bài tập tọa độ trong không gian

Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
CHUN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Phần I: CÁC BÀI TẬP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ

Bài 1: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1).
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A.
Bài 2: Cho A(1;1;1), B(−5;1;9) và C(−3;1;4)
a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao
AH, trung tuyến AM, phân giác AD ứng với cạnh BC.
b) Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC.
c) Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABDC.
Bài 3: Cho 4 điểm A(0;0;-1), B(1;1;3), C(1;-1;1) và D(4;1;3).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. Tìm tọa độ trọng tâm I của tứ diện ABCD.
Tính thể tích tứ diện ABCD. Tìm độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.
b) Tìm côsin của góc ϕ giữa hai đường thẳng AB và CD.
c) Tìm côsin của góc A của ∆ABC.
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có A(0;1;1);B(-1;2;1);C(1;0;-2) và A’(3;2;2).
a)Tìm tọa độ đỉnh D của hình hộp. Tìm tọa độ giao điểm I của bốn đường chéo của hình hộp.
b) Tính thể tích và chiều cao AH của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
c) Đường thẳng BC cắt (Oxy) tại M. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Tìm k và tọa độ của M.
d) Trên mặt phẳng Oyz, tìm điểm S cách đều A, B, C. Tính tổng T=SA+SB+SC.
Bài 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với
A’(0;0;0), B’(0;2;0), D’(2;0;0). Gọi M,N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn D’C’, C’B’, B’B, AD.
1/ Tìm tọa độ hình chiếu của C lên AN.
2/ CMR hai đường thẳng MQ và NP cùng nằm trong một mặt phẳng và tính diện tích tứ giác MNPQ.
Bài 6: Trong khơng gian Oxyz cho 4 điểm A(2;-1;5);B(1;0;2);C(0;2;3);D(0;1;2). Tìm toạ độ điểm A’ là điểm
đối xứng của A qua mặt phẳng (BCD).
Bài 7: Trong khơng gian Oxyz, cho 3 điểm A(O;1;-1);B(-1;2;1) và C(1;-2;0). Chứng minh ba điểm A,B,C tạo
thành một tam giác và tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 8: Trong khơng gian Oxyz, cho bốn điểm A(4;4;4); B(6;-6;6); C(-2;10;-2) và S(-2;2;6).
1) Chứng minh OBAC là 1 hình thoi và chứng minh SI vng góc với mặt phẳng (OBAC) (I là tâm của
hình thoi)
2) Tính thể tích của hình chóp S.OBAC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SO và AC
3) Gọi M là trung điểm SO, mặt phẳng (MAB) cắt SC tại N, tính diện tích tứ giác ABMN
Bài 9:
1
Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
Phần II: CÁC BÀI TẬP VỀ MẶT PHẲNG
Bài 1: 1) Lập phương trình của mặt phẳng (α) trong mỗi trường hợp:
a) Đi qua M(1;3;-2) và có véctơ pháp tuyến
→
n
= (2;3;1).
b) Đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (β): x+y+z+1=0.
c) Đi qua M(1;3;2) và có cặp véctơ chỉ phương
→
a
= (2;-1;2) và
→
b
= (3;-2;1).
d) Đi qua 3 điểm A(1;2;3);B(0;- 1;2) và C(3;0;1).
Bài 2: Lập phương trình của mặt phẳng (α) trong mỗi trường hợp:
a) (α) đi qua A(1;1;1) và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (α
1
): x-y+z-1= 0 và (α
2
): x+z+5= 0
b) (α) đi qua A(1;1;1) và B(-1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (β):2x−2y+z+2007=0.

c) (α) đi qua A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3).
d) (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng PQ với P(-3;2;1) và Q(9;4;3).
e) (α) là mặt phẳng đối xứng của (β): 2x-2y+z+3= 0 qua điểm I(1;2;3).
f) (α) đi qua M(1;2;-1) và (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α
1
):x+2y-z+3=0 và (α
2
): 2x-y+z-5=0.
g) (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (α
1
): x+y- z+1=0 và (α
2
):2x- y+z- 1=0 và (α) vuông góc với (β):
x- 2y+3z+5=0.
h) (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (α
1
): x+y- z+1=0 và (α
2
):2x – y + z =0 và (α) song song với trục Oz.
Bài 3: Cho hai đường thẳng: (d
1
):





=
−=
+=

t2z
t1y
t2x
với t∈ R và (d
2
):
2 2
3
x t
y
z t
= −


=


=

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) cách đều hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
).
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x – y + z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao
tuyến của (α) và mặt phẳng (xOy) và (P) tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích bằng
36
125
.
Bài 5 Cho mặt phẳng (P):2x−y+z+1=0 và hai điểm A(−1;3;−2), B(−9;4;9).

