Bài tập cực trị hàm số có giải chi tiết

TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
1

-

TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 2015

CHUYÊN ðỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ

PHẦN 1: Cực trị của hàm số

Giáo viên: Nguyễn Quốc Tuấn


******************************************
Bài tập 1: Cho hàm số
3 2
6 9 2
y x x x
= − + −

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (C) ñã cho
b. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm
(
)
M C

∈
, biết ñiểm M cùng với hai
cực trị A, B của ñồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6.
Hướng dẫn giải
ðiểm cực ñại của
(
)
C
:
(
)
1;2
A
và ñiểm cực tiểu của
(
)
C
:
(
)
3; 2
B
−

2 5
AB⇒ =
và ñường thẳng
: 2 4 0
AB x y
+ − =

M thuộc
(
)
C
( )
( )
3 2
3 2
6 11 6
; 6 9 2 ;
5
a a a
M a a a a d M AB
− + −
⇒ − + − ⇒ =

Gọi
( )
1
. ; 6
2
MAB
S S AB d M AB
∆
= = =

3 2
6 11 6 6
a a a

⇔ − + − =
3 2
3 2
6 11 0 0
4
6 11 12 0
a a a a
a
a a a

− + = =

⇔


=
− + − =




Với
(
)
0 0; 2a M
=
⇒
−
⇒
: tiếp tuyến tại M là

9 2
y x
= −

Với
(
)
4 4;2
a M=
⇒
: Tiếp tuyến tại M là
9 34
y x
= −

Bài tập 2: Cho hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
= − +
có ñồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho với m= 1
b. Tìm m ñể
(
)
m
C
có các ñiểm cực ñại, cực tiểu ở về một phía ñối với ñường thẳng
3 2 8 0
x y

− + =

Hướng dẫn giải
3
2
0 ; 4
' 3 6 ; ' 0
2 ; 0
x y m
y x mx y
x m y

= =
= − = ⇔

= =


Các ñiểm cực trị cằm cùng phía ñối với ñường thẳng
3 2 8 0
x y
− + =

(
)
(
)
( )( )
3
8 8 6 8 0

4
1 3 4 0 ;1
3
m m
m m m
− + + >
 
⇔ − + < ⇔ ∈ −
 
 

TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
2

-

Vậy
4
;1
3
m
 
∈ −
 
 

thỏa mãn theo yêu cầu của ñề bài.
Bài tập 3: Cho hàm số
(
)
4 2
2 1 1
y x mx m= − + +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi m= 2
b. Tìm giá trị của tham số m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị tạo thành một tam giác
sao cho trục Ox chi tam giác ñó thành hai phần có diện tích bằng nhau
Hướng dẫn giải
Ta có
( )
3 2
2
0
' 4 4 4 ; ' 0
x
y x mx x x m y
x m
=

= − = − = ⇔

=


ðể hàm số (1) có ba cực trị thì phương trình
' 0

y
=
có ba nghiệm phân biệt
0
m
⇔ >

Giả sử tọa ñộ của 3 ñiểm cực trị là:
( )
(
)
(
)
2 2
0; 1 , ; 1 , ; 1
A m B m m m C m m m
+ − − + + − + +

Gọi
(
)
2
0; 1
H m m
− + +
là trung ñiểm của BC, trục ox cắt AB và AC tại M và N theo
bài ra ta phải có
( )
2
2

1
1 1 1 2 2 4 2
2 1 0
2 2 2
2
AMN
ABC
m
S OA
m m m
S OH m
∆
∆
+
± +
=
⇒
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔ =

Kết hợp ñiều kiện ta thấy

2 2 4 2
2
m
+ +
=
thỏa mãn ñiều kiện
Bài tập 4: Cho hàm số
4 2
1 1

1
4 2
y x x
= − +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho
b. ðường thẳng
∆
ñi qua ñiểm cực ñại của (C) và có hệ số góc k. Tìm k ñể tổng khoảng
cách từ hai ñiểm cực tiểu của (C) ñến
∆
là nhỏ nhất
Hướng dẫn giải
Tọa ñộ ñiểm cực ñại
(
)
0;1
A
, tọa ñộ các ñiểm cực tiểu
3
1;
4
B
 
 
 
và
3
1;
4

C
 
−
 
 

Phương trình của
∆
:
1 0
kx y
− + =
. Khoảng cách từ B và C lần lượt ñến
∆
là :
1
2
1
4
1
k
h
k
+
=
+
và
2
2
1

