Tổng ôn tập toán luyện thi quốc gia 2015 PEN M thầy lê bá trần phương

Ngôi trường chung của trò Việt
Tổng ôn tập Toán luyện thi quốc gia 2015 PEN M
- Thầy: Lê Bá Trần Phương -
Phù hợp với học sinh có học lực trung bình, trung bình khá đặt mục tiêu 6-8 điểm
trong kì thi THPT quốc gia môn Toán.
49 bài giảng trong khoá học tập trung ôn tập sâu các chuyên đề dễ lấy điểm (hàm
số, lượng giác, tích phân ); không đi sâu hoặc không giảng các phần kiến thức
khó (bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất), các phương pháp giải cần
tính tư duy cao và các dạng bài tập nâng cao tại các chuyên đề dễ lấy điểm
Giáo viên giảng chậm và kĩ, đặc biệt chú trọng vào các phương pháp làm bài đơn
giản nhất đảm bảo học sinh “chỉ cần nắm được phương pháp và thay số” là có thể
làm tốt các bài toán trong đề thi.
- Hà Nội, 6 - 2015 -
Nội dung khóa học
CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ
Bài 1 – Tính đơn điệu của hàm số
Bài 2 – Cực trị hàm số
Bài 3 – Các bài toán về sự tương giao
CHỦ ĐỀ 5: HÌNH GIẢI TÍCH KHÔNG
GIAN 0XYZ
Bài 1 – Phương trình mặt phẳng – đường
thẳng (phần 1)
Bài 2 – Phương trình mặt phẳng – đường
thẳng (phần 2)
Bài 3 – Phương trình mặt phẳng – đường
thẳng (phần 3)
Bài 4 – Các bài toán về định lượng
Bài 5 – Mặt cầu (phần 1)
Bài 6 – Mặt cầu (phần 2)
CHỦ ĐỀ 2: LƯỢNG GIÁC
Bài 1 – Phương pháp nhóm thừa số chung

(phần 1)
Bài 2 – Phương pháp nhóm thừa số chung
(phần 2)
Bài 3 – Phương pháp nhóm thừa số chung
(phần 3)
CHỦ ĐỀ 6: TỔ HỢP – NHỊ HỢP – XÁC
SUẤT
Bài 1 – Các bài toán về xác suất (phần 1)
Bài 2 - Các bài toán về xác suất (phần 2)
CHỦ ĐỀ 3: SỐ PHỨC, PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ, LOGARIT
Bài 1 – Các bài toán về số phưc
Bài 2 – Phương trình mũ và logarit
Bài 3 – Bất phương trình mũ và logarit
CHỦ ĐỀ 7: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 1 – Thể tích hình chóp (phần 1)
Bài 2 - Thể tích hình chóp (phần 2)
Bài 3 – Thể tích khối lăng trụ
Bài 4 – Khoảng các từ 1 điểm đến 1 mặt
phẳng
Bài 5 – Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
chéo nhau
Bài 6 – Phương pháp gắn trục tọa độ
OXYZ
CHỦ ĐỀ 4: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG
Bài 1 – Phương pháp tính tích phân (phần
1)
Bài 2 – Phương pháp tính tích phân (phần

2)
Bài 3 – Phương pháp tính tích phân (phần
3)
Bài 4 – Ưng dụng tích phân
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Cho hàm số
y m x mx m x
32
1
( 1) (3 2)
3
    
(1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
Bài 2. Cho hàm số
y x m x m m x
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1     
có đồ thị (C
m
).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(2; )
.
Bài 3. Cho hàm số

32
(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m      
. Tìm m để hàm số đồng biến trên
 
0;
.
Bài 4. Cho hàm số
42
2 3 1y x mx m   
(1), (m là tham số). Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
(1; 2).
Bài 5. Tìm m để hàm số
32
11
(1 3 ) (2 1)
33
y mx m x m x     
nghịch biến trên
[1;5]

Bài 6. Tìm m để hàm số
3 2 2
( 2) 2y x mx m m x     
nghịch biến trên đoạn
[ 1;1]

