Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của
1

Chuyên ñề 1
Chứng minh các ñiểm thẳng hàng
1. Sử dụng tiên ñề Ơcơlit và hệ quả

−
−−
−
Tiên ñề Ơcơlit : Qua một ñiểm A nằm ngoài ñường thẳng a kẻ ñược duy nhất
một ñường thẳng song song với a.
−
−−
−
Hệ quả : Qua một ñiểm A nằm ngoài ñường thẳng a kẻ ñược duy nhất một
ñường thẳng vuông góc với a.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC với hai trung tuyến BD và CE. Gọi M và N theo thứ tự
thuộc các tia ñối của các tia EC và DB sao cho EC = EM và DB = DN. Chứng minh
rằng A, M, N thẳng hàng.
Lời giải

Tứ giác AMBC có EA = EB, EM = EC (gt) nên là hình bình hành. Suy ra
AM // BC. (1)
Chứng minh tương tự ta có AN // BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba ñiểm A, M, N thẳng hàng (tiên ñề Ơcơlit).
Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD (AB < CD) có O là giao ñiểm của hai ñường
chéo. Trên tia ñối của tia CD lấy ñiểm E sao cho CE = CD. Gọi F là hình chiếu của của
D trên BE ; I là giao ñiểm của AB và CF ; K là giao ñiểm của AF và BC. Chứng minh
rằng ba ñiểm O, K, I thẳng hàng.

Lời giải
Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của
2


ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, AC = BD và OA = OB = OC = OD.
Ta có CB ⊥ AI (vì ABCD là hình chữ nhật)
⇒ CB là ñường cao của ∆CAI. (1)
∆FBD vuông tại F (vì F là hình chiếu của D lên BE) có FO là trung tuyến ứng với
cạnh huyền BD nên OF =
1
2
BD ⇒ OF =
1
2
AC.
∆FAC có FO là ñường trung tuyến ứng với cạnh AC mà FO =
1
2
AC nên ∆FAC
vuông tại F. Suy ra AF ⊥ CI hay AF là ñường cao của ∆CAI. (2)
K là giao ñiểm của AF và CB nên từ (1) và (2) suy ra K là trực tâm của ∆CAI.
Do ñó IK ⊥ AC. (3)
Mặt khác, tứ giác ABEC có AB = CE (cùng bằng CD) và AB // CE (vì AB // CD)
nên là hình bình hành ⇒ BE // AC ⇒ BF //AC ⇒ ABFC là hình thang.
Lại có ∆FDE vuông tại F, FC là trung tuyến ứng với cạnh DE (vì CD = CE) nên
CF = CD ⇒ CF = AB (vì AB = CD). Suy ra BAC = FCA (cạnh huyền – cạnh góc
vuông) ⇒ AF = BC.
Hình thang ABFC có hai ñường chéo AF và BC bằng nhau nên là hình thang cân.

Suy ra


IAC ICA
=
⇒ ∆IAC cân tại I ⇒ IO là trung tuyến ñồng thời là ñường cao.
Hay IO ⊥ AC. (4)
Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của
3

Từ (3) và (4) suy ra I, K, O thẳng hàng (ñpcm).
2. Sử dụng tính chất cộng ñoạn thẳng
−
−−
−
Tính chất : Nếu AM + BM = AB thì M nằm giữa A và B.
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, I và N theo thứ tự là trung ñiểm của AB, AC
và CD. Chứng minh rằng nếu
AD BC
MN
2
+
=
thì M, I, N thẳng hàng và ABCD trở
thành hình thang.
Lời giải

