SKKN VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ VÀ SỬ DỤNG YẾU TỐ TRUNG GIAN TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

- 1 -
PHẦN THỨ NHẤT.
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát
triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước. Hướng
đổi mới của giáo dục và đào tạo là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ động
trong học tập, dễ thích ứng với cuộc sống và lao động. Bên cạnh việc dạy cho học
sinh nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, giáo viên còn phải dạy cho học
sinh biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trong
quá trình học tập. Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá trình
học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức. Những thành
quả đạt được sẽ tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ
trở thành “tài sản riêng” của các em. Học sinh không những nắm vững, nhớ lâu mà
còn biết vận dụng tốt những tri thức đạt được để giải quyết những vấn đề nảy sinh
trong học tập, trong thực tế cuộc sống và lao động mai sau. Đồng thời, học sinh có
phương pháp học trên lớp học và phương pháp tự học để đáp ứng được sự đổi mới
thường xuyên của khoa học công nghệ ngày nay.
Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toán
hình học nói riêng, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen
là: Sau khi đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục
suy nghĩ, tìm được cái mới hơn rồi, lại tiếp tục đi tìm cái mới hơn nữa hoặc đi tìm
mối liên hệ giữa các vấn đề, . . . cứ như thế chúng ta sẽ tìm ra được những kết quả
thú vị.
Trong quá trình tìm kiếm lời giải, học sinh phải biết cách đưa về hình huống
quen thuộc để có thể vận dụng trực tiếp các kiến thức đã biết. Ngoài việc phải vẽ
hình chính xác, tổng quát theo dữ kiện bài toán (tránh vẽ hình rơi vào trường hợp
đặc biệt, học sinh dễ ngộ nhận hình) thì một trong các biện pháp có hiệu quả là sử
dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học thông qua vẽ hình phụ. Việc vẽ hình
phụ rất đa dạng, không theo khuôn mẫu nhất định nào và đòi hỏi học sinh phải biết
dự đoán tốt, trên cơ sở các suy luận hợp lý. Vì vậy, cần thiết có thể bồi dưỡng cho

học sinh phát triển năng lực này. Đã từng giảng dạy toán và hiện đang dạy toán lớp
8, 9 chúng tôi đã tích cực, tự bồi dưỡng và hướng dẫn các em học sinh bồi dưỡng
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
- 2 -
kiến thức nâng cao, luôn quan tâm đến việc khai thác bài toán. Ở đây chúng tôi
không muốn đề cập tới các dạng bài tập, các hệ thống câu hỏi gợi mở. Mà chúng tôi
chỉ muốn nêu lên một số cách hướng dẫn học sinh đi tìm lời giải cho bài toán hình
học lớp 8, 9 thông qua việc vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố phụ đó để chứng
minh.
Với các lí do trên, chúng tôi xin trình bày đề tài “Vẽ thêm hình phụ và sử
dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9” hy vọng góp phần vào
giải quyết vấn đề trên.
II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8, lớp 9 THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm – Duy
Vinh – Duy Xuyên – Quảng Nam.
2. Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học lớp 8, lớp 9 THCS.
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
- 3 -
PHẦN THỨ HAI.
NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Đặc điểm của lứa tuổi học sinh THCS là muốn vươn lên làm người lớn,
muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng
điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau
nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của
thầy, cô giáo. Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho học
sinh là một quá trình lâu dài.
*Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của học sinh được thể hiện ở một số mặt

sau:
- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng
rập khuôn, máy móc.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở
nhiều khía cạnh khác nhau.
- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Cơ sở nào? Liệu có
các mối liên hệ nào khác nữa không?
- Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề.
- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết.
*Khai thác, phát triển kết quả một bài toán nói chung có nhiều hướng như:
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải. Rút ra phương pháp giải một loại toán nào đó.
- Rút ra các kinh nghiệm giải toán.
- Tìm thêm các cách giải khác.
- Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán, đề xuất các bài toán mới.
- Biết tìm mối quan hệ giữa các đại lượng để tìm hướng giải quyết.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ
Qua quá trình công tác giảng dạy, chúng tôi thấy:
- Đa số học sinh, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài
lòng và dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không
sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản
thân để tìm hướng giải quyết ngắn gọn hơn.
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
- 4 -
- Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc. Từ đó dẫn đến làm mất đi
tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Học sinh yếu toán nói chung và yếu hình học, đặc biệt là yếu về giải bài toán
chứng minh hình học nói riêng chủ yếu là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười
suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập, không có sự liên hệ, không có sự khai
thác triệt để. Đa số học sinh sử dụng sách giải, vở bài tập của các bạn học sinh để