Bài 7. Tìm m để hàm số
 
  
3 2 2

2 7 7 2 1 2 3y x mx m m x m m       
đồng biến trên


2,
Bài 8. Tìm m để hàm số
32
3 3 3 4y x mx x m    
đồng biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2
Bài 9. Cho hàm số:
31xm
y
xm



. Tìm m để hàm số nghịch biến trên


3, 
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Tính đơn điệu của hàm số thuộc khóa học Luyện thi
PEN – M : Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước các
kiến thức trong tài liệu thay thế bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

-


5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN

 Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
 Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
 Học mọi lúc, mọi nơi.
 Tiết kiệm thời gian đi lại.
 Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN
 Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
 Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
 Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
 Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.
CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN








Là các khoá học trang bị toàn

bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.
Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.
Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.
Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.





Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -



Bài 1. Cho hàm số
y m x mx m x
32
1
( 1) (3 2)
3
    
(1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
Giải
Tập xác định: D = R.
Ta có:
y m x mx m
2
( 1) 2 3 2

    
.
(1) đồng biến trên R 
yx0,



+ Với m=1 ta được: y’=2x+1 => loại

+ Với m khác 1 để
yx0,


thì
  
2
2
2
' 1 3 2 0
2 5 2 0
10
10
2 5 2 0
1
1
2,
2
2
1
m m m
mm
m
m
mm
m
xx
x
m





    
   








   







  





Bài 2. Cho hàm số
y x m x m m x
32

2 3(2 1) 6 ( 1) 1     
có đồ thị (C
m
). Tìm m để hàm số đồng biến
trên khoảng
(2; )
.
Giải

y x m x m m
2
' 6 6(2 1) 6 ( 1)    

có
m m m
22
(2 1) 4( ) 1 0

     


xm
y
xm
'0
1







.
Hàm số đồng biến trên các khoảng
mm( ; ), ( 1; )  

Do đó: hàm số đồng biến trên
(2; )

m 12

m 1

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Tính đơn điệu của hàm số thuộc khóa học Luyện thi
PEN – M : Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước các
kiến thức trong tài liệu thay thế bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -

Bài 3. Cho hàm số
32
(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m      
. Tìm m để hàm đồng biến trên
 
0;
.
Giải
Hàm đồng biến trên
(0; )

y x m x m
2
3 (1 2 ) (22 )0

     
với
x 0)( ; 


x
f x m
x
x
2
23
()
41
2
  



với
x 0)( ; 

Ta có:
x
f x x
x
xx
x
2
2
2
2(6
( ) 0
3) 1 73
36
(4 1
0
12
)
   
    

  


Lập bảng biến thiên của hàm
fx()

trên
(0; )
:

f m m
1 73 3 73
12 8

  
  




Bài 4. Cho hàm số
42
2 3 1y x mx m   
(1), (m là tham số). Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
(1; 2).
Giải
Ta có
32
' 4 4 4 ( )y x mx x x m   

+
0m 
,
0,

yx


0m 
thoả mãn.
+
0m 
,
0

y
có 3 nghiệm phân biệt:
, 0, mm
.
 Hàm số (1) đồng biến biến trong các khoảng:
   
; 0 , ; mm

Vậy hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi
1 0 1   mm
.
Vậy


;1m 
.
Bài 5. Tìm m để hàm số
32
11
(1 3 ) (2 1)
33
y mx m x m x     

nghịch biến trên
[1;5]

Giải
TXĐ: D=R
Hàm số nghịch biến trên
[1;5]

2
2
2
[1;5]
2(1 3 ) (2 1) 0 [1;5]
( 6 2) (2 1) 0 [1;5]
12
: ( ) [1;5]
62
max ( )
y mx m x m x
m x x x x
x
m f x x
xx
m f x

        
       

    




Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


Ta có
2
22
2( 1)
( ) 0 3 7
( 6 2)
xx
f x x
xx


    