Giả sử
AD BC

MN
2
+
=
. (1)
Vì MA = MB, IA = IC nên MI là ñường trung bình c
ủa tam giác ABC.
Suy ra MI // BC và MI =
1
2
BC.
Chứng minh tương tự ta có IN // AD và IN =
1
2
AD.
Mà
AD BC 1 1
MN BC AD
2 2 2
+
= = +
hay MN = MI + IN. Từ ñó suy ra I nằm giữa
M và N, hay M, I, N thẳng hàng.
Lúc ñó ta có BC // AD vì cùng song song với MN. Do ñó ABCD trở thành hình
thang.
Vậy nếu
AD BC
MN
2
+

=
thì M, I, N thẳng hàng và ABCD trở thành hình thang.
Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của
4

3. Sử dụng tính chất của hai góc kề bù và hai góc ñối ñỉnh
−
Nếu


+ =
0
AOC COB 180
thì A, O, B thẳng hàng.

−
Nếu C và D nằm ở hai nửa mặt phẳng bờ là ñường thẳng AB mà


=
AOC BOD
(O
∈
AB) thì C, O, D thẳng hàng.

Ví dụ 4. ðường tròn tâm O và ñường tròn tâm O’ cắt nhau tại A và B. Gọi C, D lần
lượt ñối xứng với B qua O và O’. Chứng minh rằng C, A, D thẳng hàng.
Lời giải
Vi C ñối xứng với B qua O nên O là trung ñiểm của BC. Suy ra BC là ñường kính

của (O).

Ta có OA = OB = OC =
1
BC
2
nên tam giác ABC vuông tại A ⇒

0
BAC 90
=
.
Chứng minh tương tự ta có

0
BAD 90
=
.
Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của
5

Do ñó :



0
CAD BAC BAD 180
= + =
⇒ C, A, D thẳng hàng.

4. Sử dụng sự ñồng quy của các ñường trung tuyến, các ñường cao, các ñường
phân giác trong tam giác
Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao ñiểm của hai ñường chéo ; E là
ñiểm ñối xứng của A qua B ; F là giao ñiểm của BC và ED ; G là giao ñiểm của BC và
OE ; H là giao ñiểm của EC và OF. Chứng minh rằng A, G, H thẳng hàng.
Lời giải
Vì O là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD nên OA = OC
suy ra EO là trung tuyến của ∆EAC.

E ñối xứng với A qua B nên B là trung ñiểm của EA suy ra CB là trung tuyến của
∆EAC.
G là giao ñiểm của CB và EO nên G là trọng tâm của ∆
EAC.
(1)
Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên CD // AB, CD = AB, mà B là trung ñiểm của
AE nên suy ra CD // BE, CD = BE. Do ñó tứ giác BECD là hình bình hành. Từ ñó F là
trung ñiểm của hai ñường chéo ED và BC của hình bình hành BECD.
Ta có OF là ñường trung bình của ∆CAB nên OF // AB ⇒ OH // AE ⇒ HE = HC.
Do ñó AH là trung tuyến của ∆EAC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, G, H thẳng hàng (ñpcm).
1. Sử dụng tính chất về ñường chéo của hình bình hành
Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của
6

Ví dụ 6. Cho hình bình hành ABCD. Trên ñường chéo BD lấy hai ñiểm E và F sao
cho BE = DF. Kẻ EH ⊥ AB, FK ⊥ CD (H ∈ AB, K ∈ CD). Gọi O là trung ñiểm của EF.
Chứng minh rằng ba ñiểm H, O, K thẳng hàng.
Lời giải

Vì EH ⊥ AB, FK ⊥ CD và AB // CD nên EH // FK (1)
Xét HBE và KDF có BE = DF,


KDF HBE
=
,


0
DKF BHE 90
= =

⇒ HBE = KDF (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ HE = KF (2)
Từ (1) và (2) suy ra HEKF là hình bình hành
⇒ trung ñiểm của EF cũng là trung ñiểm của HK.
Vậy E, H, K thẳng hàng (ñpcm).
2. Sử dụng phương pháp diện tích
Ví dụ 7. Cho tứ giác ABCD. Các ñường thẳng AB và CD cắt nhau tại M, các ñường
thẳng AD và BC cắt nhau tại N. Gọi I, J, K theo thứ tự là trung ñiểm của BD, AC, MN.
Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng.
Lời giải

Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của
7

Gọi K’ là giao ñiểm của IJ với MN. Gọi E, F lần lượt là chân ñường vuông góc kẻ từ
N, M tới ñường thẳng IJ. Dễ thấy M, N nằm về hai phía của IJ.

