương trình sau: mt 2  4  2m  1 t  13m  9  0 , với điều kiện

  0
4

t1  t2  0  S  0 . Giải 3 điều kiện trên và kết hợp với kết quả 1  m  ta có được kết
3
P  0

quả cuối cùng: m 

9

13

Bài 3. Tìm m để hàm số f ( x )  x 3  3  2m  1 x 2  12m  5 x  2 đồng biến trên khoảng

 ; 1  2;  
 
Sai lầm thường gặp:

 f '( x )  0, x  2;  
3x 2  6  2m  1 x  12m  5  0, x  2;  




ycbt  
 2
 f '( x )  0, x   ; 1
3x  6  2m  1 x  12m  5  0, x   ; 1




3 x 2  6 x  5  12m  x  1 , x  2;  


 2
3 x  6 x  5  12m  x  1 , x   ; 1


2


3x  6 x  5
 12m, x  2;  
 g( x ) 


x 1

2
 g( x )  3 x  6 x  5  12m, x   ; 1


x 1


6
 1
 x1  1 
 min g( x )  12m
 x 2
3


. Ta co:g'(x)=0 

6
 max g( x )  12m
 x2
2
 x2  1 


3
Do đó: g’(x)>0 trên khoảng  ; 1   2;  
 

min g( x )  12m
 g(2)  5  12m
7
5

Khi đó:  x 2

 m
12
12
 g(1)  7  12m
max g( x )  12m
 x2
Nguyên nhân sai lầm:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
23


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số
Cách giải trên chỉ phù hợp với f(x) đồng biến trên  ; 1 và  2;   . Còn với yêu cầu f(x)


đồng biến trên  ; 1   2;   thì cần kiểm tra thêm điều kiện

 
f(-1)Lời giải đúng:

 f '( x )  0, x  2;  
3x 2  6  2m  1 x  12 m  5  0, x  2;  



 2


ycbt   f '( x )  0, x   ; 1  3x  6  2m  1 x  12m  5  0, x   ; 1




 f (1)  f (2)
18m  15



3 x 2  6 x  5  12m  x  1 , x  2;  

 2

 3 x  6 x  5  12m  x  1 , x   ; 1


 m  15


18


3x 2  6 x  5
g( x ) 
 12m, x  2;  


x 1

3x 2  6 x  5

  g( x ) 
 12m, x   ; 1

x 1

5

m  6



 min g( x )  12m
 x1  1 
 x 2

  m ax g( x )  12m . Ta co:g'(x)=0  
x 2



 x2  1 
5
m 


6


6
 1
3
6
2
3



min g( x )  12m
 g(2)  5  12m
 x 2

7
5

Khi đó: m ax g( x )  12m   g(1)  7  12m    m 
x 2
12
12



5
m 
m  5
6



6
Bài 4. Tìm tất cả các tham số m để y  x 3  3 x 2  mx  m giảm trên đoạn có độ dài bằng 1.
Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
24


Bài 1. Tính đơn điệu hàm số
Phương pháp:
Để hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d thì
ta thực hiện các bước sau:

 Tính y.
 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
a  0

  0

(1)

 Biến đổi x1  x2  d thành ( x1  x2 )2  4 x1 x2  d 2

(2)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Hướng dẫn:

y '  3 x 2  6 x  m có  '  9  3m
 Nếu m  3 thì y'  0,x  . Khi đó hàm số luôn đồng biến trên . Do đó
m  3 không thỏa yêu cầu bài toán
 Nếu m<3, do đó y'=0 có hai nghiệm x1 , x2  x1  x2  và hàm số nghịch biến trên đoạn
 x1; x2  với độ dài l  x2  x1 .


2

Hàm số nghich biến trên đoạn có độ daøi l=1   x2  x1   1  m 

9
4

Có hay không yêu cầu bài toán thỏa l  x2  x1  1?
Bài 4. Tìm m sao cho: y 

mx 2  6 x  2
nghòch biến trên 1;  

x2

Hướng dẫn:

Ta có:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
25