Do đó
[1;5]
max ( ) (5) 3f x f

Vậy giá trị cần tìm là

3m 

Bài 6. Tìm m để hàm số
3 2 2
( 2) 2y x mx m m x     
nghịch biến trên đoạn
[ 1;1]

Giải:
TXĐ: D=R
Hàm số đồng biến trên
22
[-1;1] ( ) 3 2 ( 2) 0 [ 1;1]y f x x mx m m x

          

Ta có
2
()
' 4 3 6
fx
mm   

TH 1 :
' 0 ( ) 0 [ 1;1]f x x       
0y x R

  
=> hàm số luôn đồng biến => không tồn tại m
TH 2 :

'0  
( ) 0fx
có hai nghiệm phân biệt
12
xx

Khi đó
12
( ) 0 ( ) 0 [-1;1]f x x x x f x x       

12
2
2
2
11
' 4 3 6 0
3 (1) 5 3 0
3 ( 1) 5 0
xx
mm
f m m
f m m
    

    

    


    



3 105 3 105
88
3 29
3 29 3 29
2
22
3 105
3 21 3 21
8
22
mm
m
mm
m
mm
   
  



    



  

















Bài 7. Tìm m để hàm số
 
  
3 2 2
2 7 7 2 1 2 3y x mx m m x m m       
đồng biến trên


2,

Giải:
+TXĐ: D=R
+ Hàm số đồng biến trên


2,
 

22
3 2 2 7 7 0, 2y x mx m m x

        

Ta có
 
2
7 3 3mm

  


2
33
70
24
m

   


nên
0y


luôn có 2 nghiệm
12
xx

Ta có y’  0 có sơ đồ miền nghiệm G là:
(phần gạch là phần bỏ)
Ta có
 
0yx


đúng
2x



2, G 


1
x

2
x

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -

 
 
2
12
0
2 3 2 3 2 3 5 0
2
23
5
1
5
2
1
2
6
x x y m m
Sm
m
m
m





        






  

    





Bài 8. Tìm m để hàm số
32
3 3 3 4y x mx x m    
đồng biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2
Giải
TXĐ: D=R
2
' 3 6 3y x mx  

có
2
'
' 9 9
y
m  

TH 1 :
' 0 ( ) 0f x x R      
0y x R

  

=> hàm số luôn đồng biến trên R=> không tồn tại m
TH 2 :
'0  
( ) 0fx
có hai nghiệm phân biệt
12
xx

=> để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2 thì y’ = 0 phải có đúng 2 nghiệm
12
xx

thoả mãn
21
2xx

   
22
22
2 1 2 1 1 2
9 9 0 1
4 4 4

  



    



mm
x x x x x x

 
2
2
2
2
1
1
2
2
2 4 4





    







m
m
m
m

m

Bài 9. Cho hàm số:
31xm
y
xm



. Tìm m để hàm số nghịch biến trên


3, 

Giải
 
2
14
'
m
y
xm



, TXĐ:
 
\Rm

Để hàm số nghịch biến trên



3, 
, ta phải có:




1
' 0 3,
1 4 0
1
3
4
3
4
3( 3, )
3


   




    
  

  







yx
m
m
m
m
mm
m

Mặt khác, ta thấy với
1
4
m 
thì
'0y 
trên toàn bộ tập xác định.

1
4
m 
không thoả mãn. Vậy
1
3
4
m

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam


Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

-


5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN

 Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
 Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
 Học mọi lúc, mọi nơi.
 Tiết kiệm thời gian đi lại.
 Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN
 Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
 Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
 Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
 Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.
CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.
Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.
Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.
Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -



Bài 1. Cho hàm số
y x x mx m
32
3 – 2   
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
Bài 2. Cho hàm số
y x m x m m x
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4       
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m

) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Bài 3. Cho hàm số
32
1
(2 1) 3
3
y x mx m x    
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Bài 4. Cho hàm số
y x mx m
3 2 3
34  
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Bài 5. Cho hàm số
mxxmxy  9)1(3
23
, với
m
là tham số thực.
Xác định

m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21
,xx
sao cho
2
21
 xx
.
Bài 6. Cho hàm số
y x m x m x
32
11
( 1) 3( 2)
33
     
, với
m
là tham số thực.
Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho
xx
12
21
.

