Phương trình lượng giác luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.69 MB, 84 trang )
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
1
-
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
2
-
Lời nói ñầu
Chuyên ñề về phương trình lượng giác là chuyên ñề luôn chiếm một ñiểm trong tất cả cả ñề thi tuyển
sinh ñại học cao ñẳng hàng năm. Nó là một phần không thể thiếu ñược trong lượng kiến thức của toán học
phổ thông. Phương trình lượng giác ñóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy của học sinh phổ
thông ñặc biệt là các em học chương trình toán 10 và 11.
ðối với chương trình giáo dục hiện hành chuyên ñề về công thức lượng giác nằm ở cuối chương trình
học lớp 10. Và chuyên ñề về phương trình lượng giác nằm ở ñầu tiên của chương trình học toán 11. Do ñó
quyển sách ñược viết dựa trên hai phần này như một luồng kiến thức gắn kết của hai chương trình. Các em
học sinh học chương trình lớp 10 và 11 ñều có thể sử dụng ñược và các em luyện thi ñại học vẫn hoàn toàn có
thể áp dụng ñể ôn thi.
Với lượng kiến thức phong thú về lượng giác ñược giới thiệu trong quyển sách. Nó là nguồn tài liệu
bổ ích phục vụ cho công việc tự học của các em học sinh. Ngôn ngữ ñược sử dụng trong sách rất giản dị và
dễ hiểu. Tác giả ñã cập nhật những kiến thức và phương pháp mới nhất về lượng giác ñể cho vào chuyên ñề
này.
Tập tài liệu ñược chia nhỏ thành những chủ ñề riêng biệt và cuối mỗi phần còn có những luồng kiến
thức ñược tổng hợp từ nhiều cách giải trước. ðiều này rất quan trọng cho sự phát triển tư duy của học sinh.
Những dạng toán, những ñề thi ñiển hình và có nhiều tư duy ñược giới thiệu ñầy ñủ. Các em học sinh học
chương trình nâng cao và cơ bản ñều dùng ñược một cách thiết thực.
Phần II: Phương trình lượng giác
Chủ ñề 1: Phương trình lượng giác cơ bản
Chủ ñể 2: Phương trình lượng giác bậc hai, bậc ba ñối với một giá trị lượng giác.
Chủ ñề 3: Phương trình lượng giác bậc nhất ñối với Sinx và Cosx
Chủ ñề 4: Phương trình lượng giác ñẳng cấp bậc hai, bậc ba ñối với Sinx và Cosx
Chủ ñề 5: Phương trình lượng giác dạng ñối xứng và phản xứng ñối với Sinx và Cosx.
Chủ ñề 6: Phương trình lượng giác ñưa về phương trình tích.
Chủ ñề 7: Phương trình lượng giác biến ñổi lượng giác
Chủ ñề 8: Phương trình lượng giác tổng hợp.
Chủ ñề 9: Phương trình lượng giác qua các kỳ thi tuyển sinh.
Trong ñó, phần I dành cho các em học sinh học chương trình lớp 10 và phần II dành cho các em học
sinh học chương trình lớp 11. Việc học tập thật vững hai luồng kiến thức và áp dụng có ý nghĩa to lớn ñến
việc giải toán sau này.
ðặc biệt hơn, trong cuối mỗi phần. Thầy ñều có phần bài tập tự luyện dành cho chúng ta tự giải.
Những ñáp án của nó thầy ñã kết xuất vào cuối bài dành cho chúng ta tham khảo kế quả học tập của mình.
Những dạng bài tập này thầy ñã hướng dẫn giải cụ thể trên website của thầy. Cũng xin lưu ý rằng, những
Video này chỉ những người thầy cho phép xem mới xem ñược. Do ñó tính bảo mật của những Video này chỉ
xem ñược cho chính chủ. Thầy thực hiện ñiều này nhằm giúp cho mỗi khách hàng sở hữu quyển sách.
Chắc hẳn, trong chúng ta khi biết ñến quyển sách này ñều có biết những Video Tutorial của tác
giả(Thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn) giảng dạy trên Xuctu.com. Do ñó quyển sách là một sự kết hợp tuyệt vời
dành cho quý ñộc giả sở hữu theo ñúng chủ nhân của nó. Chủ nhân của nó khi mua sản phẩm ñúng gốc sẽ
ñược hổ trợ những Video Tutorial hướng dẫn giải chi tiết chỉ phát hành ñúng cho chủ nhân. Do ñó, tác giả
khuyên bạn nên ủng hộ chính sách sở hữu trí tuệ mà website ñưa ra. Bởi trong những bài tập mà có hướng
dẫn giải khó hiều. Tác giả ñều cung cấp link ñến video hướng dẫn cụ thể. Cũng xin lưu ý rằng, những Video
Tutorial này không ñược tác giả chia sẽ trên mạng mà chỉ cung cấp link cho chính chủ nhân. ðiều này thật
quan trọng bởi nếu bạn không sở hữu theo ñúng trình tự mà tác giả mong muốn.
Thêm vào ñó, những sản phẩm hoặc những lượng kiến thức mới chúng tôi sẽ cung cấp miễn phí
những bản vá lỗi cho chính chủ.
Quyển sách ra ñời là sự kết hợp của nhiều yếu tố. Tuy ñã cố gắng nhiều nhưng cũng không tránh khỏi
những sai sót. Tác giả thực sự cám ơn những ñóng góp của quý ñộc giả ñể quyển sách càng ngày càng thiết
thực hơn cho cuộc sống học sinh. Mọi chi tiết liên hệ tác giả, quý vị gửi về ñịa chỉ email:
sẽ ñược hướng dẫn giải ñáp mọi thắc mắc liên quan. Trâng trọng!