Tìm K∈(P) sao cho AK+BK nhỏ nhất.
Bài 6 Cho đường thẳng (D):
1 2 2
3 2 2
x y z
+ − −
= =
−
và hai điểm A(1;2;−1), B(7;−2;3).
a) Chứng minh rằng (D) và AB đồng phẳng.
b) Tìm I∈(D) sao cho AI+BI nhỏ nhất.
Bài 7: Trong kgOxyz, cho các đường thẳng d
1
:
1
1 2 3
x y z+
= =
− −
và d
2
:
1 4
1 2 5
x y z− −
= =
1/ Cmr d
1
và d
2

đồng phẳng và viết pt mp(P) chứa d
1
và d
2
.
2/ Tìm thể tích phần khơng gian giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ.
Bài 8: Trong kgOxyz, cho 4 điểm A(0; −1; 1), B(0; −2; 0), C(2; 1; 1), D(1; 2; 1)
1/ Viết pt mp(α) chứa AB và vng góc với mp(BCD)
2/ Tìm điểm M thuộc đường thẳng AD và điểm N thuộc đường thẳng chứa trục Ox sao cho MN là đọan
vng góc chung của hai đường thẳng này.
Bài 9: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):
02 =−++ zyx
và điểm A(1;1;1); B(2;-1;0); C(2;3;-1).
Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức
222
MCMBMAT ++=
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 10: Trong khơng gian cho
1
1 1
( ) :
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và
2
1 2

( ) :
2 3 1
x y z
d
− −
= =
− −
.
Viết phương trình mặt phẳng vng góc với (d
1
) và cắt (d
2
), trục hồnh tại A, B sao cho AB có độ
dài nhỏ nhất.
2
Toạ độ trong không gian – Ôn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho (d):
1 2
2 1 1
x y z− −
= =
−
và (P):
3 2 0x y z− + − =
. Gọi (d’) là
đường thẳng qua A(1;0;0), song song với (P) và cắt (d). Viết phương trình (d’). Tìm trên (P) điểm
M có khoảng cách đến (d), (d’) bằng nhau và nhỏ nhất.
Bài 12: Trong kg Oxyz cho (d) :

1 1

2 1 1
x y z− +
= =
−
và M(1;-1;2).
Viết phương trình mặt phẳng qua M, song song với (d
1
) và cách O một khoảng bằng 2
Tìm trên (d) điểm N cách đều M và trục hoành.
Bài 13 : Trong kgOxyz cho (d) :
2
1 4
1 3
x
y t
z t
= −


= +


= +

và (d’) :
1 2
2 1 3
x y z− +
= =
− −

1. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều (d) và (d’).
2. Tìm A trên (d) và B,C trên (d’) sao cho B,C đối xứng qua K(1;-2;0) và ABC là tam giác vuông cân.
3
Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
Phần III: CÁC BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1 Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (∆) trong mỗi trường hợp:
a) (∆) qua M(1;1;1) và có véctơ chỉ phương
→
u
= (2;-1;2)
b) (∆) qua M(0;-1;2) và vuông góc (α): x+y-3z+5=0
c) (∆) qua M(3;2;1) và song song với Ox.
d) (∆) qua hai điểm A(1;1;1) và B(0;2;-2).
e) (∆) song song với (D):
1
2 3
x t
y t
z t
= −


=


= +

và đi qua M(-3;4;2).
f) (∆) là giao tuyến 2 mặt phẳng x + 2y – z + 1 = 0; x – y + z – 7 = 0.
g) (∆) là hình chiếu vuông góc của (d):

1
2z
2
1y
1
1x −
=
−
+
=
−
−
lên mặt phẳng tọa độ Oxy.
h) (∆) là hình chiếu vuông góc của (d):
1 1
2 3 7
x y z
+ −
= =
−
lên mặt phẳng (β):- 2x+2y+3z+3=0.

i) (∆) đi qua gốc tọa độ O và song song với (d), biết (d) đi qua hai điểm A(1;2;3) và B(2;1;4)
j) (∆) đi qua M(10;-21;-1) và song song với trục Oz.
k) (∆) đi qua M(1;-1;2) và đồng thời vuông góc với hai đường thẳng (∆
1
):
5
1 3 2
x y z

+
= =
− −
và
(∆
2
):
1 2
1 1 2
x y z+ −
= =
−
.
Bài 2: Cho hai đường thẳng (∆
1
):Error! Objects cannot be created from editing field codes. và (∆
2
):
1
2z
1
2y
2
1x +
=
−
−
=
+
.

a) Chứng minh rằng (∆
1
) và (∆
2
) cắt nhau. Tìm giao điểm I của chúng.
b) Viết phương trình của mặt phẳng (P) chứa (∆
1
) và (∆
2
) .
c) Viết phương trình của đường thẳng (∆) là giao tuyến của mặt phẳng (P) với (Oxz).
Bài 3: Cho hai đường thẳng (∆
1
):
2
1z
1
1y
1
x +
=
−
−
=
và (∆
2
):
1
3z
3

2y
2
1x
−
−
=
−
=
−
−
.
a) Chứng tỏ rằng (∆
1
) và (∆
2
) chéo nhau. Gọi (∆) là một đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung giữa
(∆
1
) và (∆
2
), viết phương trình của đường thẳng (∆).
Bài 4: Cho mặt phẳng (α): x+y-z+3=0 và hai đường thẳng (∆
1
):
1
5z
1
1y
2
1x