4
1
k
h
k
− +
=
+

Suy ra
( ) ( )
2 2
2
1 2
2
1 1
2 2
8 16
*
1
k k
H h h
k
+ + −
= + =
+

Xét hàm số
( )
1 1

2 2
8 16
1
t t
f t
t
+ + −
=
+
với
0
t
≥

Nếu
1
16
t
≥
thì
( ) ( )
( )
2
4 4
'
1
1
t
f t f t
t

t
= ⇒ =
+
+

(
)
f t
⇒
ñồng biến và
( )
1 4
16 17
f t f
 
≥ =
 
 

TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
3

-

Nếu

1
0
16
t≤ ≤
thì
( ) ( )
( )
2
4 1
' 0
1
4 1
t
f t f t
t
t
−
= ⇒ = < ⇒
+
+

(
)
f t
là hàm số nghịch biến
( )
1 4
16 17
f t f
 

≥ =
 
 

Suy ra
(
)
f t
nhỏ nhất khi
1
16
t
=

Áp dụng vào (*) ta ñược H nhỏ nhất
(
)
1 2
h h
+
nhỏ nhất khi và chỉ khi
2
1 1
16 4
k k
= ⇔ = ±

Bài tập 5: Cho hàm số
3 2
3 1

y x x mx
= − + +
(1)
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
0
m
=

b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có cực ñại và cực tiểu và ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực
ñại và cực tiểu song song với ñường thẳng
(
)
:2 6 0
d x y
+ − =

Hướng dẫn giải
Ta có:
2
' 3 6
y x x m
= − +

Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi phương trình
' 0
y
=
có hai nghiệm phân biệt
Tức là
' 9 3 0 3

m m
∆ = − > ⇔ <

Chia ña thức y cho y’, ta tính ñược
1 2
'. 2 1
3 3 3 3
x m m
y y x
   
= − + − + +
   
   

Giả sử hàm số có cực ñại và cực tiểu tại các ñiểm
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
x y x y

Ta có phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực ñại và cực tiểu là
2 2
2 1 2 1 0
3 3 3
m m m
y x x y
   

= − + + ⇔ − − + =
   
   

ðể ñường thẳng này song song với ñường thẳng (d) thì
2
2
1 2 6
3
1 0
2 1 6
m
m
m
−
−
= ⇔ = − ⇔ =
−

Thỏa mãn vậy
0
m
=
là giá trị cần tìm.
Bài tập 6: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2

3 3 2 1 1
y x x m m x= − + + + +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
0
m
=

b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị ñối xứng nhau qua ñiểm
(
)
1;3
I

Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2 2
2
' 3 6 3 6
' 0 2 2 0
2
y x x m m
x m
y x x m m
x m
= − + + +
= −

= ⇔ − − + = ⇔


= +


Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
=
có hai nghiệm phân biệt ñiều
này tương ñương
2 1
m m m
+ ≠ − ⇔ ≠ −

Với
3 2
2 3 1
m m y m m
= − ⇒ = − − +

Với
3 2
2 2 9 12 5
x m y m m m
= + ⇒ = + + +

TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932
E mail:

-
Trang
4

-

Tọa ñộ hai ñiểm cực trị A, B lần lượt là :
(
)
(
)
3 2 3 2
;2 3 1 , 2;2 9 12 5
A m m m B m m m m
− − + + + + +

I là trung ñiểm của AB khi và chỉ khi
2
2
0
6 12 0
2 2
A B I
A B I
x x x
m
m m
y y y m
+ =
=



⇔ + = ⇔


+ = = −



Bài tập 7: Cho hàm số
(
)
3 2 2
2 9 12 1
m
y x mx m x C
= + + +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
1
m
=
.
b. Tìm các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu. Với giá trị nào của m ñể
2 2
4 2
CD CT
x x
−
ñạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải
ðể hàm số có cực ñại và cực tiểu thì
(
)
2 2
' 6 3 2 0
y x mx m
= + + =
có hai nghiệm phân
biệt. ðiều này tương ñương
2
0 0
m m
∆ = ≠ ⇔ ≠

Khi ñó phương trình có hai nghiệm
( ) ( )
( )
2
1 2
1 1
3 , 3 10 6 3
2 2
x m m x m m m m m m f m
= − − = − + = + + − =

Suy ra
( ) ( )
( )
2

2
2
2
16 2 0
16 2 0
4 4 0
2 1 1 0
m m khi m
m m khi m
f m f m
m m khi m
m khi m

+ >

+ >
 
= ⇔ =
 
+ <
+ − <





Suy ra
(
)
1,

f m
≥
với mọi
( )
1
0, 1
2
m f m m
≠ = − ⇔ = −

Suy ra
2
4 2
CD CT
x x
−
nhỏ nhất khi
1
2
m
= −

Bài tập 8: Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 4
1 2 1
3 3
y x m x m x
= − + + + + −

với m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
1
m
=

b. Tìm m ñể hàm số có hai cực trị tại
1
x
và
2
x
sao cho
2 2
1 2
1 1
2
x x
+ =

Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
1
' 2 1 2 1, ' 0
2 1
x
y x m x m y
x m