giải quyết vấn đề bài tập nhà.
- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp,
chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.
- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân học sinh ít được củng cố, khắc sâu
kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó
năng lực cá nhân không được phát huy hết.
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài
toán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung. Một số
giáo viên chưa hệ thống phương pháp cho học sinh để có cơ sở giải quyết các bài
toán chứng minh.
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển
một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức. Quan trọng hơn là nâng
cao được tư duy cho các em học sinh, giúp học sinh có hứng thú hơn khi học toán.
- Tìm hiểu qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy bản thân chúng tôi thấy học sinh có
lỗ hổng ngay từ khi tiếp cận với bài tập chứng minh hình ở lớp 8 nói chung, việc
vận dụng yếu tố trung gian của học sinh còn lúng túng, chưa nhận biết và biết khi
nào thì cần vận dụng vào chứng minh bài toán hình.
- Khi thăm dò khảo sát chất lượng học tập môn Toán của học sinh khối lớp 9 năm
học 2008 - 2009 khi giải bài toán có vận dụng yếu tố trung gian trong chứng minh
đã có kết quả như sau:
Qua điều tra thử nghiệm với học sinh đang học lớp 9 tôi thấy số học sinh có thể vận
dụng yếu tố trung gian cũng như vẽ hình phụ trong chứng minh hình học chỉ có 12
em học sinh đạt loại khá và giỏi chiếm tỉ lệ 31.5 % và 12 em học sinh đạt loại trung
bình chiếm tỉ lệ 31.6%, số còn lại thì không biết cách giải hoặc giải không hoàn
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
- 5 -
chỉnh. Qua gần gủi tìm hiểu thì các em cho biết: Các em chỉ rập khuôn, máy móc
những vấn đề các thầy cô nêu trên lớp, nhiều khi học một cách thụ động chưa biết
cách tư duy để tạo cho mình một sáng tạo trong cách giải một bài toán nào đó, chưa

chú tâm trong việc giải quyết bài tập và không có phương pháp giải quyết các bài
toán hình học nhất là toán chứng minh.
Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy
và học sao cho phù hợp.
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
Qua những bài toán mà học sinh đã giải được, chúng tôi định hướng cho các
em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các
hình thức như:
- Kiểm tra kết quả, xem xét lại cách lập luận.
- Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu
bài toán còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để đề
xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác
không? . .
Trong đề tài này, chúng tôi xin minh họa bằng cách khai thác, phát triển từ
kết quả một bài toán quen thuộc để tìm ra hướng giải quyết. Nhằm giúp học sinh
thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong học hình học
nói riêng. Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp
học sinh thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán.
IV. NỘI DUNG CỤ THỂ :
Từ kết quả của một bài toán hết sức đơn giản ban đầu, nếu chịu khó suy xét
tiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển bài
toán, tạo ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác. Sau đây là ví dụ minh hoạ:
Thực chất của phương pháp này là dựa vào kết luận, lựa chọn điều kiện cần
có, gợi ra hướng vẽ hình phụ để từ giả thiết có thể suy luận đến yếu tố trung gian đó
để suy ra kết luận.
Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau. ( Hai đại lượng bằng nhau)
Bài tập1.1: Cho
∆
ABC, kẻ các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I.
CMR: I thuộc đường phân giác góc A.

Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
P
N
M
I
C
B
A
P
N
M
I
C
B
A
- 6 -
Phân tích tìm lời giải: Ở bài này để chứng minh I thuộc đường phân giác, ta có hai
hướng giải quyết như sau:
- Chứng minh:
· ·
BAI CAI=
- Chứng minh: Điểm I cách đều hai cạnh AB và AC.
- Vậy với điều kiện như trên ta cần thể hiện điều gì ?
- Để cm:
· ·
BAI CAI=
ta quy về chứng minh tam giác nào bằng nhau?(yếu tố
này khó khăn)
- Chứng minh: Điểm I cách đều hai cạnh AB và AC.

- Điểm I có đặc điểm gì? So với các cạnh của góc B, góc C ?
- Từ đặc điểm đó ta cần thể hiện điều gì? ( kẻ các đường vuông góc IM, IN, IP)
- Nhận xét gì về độ dài các đoạn thẳng này? Từ đó rút ra kết luận gì về điểm I so
với các cạnh của góc BAC.
Lời giải:
Kẻ IM ⊥ BC; IN ⊥AB; IP ⊥ AC.
Vì I thuộc đường phân giác góc B nên IM = IN (1)
Vì I thuộc đường phân giác góc C nên IM = IP (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IN = IP
=> I thuộc đường phân giác góc A.
Bài tập 1.2: Cho
∆
ABC vuông tại A, kẻ các đường phân giác của góc B và C cắt
nhau tại I. Gọi N và P là chân đường vuông góc hạ từ I xuống AB, AC.
CMR:AN = AP.
Phân tích tìm lời giải: Ở bài này để chứng minh: AN = AP ta cần có hướng giải
quyết nào?
- Cm: Hai tam giác chứa hai đoạn thẳng AN, AP bằng nhau.
- Chứng minh: ANIP là hình vuông.
Với cơ sở đó ta cần chứng minh I thuộc phân giác góc A. Như vậy ta có thể khai
thác tương tự như bài tập 1.1 - Chứng minh: Điểm I cách đều hai cạnh AB và AC.
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
2
1
2
1
F
E
D

I
C
B
A
- 7 -
Bài tập 1.3: Cho
∆
ABC, kẻ các đường phân giác của góc BD và CE cắt nhau tại I,
·
0
60BAC =
. CMR: ID = IE
Phân tích tìm lời giải: Ở bài này để chứng minh ID = IE ta cần chứng minh điều
gì?
- Để cm: ID = IE thông thường, ta quy về chứng minh tam giác nào bằng nhau?
(yếu tố này khó khăn) Vì vậy yếu tố được đặt ra là đoạn thẳng trung gian.
- Với yếu tố đề cho ta có được kết quả gì?
- Ta có thể tính
·
BIC
được không? (
·
0
BIC 120=
)
- Như vậy
·
CID ?=
Ta có thể liên tưởng được gì từ kết quả này?
- Kẻ phân giác IF của

·
BIC
và chứng minh ID = IE
(sử dụng yếu tố phụ ở đây là đoạn thẳng trung gian IF)
Lời giải:
Xét
∆
IBC có
·
µ
µ
µ
µ
µ
0
0
180
1 1 60
2 2
B C A
DIC B C
+ −
= + = = =
Kẻ IF sao cho
·
0
IF=60C
.
∆
IDC=