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
3
-
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
4
-
Một số công thức lượng giác
Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:
(
)
( )
+ α + α = ∀α∈
π
+ α α = ∀α ≠ ∈
π
+ = + α ∀α ≠ + π ∈
α
+ = + α ∀α ≠ π ∈
α
2 2
2
2
2
2
sin cos 1 R
tan .cot 1 k , k Z
2
1
1 tan k ,k Z
cos 2
1
1 cot k ,k Z
sin
Hệ quả:
• sin
2
x = 1-cos
2
x ; cos
2
x = 1- sin
2
x
• tanx=
1
cot
x
;
1
cot
tan
x
x
=
• Sin
4
x + cos
4
x = 1 - 2sin
2
x.cos
2
x
• Sin
6
x + cos
6
x = 1 - 3sin
2
x.cos
2
x
Công thức lượng giác
1. Công thức cộng:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tan(a – b) =
tan tan
1 tan .tan
−
+
a b
a b
tan(a + b) =
tan tan
1 tan .tan
+
−
a b
a b
2. Công thức nhân ñôi:
sin2a = 2sina.cosa ⇒
1
sina.cosa= sin2
2
a
cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2 sin
2
a
tan2a =
2
2tan
1 tan
−
a
a
3. Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin
3
a
cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
4.Công thức hạ bậc:
cos
2
a =
1 cos2
2
a
+
sin
2
a =
1 cos2
2
a
−
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
−
=
+
5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo
tan
2
x
sinx =
2
2
1
t
t
+
cosx =
2
2
1
1
t
t
−
+
. tanx =
2
2
1
t
t
−
cotx =
2
1
2
t
t
−
6. Công thức biến ñổi tổng thành tích
a b a b
cosa cos b 2 cos cos
2 2
+ −
+ =
a b a b
cosa cos b 2sin sin
2 2
+ −
− = −
a b a b
sina sinb 2sin cos
2 2
+ −
+ =
a b a b
sina sin b 2 cos sin
2 2
+ −
− =
sin( )
tan tan ( , , )
cos .cos 2
±
± = ≠ + ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π
π
sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
+
+ = ≠ ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π
sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
− +
− = ≠ ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π
sin cos 2sin( ) 2 ( )
4 4
+ = + = −a a a cos a
π π
sin cos 2sin( ) 2 ( )
4 4
− = − =− +a a a cos a
π π
cos sin 2 ( ) 2sin( )
4 4
− = + = − −a a cos a a
π π
7. Công thức biến ñổi tích thành tổng
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
• = − + +
[ ]
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
• = − − +
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
• = + + −
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
b a a b a b
• = + − −
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
5
-
Chủ ñề 1: Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình lượng giác cơ bản
sin
x a
=
Phương pháp:
Nếu
1
a
>
: Phương trình vô nghiệm
Nếu
1
a
≤
: ðặt
sin
a
α
=
, phương trình trở thành
( )
2
sin sin
2
x k
x k
x k
α π
α
π α π
= +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
Lưu ý:
+ Trong phương pháp chúng ta thực hiện như vậy. Nếu
a
là số có trong bản giá trị lượng giác ñặc
biệt thì ta ñưa nó thành cung ñặc biệt. Ngược lại, nếu nó không có trong bản giá trị lượng giác ñặc
biệt thì có thể ñặt
sin
a
α
=
hoặc ta viết thẳng ra
( )
arcsin 2
sin sin
arcsin 2
x a k
x k
x a k
π
α
π π
= +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
(trong ñó
arcsin
a
ñược gọi là hàm ngược của
sin
a
).
+ Trong nhiều trường hợp, thì
x
và
α
là những cung khác nhau ta vẫn giải hoàn toàn tương tự như
vậy.
* Các trường hợp ñặc biệt cua phương trình lượng giác sin
x a
=
+
(
)
sin 0x x k k
π
= ⇔ = ∈
ℤ
+
( )
sin 1 2
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈
ℤ
+
( )
sin 1 2
2
x x k k
π
π
= − ⇔ = − + ∈
ℤ
2. Phương trình lượng giác cơ bản
cos
x a
=
Ph
ươ
ng pháp:
N
ế
u
1
a
>
: Ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m
N
ế
u
1
a
≤
:
ðặ
t
cos
a
α
=
, ph
ươ
ng trình tr
ở
thành
( )
2
cos cos
2
x k
x k
x k
α π
α
α π
= +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
L
ư
u ý:
+ Trong ph
ươ
ng pháp chúng ta th
ự
c hi
ệ
n nh
ư
v
ậ
y. N
ế
u
a
là s
ố
có trong b
ả
n giá tr
ị
l
ượ
ng giác
ñặ
c
bi
ệ
t thì ta
ñư
a nó thành cung
ñặ
c bi
ệ
t. Ng
ượ
c l
ạ
i, n
ế
u nó không có trong b
ả
n giá tr
ị
l
ượ
ng giác
ñặ
c
bi
ệ
t thì có th
ể
ñặ
t
cos
a
α
=
ho
ặ
c ta vi
ế
t th
ẳ
ng ra
( )
arccos 2
cos cos
arccos 2
x a k
x k
x a k
π
α
π π
= +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
(trong
ñ
ó
arccos
a
ñượ
c g
ọ
i là hàm ng
ượ
c c
ủ
a
cos
a
)
+ Trong nhi
ề
u tr
ườ
ng h
ợ
p, thì
x
và
α
là nh
ữ
ng cung khác nhau ta v
ẫ
n gi
ả
i hoàn toàn t
ươ
ng t
ự
nh
ư
v
ậ
y.
- Các tr
ườ
ng h
ợ
p
ñặ
c bi
ệ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác
cos
x a
=
+
( )
cos 0
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈
ℤ
+
(
)
cos 1 2x x k k
π
= ⇔ = ∈
ℤ
+
(
)
cos 1 2x x k k
π π
= − ⇔ = + ∈
ℤ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
6
-
3. Phương trình lượng giác cơ bản
tan
x a
=
ðiều kiện:
( )
2
x k k
π
π
≠ + ∈
ℤ
ðặ
t
tan
a
α
=
Ph
ươ
ng trình tr
ở
thành:
(
)
tan tanx x k k
α α π
= ⇔ = + ∈
ℤ
4. Phương trình lượng giác cơ bản
cot
x a
=
ð
i
ề
u ki
ệ
n:
(
)
x k k
π
≠ ∈
ℤ
ðặ
t
cot
a
α
=
, ph
ươ
ng trình tr
ở
thành
(
)
cot cotx x k k
α α π
= ⇔ = + ∈
ℤ
Bài tập mẫu
Bài tập 1:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2sin 1 0
x
+ =
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có bi
ế
n
ñổ
i
( )
2
1
6
2sin 1 0 sin sin sin
7
2 6
2
6
x k
x x x k
x k
π
π
π
π
π
−
= +
− −
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ ∈
= +
ℤ
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai h
ọ
nghi
ệ
m
( )
2
6
7
2
6
x k
k
x k
π
π
π
π
−
= +
∈
= +
ℤ
Bài tập 2:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 tan3 1 0
x
− =
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
+
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
( )
3
2 6
x k x k k
π π
π π
≠ + ⇔ ≠ + ∈
ℤ
Ta có bi
ế
n
ñổ
i
( )
3 tan3 1 0 tan3 tan 3
6 6 18 3
x x x k x k k
π π π π
π
− = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈
ℤ
Th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph
ươ
ng trình có m
ộ
t h
ọ
nghi
ệ
m
( )
18 3
x k k
π π
= + ∈
ℤ
Bài tập 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
4sin 1 0
x
− =
Hướng dẫn giải
Ta có biến ñổi
2 2 2
1 1
4cos 1 0 4cos 1 cos cos
4 2
x x x x
− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
Với
( )
1
cos cos cos 2
2 3 3
x x x k k
π π
π
= ⇔ = ⇔ = ± + ∈
ℤ
Với
1
cos cos cos cos cos
2 3 3
x x x
π π
π
= − ⇔ = − ⇔ = −
( )
2 2
cos cos 2
3 3
x x k k
π π
π
⇔ = ⇔ = ± + ∈
ℤ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
7
-
Vậy phương trình có bốn họ nghiệm
( )
2
3
2
2
3
x k
k
x k
π
π
π
π
= ± +
∈
= ± +
ℤ
* Chú ý: ðối với cung sin, tan và cot. Khi có dấu trừ phía trước chúng ta hoàn toàn có thể ñưa dấu
trừ vào trong. ðối với cùng cos không ñược ñưa vào, mà ta phải sử dụng cung bù nhau hay nói cách
khác là muốn ñưa dấu trừ vào trong cung ta phải dùng cung pi trừ cho cung ñó. ðể hiểu hơn về vấn
ñề này em cần ñọc thêm các giá trị của góc cung ñặc biệt.