Ta có :

NIJ NDC NDI NJC CIJ CID
S S S S S S
= − − − −


NDC NBD NAC AIC CBD
1 1 1 1
S S S S S
2 2 2 2
= − − − −


NDC NAB ABD ABC ADC ADIC CBD
1 1 1 1
S S S S (S S ) S
2 2 2 2
= − − − − − −


ABCD ABD BCD ABCD ABC ADC ABCD
1 1 1 1
S (S S ) S (S S ) S .
2 4 2 4
= − − + − + =

Chứng minh tương tự ta có
MIJ ABCD
1

S S .
4
=
Do ñó S
NIJ
= S
MIJ
hay
1 1
NF.IJ ME.IJ
2 2
=
⇒ ME = NF ⇒ S
NKJ
= S
MKJ
.
Hai tam giác NKJ và MKJ có chung chiều cao hạ từ J nên từ trên suy ra NK’ = MK’.
Mà MK = NK (gt) nên K ≡ K’. Vậy ba ñiểm I, J, K thẳng hàng.
3. Sử dụng ñịnh lí Talet, ñịnh lí Ta lét ñảo và hệ quả của ñịnh lí Ta let
Ví dụ 9. Ba ñiểm A, B, C cùng thuộc ñường thẳng a, ñiểm O không thuộc a. Chứng
minh rằng nếu ba ñiểm M, N, P thỏa mãn hệ thức
OM ON OP
OA OB OC
= =
thì M, N, P thẳng
hàng.
Lời giải

Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)

Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của
8

Thật vậy, theo ñịnh lí Talet ñảo thì từ
OM ON
OA OB
=
ta suy ra MN // AB. Tương tự MP
// AC. Nhưng A, B, C thẳng hàng nên M, N, P thẳng hàng (tiên ñề Ơcơlit).
Ví dụ 10. (Bổ ñề hình thang) : Trong hình thang có hai ñáy không bằng nhau. Chứng
minh rằng giao ñiểm của hai ñường thẳng chứa hai cạnh bên, giao ñiểm của hai ñường
chéo và trung ñiểm của hai ñáy nằm trên cùng một ñường thẳng.
Lời giải
Giả sử hình thang ñã cho là ABCD (AB // CD, AB < CD) có I, J tương ứng là giao
ñiểm của hai ñường thẳng chứa hai cạnh và của hai ñường chéo ;

Gọi M và N lần lượt là giao ñiểm của IJ với AB và CD.
Do AB // CD nên áp dụng hệ quả của ñịnh lí Talet ta có :
AM BM IM
( )
DN CN IN
= =
và
AM BM JM
( )
CN DN JN
= =
hay
AM BM IM
( )

DN CN IN
= =
.
4. Sử dụng phương pháp phản chứng
Ví dụ 11. Trên mặt phẳng cho n ñiểm (n > 3) và bất kì ñường thẳng nào ñi qua hai
trong những ñiểm ñó ñều chứa một ñiểm ñã cho. Chứng minh rằng tất cả các ñiểm ñã
cho cùng nằm trên một ñường thẳng.
Lời giải
Giả sử tất cả các ñiểm không cùng nằm trên một ñường thẳng. Qua mỗi cặp ñiểm ñã
cho vẽ một ñường thẳng (có một số hữu hạn ñường này) và chọn khoảng cách khác 0 từ
các ñiểm ñã cho ñến các ñường thẳng này.
Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của
9


