Bài tập Quan Hệ Vuông Góc hình học không gian 11

Vấn đề 1: Chứng minh đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng v với mặt phẳng
1. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B.
a. Chứng minh BC

(SAB)
b. Gọi AH là đờng cao của

SAB. Chứng minh: AH

(SBC)
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC.
Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a. SO

(ABCD)
b. IJ

(SBD)
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA

(ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình
chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD.
a. Chứng minh rằng: CD

(SAD), BD

(SAC)
b. Chứng minh: SC

(AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)
c. Chứng minh: HK

(SAC), từ đó suy ra HK

AI
4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC
a. Chứng minh: BC

(AID)
b. Vẽ đờng cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH

(BCD)
5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gi H là điểm thuộc
mp(ABC) sao cho OH

(ABC). Chứng minh rằng:
a. BC

(OAH)
b. H là trực tâm của

ABC
c.
2222
1111
OCOBOAOH
++=
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC =
2a
. Gọi H, K
lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD.

a. Chứng minh: SH

(ABCD) b. Chứng minh: AC

SK và CK

SD
Vấn đề 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc
7. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đờng cao BE, DF của tam giác
BCD; đờng cao DK của tam giác ACD
a. Chứng minh: AB

(BCD)
b. Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC)
c. Gọi O và H lần lợt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD. CM: OH

(ADC)
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 60
0
, SA

(ABCD) và SA =
6a
. Chứng
minh:
a. (SAC)

(ABCD) và (SAC)

(SBD) b. (SBC)

(SDC)
Vấn đề 3: Các bài toán về khoảng cách
9. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB

(BCD) và AB = a. Tính k/c:
a. Từ D đến (ABC) (đs :
3
2
a
)
b. Từ B đến (ACD) (đs :
21
7
a
)
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB = b. Tính khoảng
cách:
a. Từ S đến (ABCD) (đs :

2 2
1
4
2
b a
)
b. Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB (đs:
5
5
a

)
c. Từ AD đến (SBC) (đs :

2 2
4
2
a b a
b
)
11. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. SA = SB = SC = AD = a
2
.
Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC
a. Chứng minh (SIJ)

(SBC)
b. Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AD và SB (đs :
42
7
a
)
12. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA

(ABC) và AA = a, đáy là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a
3
.
a. Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng(BCCB) ( đs:
3
2
a

)
b. Tính khoảng cách từ A đến (ABC) ( đs:
21
7
a
)
c. Cmr AB

mp(ACCA) và tính khoảng cách từ A đến (ABC) (đs:
2
2
a
)
13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa 2 đờng
thẳng:
a. SC và BD b. AC và SD ( đs:
6
6
a
;
3
3
a
)
c. SB và AD d. AB và SC (đs:
2
2
a
;
2

2
a
)
Vấn đề 4: Góc giữa Đờng thẳng và Mặt phẳng, giữa 2 Mặt phẳng
14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA =
6a
vuông góc với đáy. Tính góc của:
a. SC với (ABCD) (60
0
)
b. SC với (SAB)


=
ữ
ữ

7
tan
7
c. SB với (SAC)


=
ữ
ữ

14
sin
14

15. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA =
3a
vuông góc với (ABCD). Tính góc:
a. (SAB) và (ABC) (90
0
)
b. (SBD) và (ABD)
( )

=tan 6
c. (SAB) và (SCD) (30
0
)
16. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung điểm AB.
a. Chứng minh SI

(ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD)


=
ữ
ữ

15
tan
5
b. Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Suy ra góc của SC với (SAD)


=

ữ
ữ

3 6
;sin
2 4
a
c. Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ)

(ABCD). Tính góc hợp bởi SI với (SDC)


=
ữ

2
tan
3
17. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60
0
và
hình chiếu H của đỉnh A lên (ABC) trùng với trung điểm của BC.
a. Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy (3a/2)
b. Tính góc giữa 2 đờng thẳng: BC và AC (tan

= 3)
c. Tính góc giữa mặt phẳng (ABBA) và mặt đáy
( )

=tan 2 3

18. Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC. Tính
góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (s: 60
0
)
19. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.
a. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy (30
0
)
b. Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy


=
ữ

2
tan
3