Bài tập 4. Giải phương trình :
2
2cos 1 sin
3
x x
π
= + +
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có bi
ế
n
ñổ
i
( ) ( )
( )
2 2
2cos 1 sin sin 2cos 1
3 3
sin cos2 sin sin 2
3 3 2
2 2 3 2
3 2 6
5
2 2 2
3 2 6
2
18 3
5
2
6
x x x x
x x x x
x x k x k
k k
x x k x k
x k
k
x k
π π
π π π
π π π
π π
π π π
π π π
π π
π
π
= + + ⇔ + = −
⇔ + = ⇔ + = −
+ = − + = +
⇔ ∈ ⇔ ∈
+ = − + + − = − +
= +
⇔ ∈
= −
ℤ ℤ
ℤ
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai h
ọ
nghi
ệ
m
( )
2
18 3
5
2
6
x k
k
x k
π π
π
π
= +
∈
= −
ℤ
Bài tập 5. Giải phương trình
(
)
(
)
2
2sin 1 2sin 2 1 3 4cos
x x x
− + = −
Hướng dẫn giải
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
8sin cos 4sin cos 2sin 4 4cos 0
8sin cos 4sin cos 2sin 4 1 cos 0
8sin cos 4sin cos 2sin 4sin 0 4sin cos 2sin cos sin
2sin 0
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
⇔ − + − + =
⇔ − + − − =
⇔ − + − = ⇔ − + − =
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
8
-
( ) ( )
sin 0
sin 0
2cos 2sin 1 2sin 1 0
4sin cos 2cos 1 2sin 0
x
x
x x x
x x x x
=
=
⇔ ⇔
− − − =
− + − =
( )( )
sin 0
sin 0
1
sin
2sin 1 2cos 1 0
2
1
cos
2
x
x
x
x x
x
=
=
⇔ ⇔ =
− − =
=
Bài tập 6. ðề thi ñại học A-2013: Giải phương trình
1 tan 2 2 sin
4
x x
π
+ = +
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
( )
cos 0
2
x x k k
π
π
≠ ⇔ ≠ + ∈
ℤ
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
( )
cos sin
1 tan 2 2 sin 2 sin cos
4 cos
sin 0
cos sin 0
4
4 4
1
cos
1
2 2
cos
2
3 3
2
x x
x x x x
x
x
x x
x k x k
k
x
x k x k
x
π
π
π π
π π
π π
π π
+
+ = + ⇔ = +
+ =
+ =
+ = = − +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈
=
= ± + = ± +
=
ℤ
Lưu ý: ðể ñưa phương trình về phương trình cơ bản mà ta ñã biết. Khi gặp các cung chéo nhau,
chẳng hạn từ sin mà ta muốn ñưa về cos và ngược lại. Hoặc từ tan chuyển thành cot và ngược lại. ta
dùng cung phụ nhau ñể chuyển về cùng giá trị lượng giác. Từ ñó áp dụng các phương trình lượng
giác cơ bản ñể làm tiếp.
Bài tập 7:
(Dự bị A, 2008): Giải phương trình
2
sin 2 sin
4 4 2
x x
π π
− = − +
Hướng dẫn giải
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
2 2
sin 2 sin sin 2 sin sin
4 2 4 2 4 4 4
sin 0
2cos .sin sin
4
4 4
2cos 1
4
sin 0
4
2
3
1
cos
2
2
3
x x x x
x
x x x
x
x k
x
x k k
x
x k
π π π π π
π
π π
π
π
π
π
π
π
π
− − = − + ⇔ − − = −
− =
⇔ − = − ⇔
=
= +
− =
⇔ ⇔ = + ∈
=
= − +
ℤ
Vậy phương trình có nghiệm là:
( )
; 2 ; 2
4 3 3
x k x k x k k
π π π
π π π
= + = + = − + ∈
ℤ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
9
-
Bài tập 8:
Giải phương trình:
xxx tansin2)
4
(sin2
22
−=
∏
−
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
( )
2
x k k Z
π
π
≠ + ∈
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
sin
sin cos 2sin
cos
sin 2sin cos 1
sin cos
cos
sin sin cos
sin cos
cos
sin cos
4
sin
1
cos
4
x
x x x
x
x x x
x x
x
x x x
x x
x
x x
x k
k
x
x k
x
π
π
π
π
− = −
−
⇔ − =
− −
⇔ − =
=
= +
⇔ ⇔ ∈
− = −
= − +
ℤ
Vậy phương trình có nghiệm là:
( )
;
4 4
x k x k k
π π
π π
= + = − + ∈
ℤ
Bài tập 9: Giải phương trình
( )
2
2
2
sin cos 2sin
2
sin sin 3
1 cot 2 4 4
x x x
x x
x
π π
+ −
= − − −
+
.
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
sin 0
x
≠
(*). Khi ñó:
Phương trình ñã cho tương ñương với:
( )
2
sin2 cos2 .sin 2 cos 2 .sin
4
x x x x x
π
+ = −
( )
cos 2 .sin cos 2 sin 1 .cos 2 0
4 4 4
x x x x x
π π π
⇔ − = − ⇔ − − =
•
sin 1 2
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
(
)
k ∈
ℤ
, thỏa (*)
•
3
cos 2 0
4 8 2
k
x x
π π π
− = ⇔ = +
(
)
k ∈
ℤ
, thỏa (*)
Vậy, phương trình có nghiệm:
( )
3
2 ; .