Giả sử khoảng cách từ ñiểm A ñến ñường thẳng BC, trong ñó A, B, C là các ñiểm ñã
cho là khoảng cách nhỏ nhất. Trên ñường thẳng BC còn có một ñiểm D nào ñó.
Từ A kẻ AQ vuông góc với BC tại Q. Hai trong các ñiểm B, C, D nằm cùng một phía
ñối với ñiểm Q, chẳng hạn C và D như hình vẽ, khi ñó ta có CQ < DQ. Hạ CH vuông
góc với AD tại H. Dễ thấy CH < AQ. ðiều này mâu thuẫn với việc chọn ñiểm A và
ñường thẳng BC. Từ ñó ta có ñiều phải chứng minh.
5. Sử dụng các tính chất sau
– Ba ñiểm cùng thuộc một ñường thẳng thì thẳng hàng.
– Ba ñiểm cùng cách ñều hai ñầu mút của một ñoạn thẳng (cùng thuộc ñường trung
trực của một ñoạn thẳng) thì thẳng hàng.
– Ba ñiểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a và cùng cách ñều a thì thẳng hàng.
– Ba ñiểm cùng cách ñều hai ñường thẳng song song thì thẳng hàng.
– Ba ñiểm cùng cách ñều hai cạnh của một góc (cùng thuộc ñường phân giác của
góc) thì thẳng hàng.

Bài tập
1. Cho ABC, ñường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa ñiểm C dựng
hình vuông ABDE ; trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa ñiểm B dựng hình vuông
ACMN. Dựng hình bình hành AEIG. Gọi K là giao ñiểm của CD và BM. Chứng
minh rằng bốn ñiểm I, A, K, H thẳng hàng.
Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của
10

2. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các ñiểm M, N,
P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Gọi O là giao ñiểm của hai ñường chéo. Chứng
minh rằng M, O, P thẳng hàng.
3. Cho góc vuông xAy. Một ñiểm B cố ñịnh trên Ax, còn một ñiểm C chuyển ñộng trên
Ay. ðường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB và AC lần lượt ở M
và N. Chứng minh rằng MN luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh khi ñiểm C chuyển ñộng
trên Ay.
4. Trong hình vuông ABCD lấy ñiểm E sao cho


0
C ECB 15 .
ΕΒ = =
Trên nửa mặt
phẳng bờ CD không chứa ñiểm E vẽ tam giác ñều CDF. Chứng minh rằng B, E, F
thẳng hàng.
5.

Cho hình thang ABCD, ñáy lớn AB. ðường thẳng kẻ từ C song song với AD cắt BD
và AB lần lượt tại E và F. ðường thẳng kẻ từ D song song với BC cắt AC và AB lần
lượt tại P và Q. Chứng minh rằng bốn ñiểm M, N, P, Q thẳng hàng.
6.

Trên một ñường thẳng lấy bốn ñiểm theo thứ tự là A, E, F, B. Dựng các hình vuông
ABCD, EFGH sao cho chúng nằm cùng ở một nửa mặt phẳng bờ là ñường thẳng ñã
cho. Gọi O là giao ñiểm của AG và BH. Chứng minh rằng :
a)

C, O, E thẳng hàng.
b)

D, O, F thẳng hàng.
7.

Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC lấy ñiểm E. Lấy ñiểm F ñiểm ñối xứng với
C qua E. Từ ñiểm F kẻ Fx và Fy lần lượt song song với AD và AB. Gọi I là giao ñiểm
của Fx và AB ; K là giao ñiểm của FI và AD. Chứng minh rằng I, K, E thẳng hàng.
8.