−
−
=
−
=
−
và (∆
2
):
9 9
3 1 5
x y z− +
= =
−
.
a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và cắt cả 2 đường thẳng (∆
1
) và (∆
2
). Tìm các giao điểm M
và N của (d) với (∆
1
) và (∆
2
).
b) Tìm A= (∆
1
)∩(α) , B=(∆
2
) ∩(α).

c) Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆) nằm trên mặt phẳng (α) và (∆) cắt cả 2 đường thẳng
(∆
1
) và (∆
2
).
Bài 5: Trong không gian Oxyz có 2 mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0, (Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2
đường thẳng: (d
1
):
4
2z
3
1y
2
3x
:)d(;
3
1z
4
3y
2
5x
2
−
=
+
=
−
−+

=
−
−
=
+
Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P) và (Q), và cắt hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
).
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: (d
1
) :





+=
+=
=
t26z
t4y
tx
; và (d
2
) :






−=
−=
=
1'tz
6't3y
'tx
4
Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d
2
). Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua
K vuông góc với (d
1
) và cắt (d
1
).
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: (∆
1
) :
2
x 3 y 1 z 1 x 7 y 3 z 9
; ( ):
7 2 3 1 2 1
− − − − − −
= = ∆ = =
− −
a. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (∆
3

) đối xứng với (∆
2
) qua (∆
1
).
b. Xét mặt phẳng (β) : x + y + z + 3 = 0. Viết phương trình hình chiếu của (∆
2
) theo phương (∆
1
) lên mặt
phẳng (β).
c. Tìm điểm M trên mặt phẳng (β) để
1 2
MM MM
+
uuuur uuuur
đạt giá trò nhỏ nhất biết M
1
(3; 1; 1) và M
2
(7; 3; 9).
Bài 8: Cho hai đường thẳng:(d
1
):
2
1
x
y t
z t
=



=


= −

và (d
2
):
11 4
1
x t
y t
z t
= − +


= − +


=

a) Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) vuông góc nhau.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (∆) là đường vuông góc chung của (d
1

) và (d
2
).
Bài 9: Lập phương trình của đường thẳng (∆) đi qua M(−4;−5;3) và cắt cả hai đường thẳng
d
1
:
1
2z
2
3y
3
1x
−
−
=
−
+
=
+
và d
2
:
5
1z
3
1y
2
2x
−

−
=
+
=
−
.
Bài 10 Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua A(0;1;1) và vuông góc với đường thẳng
(d
1
):
1
z
1
2y
3
1x
=
+
=
−
và cắt (d
2
):
1
1
x
y t
z t
= −



= − +


=

Bài 11: Cho mặt phẳng (P):x+y+z=0 và (d):
1 1 2
2 1 3
x y z
− − +
= =
−
.
a) Xác đònh giao điểm A của (d) với (P).
b) Viết phương trình của đường thẳng (∆) đi qua A, (∆) ⊥ (d) và (∆) ⊂ (P)
Bài 12:Trong kgOxyz, cho các đường thẳng ∆
1
, ∆
2
và mp(P) có pt: ∆
1
:
1 1 2
2 3 1
x y z
+ − −
= =
,
∆

2
:
2 2
1 5 2
x y z
− +
= =
−
, mp(P): 2x − y − 5z + 1 = 0
1/ Cmr ∆
1
và ∆
2
chéo nhau. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ấy.
2/ Viết pt đường thẳng ∆ vng góc với mp(P), đồng thời cắt cả ∆
1
và ∆
2
.
Bài 13: Trong kgOxyz, cho các đường thẳng d
1
:
2 2
3
x t
y
z t
= −



=


=

và d
2
:
2
1
2
x t
y t
z t
= +


= −


=

1/ Cmr d
1
và d
2
khơng cắt nhau nhưng vng góc với nhau.
2/ Viết phương trình đường vng góc chung của d
1
và d

2
.
Bài 14: Trong kgOxyz, cho các đường thẳng d
1
:
23 10
8 4 1
x y z
+ +
= =
và d
2
:
3 2
2 2 1
x y z− +
= =
−
1/ Viết pt mp(α) chứa d
1
và song song với d
2
. Tính khoảng cách giữa d
1
và d
2
.
2/ Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với trục Oz và cắt cả d
1
và d

2
.
Bài 15: Trong kgOxyz, cho đường thẳng d:
5 3 1
1 2 3
x y z− + −
= =
−
và mp(α): 2x + y − z − 2 = 0
1/ Tìm tọa độ giao điểm M của d và (α). Viết pt đường ∆ nằm trong mp(α) đi qua M và vng góc với d.
2/ Cho điểm A(0; 1; 1). Hãy tìm tọa độ điểm B sao cho mp(α) là mặt trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 16: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P):
032 =+−+ zyx
, điểm A(1;1;-2) và đường thẳng (
∆
):
41
3
2
1 zyx
=
−
=
+
. Tìm phương trình (d) qua A và cắt đừơng thẳng (
∆
) và song song với mặt phẳng (P).
Bài 17: Cho 2 mặt phẳng (P):x+y-5=0 và (Q):y+z+3=0 và điểm A(1;1;0). Tìm phương trình đừơng thẳng (D) vng góc
với giao tuyến của (P) và (Q), cắt (P) và (Q) tại M,N sao cho A là trung điểm M,N
5