∆
IFC (g - c - g ) => ID = IF (1)
Tương tự:
∆
IEB=
∆
IFB (g - c - g ) => IE = IF (2)
Từ (1) và (2) =>ID = IE.
Bài tập 1.4
Bài 54 trang 96/sgk Toán 8: Cho
ˆ
xOy
=90
0
; A nằm trong góc xOy; A và B đối
xứng nhau qua Ox; A và C đối xứng nhau qua Oy. Chứng minh rằng B và C đối
xứng nhau qua O
Phân tích tìm lời giải:
- GV: Để chứng minh B và C đối xứng qua O ta cần chứng minh điều gì ?
(OB= OC; O ∈ BC)
- Ở đây ta chỉ xét chứng minh OB =OC.
- H: Để chứng minh OB = OC ta cần chứng minh điều gì ? ( chứng minh hai tam
giác bằng nhau dài)
o ( Yếu tố trung gian được đặt ra ở đây là đoạn thẳng OA)
o GV gợi ý yếu tố phụ cần kẻ ở đây là đoạn thẳng OA
Lời giải: Ta có C và A đối xứng nhau qua Oy
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
y
4

3
2
1
x
E
K
O
C
B
A
D
I
M
K
C
B
O
A
- 8 -

⇒
Oy là đường trung trực của AC
⇒
OC = OA (1)
Ta có B và A đối xứng nhau qua Ox

⇒
Ox là đường trung trực của AB
⇒
OB = OA (2)

Từ (1)&(2)
⇒
OB = OC
Chứng minh tiếp tục để được O là trung điểm BC
Bài tập 1.5
Bài tập 4/Đề thi tuyển 10 – Quảng Nam (2010 – 2011)
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc AB. Gọi K
là điểm nằm giữa B và C. Tia AK cắt đường tròn (O) ở M.
a/ Tính
·
ACB
,
·
AMC
b/ Vẽ CI vuông góc với AM ( I
∈
AM ). Chứng minh AOIC là tứ giác nội
tiếp.
c/ Chứng minh hệ thức: AI.AK = AO.AB
d/ Nếu K là trung điểm CB. Tính tg
·
MAB
Phân tích tìm lời giải:
- Ở đây ta chỉ xét câu b và câu c
- H: Để chứng minh tứ giác AOIC nội tiếp ta cần chứng minh điều gì?
Cách 1: A, O, I, C cùng cách đều một điểm cho trước
( yếu tố trung gian là điểm D,
1
2
= = = =DA DO DI DC AC

)
Cách 2: Sử dụng quỹ tích cung chứa góc.
Lời giải: Cách 1: Gọi D là trung điểm AC.
AIC vuông tại I nên
1
2
= = =DI DA DC AC
(1)
AOC vuông tại O nên
1
2
= = =DO DA DC AC
(2)
Từ (1) & (2) => A, O, I, C cùng thuộc đường tròn (D) đường kính AC
Suy ra: AOIC nội tiếp
Phân tích tìm lời giải:
- H: Để chứng minh AI.AK = AO.AB ta thực hiện như thế nào?
- H: Nhận định gì về tích AI.AK =? Và AO.AB =? ( Yếu tố trung gian ở đây là
AC
2
)
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
F
E
D
C
B
A
- 9 -

Lời giải:
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao cho ACK vuông tại C, đường cao CI ta có:
AI.AK = AC
2
(1)
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao cho ACB vuông tại C, đường cao CO ta có:
AO.AB = AC
2
(2)
Từ (1) & ( 2) => AI.AK = AO.AB
Dạng 2: Chứng minh các đoạn thẳng gấp đôi.
Bài tập 2.1 Định lý đường trung bình của tam giác : Đường trung bình của tam
giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Cách 1:
Phân tích tìm lời giải:
- Với yêu cầu đó, ta có thể tìm đoạn thẳng nào bằng BC được không ?
- Ta có thể tăng gấp đôi đoạn thẳng DE để bằng đoạn thẳng BC được không ?
( Xác định điểm trung gian F )
- Để chứng minh DF // BC; DF = BC ta cần chứng minh điều gì? ( BD // CF;
BD = CF)
- Cm:
∆
ADE =
∆
CFE.
Lời giải:
- Trên tia DE xác định điểm F sao cho ED = EF.
-
∆
ADE =

∆
CFE (c – g – c )
- => CF = AD và chứng minh được CF // AD.
- Mà D ∈ AB => BD // CF; BD = CF
- => DF // BC; DF = BC
- Từ đó suy ra: DE // BC;
1
DE BC
2
=
Cách 2:
Phân tích tìm lời giải:
- Củng với yêu cầu trên ta có thể khai thác theo khía cạnh làm giảm. ( Định lý 1
đã học trước)
- Với yêu cầu đó, ta có thể tìm đoạn thẳng nào bằng DE được không ?
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
F
E
D
C
B
A
K
F
M
A
B
C
D

E
- 10 -
- Ta có thể đoạn thẳng BC bằng đoạn thẳng DE được không ? ( Kẻ EF//AB;
xác định điểm trung gian F )
- Để chứng minh EF // BD; EF = BD ta cần chứng minh điều gì?
( DE // BF; DE = BF)
- Vậy với DE = FC ta cần chứng minh điều gì? ( hai tam giác chứa hai cạnh
bằng nhau)
- Cm:
∆
ADE =
∆
EFC.
Lời giải:
Kẻ EF//AB (F ∈ BC)
Ta cm:
∆
ADE =
∆
EFC => EF = AD = BD; DE = FC (1)
Do đó EF // BD; EF = BD =>DE // BF; DE = BF (2)
Từ (1)&(2) => DE // BC; DE = 1/2BC
Bài tập 2.2: Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và
BCKF. Chứng minh rằng trung tuyến BM của tam giác ABC bằng nửa đoạn thẳng
DF.
Phân tích tìm lời giải:
- Với yêu cầu như vậy ta có hai hướng giải quyết
o Thứ nhất: Ta có thể tăng BM gấp đôi.
o Thứ hai: Ta có thể giảm DF về một nửa.
- Cách thứ nhất: Ta có thể tăng BM gấp đôi.