Cho ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 2AB. Trên cạnh AC lấy ñiểm D sao cho


1
ABD ABC
3
= ; trên cạnh AB lấy ñiểm E sao cho
 

1
ACE ACB
3
= . Gọi F là giao ñiểm
của BD và CE ; G và H theo thứ tự là các ñiểm ñối xứng của F qua các cạnh BC và
AC. Chứng minh rằng :
a) Ba ñiểm H, D, G thẳng hàng.
b) Tam giác EDF cân.
9. Cho góc vuông xOy tam giác. M thuộc Ox; A, B thuộc Oy. ðường thẳng ñi qua A và
vuông góc với AM cắt ñường thẳng ñi qua B và vuông góc với BM tại P. Gọi H là
giao ñiểm của AP với MB ; K là giao ñiểm của AM với BP ; I, K, E lần lượt là trung
ñiểm của MP, AB và KH. Chứng minh rằng I, E, N thẳng hàng.
Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của
11

10. Cho hình vuông EFGH. Một góc vuông xEy quay quanh ñỉnh E có cạnh Ex cắt FG
và GH theo thứ tự tại M và N, còn cạnh Ey cắt các ñường FG và GH theo thứ tự tạ P
và Q. Gọi I và K theo thứ tự là trung ñiểm của PN và QM. Chứng minh rằng bốn
ñiểm F, H, K, I thẳng hàng.
11. Cho tứ giác ABCD và một ñiểm O nằm bên trong tứ giác sao cho các tam giác ABO,
BCO, CDO, DAO có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng hoặc ba ñiểm A, O, C
thẳng hàng, hoặc ba ñiểm B, O, D thẳng hàng.
12. Cho tam giác ABC và ba ñiểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các ñường thẳng BC,
CA, AB (A’, B’, C’ không trùng với các ñỉnh của tam giác sao cho trong ba ñiểm ñó
có ñúng một ñiểm hoặc cả ba ñiểm nằm ngoài tam giác). Chứng minh rằng ñiều kiện
cần và ñủ ñể ba ñiểm A’, B’, C’ thẳng hàng là :
A'B B'C C'A
1
A'C B'A C'B

⋅ ⋅ =
.
(ðịnh lí Mê – nê – la uýt)
13.

Cho ∆ABC có ba góc nhọn, các ñường cao BD và CE. Gọi I là ñiểm thuộc ñoạn BC
; H là giao ñiểm của BD và CE ; N thuộc ñoạn AH ; M thuộc ñoạn DE. Chứng minh
rằng M, I, N thẳng hàng.
14.

Cho hình vuông EFGH. Một góc vuông Exy quay quanh ñỉnh E. Cạnh Ex cắt các
ñường thẳng FG và GH theo thứ tự tại M và N ; cạnh Ey cắt các ñường thẳng FG và
GH theo thứ tự ở P và Q. Gọi I và K theo thứ tự là trung ñiểm của PN và QM. Chứng
minh rằng 4 ñiểm F, H, K, I thẳng hàng.
15.

Cho

0
xOy 90
=
. Lấy ñiểm M thuộc Ox, A và B cùng thuộc Oy. ðường thẳng ñi qua
A và vuông góc với AM cắt ñường thẳng ñi qua B và vuông góc với BM tại P. Gọi H
là giao ñiểm của AP và MB ; K là giao ñiểm của AM và BP ; I, E, N lần lượt là trung
ñiểm của MP, AB và KH. Chứng minh rằng I, E, N thẳng hàng.


Filename: Thang-hang.doc
Directory: D:\Phuong-phap-giai-dai-so\Hinh-hoc\Nguon
Template: C:\Documents and Settings\Admin\Application

Data\Microsoft\Templates\Normal.dot
Title:
Subject:
Author: User
Keywords:
Comments:
Creation Date: 28/03/2015 9:24:00 SA
Change Number: 7
Last Saved On: 29/03/2015 9:24:00 SA
Last Saved By: User
Total Editing Time: 40 Minutes
Last Printed On: 29/03/2015 9:25:00 SA
As of Last Complete Printing
Number of Pages: 11
Number of Words: 1.872 (approx.)
Number of Characters: 10.677 (approx.)