Bài 7. Cho hàm số
y x mx m x m m
3 2 2 3 2
3 3(1 )      
(1)
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8. Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m     
(1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời
khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm
cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O.
Bài 9. Cho hàm số
32
32  y x x
(C). Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với
đường tròn có phương trình
22
( 1) 5()ymxm   

Bài 10. Cho hàm số
32
32y x x mx   
(1) với m là tham số thực. Xác định m để hàm số (1) có cực trị,
đồng thời đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Bài 11. (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004)
Tìm m để hàm số
4 2 2

21y x m x  
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Bài 12. Cho hàm số
32
32y x x mx   
có đồ thị là (C
m
). Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu
và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d:
yx43  
.
Bài 13. Cho hàm số
y x mx
42
13
22
  
(1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có CT mà không có CĐ.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn
CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài toán về cực trị và tiệm cận thuộc khóa học Luyện
thi PEN – M : Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước
Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1. Cho hàm số
y x x mx m
32
3 – 2   
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
Giải
PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:

x x mx m
32
3 – 2 0 (1)   

x
g x x x m

2
1
( ) 2 2 0 (2)



    


(C
m
) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x

PT (1) có 3 nghiệm phân biệt
 (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 
m
gm
30
( 1) 3 0



  

   


m 3

Bài 2. Cho hàm số

y x m x m m x
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4       
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Giải

y x m x m m
22
3 2(2 1) ( 3 2)

      
.
(C
m
) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung
 PT
y 0


có 2 nghiệm trái dấu 
mm
2
3( 3 2) 0  

m12

.
Bài 3. Cho hàm số
32
1
(2 1) 3
3
y x mx m x    
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Giải
TXĐ: D = R ;
y x mx m
2
– 2 2 –1


.
Đồ thị (C
m
) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung

y 0


có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu 
2

2 1 0
2 1 0



    




mm
m

1
1
2
m
m









Bài 4. Cho hàm số
y x mx m
3 2 3

34  
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Giải
Ta có:
y x mx
2
36


;
x
y
xm
0
0
2







. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m  0.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m

3
), B(2m; 0) 
AB m m
3
(2 ; 4 )

CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài toán về cực trị thuộc khóa học Luyện thi PEN –
M : Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng
sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m
3
)
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x 
AB d
Id







mm
mm
3
3
2 4 0
2








m
2
2


Bài 5. Cho hàm số
mxxmxy  9)1(3
23
, với
m
là tham số thực.

Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21
,xx
sao cho
2
21
 xx
.
Giải
Ta có
.9)1(63'
2
 xmxy

+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx


PT
0'y
có hai nghiệm phân biệt
21
, xx



PT

03)1(2
2
 xmx
có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx
.








31
31
03)1('
2
m
m
m

)1(

+ Theo định lý Viet ta có
.3);1(2
2121
 xxmxx
Khi đó:

   
41214442
2
21
2
2121
 mxxxxxx


mm
2
( 1) 4 3 1      
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là
313  m
và
.131  m

Bài 6. Cho hàm số
y x m x m x
32
11
( 1) 3( 2)
33
     
, với
m
là tham số thực.
Xác định

m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho
xx
12
21
.
Giải
Ta có:
y x m x m
2
2( 1) 3( 2)

    

Hàm số có cực đại và cực tiểu 
y 0


có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,


mm
2

0 5 7 0


    
(luôn đúng với m)
Khi đó ta có:
x x m
x x m
12
12
2( 1)
3( 2)

  




 
xm
x x m
2
22
32
1 2 3( 2)




  





m m m
2
4 34
8 16 9 0
4

     
.
Bài 7. Cho hàm số
y x mx m x m m
3 2 2 3 2
3 3(1 )      
(1)
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Giải

y x mx m
22
3 6 3(1 )

    
.
PT
y 0



có
m1 0,

  
 Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị
x y x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
.
Chia y cho y ta được:
m
y x y x m m
2
1
2
33