- Giáo viên gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM ( sử dụng yếu tố phụ ở đây là
điểm N)
- Khi đó ta thử tìm cách chứng minh BN = DF. ( sử dụng đoạn thẳng trung
gian ở đây là BN)
- Nối NC, NA (nét đứt biểu hiện yếu tố mới vẽ thêm).
- Hình bình hành ABCN và chứng minh được cặp tam giác bằng nhau. ∆BDF =
∆CNB (c.g.c)
- Từ đó sẽ cho ta lời giải BN = DF hay BM =
1
2
DF.
Lời giải: Lấy N đối xứng với B qua N.
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
K
F
M
A
B
C
D
E
N
α
α
P
K
H
K
F

M
A
B
C
D
E
- 11 -
- Tứ giác ABNC là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của
mỗi đường )
- Từ đó suy ra NC = AB và
·
·
0
ABC+BCN=180
.
- Mà AB = BD (cạnh hình vuông) và
·
·
0 0
ABC DBF 360 (90 90 ) 180+ = - + =
o o
nên BD = NC và
·
·
DBF BCN=
.
- Hai BDF = CNB (c – g – c)
- Vậy DF = BN hay DF = 2BM
*Cách thứ hai: Ta có thể giảm DF về một nửa.
GV: Đoạn thẳng nào bằng nửa đoạn thẳng DF ? ( Đường trung bình của BDF)

GV gợi ý vẽ đoạn thẳng HK ( yếu tố trung gian là đoạn thẳng HK)
- Vậy để chứng minh DF = 2BM ta cần chứng minh điều gì ?
(
1
2
DF = BM hay HK = BM)
Chứng minh HK = BM ta cần chứng minh điều gì ?
( BHK = PMB ) (yếu tố phụ ở đây là điểm P)
Lời giải: Gọi H là trung điểm BD; K là trung điểm BF.
=> HK là đường trung bình BDF => HK = DF/2 (1)
Chứng minh: BHK = PMB ( c – g – c)
= > BM = HK (2)
Từ (1) & (2) => DF = 2BM
Bài tập 2.3: Cho
∆
ABC, các đường cao BD (D
∈
AC), CE (E
∈
AB). CMR: B,C, D, E
cùng thuộc một đường tròn.
Phân tích tìm lời giải:
- H: Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn ta phải làm gì?
( Tìm tâm đường tròn và bán kính)
- H: Điểm nào có thể cách đều các điểm đó.
( GV gợi ý: điểm nào cách đều B và C )
- Xác định được yếu tố phụ là điểm O, OD, OE. ( O là trung điểm của BC )
- GV: Hãy xác định các đoạn thẳng bằng nhau? (
1
OD OE OB OC BC

2
= = = =
)
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
O
E
D
C
B
A
- 12 -
Lời giải:
- Gọi O là trung điểm BC.
- BDC vuông tại D, OB = OC =>
1
OD BC
2
=
(1)
- BEC vuông tại E, OB = OC =>
1
OE BC
2
=
(2)
Từ (1) & (2) =>
1
OD OE OB OC BC
2

= = = =
=> B,C, D, E cùng thuộc đường tròn
(O;
2
BC
).
Bài tập 2.4: Cho tứ giác ABCD, có
µ
µ
0
90B D= =
. CMR: A, B,C, D cùng thuộc một
đường tròn.
O
D
C
B
A
Tương tự bài tập 2.3 ta xác định được yếu tố phụ là điểm O, OD, OB. ( O là trung
điểm của AC)
Dạng 3: Chứng minh các các góc bằng nhau. ( Hai đại lượng bằng nhau)
Bài tập 3.1
Bài tập 28/79 sgkToán 9:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tai A của đường
tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P. Tia PB cắt đường tròn (O’) tại
Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).
Phân tích tìm lời giải:
- H: Để chứng minh hai đường thẳng AQ // Px ta cần chứng minh điều gì?
- Sử dụng các dấu hiệu để chứng minh hai đường thẳng song song?
(

·
·
=AQB xPB
)
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
x
Q
P
O'
O
B
A
T
P
O
B
A
- 13 -
- H: Hãy xác định khái niệm và tính chất các góc đã nêu?
(
·
AQB
=
1
2
sđ
»
AB
;

·
xPB
=
1
2
sđ
»
PB
)
- H: Hai góc này có thể bằng nhau được không? Sử dụng đại lượng trung gian
nào?
( Yếu tố trung gian ở đây là:
·
PAB
; sử dụng yếu tố phụ là đoạn thẳng AB)
Lời giải: Nối AB
Xét (O) ta có:
·
xPB
=
·
PAB
=
1
2
sđ
»
PB
(1) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến
cùng chắn cung PB)

