Đề thi HSG toán 9 tỉnh Bắc Kạn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC KẠN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SONH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh:
a b c ab bc ac+ + ≥ + +
Câu 2: (4 điểm) Cho biểu thức:
A =
3 3
3 3
1 1 2 1 1
. :
x y x x y y
x y
x y x y
x y xy
 
 
+ + +
+ + +
 
 ÷
 ÷
+
+
 
 

 
Với x > 0, y > 0.
a. Rút gọn A.
b. Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó.
Câu 3: (4 điểm) Cho ba đường thẳng:
x + y = 1 (d
1
)
x – y = 1 (d
2
)
(k + 1)x + (k – 1)y = k + 1 với k ≠ 1 (d
3
)
Tìm các giá trị của k để:
a. (d
1
) và (d
3
) vuông góc với nhau.
b. ba đường thẳng (d
1
), (d
2
)và (d
3
) đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng tọa độ
Oxy.
Câu 4: (4 điểm) Giải các hệ phương trình sau:
a.

1 1 5
1 4 4
x y
x y
 + + − =


+ = −


b.
9
1 2
1 2 9
9
1 2

9 8 1
90
x
x x
x x x
−
− −

= = =



+ + + =


Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác BAC cân ở A, đường cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở
đáy bằng α. Chứng minh:
2
4sin os
h
c
α α
Câu 6: (4 điểm) Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng xy không giao nhau. Từ một
điểm M tùy ý trên xy kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O) trong đó P, Q là
các tiếp điểm. Qua O kẻ OH ⊥ xy, dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K. Chứng minh:
a. OI.OH = OK.OM = R
2
;
b. PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên xy.
Hết
Chú ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không giait thích gì thêm.