2 8 2
k
x k x k
π π π
π
= + = + ∈
ℤ
Bài tập 10: Giải phương trình
02cos3sin
4
2sin2 =+−−
+ xxx
π
Hướng dẫn giải
Phương trình ñã cho tương ñương với:
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
10
-
02cos3sin
4
2sin2 =+−−
+ xxx
π
⇔
02cos3sin2cos2sin
=
+
−
−
+
xxxx
⇔
01cos3cos2sincossin2
2
=+−+− xxxxx
⇔
(
)
(
)
(
)
01cos21cos1cos2sin =−−+− xxxx
⇔
(
)
(
)
01cossin1cos2 =−+− xxx
⇔
=
+
=
2
1
4
sin
2
1
cos
π
x
x
Nghiệm phương trình:
π
π
2
3
kx +±=
,
π
2kx
=
,
π
π
2
2
kx +=
Bài tập 11:
Giải phương trình:
3
1
2
sin
2
cos
2
4sin2cos
2
=
−
+
−
x
x
xx
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
−≠
≠
⇔≠++−
2
1
2sin
12sin
012sin2sin2
2
x
x
xx
3
1
2
sin
2
sin
2
4sin2cos
2
=
+
+
−
−
x
x
xx
⇔
(
)
xxxx 4cos2sin34sin2cos +=−
⇔
xxxx 4sin4cos32sin32cos +=−
⇔
−=
+
6
4cos
3
2cos
ππ
xx
⇔
++−=+
+−=+
π
ππ
π
ππ
2
6
4
3
2
2
6
4
3
2
kxx
kxx
+
π
π
kx +=
4
∨
3
2
6
π
π
kx +−=
So lại ñiều kiện ñược nghiệm phương trình ñã cho
( )
2
6 3
x k k
π π
= − + ∈
ℤ
Bài tập 12: Giải phương trình
2
2cos 2 3sin cos 1
3 cos sin
2cos 2
x x x
x x
x
− +
= −
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
2 0
cos x
≠
Phương trình ñã cho tương ñương với
( ) ( )
( )
2
2
2cos 2 3sin cos 1
3 cos sin
2cos 2
3 cos sin 2cos2 3 cos sin
3
tan 2 3
3 cos sin 0
2
6
cos2 cos
2cos 2 3 cos sin
6
2
18 3
x x x
x x
x
x x x x x
x k
x
x x
x k k Z
x x
x x x
x k
π
π
π
π
π
π π
− +
= −
⇔ − = −
= +
=
− =
⇔ ⇔ ⇔ = + ∈
= +
= −
= − +
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
11
-
So sánh ñiều kiện ta thấy phương trình có nghiệm là
( )
2
, 2 ,
3 6 18 3
x k x k x k k Z
π π π π
π π
= + = + = − + ∈
Bài tập 13:
(
)
(
)
2
tan 1 sin cos2 2 3 sin cos sin
x x x x x x
+ + + = +
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
( )
cos 0
2
x x k k
π
π
≠ ⇔ ≠ + ∈
ℤ
Phương trình ñã cho tương ñương với:
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
2 2
tan 1 sin 1 2sin 2 3 sin cos sin
tan 1 sin 3 3 sin cos sin 6sin
x x x x x x
x x x x x x
+ + − + = +
⇔ + + = + +
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
tan 1 sin 3cos2 3 cos sin sin
tan 1 sin 3 cos sin cos 0
sin cos sin 3cos 0
x x x x x x
x x x x x
x x x x
− + = −
⇔ − + − =
⇔ − − =
(
)
(
)
( )
sin cos 2cos2 1 0
sin cos
4
1
cos2
2
3
x x x
x x
x k
k
x
x k
π
π
π
π
⇔ − + =
=
= +
⇔ ⇔ ∈
= −
= ± +
ℤ
ðối chiếu ñiều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là:
( )
,
4 3
x k x k k
π π
π π
= + = ± + ∈
ℤ
Bài tập 14: Giải phương trình
2
2sin cos2 3sin cos 1 0
4
x x x x
π
− − + − + =
Hướng dẫn giải
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
( )( )
( )
2
sin cos cos2 3sin cos 1 0
2sin 1 sin cos 1 0
2
6
1 7
sin 2
2 6
sin cos 1
2
3
2
2
x x x x x
x x x
x k
x x k
k
x x
x k
x k
π
π
π
π
π
π
π
− − + − + =
⇔ + − + =
= − +
= − = +
⇔ ⇔ ∈
− = −
=
= +
ℤ
Bài tập 15: Giải phương trình
1
2sin tan 1 tan3
cos3
x x x
x
+ − = −
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
cos 0
cos3 0
x
x
≠
≠
Phương trình ñã cho tương ñương với
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
12
-
( )
1 1
2sin tan 1 tan3 2sin 1 tan3 tan
cos3 cos3
1 sin2 1 2sin
2sin 1 2sin 1 0
cos3 cos3 cos cos3 cos3
1
sin
1 1 1
2sin 1 1 0 1 1 2sin 0
2
cos3 cos3 cos3
cos3 1
2
6
5
6
x x x x x x
x x
x x
x x
x x x x x
x
x x
x x x
x
x k
x
π
π
π
+ − = − ⇔ + − = −
⇔ + − = ⇔ + − − =
=
⇔ − − + − = ⇔ − − = ⇔
= −
= +
⇔ =
( )
2
6
5
2 2
6
3 2 2
3 3
x k
k x k k
x k
x k
π
π
π
π π
π π π π
= +
+ ⇔ = + ∈
= +
= +
ℤ
Bài tập 16: Giải phương trình
sin 2 cos 2 sin 1 0
4
x x x
π
+ − − − =
Hướng dẫn giải
Phương trình ñã cho tương ñương với:
(
)
( ) ( )
sin 2 cos sin cos 1 0
sin 1 2cos sin 1 0
x x x x
x x x
+ − − − =
⇔ + − + =
(
)
(
)
( )
sin 1 2cos 1 0
sin 1 0
2
2
1
cos
2
2
3
x x
x
x k
k
x
x k
π
π
π
π
⇔ + − =
+ =
= − +
⇔ ⇔ ∈
=
= ± +
ℤ
Vậy nghiệm của phương trình là
( )
2 ; 2
2 3
x k x k k
π π
π π
= − + = ± + ∈
ℤ
Bài tập luyện tập-Cơ bản
1)
3 tan 2x=1
2)
0 2 0
cos( 30 ) 2cos (15 ) 1
x
+ + =
3)
sin 4 cos 6
4 4
x x
π π
− = +
4)
sin tan
x x
=
5)
(
)
4cos 3 3
x
π
− =
6)
cot(2 1) 3
x + =
7)
cos5 -cos
x x
=
8)
1 1 2
osx sin2x sin 4x
c
+ =
9)
sin5 .cos3 sin 6 .cos2
x x x x
=
10)
tan5 .tan3 1
x x
=
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
13
-
Bài tập luyện tập nâng cao có ñáp án
Giải các phương trình sau
1,
2
2
tan tan 2
sin
tan 1 2 4
x x
x
x
π
+
= +
+
(
)
5
; 2 ; 2
4 6 6
x k x k x k k
π π π
π π π
= + = + = + ∈
ℤ
2,
(
)
2
3 cot 1
15
3cot 4 2 cos 1
sin 4
x
x x
x
π
+
+ − + =
( )
2 ; 2 ;
2 3
2
2 ; 2 ;
3 3
4
2
3
x k x k
x k x k
x k k
π π
π π
π π
π π
π
π
= − + = +
= + = − +
= + ∈
ℤ
3,
( )
3 3
2 2 sin cos cos 2 sin cos
2 2 2 2 4
x x x x
x
π
− = + +
;
2
x k
π
π
= +
( )
4
4
3
x k k
π
π
= ± + ∈
ℤ
4,
2
4sin sin .sin 4 3cos cos cos 2
3 3 3 3
x x x x x x
π π π π
+ − − + + =
( )
2
18 3
x k k
π π
= + ∈
ℤ
5,
2
2cos 10cos 3sin 2 5 0
6
x x x
π
+ + − + =
( )
5
2 ; 2
6 2
x k x k k
π π
π π
= − + = + ∈
ℤ
6,
5cos sin 3 2 sin 2
4
x x x
π
+ − = +
( )
2
3
x k k
π
π
= ± + ∈
ℤ
7,
sin 2 cos 2 sin 1 0
4
x x x
π
+ − − − =
( )
2 ; 2
2 3
x k x k k
π π
π π
= − + = ± + ∈
ℤ
8,
3
tan tan 1
4
x x
π
− = −
;
4
x k x k
π
π π
= = +
9,
1 cos2
2 cos . 1 cot
4 sin
x
x x
x
π
+
− = +
4 2
x k
π π
= +
(
)
k ∈
ℤ
10,
2cos6 2cos4 3 cos2 sin 2 3
x x x x+ − = +
( )
; ;
2 24 2 36 3
x k x k x k k
π π π π π
π
= + = − + = + ∈
ℤ
11,
(
)
2
1 sin 2 2 3sin 3 2 sin cos 0
x x x x
+ + + + + =
( )
7
2 ; 2 ; 2 ; 2
6 6 3
x k x k x k x k k
π π π
π π π π π
= − + = + = + = − + ∈
ℤ
12, sin
3
x + cos
3
x = 2(sinx + cosx) – 1
2 ; 2 ( )
2
x k x k k
π
π π
= + = ∈
ℤ
13,
2
cos sin 2
3
2cos sin 1
x x
x x
−
=
− −
2
2 ; ;( )
6 6 3
k
x k x k
π π π
π
= − + = + ∈
ℤ
14, cos
3
x – sin
3
x = cos
2
x – sin
2
x
2 ; 2 ; ( )
2 4
x k x k x k k
π π
π π π
= + = = + ∈
ℤ
15,
sin .sin 2 3sin 2 .cos
x x x x
=
; ( )
3 2
k
x k x k
π π
π
= + = ∈
ℤ
16, sin2x + 2tanx = 3
;( )
4
x k k
π
π
= + ∈
ℤ
17,
2
1 cos
tan
cos
x
x
x
+
=
2 ; 2 ( )
3
x k x k k
π
π π π
= + = ± + ∈
ℤ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
14
-
Chủ ñề 2: Phương trình lượng giác bậc hai, bậc ba, ñặt ẩn phụ ñối với một hàm số lượng giác.