    



Khi đó:
y x m m
2
11
2  
;
y x m m
2

22
2  

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là
y x m m
2
2  
.
Bài 8. Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m     
(1)
Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O
bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O.
Giải
Ta có
, 2 2
3 6 3( 1)y x mx m   

Để hàm số có cực trị thì phương trình
,
0y 
có 2 nghiệm phân biệt

22
2 1 0x mx m    
có 2 nghiệm phân biệt

1 0, m    

Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B(m+1;-2-2m)
Theo giả thiết ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m

  
     

  



Vậy có 2 giá trị của m là
3 2 2m   

và
3 2 2m   
.
Bài 9. Cho hàm số
32
32  y x x
(C). Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với
đường tròn có phương trình
22
( 1) 5()ymxm   

Giải
Có
 
2
' 3 6 3 2 0 0, 2       y x x x x x x

 2 điểm cực trị là:
   
0;2 , 2; 2AB

 Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là:
:2 2 0  d x y

Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đến d bằng bán kính
2 1 2
5 3 1 5
5
  
    

mm
m

2
4
3
m
m









Bài 10. Cho hàm số
32
32y x x mx   
(1) với m là tham số thực.
Xác định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo
với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Giải
Hàm số có cực trị

y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
' 9 3 0 3mm       
(1)

32
12
3 2 ( 1). ' ( 2) 2
3 3 3
mm
y x x mx y x y x           

Đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình:
2
( 2) 2
33
mm
yx    

Đường thẳng d cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tại
66
;0 , 0;
2( 3) 3
mm
AB
m









Tam giác OAB cân

OA OB
6 6 9 3
6; ;
2( 3) 3 2 2
mm
m m m
m

       


Với m = 6 thì
A B O
do đó so với điều kiện ta nhận
3
2
m 

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


Bài 11. (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004)

Tìm m để hàm số
4 2 2
21y x m x  
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Giải
Có
 
22
40y x x m

   

Để hàm số có 3 cực trị
0y


có 3 nghiệm phân biệt

22
0xm  
có 2 nghiệm phân biệt
0m

Khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là
 
   
44
0,1 ; ,1 , ,1A B m m C m m  
. Do đồ thị đã cho là hàm trùng
phương =>nếu có 3 điểm cực trị thì 3 điểm cực trị đó tạo thành 1 tam giác cân tại điểm cực trị nằm

trên Oy => để tam giác ABC là vuông cân thì ta chỉ cần thêm điều kiện AB vuông góc với AC
. 0 1AB AC m    
.
Bài 12. Cho hàm số
32
32y x x mx   
có đồ thị là (C
m
). Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu
và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d:
yx43  
.
Giải
Ta có:
2
' 3 6  y x x m
.
Hàm số có CĐ, CT
2
' 3 6 0y x x m    
có 2 nghiệm phân biệt
12
;xx


' 9 3 0 3mm       
(*)
Gọi hai điểm cực trị là

   
1212
; ; ;A B xyyx

Thực hiện phép chia y cho y ta được:
1 1 2
' 2 2
3 3 3 3
mm
y x y x
     
     
     
     




   
11 1222
22
2 2 ; 2 2
3 3 3 3
       
       
       
     





y y x y y
m
x
m m m
xx



Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d:
2
22
33
mm
yx
   
    
   
   

Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d:
yx43  


2
24
3
3
23
3

m
m
m


   


  
  








(thỏa mãn)
Bài 13. Cho hàm số
y x mx
42
13
22
  
(1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có CT mà không có CĐ.
Giải
Có
y x mx x x m
32

2 2 2 ( )

   
=>
x
y
xm
2
0
0








Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại
 Phương trình
y 0


có 1 nghiệm 
m 0

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -



Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
3
- 3x
2
. Biện luận theo m số nghiệm của phương
trình x =
xx
m
3
2

