Rèn tư duy sáng tạo qua bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

vũ đức cảnh -Rốn t duy sỏng to qua bi toỏn chng minh ba im thng hng
THCS Vinh Quang- Tiên Lãng.
=====================================================================================
A.đặt vấn đề:
Chẳng phải ngẫu nhiên mà bộ môn hình học lại đợc coi là ông hoàng của trí tuệ, là
một trong ba chân trong thế vững chắc của tri thức nhân loại. Bên cạnh bà chúa số
học, ngời khổng lồ đại số thì việc nghiên cứu hình học đem lại cho ngời học những
thao tác t duy nhanh nhạy, khả năng quan sát phán đoán tinh tờng và năng lực hệ
thống hoá các thao tác để giải quyết vấn đề hợp lý nhất, tối u nhất .
Hình học cũng là những động lực vô cùng mạnh mẽ cho sự lớn mạnh của toán học
hiện đại và bản thân bộ môn này đã đi đợc những bớc chân dài của ngời khổng lồ. Hình
học cổ điển chỉ phản ánh những hình ảnh hết sức đơn giản, hết sức thô sơ và những quy
luật vốn có trong thực tế. Chẳng bao lâu sau, hình học đã trở thành bộ môn sinh động
hơn, có sức sống hơn, từ đó đã xây dựng lên lý thuyết về các phép biến hình kì lạ và lý
thú. Hình học hiện đại chắp cánh cho những ớc mơ của con ngời bay cao hơn, bay xa
hơn khi bớc chân vào xa lộ thông tin. Ngời học hình phải chăng là những nhà khoa học
viễn tởng u tú nhất, chẳng phải chỉ những ngời theo học lý thuyết Tôpô thì mới có đủ
bản lĩnh cho rằng ta có thể cho một con voi chui qua lỗ kim !!!
Hình học hiện đại đã dần thoát khỏi những hình ảnh trực quan cố hũ để tìm đến
những ý tởng cao xa hơn, bắt buộc ngời học phải có hàng loạt các thao tác t duy thuần
thục,có trí tuệ minh mẫn, tinh thần lao động miệt mài, óc sáng tạo và ý chí quyết tâm
cao.
Nh chúng ta đã biết, việc khuyến khích các hoạt động trí tuệ thông qua môn toán
hiện nay đang từng bớc đợc coi trọng hơn. Việc tổ chức các giờ học, giờ ôn luyện cho
học sinh để có thể phát huy nhiều nhất những hoạt động trí tuệ đòi hỏi mỗi giaó viên
đứng lớp phải có sự đầu t suy nghĩ và nắm vững cơ sở lý thuyết căn bản nhất mới có thể
thành công trong quá trình dạy toán ở trờng phổ thông. Một trong những hoạt động cơ
bản đó là t duy sáng tạo.
B. giải quyết vấn đề:
I. Cơ sở lý luận
Chúng ta biết rằng t duy sáng tạo là một dạng t duy độc lập, tạo ra ý tởng mới độc

đáo và có hiệu quả giải quyêt vấn đề cao. ý tởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề
mới, tìm ra hớng đi mới, tạo ra hiệu quả mới. Tính độc đáo của ý tởng mới thể hiện ở
giải pháp lạ và hiếm, không quen thuộc hoặc tìm ra lời giải duy nhất.
1
vũ đức cảnh -Rốn t duy sỏng to qua bi toỏn chng minh ba im thng hng
THCS Vinh Quang- Tiên Lãng.
=====================================================================================
Có ba thành phần của t duy sáng tạo đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính
độc đáo.
* Tính mềm dẻo của t duy có các đặc trng nổi bật là:
hoá, cụ thể hoá các phơng pháp pháp suy luận nh quy nạp suy diễn tơng tự, dễ dàng
chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác,điều chỉnh kịp thời hớng suy linh hoạt các
hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá khái quát Dễ dàng chuyển từ
hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng nghĩ khi gặp trở ngại.
-Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm,
kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiên mới trong đó có những yếu tố
thay đổi, có khả năng thoát khỏi những ảnh hởng của những kinh nghiệm, những phơng
pháp những cách nghĩ đã có từ trớc.
-Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thâý chức năng mới của đối tợng
quen biết.
*Tính nhuần nhuyễn của t duy chỉ thể hiện ở hai đặc điểm sau:
- Tính đa dạng của các cách sử lý khi giải toán, khả năng tìm đợc nhiều giải pháp
trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trớc một vấn đề cần giải quyết, ngời
có t duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm đợc nhiều phơng án giải quyết khác nhau và từ
đó tìm đợc phơng án tối u.
-Khả năng xem xét đối đợng nhiều khía cạnh khác nhau. Có cái nhìn sinh động từ
nhiều phía đối với sự vật và hiện tợng chứ không phải cái nhìn bất biến , phiến diện,
cứng nhắc .
*Tính độc đáo chỉ thể hiện ở ba đặc trng:
-Khả năng tìm ra những liên tởng và kêt hợp mới.

-Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự việc bên ngoài tởng nh không có
quan hệ với nhau.
-Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác. Ba thành phần của t
duy sáng tạo không tách rời nhau mà chúng còn quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ
sung cho nhau. Trong học tập toán ở trờng THCS, các yếu tố cơ bản của t duy sáng tạo
thờng chỉ thể hiện ở các học sinh khá và giỏi toán. việc khuyến khích và rèn luyện t
duy sáng tạo cho học sinh là một việc khó và không thể thực hieen đợc với mọi học
sinh và trong mọi hoàn cảnh.Ngời giáo viên muốn sử dụng đợc có hiệu quả các thao tác
t duy này cần phải biêt lựa chọn những nội dung toán thích hợp cho hoạt động đó
C. Cơ sở thực tiễn.
2
vũ đức cảnh -Rốn t duy sỏng to qua bi toỏn chng minh ba im thng hng
THCS Vinh Quang- Tiên Lãng.
=====================================================================================
Hiện nay do xu hớng phát triển rất nhanh chóng của khoa học kỹ thuật, đứng trớc
những thách thức mới của nhân loại, và nói cụ thể hơn là xuất phát từ mục đích giáo
dục trong nhà trờng phổ thông THCS, chúng ta cần chuẩn bị tốt cho học sinh những
kiến thức cơ bản nhất, đầy đủ nhất giúp các em có thể học tốt ở các bậc học trên. Bài
toán chứng minh hình học là một trong những bài toán cơ bản nhất của chơng trình
toán cấp 2. Qua bài toán này đã giúp cho các em học sinh trởng thành nhanh chóng về
khả năng t duy lôgic, cách lập luận vấn đề chặt chẽ có căn cứ. Có thể nói, bài toán
chứng minh hình học là sự chuẩn bị tốt nhất cho các em học sinh có năng lực t duy,
năng lực giải quyết vấn đề khó khăn trong thực tiễn công tác và học tập sau này.
Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng thờng đợc các em học sinh cho vào loại bài
toán khó trong các bài toán chứng minh, khi gặp các bài toán này các em thờng hay
lúng túng trong cách lựa chọn phơng pháp để chứng minh, vì chúng ta đã biết để chứng
minh ba điểm thẳng hàng có rất nhiều cách, nên với học sinh hay bị lúng túng là điều
dễ hiểu.
Trớc thực tế nh vậy, với bản thân là một giáo viên làm công tác giảng dạy tôi rất trăn
trở và suy nghĩ mạnh dạn đa ra đề tài này, hi vọng với nội dung đề tài này phần nào

giúp các em học sinh và các thầy cô giáo có thêm một tài liệu tham khảo để tháo gỡ
những khó khăn mà tôi đã nêu ở trên.


D. Nội dung đề tài
Phần1:Ph ơng pháp chứng minh ba điểm A, B, C, thẳng hàng:
Ph ơng pháp 1: Chứng minh ba điểm A, B, C cùng thuộc một đờng đặc biệt(đờng trung
trực của một đoạn thẳng, đờng cao của một tam giác .)
Ph ơng pháp 2: Chứng minh
ã
ABC
là một góc bẹt


ABx +

CBx = 180
0


A, B, C thẳng hàng
Ph ơng pháp3: Chứng minh AB và AC cung là cạnh của hai góc đối đỉnh