Phương pháp: Phương trình lượng giác bậc hai, bậc ba ñối với một hàm số lượng giác là dạng toán
ta tiến hành ñặt ẩn phụ rồi quy phương trình về phương trình bậc hai, bậc ba sơ cấp. Giải phương
trình này theo ẩn phụ. ðưa thành những phương trình lượng giác cơ bản mà ta ñã học ở chủ ñề 1.
Một số lưu ý:
+ Nếu ñặt
sin
t x
=
hoặ
c
cos
t x
=
thì
ñặ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
1
t
≤
+ N
ế
u
ñặ
t
tan
t x
=
ho
ặ
c
cot
t x
=
thì không c
ầ
n
ñ
i
ề
u ki
ệ
n cho t mà c
ầ
n
ñ
i
ề
u ki
ệ
n cho x.
+ D
ĩ
nhiên tr
ướ
c khi gi
ả
i ph
ươ
ng trình d
ạ
ng này ta c
ầ
n ph
ả
i
ñặ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n khi ph
ươ
ng trình có ch
ứ
a
m
ẫ
u, c
ă
n th
ứ
c… mà ta
ñ
ã h
ọ
c.
Bài tập mẫu
Bài tập 1. Giải phương trình sau:
2
1 2 5
tan 0
2 cos 2
x
x
− + =
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
( )
cos 0
2
x x k k
π
π
≠ ⇔ ≠ + ∈
ℤ
Ta có biến ñổi:
2 2 2
2
1 2 5 4 4
tan 0 tan 5 0 tan 1 4 0
2 cos 2 cos cos
1 4
4 0
cos cos
x x x
x x x
x x
− + = ⇔ − + = ⇔ + − + =
⇔ − + =
ðặt
1
;
cos
t
x
=
phương trình trở thành:
2
4 4 0 2
t t t
− + = ⇔ =
Với
( )
2
1 1
3
2 2 cos cos cos
cos 2 3
2
3
x k
t x x k
x
x k
π
π
π
π
π
= +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ ∈
= − +
ℤ
Vậy phương trình
2
1 2 5
tan 0
2 cos 2
x
x
− + =
có hai bộ nghiệm là :
( )
2
3
2
3
x k
k
x k
π
π
π
π
= +
∈
= − +
ℤ
Bài tập 2. Giải phương trình
5tan 2cot 3 0
x x
− − =
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
2
x k
π
≠
(
)
k ∈
ℤ
Phương trình ñã cho tương ñương với
2
tan 1
42
5tan 3 0 5tan 3tan 2 0
2
2
tan
tan
5
5
x k
x
x x x
x
x
x arc k
π
π
π
= +
=
− − = ⇔ − − = ⇔ ⇔
= −
= − +
(
)
k ∈
ℤ
Vậy phương trình có nghiệm là:
2
;
4 5
x k x arc k
π
π π
= + = − +
(
)
k ∈
ℤ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
15
-
Bài tập 3.Giải phương trình
2
4sin x-2( 3+ 2)sinx+ 6=0
Hướng dẫn giải
ðặt
sin ; 1 1
t x t
= − ≤ ≤
, phương trình ñã cho tương ñương với
( )
1
2
2
3
2
2 3 2 6 0
2
2
t
t t
t
=
− + + = ⇔
=
Với
1
2
3
3
sin sin
2
2 3
2
3
x k
t x
x k
π
π
π
π
π
= +
= ⇔ = ⇔
= +
(
)
k ∈
ℤ
Với
2
2
2
4
sin sin
3
2 4
2
4
x k
t x
x k
π
π
π
π
π
= +
= ⇔ = ⇔
= +
(
)
k ∈
ℤ
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m là:
2
2 ; 2
3 3
x k x k
π π
π π
= + = +
3
2 ; 2
4 4
x k x k
π π
π π
= + = +
(
)
k ∈
ℤ
Bài tập 4. Giải phương trình
3
sin 2 4cos 3cos
x x x
+ =
Hướng dẫn giải
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
( )
3 3
sin 2 4cos 3cos sin 2 4cos 3cos 0 sin 2 cos3 0
cos3 sin2 cos3 sin 2 cos3 cos 2
2
2
3 2 2
2
2
2
3 2 2
10 52
x x x x x x x x
x x x x x x
x k
x x k
k
x kx x k
π
π
π
π
π
π ππ
π
+ = ⇔ + − = ⇔ + =
⇔ = − ⇔ = − ⇔ = +
= +
= + +
⇔ ⇔ ∈
= − += − − +
ℤ
Bài tập 5. Giải phương trình :
1 cos2 cos4 0
x x
+ + =
Hướng dẫn giải
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
2 2
1 cos2 cos4 0 1 cos2 2cos 2 1 0 2cos 2 cos2 0
2
2 4 2
cos2 0
cos2 0
2
2
1
2cos2 1 0
3 3 2
cos2
2
2
2
3 3 2
x x x x x x
x k x k
x
x
x k x k k
x
x
x k x k
π π π
π
π π π
π
π π π
π
+ + = ⇔ + + − = ⇔ + =
= + = +
=
=
⇔ ⇔ ⇔ = + ⇔ = + ∈
+ =
= −
= − + = − +
ℤ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
16
-
Bài tập 6. Giải phương trình
( ) ( )
3
sin cos 2 sin 2 1 sin cos 2 0
x x x x x
+ − + + + − =
Hướng dẫn giải
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
(
)
( )
( ) ( ) ( )
3
2 2
3 2
sin cos 2 sin 2sin cos cos sin cos 2 0
sin cos 2 sin cos sin cos 2 0
x x x x x x x x
x x x x x x
+ − + + + + − =
⇔ + − + + + − =
ðặt
sin cos , 2
t x x t= + ≤
phương trình trở thành
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
2 2 0 2 2 0 2 1 0 2
t t t t t t t t t− + − = ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ =
Với
2 sin cos 2 2 cos 2 cos 1
4 4
t x x x x
π π
= ⇔ + = ⇔ − = ⇔ − =
( )
2 2
4 4
x k x k k
π π
π π
⇔ − = ⇔ = + ∈
ℤ
Bài tập 7. Giải phương trình
2 2
2sin 3 sin 6 2
x x
+ =
Hướng dẫn giải
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
2 2 2
1 cos6
2. sin 6 2 1 cos6 1 cos 6 2 cos 6 cos6 0
2
cos6 0
6
12 6
2
cos6 1
6 2
6 3
x
x x x x x
x k
x
x k
k
x
x k
x k
π π
π
π
π π
π π
−
+ = ⇔ − + − = ⇔ + =
= +
=
= +
⇔ ⇔ ⇔ ∈
= −
= +
= +
ℤ
Vậy phương trình có nghiệm là:
( )
;
12 6 6 3
x k x k k
π π π π
= + = + ∈
ℤ
Bài tập 8. Giải phương trình
tan 2 3tan
x x
=
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
2
2
4
2
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
≠ +
⇒
≠ +
≠ +
(
)
k ∈
ℤ
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
( )
2 3
2
3
2tan
tan 2 3tan 3tan 2tan 3tan 1 tan 2tan 3tan 3tan
1 tan
tan 0
3
3tan tan 0 tan
3 6
3
tan
6
3
x
x x x x x x x x x
x
x
x k
x x x x k k
x k
x
π
π
π
π
π
= ⇔ = ⇔ = − ⇔ = −
−
=
=
⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈
= − +
= −
ℤ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
17
-
Bài tập 9: Giải phương trình
2
sin3
cot
cos3 2cos
x
x
x x
=
+
ðiều kiện:
sin 0,cos3 2cos 0
x x x
≠ + ≠
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
( )
( )
2
2 2
3
3 3
2
2 2 3
3 2
3
4
sin3
sin
cot cot
cos cos
cos3 2cos
4
sin sin
3 1 cot 4
1
cot cot cot 1 cot 1
cot
4cot cot 1 cot
4
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x x x
x
x x x
x k k Z
π
π
−
= ⇔ =
+
−
+ −
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
− +
⇔ = + ∈
Bài tập 10: Giải phương trình
(
)
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0
x x x x x
+ − + =
.