.
Bài 2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
3
– 3x
2
+ 2
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
22
1
  


m
xx
x

Bài 3. Cho hàm số: y= x
3
-3x
2
-9x+m (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Bài 4: Tìm m để đường thẳng (d): y=-x+m cắt đồ thị (C):
1
x
y
x


tại 2 điểm phân biệt.
Bài 5. Cho hàm số
22
1
x
y
x




(C). Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân
biệt A, B sao cho AB =
5
.
Bài 6: Cho (C):
3
31y x x  
. Tìm m để đường thẳng (d):
( 1) 1y m x  
luôn cắt (C) tại 3 điểm A, B,
C phân biệt trong đó A là điểm cố định và tiếp tuyến với (C) tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 7. Cho (C
m
):
 
32
3 3 1 1 3y x x m x m     
biện luận số giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Bài 8. Cho (C
m
):
 
3 2 2 2
3 3 1 1y x mx m x m     
tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Bài 9. Cho hàm số:
3 2 2 2

( 4) ( 4 3) 3y x m x m m x m m       
(1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều dương.
Bài 10. Cho hàm số
24
1



x
y
x
. Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết
M(–3;0) và N(–1; –1).
Bài 11. Cho hàm số
21
2
x
y
x



có đồ thị là (C). Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt
đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Bài 12: (D-2009) Cho hàm số y = x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m có đồ thị là (C

m
), m là tham số. Tìm m để đường
thẳng y = -1 cắt đồ thị (C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
Bài 13. Cho hàm số:
32
(2 1) ( 1) 1y x m x m x m      
(C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt,
trong đó 2 điểm có hoành độ âm. Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƢƠNG GIAO
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài toán về sự tương giao (Phần 1 + Phần 2) thuộc
khóa học Luyện thi PEN – M : Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả,
Bạn cần học trước Bài giảng (Phần 1+ Phần 2) sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.



Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam


Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

-

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN

 Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
 Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
 Học mọi lúc, mọi nơi.
 Tiết kiệm thời gian đi lại.
 Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN
 Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
 Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
 Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
 Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.
CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN








Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.
Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.
Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.






Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam


Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

-

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN

 Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
 Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
 Học mọi lúc, mọi nơi.
 Tiết kiệm thời gian đi lại.
 Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN
 Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
 Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
 Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
 Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.
CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN








Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.
Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của

kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.
Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.
Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.





Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -



Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x

3
- 3x
2
.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x =
xx
m
3
2

.
Giải
x =
xx
m
3
2



2
0, 3
3
xx
x x x m








. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị
y =
2
3x x x
( x
0
và x

3) với đồ thị y = m .
Ta có y =
32
2
32
3 0 3
3
3 0 3
x x khi x hoac x
x x x
x x khi x

  



   


.

Lập bảng biến thiên ta có:
x
-

0 2 3 +



y
’

+ 0 + 0 - +


y
4
0 0


+ m < 0 hoặc m > 4 thì phương trình có 1 nghiệm.
+ m = 0 phương trình vô nghiệm.
+ 0 < m < 4 phương trình có 3 nghiệm.
+ m = 4 phương trình có 2 nghiệm.
Bài 2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
3
– 3x
2
+ 2
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2

22
1
  

m
xx
x

CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƢƠNG GIAO
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài toán về sự tương giao (Phần 1 + Phần 2) thuộc
khóa học Luyện thi PEN – M : Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả,
Bạn cần học trước Bài giảng (Phần 1+ Phần 2) sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


Giải.
Ta có
 
22
2 2 2 2 1 1

1
m
x x x x x m,x .
x
        

Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao
điểm của
 
 
2
2 2 1y x x x , C'   
và đường thẳng
1y m,x .

Vẽ
 
 
 
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x



    





nên
 
C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1x.