Toạ độ trong không gian – Ôn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
Bài 18: Cho mặt phẳng (P):
012 =−+− zyx
và đường thẳng d:
3
2
1
1
2
1 −
=
−
=
+ zyx
1) Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của d lên (P)
2) Tìm phương trình hình chiếu của d lên (P) theo phương của đường thẳng
3
2
4
2
1
3
:
−
=
+
=
−
∆
zyx

Bài 19:Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng
1
4
1
2
1
1
:
1
−
=
−
=
− zyx
d
và
2
2
1
3
1
:
2
−
=
−
−
=
zyx
d

và điểm A(0;1;3)
1) Chứng minh d
1
và d
2
đồng phẳng và A thuộc mặt phẳng (P) chứa d
1
và d
2
2) Tìm toạ độ hai đỉnh B và C của tam giác ABC có đường cao BH nằm trên d
1
, phân giác trong CD
nằm trên d
2
Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(0;0;-3); B(2;0;-1) và mặt phẳng (P) : 3x-y-z+1=0.
1) Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB với (P)
2. Tìm toạ độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều
Bài 21: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng:
2 4
( ) :
3 2 2
x y z
d
− −
= =
− −
và
2
1
1

2
3
1
:)(
+
=
−
=
−
∆
zyx
1) Chứng minh (d) và
)(∆
chéo nhau và tính khỏang cách giữa chúng.
2) Hai điểm phân biệt A,B và cố định trên đường thẳng (d) sao cho
117=AB
. Gọi C là 1 điểm di
động trên (d), tìm GTNN của diện tích tam giác ABC
Bài 22: Trong không gian cho
1
1 1 4
( ) :
2 3 4
x y z
d
+ − −
= =
và
2
1 2 5

( ) :
2 3 1
x y z
d
− + −
= =
−
lần lượt là các
đường thẳng chứa đường cao AM, trung tuyến BN của tam giác ABC với C(-1;-3;-2). Viết phương
trình các đường thẳng CA, CB.
Bài 23: Trong không gian Oxyz cho (d
1
) :
1 1
2 1 1
x y z− +
= =
−
và (d
2
) :
1 1
1 3 5
x y z
− +
= =
− −
Viết phương trình đường thẳng (d) song song với hai mặt phẳng (P):
3 1 0x y z− + − =
,

(Q):
3 2 1 0x y z− + − =
và cắt (d
1
), (d
2
).
Bài 24 : Trong không gian toạ độ Oxyz cho (P):
2 0x z+ − =
và đường thẳng (d):
2 2
2 4
x t
y t
z t
= −


=


= − +

.
Viết phương trình đường thẳng (d’) chứa trong (P), cắt (d) và thoả mãn :
·
·
( , ') ( , )d d d P=
.
Bài 25: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng cạnh bên và bằng 2, có A(1;2;-1)

và phương trình BC’:
1 1
2 1 1
x y z− +
= =
−
. Tìm toạ độ B, C và phương trình AB’.
Bài 26: . Trong không gian Oxyz cho (d):
1 1
1 1 2
x y z− +
= =
−
và (P):
3 0x y z− + − =
.
a. Viết phương trình (d’) vuông góc với (d), chứa trong (P) và có khoảng cách (d,d’) = 2.
Tìm trên (d) điểm A, trên (P) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều và có diện tích
4 3
.
Bài 27: Trong kgOxyz cho (d
1
) :
1 1
2 1 1
x y z− +
= =
−
và (d
2

) :
1 1
1 3 5
x y z− +
= =
− −
a. Viết phương trình đường vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
b. Tìm A trên (d
1
) và B trên (d
2
) sao cho AB song song với mặt phẳng Oxy và AB =
12
.
6
Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
Phần IV: CÁC BÀI TẬP VỀ GĨC, KHOẢNG CÁCH
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) và đường thẳng (d) :
x 1 y 2 z 3
2 1 2
− + −
= =
−
1. Tìm điểm M thuộc (d) để thể tích tứ diện MABC bằng 3.
2. Tìm điểm N thuộc (d) để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất.
3. Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng

(d) :
2
2z
2
y
1
1x
+
==
−
và mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = 0.
Bài 2: Cho hai đường thẳng:(d
1
):
3 1 5
2 1 1
x y z
− − −
= =
− −
với t∈ R và (d
2
):
1
1z
1
3y
2
3x
−