Hướng dẫn giải
ðiều kiện
cos 0
x
≠
(
)
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0
x x x x x
+ − + =
⇔
(
)
2 2 3
sin 1 2sin 2sin 1 2sin 0
x x x x
− + − + =
2
2
2
sin 1
2sin sin 1 0 2
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x x x k
x
x k
π
π
π
π
π
π
= − +
= −
⇔ + − = ⇔ ⇔ = +
=
= +
.
Kết hợp ñiều kiện, phương trình có nghiệm
5
2 ; 2
6 6
S k k
π π
π π
= + +
Bài tập 11: Giải phương trình :
1 1 5
cot 2cos( )
sin sin2 2
x x
x x
π
+ = + −
ðiều kiện:
(
)
x k k Z
π
≠ ∈
Phương trình ñã cho tương ñương với
1 1 5
cot 2cos( )
sin sin2 2
2cos 1 cos
2cos
2sin cos sin 2
x x
x x
x x
x
x x x
π
π
+ = + −
+
⇔ = + −
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
18
-
( )
2 2
2 2 2 3
3 2
2cos 1 cos
2sin 2cos 1 2cos 4sin cos
2sin cos sin
2cos 1 2cos 4 1 cos cos 2cos 1 2cos 4cos 4cos
4cos 2cos 2cos 1 0
x x
x x x x x
x x x
x x x x x x x x
x x x
+
⇔ = + ⇔ + = +
⇔ + = + − ⇔ + = + −
⇔ − − + =
2
4
2
2
4
cos
2
3
2
2
4
cos
3
2
2
1
4
cos
2
2
3
2
3
x k
x k
x
x k
x
x k
x
x k
x k
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
= +
= − +
=
= +
⇔ = − ⇔
= − +
=
= +
= − +
Bài tập 12: Giải phương trình
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 4
x x
x x
x
+
= +
Hướng dẫn giải
ðiều kiện :
sin2x 0
≠
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 4
x x
x x
x
+
= +
2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
sin 2 4 cos sin
x
x x
x x x
−
⇔ = +
2
2 2
1
1 sin 2
1 1 1
2
1 sin 2 sin 2 1
sin 2 2sin 2 2 2
x
x x
x x
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
sin 2 1 2 ,
2
x x k k
π
π
⇔ = ± ⇔ = + ∈
Z
,
4 2
x k k
π π
⇔ = + ∈
Z
th
ỏ
a
ñ
i
ề
u ki
ệ
n.
Nghiệm của phương trình ñã cho là
,
4 2
x k k
π π
= + ∈
Z
Bài tập 13. Giải phương trình :
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
Hướng dẫn giải
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
19
-
ðiều kiện:
sin 2 0
x
≠
Phương trình ñã cho tương ñương với
2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
x
x x
x x x
−
⇔ = +
2
2
1
1 sin 2
1 1
2
1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm.
Bài tập 14: Giải phương trình
2
sin cos
1
6 3
cos sin .tan
cos cos 2
x x
x
x x
x x
π π
− + −
− = +
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
cos 0
cos 0
2
x
x
≠
≠
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
2
2
sin sin
2sin cos
sin sin .sin cos cos
1
6 6
6
2 2 2
sin . cos
cos cos cos
cos cos
2 2
tan 0
1 tan 3 tan 1
tan 3
3
x x x
x x
x
x x
x x
x x
x x x
x k
x
x x k
x k
x
π π
π
π
π
π
− + +
+
= + + = +
=
=
⇔ + = + ⇔ ⇔ ∈
= +
=
ℤ
ðối chiếu ñiều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là
( )
,
3
x k x k k
π
π π
= = + ∈
ℤ
Bài tập 15: Giải phương trình
(
)
2 3 sin 2 3sin cos 2 3cos
x x x x
+ − = +
Hướng dẫn giải
Phương trình ñã cho tương ñương với :
3 1 3 1
1 sin 2 cos2 2 sin cos 0
2 2 2 2
1 2cos 2 3sin 0
3 6
x x x x
x x
π π
+ − − + =
⇔ − + − + =
( )
( )
2
sin 0
6
2sin 3sin 0
6 6 6
3
sin
6 2
x
x x x k k
x loai
π
π π π
π
π
+ =
⇔ + − + = ⇔ ⇔ = − + ∈
+ =
ℤ
Bài tập 16: Giải phương trình:
(
)
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0
x x x x x
+ − + =
Hướng dẫn giải
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
20
-
ðiều kiện:
( )
cos 0
2
x x k k
π
π
≠ ⇔ ≠ + ∈
ℤ
Phương trình ñã cho tương ñương với:
(
)
(
)
( )
2 2 2 3
2 2 3 2
sin 1 2sin sin cos 2sin 0
sin 1
sin 1 2sin 2sin 1 2sin 2sin sin 1 0
1
sin
2
sin 1 2
2
2
1
6
sin
2
2
6
x x x x x
x
x x x x x x
x
x x k
x k
x
x k
π
π
π
π
π
π
− + − + =
= −
⇔ − + − + ⇔ + − = ⇔
=
= − ⇔ = − +
= +
= ⇔
= +
ðối chiếu ñiều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là
( )
2 , 2
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈
ℤ
Bài tập 17: Giải phương trình
2
2cos 10cos 3sin 2 5 0
6
x x x
π
+ + − + =
Hướng dẫn giải
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )
2
2
2
2cos 1 10cos 3sin 2 6 0
6