ABx =

CBy

A, B, C thẳng hàng
Ph ơng pháp 4: Chứng minh AB và AC cùng song song với một đờng thẳng (áp

dụng tiên đề Euclide)
AB// d và AC//d

A, B, C, thẳng hàng.
Ph ơng pháp5: Chứng minh AB và AC cùng vuông góc với một đờng thẳng;
3
vũ đức cảnh -Rốn t duy sỏng to qua bi toỏn chng minh ba im thng hng
THCS Vinh Quang- Tiên Lãng.
=====================================================================================
AB

d và AC

d

A, B, C thẳng hàng
Ph ơng pháp 6: Chứng minh AB và AC là hai cạnh còn lại nằm về một phía của cạnh
chung của hai góc bằng nhau.
Nếu:

xAB =

xAC

A, B, C thẳng hàng .
Ph ơng pháp7: Chứng minh AC là đờng kính của đờng tròn tâm B
Ph ơng pháp 8: Chứng minh ba điểm A, B, C, nằm trên đờng chéo của hình bình hành
hoặc hình thoi
PhầnII: Một số bài toán áp dụng.
Bài toán1: Cho hai đờng tròn tâm (O, R) và (O

, R

) cắt nhau tại A và B. Kẻ hai đờng
kính AOC và AO

D. Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng
Bài giải
Cách1:
Nối AB ta có:

ABC =

ABD = 90
o
.
(Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn).



ABC +

ABD = 180
o

Vậy ba điểm D, B, C thẳng hàng .
Nhận xét:
Theo cách này, bài toán đã đợc áp dụng phơng pháp thứ 2 để chứng minh ba điểm B,
C, D thẳng hàng
Lu ý: Khi chứng minh ba điểm nào đó thẳng hàng chúng ta không nên vẽ nét liền, vì

để tránh ngộ nhận ba điểm đó đã thẳng hàng, nh vậy dẫn đến lời giải sai của bài toán.
Cách2: (sử dụng phơng pháp thứ 4 để chứng minh)
-Chứng minh đợc BD // O

O
- Chứng minh đợc BC // O

O
suy ra BD // BC

Ba điểm B, C, D thẳng hàng ( theo tiên đề Ơcơlít) *
* Nhận xét : Cách này yêu cầu phải nhớ đợc tính chất đờng trung bình của tam giác,
nội dung ý nghĩa tiên đề ƠClít là tính duy nhất.
4
vũ đức cảnh -Rốn t duy sỏng to qua bi toỏn chng minh ba im thng hng
THCS Vinh Quang- Tiên Lãng.
=====================================================================================
Bài toán 3: Cho hình vuông ABCD O là
giao điểm hai đờng chéo, trên các cạnh
DA, BC lấy E và F sao cho DE = BF.
Chứng minh: F, O, E thẳng hàng
Gợi ý: Cách giải bài toán này tơng tự bài
toán 2 ; Có thể sử dụng cộng góc hoặc cũng
có thể chứng minh theo định nghĩa hai góc
đối đỉnh.
Bài toán 5: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Vẽ đờng tròn (O

) tiếp xúc trong với (O)
Và tiếp xúc với AB . Gọi giao điểm của CA và CB với (O) là D và E. Chứng minh ba
điểm D, O

, E thẳng hàng.
Bài giải
Ta có :

ACB = 90
o
(Góc nội tiếp chắn nửa
đờng tròn (O) )
Suy ra :

DCE = 90
o

Mà : D, C, E

(O'). Vậy

DCE cũng
là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O

)

DE là đờng kính . Vậy: D, O, E thẳng
hàng.
Nhận xét:
- Yêu cầu đầu tiên là học sinh phải biết vẽ hình. Vẽ đợc chính xác đờng tròn (O

) tiếp
xúc với đờng tròn (O) và đờng kính AB , dựa trên hai tính chất của tiếp tuyến .

- Nắm vững hệ quả của góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn . Tức là nếu có góc nội tiếp
có số đo bằng 90
o
thì giao điểm của hai cạnh của góc với đờng tròn là hai đầu mút của
đờng kính tức là đi qua tâm O.
Bài toán 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao
AD và BK găp nhau tại H. vẽ đờng kính BOE. Gọi I là trung điểm AC. Chứng minh H,
I, E thẳng hàng
Bài giải
Nối AE, CE, CH ta có: AH

BC (vì AH là đờng cao của tam giác ABC )
Mặt khác:

BCE = 90
o
( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn )

CE

BC
5
vũ đức cảnh -Rốn t duy sỏng to qua bi toỏn chng minh ba im thng hng
THCS Vinh Quang- Tiên Lãng.
=====================================================================================
Vậy: AH // CE ( cùng vuông góc với BC) (1)
Ta lại có : CH