−
=
−
+
=
−

a) Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) song song nhau.
b) Viết phương trình của mặt phẳng (α) chứa (d
1
) và (d
2
).
c) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
Bài 3: Cho mặt phẳng (P):2x- 2y+z+14=0 và điểm I(1;-1;-9).
a) Tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của I trên (P).
b) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). Tìm tọa độ của điểm A đối xứng với I qua mặt phẳng (P).
c) Cho M(- 5;1;- 2). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (∆) đối xứng với đường thẳng MI qua
mặt phẳng (P).
Bài 4: Cho A(1;1;1);B(-1;2;0) và C(2;-3;2).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (∆) chứa các điểm M sao cho AM=BM=CM.
b) Gọi D(1;y

D
;z
D
)∈ (∆). Tìm tọa độ của D. Tính thể tích tứ diện ABCD.
c) Tính khoảng cách giữa AB và CD.
Bài 5: Cho (α): x+2y- 2z+8=0.
a) Viết phương trình các mặt phẳng (P) song song với (α) và cách (α) một khoảng bằng 3.
b) Mặt phẳng (α) cắt Ox;Oy và Oz tại A;B;C. Tìm tọa độ của A;B và C. Tính thể tích tứ diện ABCO.
Bài 6: Cho (α): x+y- z+3=0 và (∆):
2
1z
1
1y
1
2x
−
=
+
=
−
.
a) Chứng tỏ rằng đường thẳng (∆) song song với mặt phẳng (α). Tính khoảng cách giữa (∆) và (α).
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;4;2) và vuông góc với (∆). Tìm tọa độ giao điểm A của (∆) và (P).
Bài 7: Tìm M∈Oy cách đều (P):x+y−z+1=0 và (Q):x−y+z−5=0.
Bài 8: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A trùng gốc tọa độ O, B(1;0;0);
D(0;1;0); A’(0;0;1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng CD’ và
α
là góc nhọn giữa mặt phẳng (P) và mặt
phẳng (BB’D’D). Hãy tìm GTNN của
α

, khi đó tìm phương trình của (P)
Bài 9: (A 2004) Cho h/c SABCD có đáy ABCD là hình thoi . AC và BD cắt nhau tại gốc toạ độ , A(2;0;0),
B(0;1;0), S(0;0;2
2
). Gọi M là trung điểm SC.
a. Tính góc và k/c giữa SA và BM.
b. G/s (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp SABMN.
Bài 10: Trong khơng gian cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(5;0;0) và C(5;-3;4).
Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. Tính số đo của nhị diện [I, A’B, C’], với I là trung điểm AB.
Bài 11: Trong khơng gian
Oxyz
cho
( ) : 1 2
2
x t
d y t
z t
=


= +


= +

và
( ): 1 0P x my nz+ + − =
.
Tìm
,m n

sao cho
( ) ( )d PP
và khoảng cách giữa chúng đạt giá trị lớn nhất.
7
Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
Phần V: CÁC BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU
Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) :

=

= − +


= − +

x t
y 2 t
z 6 2t
sao cho
giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) :
2 2 2
x y z 2x 2y 2z 1 0+ + + − + − =
là đường tròn có bán
kính r = 1.
Bài 2. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt cầu

= +


= + + + + − + =



=


2 2 2
x 1 2t
3
(d): y 3t ;(S):x y z 4x 6y m 0
2
z 6t
Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho MN = 8.
Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
(P):
2 2 2 2
2x 2y z m 3m 0 ; (S): (x 1) (y 1) (z 1) 9
+ + − − = − + + + − =
.
Tìm m để (P) tiếp xúc (S). Với m tìm được xác đònh tọa độ tiếp điểm.
Bài 4: Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng: (d
1
) :





=
=
=

4z
ty
t2x
; (d
2
) :
1
2
0
x t
y t
z
= +


= −


=

Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc
chung của (d
1
) và (d
2
).

Bài 5) Cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
- 2x - 4y - 6z = 0.
a) Xác đònh tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
b) Chứng tỏ rằng (S) đi qua O. Viết phương trình của mặt phẳng (P) là tiếp diện của (S) tại O.
c) Gọi A;B;C lần lượt là giao điểm của (S) với Ox;Oy và Oz ( khác O). Tính tọa độ của A;B;C và viết
phương trình của mặt phẳng (ABC).
d) Tính khoảng cách từ tâm I của (S) đến mặt phẳng (ABC). Viết phương trình của đường tròn (C) là giao
của (ABC) với (S). Xác đònh tọa độ tâm K và bán kính r của (C).
Bài 6) Cho mặt cầu (S) có tâm I(3;- 2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α): 2x - 2y- z+9=0.
a) Viết phương trình của mặt cầu (S). Tìm tọa độ tiếp điểm M của (α) với (S).
b)Một đường thẳng (d) đi qua I và có vectơ chỉ phương
=
→
u
(1;2;-2). Tìm các giao điểm E và F của (d) với
(S). Tính diện tích của tam giác MEF.
c) Tính thể tích của tứ diện OMEF.
Bài 7) Cho mặt cầu (S): (x- 3)
2
+(y+2)
2
+(z - 1)
2
=100 và mặt phẳng (α): 2x- 2y – z + 9=0.
a) Lập phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua tâm I của (S) và (d) ⊥(α).