cos2 3sin 2 10cos 6 0
6
2cos 2 10cos 6 0
3 6
4cos 10cos 4 0
6 6
2cos 5cos 2 0
6 6
cos 2
6
cos
x x x
x x x
x x
x x
x x
x loai
π
π
π π
π π
π π
π
⇔ − + + − + =
⇔ − + + + =
⇔ + + + + =
⇔ + + + + =
⇔ + + + + =
+ = −
⇔
(
)
2
2
5
1
2
6
6 2
x k
k
x k
x
π
π
π
π
π
= +
⇔ ∈
= − +
+ = −
ℤ
Vậy nghiệm của phương trình là:
( )
5
2 ; 2
2 6
x k x k k
π π
π π
= + = − + ∈
ℤ
Bài tập tự luyện cơ bản
Giải các phương trình sau
1)
4 4 4 4
sin sin 2 cos 2
x cox x x x
+ = +
2)
2
3 tan x-4tanx+ 3=0
3)
5 7
sin(2 ) 3 os(x- ) 1 2sinx
2 2
x c
π π
+ − = +
4)
4 4
sin 2 cos 2 sin 2 .cos2
x x x x
+ =
5)
3
2sin cos2 cos 0
x x x
+ − =
6) 2cos
2
x – 3 sin2x + sin
2
x = 1
7) 2tan
2
x – 3tanx + 2cot
2
x + 3cotx – 3 = 0 8) 2tanx + 3cotx = 5
9) 4sin3x + sịn5x – 2sinx.cos2x = 0 10) 3sin
2
x + 4 cosx - 4 = 0
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
21
-
11. sin
2
x + sin
2
2x = sin
2
3x 12. 8cos
4
x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0
13. cos 3x – cos 5x = sinx 14. 2sin
6
x + 2cos
6
x +sin4x = 0
15, -1 + 4 sin
2
x = 4 cos
4
x
Bài tập luyện tập nâng cao có ñáp án
Giải các phương trình sau
1,
3
tan tan 1
4
x x
π
− = −
;
4
x k x k
π
π π
= = +
2,
(
)
2
3 cot 1
15
3cot 4 2 cos 1
sin 4
x
x x
x
π
+
+ − + =
( )
2 ; 2 ;
2 3
2
2 ; 2 ;
3 3
4
2
3
x k x k
x k x k
x k k
π π
π π
π π
π π
π
π
= − + = +
= + = − +
= + ∈
ℤ
3,
2
2
tan tan 2
sin
tan 1 2 4
x x
x
x
π
+
= +
+
( )
5
; 2 ; 2
4 6 6
x k x k x k k
π π π
π π π
= + = + = + ∈
ℤ
4,
2
4sin sin .sin 4 3cos cos cos 2
3 3 3 3
x x x x x x
π π π π
+ − − + + =
( )
2
18 3
x k k
π π
= + ∈
ℤ
5,
2
2cos 10cos 3sin 2 5 0
6
x x x
π
+ + − + =
( )
5
2 ; 2
6 2
x k x k k
π π
π π
= − + = + ∈
ℤ
6,
5cos sin 3 2 sin 2
4
x x x
π
+ − = +
( )
2
3
x k k
π
π
= ± + ∈
ℤ
7,
sin 2 cos 2 sin 1 0
4
x x x
π
+ − − − =
( )
2 ; 2
2 3
x k x k k
π π
π π
= − + = ± + ∈
ℤ
8,
( )
3 3
2 2 sin cos cos 2 sin cos
2 2 2 2 4
x x x x
x
π
− = + +
;
2
x k
π
π
= +
( )
4
4
3
x k k
π
π
= ± + ∈
ℤ
9,
1 cos2
2 cos . 1 cot
4 sin
x
x x
x
π
+
− = +
4 2
x k
π π
= +
(
)
k ∈
ℤ
10,
2cos6 2cos4 3 cos2 sin 2 3
x x x x+ − = +
( )
; ;
2 24 2 36 3
x k x k x k k
π π π π π
π
= + = − + = + ∈
ℤ
11,
(
)
2
1 sin 2 2 3sin 3 2 sin cos 0
x x x x
+ + + + + =
( )
7
2 ; 2 ; 2 ; 2
6 6 3
x k x k x k x k k
π π π
π π π π π
= − + = + = + = − + ∈
ℤ
12, sin
3
x + cos
3
x = 2(sinx + cosx) – 1
2 ; 2 ( )
2
x k x k k
π
π π
= + = ∈
ℤ
13, cos
3
x – sin
3
x = cos
2
x – sin
2
x
2 ; 2 ; ( )
2 4
x k x k x k k
π π
π π π
= + = = + ∈
ℤ
14,
2
cos sin 2
3
2cos sin 1
x x
x x
−
=
− −
2
2 ; ;( )
6 6 3
k
x k x k
π π π
π
= − + = + ∈
ℤ
15,
2
1 cos
tan
cos
x
x
x
+
=
2 ; 2 ( )
3
x k x k k
π
π π π
= + = ± + ∈
ℤ
16, sin2x + 2tanx = 3
;( )
4
x k k
π
π
= + ∈
ℤ
17,
sin .sin 2 3sin 2 .cos
x x x x
=
; ( )
3 2
k
x k x k
π π
π
= + = ∈
ℤ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
22
-
Chủ ñề 3: Phương trình lượng giác bậc nhất ñối với Sinx và Cosx
Phương pháp:
Phương trình lượng giác bậc nhất ñối với Sinx và Cosx là phương trình lượng giác có dạng
sin cos
a x b x c
+ =
+ Nếu
2 2 2
a b c
+ <
phương trình vô nghiệm
+ Nếu
2 2 2
a b c
+ ≥
chia hai vế cho
2 2
a b
+
. Phương trình trở thành
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
+ ðặt
2 2
sin
a
a b
α
=
+
thì
2 2
cos
b
a b
α
=
+
và ñặt
2 2
cos
c
a b
β
=
+
phương trình trở thành
( )
sin sin cos cos cos
cos cos
x x
x
α α β
α β
+ =
⇔ − =
ðây là phương trình lượng giác cơ bản ñối với cos, giải hoàn toàn tương tự.
Một số lưu ý:
+ Có thể nhìn vào phương pháp ta thường bị rối. Nhưng khi giải toán, những bước giải ñơn
giản hơn nhiều.
+ Các cung sinx và cosx cũng có thể là sinu và cosu ta vẫn nhận dạng nó là phương trình
lượng giác bậc nhất ñối với sinx và cosx miễn các cung giống nhau.
+ ðiều quan trọng tiếp theo ta phải nhớ ñến công thức cộng. Và ñưa và hàm số lượng giác
nào thì phải áp dụng cho ñúng với công thức lượng giác ñó.