Xét (O’) ta có:
·
AQB
=
·
PAB
=
1
2
sđ
»
AB
(2) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến
cùng chắn cung AB)
Từ (1) & (2) =>
·
·
=AQB xPB
=> AQ //Px ( Vì hai góc ở vị trí so le trong bằng
nhau)
Bài tập 3.2
Bài tập 27/79 sgk Toán 9:
Cho hai đường tròn (O) đường kính A B. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn.
Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn (O).
Chứng minh:
·
·
APO PBT=
Phân tích tìm lời giải:
- H: Để chứng minh:

·
·
APO PBT=
ta cần chứng minh điều gì ?
- H: Hãy xác định khái niệm và tính chất các góc đã nêu?
(
·
APO
=?
·
PBT
=
1
2
sđ
»
PB
)
- H: Hai góc này có thể bằng nhau được không? Sử dụng đại lượng trung gian
nào?
( Yếu tố trung gian ở đây là:
·
PAB
; sử dụng yếu tố phụ là đoạn thẳng OP)
Lời giải:
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
- 14 -
OAP cân (OA = OP; bán kính) =>
·

·
APO OAP=
(1)
Xét (O) ta có:
·
·
PAB PBT=
=
1
2
sđ
»
PB
(2) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến
cùng chắn cung PB)
Từ (1) & (2) =>
·
·
APO PBT=
Dạng 4: Chứng minh hai góc bằng nhau ( Góc này gấp đôi góc kia)
Bài tập 4.1:
Bài tập 16/76 Sbt Toán 9
Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M
trên cung AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt CD tại
S. Chứng minh rằng:
·
·
MSD 2.MBA=
M
S

O
C
D
B
A
Phân tích tìm lời giải:
- H: Để chứng minh:
·
·
MSD 2.MBA=
ta cần chứng minh điều gì ?
- H: Hãy xác định khái niệm và tính chất các góc đã nêu? ( Bài này chỉ sử dụng
góc nội tiếp và góc ở tâm)
·
2.MBA
=? (
·
AOM
)
H: Hai góc này có thể bằng nhau được không? Sử dụng đại lượng trung gian
nào?
( Yếu tố trung gian ở đây là:
·
AOM
)
Lời giải:
Xét (O) ta có:
·
2.MBA
=

·
AOM
( hệ quả góc nội tiếp)
·
AOM
=
·
MSD
(cùng phụ
·
OSM
)
=>
·
·
MSD 2.MBA=
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
O
I
M
H
C
B
A
D
O
H
C
B

A
- 15 -
Dạng 5: Quan hệ giữa các góc trong hình học (Sử dụng góc ngoài tam giác)
Bài tập 5.1 Cho
∆
ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường
cao AH, bán kính OA. Chứng minh
·
OAH
=
·
ACB
-
·
ABC
.
Phân tích tìm lời giải:
- H: Để chứng minh:
·
OAH
=
·
ACB
-
·
ABC
ta cần xét khái niệm các góc trên?
- H: Vậy
·
ABC

có đặc điểm như thế nào? Có thể quan hệ với góc nào?
- GV hướng dẫn kẻ phụ đoạn thẳng OI ⊥ AC (I ∈AC)
- Từ yêu cầu bài toán ta có:
·
ACB
=
·
ABC
+
·
OAH
ta cần chứng minh điều gì? (
·
·
·
ACB OAH AOI= +
)
- Mà
·
·
OAH AOI ?+ =
( sử dụng yếu tố trung gian là
·
OMH
)
Cách giải 1:
Lời giải:
Ta có:
·
OMH

=
·
ACB
(góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
·
AOM
=
·
ABC
(cùng bằng
1
2
sđ
»
AC
)
Trong ∆OAM thì:
·
OMH
=
·
AOM
+
·
OAH
(Góc ngoài tam giác)
Hay
· ·
·
ACB = ABC + OAH

Vậy:
·
· ·
OAH = ACB - ABC
(Đpcm)
Phân tích tìm lời giải:
- H: Để chứng minh:
·
OAH
=
·
ACB
-
·
ABC
ta cần xét khái niệm các góc trên?
- H: Vậy
·
ABC
có đặc điểm như thế nào? Có thể quan hệ với góc nào? (
·
CAD
)
- GV hướng dẫn kẻ phụ tia tiếp tuyến AD (D ∈BC)
- Từ yêu cầu bài toán ta có:
·
ACB
=
·
ABC

+
·
OAH
ta cần chứng minh điều gì? (
·
·
·
ACB OAH CAD= +
)
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
O
x
F
E
C
B
A
- 16 -
- Mà
·
ACB
=?
·
·
CAD CDA+
( sử dụng yếu tố trung gian là
·
·
CAD CDA+

)
Cách giải 2:
Lời giải:
Ta có:
·
·
ABC = CAD
(1) (Cùng chắn
»
AC
)
·
·
OAH = ADC
(2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Cộng từng vế của (1) và (2)
Ta được:
·
·
· ·
ABC + OAH = CAD + ADC
Mà
· ·
·
CAD + ADC = ACB
(góc ngoài tam giác)
⇒
·
·
·

ABC + OAH = ACB
Vậy:
·
· ·
OAH = ACB - ABC
(Đpcm)
Dạng 6: Chứng minh dựa vào quan hệ đại lượng trung gian.
Bài tập 6.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Đường tròn đường kính
BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh OA vuông góc EF.
Phân tích tìm lời giải:
- H: Để chứng minh OA ⊥ EF ta cần chứng minh điều gì?
- H: Đoạn thẳng OA có thể vuông góc với đoạn thẳng nào? ( GV hướng dẫn kẻ
phụ thêm tia tiếp tuyến Ax )
- H: Như vậy ta cần chứng minh điều gì? ( EF // Ax;
·
·
xAE AEF=
)
- H: Hai góc
·
·
xAE AEF=
như thế nào? Sử dụng phương pháp nào? ( Sử dụng yếu
tố trung gian
·
ACB
)
Lời giải:
Kẻ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O)
Xét (O) có:

·
·
xAB ACB=
(cùng chắn cung AB)
Xét đường tròn đường kính BC có:
·
·
EFA ACB=
(cùng bù với
·
EFB
)
=>
·
·
EFxAB A=
=> Ax // EF ( Vì hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Mà OA ⊥ Ax ( Ax là tiếp tuyến của (O)
Suy ra : OA ⊥ EF.
Phân tích tìm lời giải:
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
D
O
F
E
C
B
A
E

O
N
H
M
C
D
B
A
- 17 -
- H: Để chứng minh OA ⊥ EF ta cần chứng minh điều gì?
- GV hướng dẫn học sinh tính tổng số đo:
·
·
?AEF OAE+ =
- H: Góc nào có thể bằng 90
0
? ( GV hướng dẫn kẻ thêm đường kính AD, nối BD)
- H: Quan hệ các góc cần tính với các góc có trong hình? ( Sử dụng yếu tố trung
gian là
·
ADB
)
Lời giải:
Kẻ đường kính AD của đường tròn (O)
Xét đường tròn (O) có:
·
·
ACB ADB=
(cùng chắn cung AB)
Xét đường tròn đường kính BC có:

·
·
EFA ACB=
(cùng bù với
·
EFB
)
=>
·
·
EFA ADB=
Xét đường tròn (O) có:
·
0
90ABD =
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=>
·
·
·
·
0
90AEF OAE ADB OAE+ = + =
Suy ra : OA ⊥ EF.
Như vậy ta có thể khai thác bài toán trên theo một cách khác.
Bài tập 6.2 Cho tam giác ABC. Kẻ các đường cao BF, CE ( F∈AC; E∈AB).
Chứng minh OA vuông góc EF.
Bài tập này chúng ta giải quyết tương tự như trên
Bài tập 6.3
Bài 4/ Đề thi học sinh giỏi Toán 8 (2008 – 2009)

Cho hình vuông ABCD. M là trung điểm AD. BM cắt đường chéo AC tại H. Đường
thẳng qua A vuông góc với BM cắt đường chéo BD tại N.
a/ Chứng minh HN
⊥
CD
b/ Tính tỉ số:
DN
AC
Phân tích tìm lời giải:
Ở đây ta chỉ xét câu a
- H: Để chứng minh HN ⊥ DC ta cần chứng minh điều gì?
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
- 18 -
- H: Quan hệ các đường thẳng ta xét như thế nào? ( DC // AB)
- H: Theo yêu cầu bài toán ta cần chứng minh điều gì? ( Sử dụng yếu tố trung
gian là AB )
- H: Nhận định gì về điểm H trong tam giác ABN ( H là trực tâm)
Lời giải:
Ta chứng minh H là trực tâm tam giác ABN
=> NH ⊥ AB
Mà AB // CD
Suy ra : HN ⊥ CD.
Dạng 7: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào hai tỉ lệ cùng mẫu hay
mẫu bằng nhau
Bài tập 7.1: Cho hình thang ABCD ( AB// CD). Gọi O là giao điểm AC và BD. Qua
O kẻ đường thẳng song song AB, cắt AD tại M, cắt AC tại N. CMR: OM = ON
O
D
N

M
C
B
A
Phân tích tìm lời giải:
- H: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta cần phải chứng minh điều gì ?
GV gợi ý:
Lời giải:
Xét ADC có OM //DC, theo hệ quả định lý Talet ta có:
=
OM OA
DC AC
(1)
Xét BDC có ON //DC, theo hệ quả định lý Talet ta có:
=
ON OB
DC BD
(2)
Mà AB//CD, theo định lý Talet ta có:
=
OA OB
AC BD
(3)
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
Q
z
C
t
P

y
x
K
H
B
A
O
- 19 -
Từ (1); (2) & (3) =>
=
OM ON
DC DC
=> OM = ON ( Đpcm)
Bài tập 7.2: Bài 5 ( HSG khối 8/ 2008 – 2009) Cho góc nhọn xOy. Trên Ox lấy
điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho
1
OA OB
2
=
. Hạ AH ⊥ Oy, BK ⊥ Ox ( H ∈ Oy,
K ∈ Ox ). Tia phân giác Ot của góc xOy cắt BK tại P. Đường thẳng vuông góc với
OP tại O cắt đường thẳng AH tại C. Đường thẳng HK cắt OC tại Q. Chứng minh:
b/ HQ = HK
Phân tích tìm lời giải:
- H: Để chứng minh HQ = HK ta cần chứng minh điều gì?
Lời giải:
Ta có Ot là phân giác
·
xOy
và OC ⊥ Ot nên OC là phân giác

·
yOz
=> OQ là phân
giác
·
yOz
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác OHK ta có:
=
QH OH
QK OK
(1)
Lại có OHA  OKB (g – g) nên :
1
2
= =
OH OA
OK OB
(2)
Từ (1) & (2) =>
1
2
=
QH
QK
nên suy ra H là trung điểm QK hay HQ = HK
Dạng 8: Chứng minh hai tỉ lệ bằng nhau dựa vào tỉ lệ trung gian
Bài tâp 8.1: Cho
∆
ABC, kẻ các đường phân giác trong tại A cắt BC tại D, kẻ các
đường phân giác ngoài tại A cắt BC tại E. CMR:

DB EB
DC EC
=
x
E
D
C
B
A
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
Q
z
C
t
P
y
x
K
H
B
A
O
- 20 -
- H: Để chứng minh hai tỉ lệ:
DB EB
DC EC
=
bằng nhau ta cần chứng minh điều gì?
- GV gợi ý:

Bài tập 8.2: Bài 5 ( HSG khối 8/ 2008 – 2009) Cho góc nhọn xOy. Trên Ox lấy
điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho
1
OA OB
2
=
. Hạ AH ⊥ Oy, BK ⊥ Ox ( H ∈ Oy,
K ∈ Ox ). Tia phân giác Ot của góc xOy cắt BK tại P. Đường thẳng vuông góc với
OP tại O cắt đường thẳng AH tại C. Đường thẳng HK cắt OC tại Q. Chứng minh:
a/
PK CH
PB CA
=
Phân tích tìm lời giải:
- H: Để
PK CH
PB CA
=
ta cần chứng minh điều gì?
Lời giải:
Xét OKB có Ot là phân giác
·
xOy
, theo tính chất tia phân giác ta có:
=
PK OK
PB OB
(1)
Ta có Ot là phân giác
·

xOy
và OC ⊥ Ot nên OC là phân giác
·
yOz

Xét OHA có OC là phân giác
·
yOz
, theo tính chất tia phân giác ta có:

=
CH OH
CA OA
(2)
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
- 21 -
Lại có OKB  OHA (g – g) nên :
=
OK OB
OH OA
=>
=
OK OH
OB OA
(3)
Từ (1), (2) & (3) =>
=
PK CH
PB CA

Việc tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có vai trò to lớn
trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thông minh và óc sáng
tạo cho học sinh. Sở dĩ như vậy là vì trong khi cố gắng tìm ra những cách giải khác
nhau của bài toán học sinh sẽ có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác nhau của
bài toán, do đó sẽ hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm. Đồng
thời, việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp học sinh có dịp so sánh các cách
giải đó, chọn ra được cách hay hơn và tích luỹ được nhiều kinh nghiệm để giải toán.
Ngoài ra, với một bài toán khó chưa biết cách giải, nếu học sinh được biết rằng dù
khó như vậy nhưng bài toán vẫn có nhiều cách giải khác nhau thì các em sẽ cố gắng
tìm lời giải hơn, tức là tính tò mò, ham hiểu biết được khơi dậy trong học sinh.
V. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Trong quá trình dạy học hình học, chúng tôi đã áp dụng đề tài này không chỉ
để dạy và bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá giỏi mà còn linh hoạt dạy cho cả
học sinh đại trà. Đặc biệt là đối với học sinh lớp 8, 9 các bài toán chứng minh đòi
hỏi tư duy cao. Do đó, lúc đầu nhiều em còn rất “ngại” học hình nói chung và rất
“sợ” các bài toán chứng minh. Hầu như học sinh chỉ có ý thức làm bài tìm một lời
giải và dừng lại không suy nghĩ thêm sau khi có kết quả của bài toán, thỏa mãn với
chính mình. Các em chưa thấy được tác dụng mạnh của việc nhìn lại bài toán dưới
nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác sẽ củng cố được kiến thức của mình, rèn cho
mình được thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, tính kiên trì, độc
lập; những đức tính tốt và cần thiết của người học toán. Song, qua một thời gian
kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài và dạy học sinh theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết
các em đã tham gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức
khá thành thạo khi làm một số dạng bài có liên quan từ dễ đến khó. Quan trọng hơn,
các em không còn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ nữa. Do đó, trong học toán
nói chung và học hình học nói riêng các em đã nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn,
có nhiều phát hiện thể hiện sự tìm tòi, sáng tạo bước đầu rất tích cực.
Thực tế, chúng tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho khối 8, 9 nhiều năm học
liền gần đây thì kết quả cho thấy học sinh đều có ý thức thi đua nhau học tập, rất
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân

“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
- 22 -
hào hứng phát biểu các suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện của mình về cách giải khác, bài
toán mới, . . Và tôi thấy tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả
năng tự nghiên cứu toán học của các em được phát huy một cách tích cực, kết quả
học tập môn toán, nhất là hình học có nhiều tiến bộ. Các em không những nắm
vững kiến thức trong SGK, các em còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài
toán nâng cao, các bài toán khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực
tìm tòi khai thác, phát triển các bài toán cho trước.
Cụ thể :
Trong thực tế giảng dạy học sinh khối 8, khối 9 và việc bồi dưỡng học sinh
khá giỏi môn toán và tuyển sinh lớp 10, với cách làm trên đây đã mang lại hiệu quả
cao trong việc rèn luyện năng lực sáng tạo toán cho học sinh.Trong những năm
được nhà trường giao trọng trách dạy bồi dưỡng lớp 8 tôi đã thu được kết quả khả
quan và đã từng có thành tích tốt 3 học sinh giải ba cấp huyện, 2 học sinh đạt giải
khuyết khích cấp huyện. Trong các năm gần đây (2008 – 2009; 2009 – 2010) số học
sinh thi tuyển vào lớp 10 đạt tỉ lệ cao trong toàn huyện.
VI. NHỮNG KIẾN NGHỊ KHI ÁP DỤNG:
Để chất lượng học tập của học sinh ngày càng nâng cao người giáo viên cần
nắm vững kiến thức bài dạy, kiến thức chương trình phải tốn thời gian tìm tòi suy
nghĩ tạo ra những tình huống dấn dắt học sinh để các em học tập bằng cách tự học
là chính. Trong quá trình giảng dạy thực hành kiểm nghiệm giáo viên phải biết tích
luỹ rút ra nhiều điều bổ ích cho mình. Bên cạnh đó cần phải thường xuyên kiểm tra
nắm bắt thông tin qua việc học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp, tham gia nghiêm
túc việc tự học, tự bồi dưỡng và nghiên cứu các chuyên đề để bổ sung một cách hợp
lí chắc chắn việc nâng cao chất lượng học sinh qua các bộ môn nói chung và môn
Toán nói riêng là một việc làm có thể.
- Giáo viên phải nắm vững kiến thức, phương pháp có liên quan đến các yếu
tố trung gian nhiều hơn.
- Trong các phương pháp, các dạng bài tập phải rèn luyện cho học sinh tính