AB ( vì CH là đờng cao của tam giác ABC)
Mặt khác:

BAE = 90
o
(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn )

EA

AB
Vậy: EA // CH (cùng vuông góc với AB) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : Tứ giác AECH là hình bình hành ( Theo định nghĩa )
Suy ra: HE là đờng chéo vậy HE đi qua trung điểm I của AC.
Hay: ba điểm H, I, E thẳng hàng .
Nhận xét:
-Bài toán trên đợc giải theo phơng pháp 8. Tức là chúng ta phải biết gắn hai trong ba
điểm cần chứng minh vào đờng chéo của một hình (hình bình hành, hình chữ nhật, hình
thoi, hình vuông) nào đó, còn điểm tứ ba là trung điểm của đờng chéo kia. Khi đó ba
điểm cần chứng minh cùng nằm trên một đờng chéo của hình đó. Suy ra ba điểm thẳng
hàng.
Bài toán 7: Cho hai đờng tròn (O) và (O

) tiếp xúc trong tại A. Kẻ bán kính OC và O

D
song song và cùng chiều. Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng.
Bài giải
Ta có hai tam giác cân AOC và AO

D có
góc ở đỉnh bằng nhau (

AOC =

AO

D
vì là hai góc đồng vị nên góc ở đáy của
chúng cũng bằng nhau.
6
vũ đức cảnh -Rốn t duy sỏng to qua bi toỏn chng minh ba im thng hng
THCS Vinh Quang- Tiên Lãng.
=====================================================================================
Tức là:

OAC =

O

AD
Mà: O, A, O

thẳng hàng .Và D và C nằm về cùng một phía có bờ là đờng thẳng OA.
Suy ra: ba điểm A, C, D thẳng hàng .
Nhận xét :
-Lời giải bài toán trên đợc áp dụng phơng pháp 6. Tức là hai góc bằng nhau có một
cạnh chung và chung đỉnh, hai cạnh còn lại nằm về cùng một nửa mặt phẳng thì chúng
sẽ trùng nhau, suy ra các điểm trên hai cạnh đó thẳng hàng.
-Theo cách này, yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức về: Tính chất hai đờng
thẳng song song, hai góc có cạnh tơng ứng song song thì bằng nhau ( nếu cùng nhọn
hoặc cùng tù ), tính chất tam giác cân và đặc điểm hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì đ-
ờng nối tâm đi qua tiếp điểm.

Bài tập 1:
Cho tam giác ABC với trực tâm H, trọng tâm G và tâm của đờng tròn ngoại tiếp O.
Gọi D là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC.
1. Chứng minh

ABH và

DOE đồng dạng rồi chứng minh AH = 2.OD.
2.Chứng minh

AHG và

DOG đồng dạng
3. Chứng minh ba điểm H, O, G thẳng hàng, rồi định rõ tỉ số
GH
GO
Bài giải
1. Chứng minh

ABH và

DOE đồng dạng rồi chứng minh AH = 2.OD

ABH và

DOE có các cạnh song song từng đôi một.
AH // OD ( cùng vuông góc với BC )
BH // OE ( cùng vuông góc với AC )
AB // DE ( đờng trung bình ).
Nên

ABH và

DOE đồng dạng . Tỉ số của chúng là :
=
DO
AH
EO
BH
=
DE
AB
= 2 Suy ra: AH = 2.DO
2.Chứng minh

AHG và

DOG đồng dạng.
Vì G là trọng tâm nên ta có:
=
AG
DG
AH
DO
=
2
1
Lại có:

ODG =

HAG ( so le trong )
7
vũ đức cảnh -Rốn t duy sỏng to qua bi toỏn chng minh ba im thng hng
THCS Vinh Quang- Tiên Lãng.
=====================================================================================
Vậy :

AHG và

DOG đồng dạng.
3.Chứng minh ba điểm H, O, G thẳng hàng, rồi định rõ tỉ số
GO
GH
Theo chứng minh trên:

AHG =

DOG
Mà : A, D, G thẳng hàng . Vậy H, G, O thẳng hàng.
Biết tỉ số đồng dạng của hai tam giác DOG và AHG là
2
1
Nên ta có:
2
1
=
GH
GO
8