b) Chứng tỏ (α) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Viết phương trình của (C). Xác đònh tọa độ tâm
K và bán kính r của (C).
c) Viết phương trình các mặt phẳng (P) song song với (α) và (P) tiếp xúc với (S). Xác đònh tọa độ các tiếp điểm.
Bài 8)Cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
+2x -4y- 6z + 5 = 0.
a) Xác đònh tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
b) Viết phương trình của mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) và chứa đường thẳng (d):
1 2
1
x t
y t
z
=


= − +


=

.
c) Viết phương trình của mặt phẳng (β) tiếp xúc với mặt cầu (S) và đi qua điểm M(-3;3;5).
8
Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
d) Viết phương trình của mặt phẳng (γ) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với (d):

2
2z
1
1y
2
3x
−
−
=
+
=
−
.
Bài 9) Cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x - 4y+2z - 3=0 và đường thẳng (d) qua điểm A(-4;3;0) có véctơ chỉ
phương
=
→
u
(4;1;1). Chứng tỏ rằng (d) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ của tiếp điểm.
Bài 10 Cho A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2) và D(2;2;1).
a) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 11 Cho đường tròn (C):




=++
=+++++
012z2y-x
0176z6y4x-zyx
222
a) Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của (C).
b) Viết phương trình của mặt cầu (S) chứa (C) và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P):x+y+z+3=0
Bài 12 Cho A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1) và D(-1;1;2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD).
Bài 13 Lập phương trình của mặt phẳng (P) tiếp xúc (S):x
2
+y
2
+z
2
−10x+2y+26z−113=0 và song song với cả
(d
1
):
2
13z
3
1y
2
5x +
=

−
−
=
+
, (d
2
):
0
8z
2
1y
3
7x −
=
−
+
=
+
.
Bài 14 Lập phương trình của (P) chứa (d):
10 10
10 8 1
x y z
+ +
= =
và tiếp xúc (S):x
2
+y
2
+z

2
+2x−6y+4z−15=0.
Bài 15 Cho (D):
1 5 15
2 1 2
x y z
− + +
= =
−
.
Lập phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(2;3;−1) và cắt (D) tại A, B sao cho AB=16.

Bài 16 Lập phương trình của mặt cầu (S) có tâm I ∈ (D):
3 1 3
1 2 6
x y z
− − −
= =
− −

và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P):x+2y−2z−2=0 và (Q):x+2y−2z+4=0.
Bài 17 Lập phương trình của mặt cầu (S) có tâm I ∈ (D):
1
1z
1
y
3
1x
−
−

=
−
=
+

và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P):x+2y+2z−8=0 và (Q):2x+y−2z+5=0.
Bài 18 Tìm phương trình của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD biết
A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) và D(1;2;−2).
Bài 19 Lập phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(1;4;−7) và tiếp xúc với (P):6x+6y−8z+42=0.
Bài 20: Trong kgOxyz, cho đường thẳng d:
1 1 2
2 1 3
x y z+ − −
= =
và mp(P): x − y − z − 1 = 0
1/ Lập pt chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1; −2) song song với (P) và vng góc với d.
2/ Lập pt mặt cầu (S) có tâm thuộc d, bán kính bằng 3
3
và tiếp xúc với (P).
Bài 21: Trong kgOxyz, cho hình lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O’(0; 0; 4)
1/ Tìm tọa độ các điểm A’, B’. Viết pt mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O, A, B, O’.
2/ Gọi M là trung điểm của AB. Mp(P) qua M vng góc với OA’ và cắt OA, AA’ lần lượt tại N, K. Tính
độ dài đoạn KN.
Bài 22: Trong khơng gian Oxyz, tìm phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm A(0;1;2); B(1;2;4);C(-1;0;6) và tiếp
xúc mặt phẳng (P): x+y+z+2=0
Bài 23: Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1;2); B(4;1;2); C(1;4;2)
1) Chứng minh tam giác ABC vng cân
2) Tìm tọa độ điểm S biết SA vng góc với mặt phẳng (ABC) và mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
tiếp xúc với mặt phẳng (P): x+y+4=0
Bài 24: Trong khơng gian cho tứ diện có các đỉnh : A(1;3;-3), B(-1;2;0), C(0;4;-2) và O.