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1x 
qua Ox.
Dựa vào đồ thị ta có:
+
2m:
Phương trình vụ nghiệm;
+
2m:
Phương trình có 2 nghiệm kép;
+
20m:  
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+
0m:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 3. Cho hàm số: y= x
3

-3x
2
-9x+m (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x
3
-3x
2
-9x+m = 0

x
3
-3x
2
-9x=-m
Xét hàm số y=x
3
-3x
2
-9x có:
+ y'=3x
2
-6x-9 =3( x
2
-2x-3)
+y'=0


x=-1 hoặc x=3
+ BBT:
x
-

-1 3 +

+


y'
+ 0 - 0 +

y
5 +



-

-27

Dựa vào bảng biến thiên ta có: (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
275527  mm

Bài 4: Tìm m để đường thẳng (d): y=-x+m cắt đồ thị (C):
1
x
y

x


tại 2 điểm phân biệt.
Giải
1+
3

1-
3

- 2
m
1
2
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
1,0)2()(
1
2



xmxmxxfmx
x
x
(1)
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt
2
01)1(
0)2(
2






 m
f
m

Bài 5. Cho hàm số
22
1
x
y
x



(C). Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân
biệt A, B sao cho AB =

5
.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 2x
2
+ mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1)
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1  m
2
- 8m - 16 > 0 (2)
Gọi A(x
1
; 2x
1
+ m) , B(x
2
; 2x
2
+ m. Ta có x
1
, x
2
là 2 nghiệm của PT(1).
Theo ĐL Viét ta có
12
12
2
2
2
m
xx

m
xx

  








.
AB
2
= 5 
22
1 2 1 2
( ) 4( ) 5x x x x   

2
1 2 1 2
( ) 4 1xx x x  
 m
2
- 8m - 20 = 0
 m = 10 , m = - 2 ( Thỏa mãn (2))
Bài 6: Cho (C):
3
31y x x  

. Tìm m để đường thẳng (d):
( 1) 1y m x  
luôn cắt (C) tại 3 điểm A, B,
C phân biệt trong đó A là điểm cố định và tiếp tuyến với (C) tại B và C vuông góc với nhau.
Giải
Ta thấy hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình:

33
2
3 1 ( 1) 1 ( 3) ( 2) 0
( 1) ( 2) ( 1) ( )
x x m x x m x m
x x x m x g x
          

      


Ta thấy (d) luôn cắt (C) tại 1 điểm cố định A(-1; 2) nên để cắt tại 3 điểm phân biệt thì:

9
1 4( 2) 0
(*)
4
( 1) 0
0
g
m
m
gm

m

    





   





Hệ số góc tiếp tuyến tại B và C là:

 
2
11
2 2 2 2
1 2 1 2
2
22
'( ) '( ) 3( 1)
1 . 9 . 1
'( ) '( ) 3( 1)
BB
BC
CC
k f x f x x

k k x x x x
k f x f x x

   


      


   



Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -



       
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
9 2 1 9 1x x x x x x x x x x
   
        
   

Áp dụngViet cho g(x)=0 ta có:
12
12
1
( 2)
xx
x x m



  


22
8 2 2
9 ( 1) 1 1 ( 1) 1
93
m m m

          

đều thoả mãn (*)
Bài 7. Cho (C
m
):
 
32
3 3 1 1 3y x x m x m     
biện luận số giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Giải
+ Số giao điểm với trục hoành là số nghiệm của Pt:
 
32
2 3 1 2 3 0x x m x m     

+ Ta thấy pt trên không nhẩm được nghiệm nhưng có thể cô lập được tham số m nên
 
 
32
32
2 3 1 2 3 0
2 3 2
3
1
x x m x m
x x x
m g x
x
     
  
  


+ Khảo sát hàm g(x), dựa vào bảng biến thiên, biện luận số giao điểm của y=3m với y=g(x), số giao điểm
đó cũng là số giao điểm của (C
m
) với trục hoành.
Bài 8. Cho (C
m

):
 
3 2 2 2
3 3 1 1y x mx m x m     
tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Giải
+ Số giao điểm với trục hoành là số nghiệm của pt:
 
3 2 2 2
3 3 1 1 0x mx m x m     
để phương trình
trên có 3 nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm
 
3 2 2 2
3 3 1 1y x mx m x m     
phải tồn tại cực đại, cực
tiểu, và y
CĐ
.y
CT
<0
+ để hàm số có CĐ, CT thì y’=0 phải có 2 nghiệm phân biệt
 