Bài tập mẫu
Bài tập 1: Giải phương trình sau
sin cos 1
x x
+ =
Hướng dẫn giải
Ta có biến ñổi:
sin cos 1 2 sin 1
4
x x x
π
+ = ⇔ + =
1
sin sin
4 4
2
x
π π
⇔ + = =
2
4 4
3
2
4 4
x k
x k
π π
π
π π
π
+ = +
⇔
+ = +
( )
2
2
2
x k
k
x k
π
π
π
=
⇔ ∈
= +
ℤ
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
( )
2
2
2
x k
k
x k
π
π
π
=
∈
= +
ℤ
Bài tập 2. Giải phương trình sau:
3cos sin 2 0
x x
+ + =
Hướng dẫn giải
Ta có biến ñổi:
3cos sin 2 0 3cos sin 2
x x x x+ + = ⇔ + = −
.
Chia hai vế cho
( )
2
2
3 1 4 2
+ = =
: Ta có
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
23
-
3 1 2
3cos sin 2 cos sin
2 2 2
x x x x+ = − ⇔ + = −
Ta có:
3 1
cos ; sin
6 2 2 6
π π
= =
Khi ñó phương trình trở thành:
2 2
os cos sin sin cos cos cos
6 6 2 6 2 6 4
3
cos cos cos cos
6 4 6 4
c x x x x
x x
π π π π π
π π π π
π
+ = − ⇔ − = − ⇔ − = −
⇔ − = − ⇔ − =
( ) ( ) ( )
( )
3 3
7
2 2
2
6 4 4 6
12
3 3 11
2 2 2
6 4 4 6 12
7
2
12
11
2
12
x k x k
x k
k k k
x k x k x k
x k
k
x k
π π π π
π
π π
π
π π π π π
π π π
π
π
π
π
− = + − = − +
− = +
⇔ ∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈
− = − + − = − − + − = − +
= − −
⇔ ∈
= −
ℤ ℤ ℤ
ℤ
Vậy phương trình có hai họ nghiệm là
( )
7
2
12
11
2
12
x k
k
x k
π
π
π
π
= − −
∈
= −
ℤ
Bài tập 3: Giải phương trình sau:
3sin cos 1
x x
− =
Hướng dẫn giải
Ta có biến ñổi:
3sin cos 1
x x
− = ⇔
3 1 1
sin cos
2 2 2
x x
− =
sin .cos cos .sin sin
6 6 6
x x
π π π
⇔ − =
sin sin
6 6
x
π π
⇔ − =
2
6 6
5
2
6 6
x k
x k
π π
π
π π
π
− = +
⇔
− = +
( )
2
3
2
x k
k
x k
π
π
π π
= +
⇔ ∈
= +
ℤ
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
( )
2
3
2
x k
k
x k
π
π
π π
= +
∈
= +
ℤ
Bài tập 4: Giải phương trình
2sin3x+ 5 cos3 3
x
= −
Hướng dẫn giải
Chia hai vế của phương trình cho
2
2
2 5 9 3
+ = =
. Phương trình trở thành:
2 5
sin3x+ cos3 1
3 3
x
= −
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
24
-
Tồn tại góc
2 5
:cos ,sin
3 3
α α α
= =
. Phương trình thành
sin(3 ) 1
x
α
+ = −
3 2
2
x k
π
α π
−
⇔ + = +
2
6 3 3
x k
π α π
−
⇔ = − +
(
)
k ∈
ℤ
Vậy phương trình có một họ nghiệm
2
6 3 3
x k
π α π
−
= − +
(
)
k ∈
ℤ
Bài tập 5: Giải phương trình sau
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
+ + =
Hướng dẫn giải
Ta có biến ñổi
2
2 2
sin cos 3 cos 2 sin 2sin cos cos 3cos 2
2 2 2 2 2 2
1 sin 3cos 2 sin 3 cos 1
x x x x x x
x x
x x x x
+ + = ⇔ + + + =
⇔ + + = ⇔ + =
ðây là phương trình lượng giác bậc nhất ñối với sinx và cosx cách giải hoàn toàn tương tự
như các bài trên.
Bài tập 6: Giải phương trình:
5
12cos 5sin 8 0
12cos 5sin 14
x x
x x
+ + + =
+ +
Hướng dẫn giải
ðiều kiện :
12cos 5sin 14 0
x x
+ + ≠
Phương trình ñã cho tương ñương với
5
12cos 5sin 14 6 0
12cos 5sin 14
x x
x x
+ + + − =
+ +
ðặt
12cos 5sin 14
t x x
= + +
. Phương trình trở thành
2
1
5
6 0 6 5 0
5
t
t t t
t
t
=
+ − = ⇔ − + = ⇔
=
Với t = 1:
( ) ( )
12 5
12cos 5sin 14 1 12cos 5sin 13 cos sin 1
13 13
sin cos cos sin 1 sin 1 2 2
2 2
x x x x x x
x x x x k x k k
π π
α α α α π α π
+ + = ⇔ + = − ⇔ + = −
⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ + = − + ⇔ = − − + ∈
ℤ
Với: t = 5
( ) ( )
12 5 9
12cos 5sin 14 5 12cos 5sin 9 cos sin sin cos cos sin
sin
13 13 13
2 2
sin sin
2 2
x x x x x x x x
x k x k
x k
x k x k
α α β
α β π β α π
α β
α π β π π β α π
+ + = ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ + =
+ = + = − +
⇔ + = ⇔ ⇔ ∈
+ = − + = − − +
ℤ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
25
-
Trong ñó
12 9
sin ;sin
13 13
α β
= = −
Bài tập 7: Giải phương trình
tan 3cot 4(sin 3cos )
− = +
x x x x
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
2
x k
π
≠
(
)
k ∈
ℤ
Phương trình ñã cho tương ñương với
( )( )
2 2
sin 3cos
tan 3cot 4(sin 3cos ) 4(sin 3cos )
sin cos
sin 3 cos sin 3cos
4(sin 3 cos )
sin cos
1 3
cos sin sin cos 0
sin cos 0
sin 3 cos 0
3 3
2 2
sin 3cos 2sin 2 1 3
c
sin cos sin 2
2 2
x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
π π
−
− = + ⇔ = +
+ −
⇔ = +
+ =
+ =
+ =
⇔ ⇔ ⇔
− =
− =
( )
os sin sin cos sin 2
3 3
3 3
sin 0
3
2 2 2
3 3
cos sin sin cos sin 2
4 2
3 3
2 2
3 9 3
x x x
x k x k
x
x x k x k k
x x x
x x k x k
π π
π π
π π
π
π π
π π
π π
π π π
π π
− =
+ = = − +
+ =
⇔ ⇔ − = + ⇔ = − + ∈
− =
− = − + = +
ℤ
Bài tập 8: Giải phương trình
cos7x - 3sin7x + 2 = 0
Hướng dẫn giải
Phương trình ñã cho tương ñương với
1 2
2
2 2 2
2
sin cos sin 7 sin
6 6 2 6 4
5
5
7 2
7 2
6 4 84 42
12
5 13 13
7 2 7 2
6 4 12 84 42
3
cos 7 - 3 sin 7 2 0 cos 7 - 3 sin 7 cos 7 - sin 7
cos 7 - sin 7
x
x k x k
x k
x k x k x k
x x x x x x
x x
π π π π
π π π π
π
π
π
π π π π π
π π
⇔
⇔ ⇔ − = −
− = − + = +
− = − +
⇔ ⇔ ⇔
− = + − = + = − +
+ = ⇔ = − = −
= −
( )
k ∈
ℤ
Bài tập 9: Giải phương trình:
sin 2 cos2 3sin cos 1 0
x x x x
− + − − =