9
Toạ độ trong không gian – Ôn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và tiếp xúc với đoạn OC tại trung điểm của nó.
Bài 25 : Trong không gian cho mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;0) và tiếp xúc với
1
( ):
2 1 1
x y z
d
−
= =
−
.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính
bằng nửa bán kính của (S).
Bài 26: Trong không gian cho A(-1;2;0) và
1
( ):
2 1 1
x y z
d
−
= =
−
. Viết phương trình đường tròn qua A,
cắt (d) tại B, C sao cho tam giác ABC đều.
Bài 27: Trong không gian cho
( ) : 1 2
2
x t

d y t
z t
=


= +


= +

và
( ): 2 15 0P y z− + =
.
Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua O, tiếp xúc với (d), (P) và có bán kính nhỏ nhất.
Bài 28: Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt cầu đường kính AB với A(1;-1;2), B(1;2;-2) và đường
thẳng (d):
2 2
2 4
x t
y t
z t
= −


=


= − +

.Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và cắt mặt cầu theo một giao

tuyến có chu vi nhỏ nhất.
Bài 29: Trong không gian Oxyz cho (d):
1
2 1 1
x y z −
= =
−
là đường thẳng chứa đường cao của chóp
S.ABCD có đỉnh thuộc mp Oxy và có tất cả các cạnh bằng
2 2
. Viết phương trình mặt cầu
ngoại tiếp chóp S.ABCD
10
Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
Phần VI: CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG TOẠ ĐỘ . TỔNG HỢP HHKG GIẢI TÍCH
1. Hình chóp tam giác
Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi một vng góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có
khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC =
b , AB = c.Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :
( )
2S abc a b c≥ + +
Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy và
ABCD
vng tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3,
BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]
Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta khơng cần phải tìm K.
Ví dụ 3 (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là
trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích
D

AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC).
2. Hình chóp tứ giác
a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như
dạng tam diện vng.
b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa
độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).
c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b.
SADD
đều cạnh a và vng góc với đáy. Gọi H là trung
điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:
3. Hình lăng trụ đứng
Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên.
Ví dụ: Cho h×nh lËp phư¬ng ABCD A'B'C'D'. CMR AC' vu«ng gãc mp’ (A'BD)
2. Tø diƯn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau; AB = 3; AC = AD= 4
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD)
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABC, c¸c c¹nh ®Ịu cã ®é dµi b»ng 1, O lµ t©m cđa ∆ABC. I lµ trung ®iĨm cđa SO.
1. MỈt ph¼ng (BIC) c¾t SA t¹i M. T×m tØ lƯ thĨ tÝch cđa tø diƯn SBCM vµ tø diƯn SABC.
2. H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ I xng c¹nh SB. CMR: IH ®i qua träng t©m G cđa ∆SAC.
Bµi 2: Cho h×nh l¨ng trơ ABCD A
1
B
1
C
1
cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a. AA
1
= 2a vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC).
Gäi D lµ trung ®iĨm cđa BB
1

; M di ®éng trªn c¹nh AA
1
. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa diƯn tÝch ∆MC
1
D.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC
Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB =
3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD).
Bài 2. Cho
ABCD
vng tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vng góc với (ABC) tại A lấy
điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF.
1. Chứng minh H là trung điểm của SD.
2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).
3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE.
Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vng góc với nhau từng đơi một. Gọi H là hình
chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB).
1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.
2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.
Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi một vng góc. Gọi
, , a b g
lần lượt là góc nhị diện cạnh AB, BC,
CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC).
1. Chứng minh H là trực tâm của
ABCD
. 2. Chứng minh
2 2 2 2
1 1 1 1
.

OH OA OB OC
= + +
3. Chứng minh
2 2 2
cos cos cos 1.+ + =a b g
4. Chứng minh
cos cos cos 3.+ +a b g £
Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với nhau từng đơi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm BC, CA, AB.
1. Tính góc
j
giữa (OMN) và (OAB).
11
Toạ độ trong không gian – Ôn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm
ANPD
.
3. Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi
2 2 2
1 1 1
.
a b c
= +
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có
ABCD
vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết AB = 2,
·
0
(ABC),(SBC) 60=
.

1. Tính độ dài SA. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).
Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một.
Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng
(d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông
góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD)
theo a.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a.
Gọi M là trung điểm của SC.
1. Tính diện tích
MABD
theo a. 2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.
3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B].
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có
ABCD
vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc
với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K.
1. Chứng minh HK vuông góc với CS. 2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI.
3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK). 4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có
ABCD
vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D
là trung điểm cạnh AB.
1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD. 2. Tính khoảng cách giữa BC và SD.
3. Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C].
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và
SA a 3=
.
1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng

( )a
đi qua AB và
vuông góc với SC.
1. Tìm điều kiện của h theo a để
( )a
cắt cạnh SC tại K. 2. Tính diện tích
ABKD
.
3. Tính h theo a để
( )a
chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu
nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau.
2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD.
1. Tính diện tích
D
SBE. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE).
3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA a 3=
.
1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA 3 2=
cm. Mp
( )a
đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.
1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. 2. Chứng minh BD song song với
( )a

.
3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của
SACD
. 4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH.
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a.
Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD.
1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 2. Tính khoảng cách giữa SB và CN.
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
4. Tìm điều kiện của a và b để
·
3
cos CMN
3
=
. Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.
SADD
đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD.
1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD).
2. Mặt phẳng
( )a
qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ
( )a
cắt các cạnh SB, SD.
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và
SO 2a 3=
, AC = 4a, BD = 2a.
Mặt phẳng
( )a
qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại

B ', C', D'
.
1. Chứng minh
B ' C ' D 'D
đều. 2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD.
12
Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy
điểm M, đặt MD = m
(0 m a)£ £
.
1. Tìm vị trí điểm M để diện tích
SBMD
lớn nhất, nhỏ nhất.
2. Cho
a
m
3
=
, gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B].
3. CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG
Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC.
1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 2. Tính khoảng cách giữa IK và AD. 3. Tính diện tích tứ giác IKNM.
Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc (A’CB) và (A’CD)
Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương
theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
1. Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’). 2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’).
3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k
(0 k a 2).< <

a. Chứng minh MN song song (A’D’BC).
b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vng góc chung của AD’ và DB.
Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các điểm M, N thỏa
AM mAD, BN mBB' (0 m 1).= = ££
uuur uuur
uuur uuur
Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’.
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD). 2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
A ' BDD
. 4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm.
Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vng ADD’A’.
1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N.
2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D.
3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương.
Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a,
·
0
BAD 60 .=
Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’.
1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vng.
Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vng tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt
phẳng
( )a
qua B và vng góc với B’C.
1. Tìm điều kiện của a, b, c để
( )a
cắt cạnh CC’ tại I (I khơng trùng với C và C’).
2. Cho

( )a
cắt CC’ tại I.
a. Xác định và tính diện tích của thiết diện. b. Tính góc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy.
Bài 29: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=
3a
và vuông góc với đáy
1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng
(SBC).
3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
Bài 30: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với
đáy.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60
0

1) Tính MN và SO. 2) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) .
Bài 31: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH
⊥
(ABCD) với SH=a
1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD). 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 32: Cho góc tam diện Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A,B,C
1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c
2) Giả sử A cố đònh còn B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA=OB+OC .
Hãy xác đònh vò trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất.
Bài 33: Cho tứ diện OABC (vuông tại O), biết rằng OA,OB,OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các góc
γβα
,,
.
C MR: 1)
2coscoscos
222
=++

γβα
2)
2222
ABCOCAOBCOAB
SSSS
∆∆∆∆
=++
Bài 34: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, sa vuông góc với đáy. Gọi M,N là hai
điểm theo thứ tự thuộc BC,DC sao cho
4
3
,
2
a
DN
a
BM ==
. CMR hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc .
13
Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
Bài 35: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho
2
6a
SD =
, CMR hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
Bài 36: Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một
sao cho OA=a , OB=
2a
. OC=c (a,c>0). Gọi D là điểm đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm

của đọan BC. (P) là mặt phẳng qua A,M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM.
a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC , tính độ dài đọan OE.
b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P).
c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P).
Bài 37: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB=
2a
,
)(ABCSC ⊥
,
∆
ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N
thuộc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a)
1) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trò của t để MN ngắn nhất.
2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
Bài 38: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC=4, BD=2 và tâm O.SO=1 vuông góc
với đáy. Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD).
Bài 39: Cho hình lập phương ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
cạnh bằng a. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD,CD.
Lấy
'
BBP ∈
sao cho BP=3PB
'

. Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương .
Bài 40: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
có AB=a, AD=2a, AA
'
=a
1) Tính theo a khoảng cách giữa AD
'
và B
'
C.
2) Gọi M là điểm chia đọan AD theo tỷ số
3=
MD
AM
. Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB
'
C).
3) Tính thể tích tứ diện AB
'
D
'
C.
Bài 41: Cho hình lập phương ABCD.A

'
B
'
C
'
D
'
cạnh bằng a Gọi M, N là trung điểm của BC và DD
'
1) CMR
)(
''
BDAAC ⊥
.2) CMR
)//(
'
BDAMN
3) Tính khoảng cách giữa BD nà MN theo
a
Bài 42: Cho lăng trụ ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc A=60
0
. B

'
O vuông góc với
đáy ABCD, cho BB
'
=a
1) Tính góc giữa cạnh bên và đáy. 2) Tính khoảng cách từ B, B
'
đến mặt phẳng (ACD
'
).
Bài 43: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a tâm I . Trên hai tia Ax, By cùng chiều và cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M,N . Đặt AM=x, CN=y
1) Tính thể tích hình chóp ABCM 2) CMR điều kiện cần và đủ để góc MIN=90
0
là 2xy=a
2
.
Bài 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4
2
Cạnh bên
SC (ABC)⊥
và SC = 2 .Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB
1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN 2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN.
Bài 45: Cho hình lập phương ABCD.A
'
B
'
C
'
D

'
có cạnh bằng 1
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BB
'
.Chứng minh rằng
'
A C MN⊥
. Tính độ dài đọan MN
2) Gọi P là tâm của mặt CDD
'
C
'
. Tính diện tích
MNP∆
.
Bài 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
(ABC) . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằngSA=
a 6
2
Bài 47: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc . Gọi
; ;α β γ
lần lượt là các góc giữa mặt
phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC);(OCA) và (OAB).Chứng minh rằng :
cos cos cos 3α + β + γ ≤
Bài 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
SA=a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE.
Bài 49: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và góc
BAC = 120
0
, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Tính

cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).
14