22
' 3 6 3 1   y x mx m

=>y’=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt là
1, 1   x m x m

+
Ð
0. 
C CT
yy
 
 
 
 
22
1 3 1 2 1 0      m m m m m

31
3 1 2
1 2 1

   

   


  


m
x
x

Bài 9. Cho hàm số:

3 2 2 2
( 4) ( 4 3) 3y x m x m m x m m       
(1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều dương.
Giải
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -


Để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ đều dương thì:
3 2 2 2
( 4) ( 4 3) 3 0x m x m m x m m       
phải có 3 nghiệm dương phân biệt.
22
( 1) ( 3) 3 0x x m x m m

      

phải có 3 nghiệm dương phân biệt.
22
( 3) 3 0x m x m m     
phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.
2
2
2

22
3 6 9 0
13
30
3 1 0
0, 3
13
30
2 2 0 1 3
1 ( 3).1 3 0
mm
m
b
m
mm
a
mm
c
m
mm
a
m m m
m m m

     

  




   
   



  
  





  

     


    

.
Bài 10. Cho hàm số
24
1



x
y
x
. Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết

M(–3;0) và N(–1; –1).
Giải
MN: x + 2y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng (d)  MN có dạng: y = 2x + m.
Gọi A, B  (C) đối xứng nhau qua MN. Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình:

24
2
1



x
xm
x
 2x
2
+ mx + m + 4 = 0 ( x ≠ –1) (1)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt  (1) có  = m
2
– 8m – 32 > 0
Ta có A(x
1
; 2x
1
+ m), B(x
2
; 2x
2
+ m) với x
1

, x
2
là nghiệm của (1)
Trung điểm của AB là I
12
12
;
2





xx
x x m
 I
;
42




mm
( theo định lý Vi-et)
Ta có I

MN  m = –4, (1)  2x
2
– 4x = 0  A(0; –4), B(2;0)
Bài 11. Cho hàm số

2
12



x
x
y
có đồ thị là (C). Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt
đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình:









)1(021)4(
2
2
12
2
mxmx
x
mx
x

x

Do (1) có
mmmvam  0321)2).(4()2(01
22
nên đường thẳng d luôn luôn cắt
đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
Ta có y
A
= m – x
A
; y
B
= m – x
B
nên AB
2
= (x
A
– x
B
)
2
+ (y
A
– y
B
)
2
= 2(m

2
+ 12)
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN -M: Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chủ đề 1. Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -


suy ra AB ngắn nhất  AB
2
nhỏ nhất  m = 0. Khi đó
24AB
.
Bài 12: (D-2009) Cho hàm số y = x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m có đồ thị là (C
m
), m là tham số.
Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và đường thẳng y = - 1:

42
(3 2) 3 1x m x m    
.
Đặt
2
,0t x t
; phương trình trở thành:
2
(3 2) 3 1 0t m t m    


1t
hoặc
31tm
.
Yêu cầu của bài toán tương đương:
0 3 1 4
3 1 1
m
m
  





1
1, 0.
3
mm    

Bài 13. Cho hàm số:
32
(2 1) ( 1) 1y x m x m x m      
(C
m
)
Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt, trong đó 2 điểm có hoành độ âm.
Giải
+ Để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì phương trình:
3 2 2
(2 1) ( 1) 1 0 ( 1)( 2 1) 0x m x m x m x x mx m            
phải có 3 nghiệm phân biệt.
2
2 1 0x mx m    
phải có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
khác 1.
2
2
' 1 0
0
0
1 2 .1 1 0

m m m
m
m
mm

     


   


   




+ Để 2 điểm có hoành độ âm ta phải có:
12
12
0
2 0 0
1
0 1 0 1
xx
mm
m
x x m m





    
  
     


(Thỏa mãn (1))




Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam


Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

-


5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN

 Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
 Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
 Học mọi lúc, mọi nơi.
 Tiết kiệm thời gian đi lại.
 Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN
 Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
 Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
 Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
 Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.
CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN








Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.
Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.
Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng

thể.
Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.