cẩn thận, tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích và áp dụng.
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
- 23 -
- Kiểm tra, đánh giá học sinh thông qua các giờ trên lớp, các buổi phụ đạo
học sinh yếu, bồi dưỡng học sinh giỏi, thông qua các bài kiểm tra thường xuyên,
định kỳ.
- Phân chia các dạng thường gặp tuỳ theo mức độ từng đối tượng học sinh.
Đầu tư nghiên cứu vận dụng các phương pháp cho phù hợp đối tượng.
- Đầu tư hệ thống SGK, tài liệu tham khảo.
- Thường xuyên cập nhật thông tin nhất là Thư viện đề thi và đề kiểm tra trên
Wed.
- Việc khai thác, phát triển từ bài toán quen thuộc đã biết, giúp cho học sinh định
hướng tìm ra lời giải một bài toán hình học là một vấn đề rất quan trọng và không
thể thiếu được trong công tác dạy học toán nói chung và dạy học hình học nói riêng.
Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trong các trường học là một phong trào
có tác dụng tốt, rất có ý nghĩa, đặc biệt là trong xu thế thời đại đang rất cần sự sáng
tạo, chủ động, tích cực trên mọi lĩnh vực công tác hiện nay. Vì vậy, chúng tôi mạnh
dạn và mong muốn Phòng giáo dục đào tạo và cấp trên duy trì phong trào này,
khích lệ động viên các tập thể, cá nhân có những sáng kiến hữu hiệu, tích cực, có
hình thức phổ biến, trao đổi về các sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên.
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
- 24 -
PHẦN THỨ BA.
KẾT LUẬN:
Việc khai thác, phát triển một bài toán cho trước góp phần rất quan trọng
trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh khi học môn Toán - nhất là việc
bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi nhận
thấy: Các giáo viên giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc khai

thác, phát triển từ một bài toán mà học sinh đã giải được. Mở rộng, phát triển thêm
các bài toán khác (đơn giản hoặc thường là phức tạp hơn) nhằm phát triển tư duy
sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho cả người dạy và người học.
- Trong quá trình giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết
quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích. Nó không chỉ giúp chúng ta nắm bắt
kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá,
tổng quát hoá một bài toán, từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt
cho các em học sinh, giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một
cách lôgic, khoa học, tạo hứng thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn.
Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ của
đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Vẽ thêm hình
phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”. Tôi mong
muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm vấn
đề này. Đồng thời, tôi cũng hi vọng đề tài này sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc
bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy toán
cũng như học toán, từ đó nâng cao được chất lượng dạy và học môn toán trong nhà
trường.
Bước đầu, đề tài đã thu được khá nhiều kết quả tích cực, đã tạo thói quen tốt
cho nhiều học sinh tính kiên trì, độc lập suy nghĩ và có khả năng sáng tạo khi học
toán, tự thấy được sự phong phú, thú vị của toán học. Các em đã ham thích hơn với
môn toán. Mặc dù vậy, với khuôn khổ của đề tài này thì đây cũng chưa phải cho tất
cả các đối tượng học sinh. Tuy đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm còn hạn chế nên
nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn không tránh khỏi nhiều khiếm
Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”
- 25 -
khuyết. Chúng tôi rất mong được sự trao đổi, chỉ bảo và đóng góp ý kiến bổ sung
của các thầy giáo, cô giáo để đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !.
TÀI LIỆU THAM KHẢO:

- SGK Toán 8, 9 - NXBGD
- SBT Toán 8, 9 – NXBGD
- Sách giáo khoa
- Toán nâng cao và phát triển toán 8 ( Vũ Hữu Bình )
- Một số vấn đề phát triển hình học (Vũ Hữu Bình )
- Giáo trình thực hành và giải toán ( Đặng Đình Lăng)
- Vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học (Nguyễn Đức Tấn)
- Các chuyên đề môn toán (Trương Công Thành)
- Toán nâng cao và các chuyên đề ( Vũ Dương Thuỵ)
- Các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THCS chu kì I, II, III.
- Một số tạp chí Toán tuổi thơ 2.
- Một số tạp chí Thế giới trong ta.
- Toán học Tuổi trẻ ( quyển 2) - NXBGD.
- 160 bài tập chứng minh hình học vẽ thêm đường phụ & chứng minh hình
học lý thú (NSƯT Minh Trân – NXB TP HCM)

Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân
“Vẽ thêm hình phụ và sử dụng yếu tố trung trong chứng minh hình học khối 8, 9”