=

= − + + + = ⇔

= +


Vậy
( )
2 2 4
1 2
0
1 1 1
2 1
1
2 1
m
m
x x
m
=

+ = ⇔ = ⇔

= −
+


ðối chiếu ñiều kiện ta ñược
1

m
= −


Bài tập 9: Cho hàm số
4 2 4
2 2
y x mx m m
= − + +
với m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
1
m
=

b. Tìm tất cả các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu mà các ñiểm cực ñại và cực
tiểu của ñồ thị hàm số tạo thành tam giác có diện tích bằng 1
Hướng dẫn giải
Ta có:
3
2
0
' 4 4 , ' 0
x
y x mx y
x m
=

= − = ⇔


=


TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
5

-

Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
=
có ba nghiệm phân
biệt
0
m
⇔ >

Khi
0
m
>
ñồ thị hàm số có một cực ñại là
(
)

4
0; 2
A m m
+
và hai ñiểm cực tiểu là
(
)
(
)
4 2 4 2
; 2 , ; 2
B m m m m C m m m m
− − + − +

Tam giác
ABC
là tam giác cần tại A
A Oy
∈
, B, C là hai ñiểm ñối xứng nhau qua Oy.
Gọi H là trung ñiểm của BC thì
( )
4 2 2
1 1
0; 2 . .2
2 2
ABC
H m m m S AH BC m m m m
∆
− + ⇒ = = =

Theo giả thiết
1
ABC
S m
∆
= =

Vậy
1
m
=
thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài tập 10: Cho hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
= − +
có ñồ thị là
(
)
m
C

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho
b. Tìm m ñề
(
)
m

C
có các cực ñại và cực tiểu ở về một phía với ñường thẳng
3 2 8 0
x y
+ − =

Hướng dẫn giải
Ta có:
3
2
0 ; 4
' 3 6 , ' 0
2 ; 0
x y m
y x mx y
x m y

= =
= − = ⇔

= =


ðể hai ñiểm cực trị nằm về một phía với ñường thẳng
3 2 8 0
x y
+ − =
thì
( )
( )

3
4
8 8 6 8 0 1
3
m m m
− + + > ⇔ − < <

Bài tập 11: Cho hàm số
4 2
2 1
y x mx m
= − + +
có ñồ thị
(
)
1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
2
m
=

b. Tìm các giá trị của tham số m ñể ñồ thị hàm số
(
)
1
có ba ñiểm cực trị tạo thành một tam
giác sao cho trục Ox chia tam giác ñó thành hai phần có diện tích bằng nhau
Hướng dẫn giải
Ta có:

3
2
0
' 4 4 ; ' 0
x
y x mx y
x m
=

= − = ⇔

=


ðể ñồ thị hàm số có ba cực trị thì phương trình
' 0
y
=
có ba nghiệm phân biệt khác 0.
ðiều này tương ñương
0
m
>

Giả sử tọa ñộ ba ñiểm cực trị là
( )
(
)
(
)

2 2
0; 1 , ; 1 , ; 1
A m B m m m C m m m
+ − − + + − + +

Gọi
(
)
2
0; 1
H m m
− + +
là trung ñiểm của BC, trục Ox cắt AB và AC lần lượt tại M và
N theo ñề bài ta có
( )
2
1 1
2 1 0
2
2
2 2 4 2
2
AMN
ABC
S OA
m m
S AH
m
∆
∆

= ⇔ =
⇒
− + =
± +
⇔ =

Kết hợp ñiều kiện ta có
2 2 4 2
2
m
+ +
=

TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
6

-

Bài tập 12: Cho hàm số
( )
2
1
4 1 2 1
4
y x m x m

= − + + +
có ñồ thị là
(
)
m
C
và m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
1
m
=

b. Cho
5
0;
2
I
 
−
 
 
. Tìm m ñể
(
)
m
C
có các ñiểm cực ñại là A và hai ñiểm cực tiểu là B, C sao
cho tứ giác ABIC là hình thoi.
Hướng dẫn giải
Ta có:

(
)
3
' 2 1
y x m x
= − +

(
)
m
C
có một ñiểm cực ñại là A và hai ñiểm cực tiểu là B, C khi phương trình
' 0
y
=

có ba nghiệm phân biệt
(
)
2 1 0 1
m m
⇔ + > ⇔ > −

Khi ñó ba nghiệm phân biệt của
(
)
m
C
là cực ñại
(

)
0;2 1
A m
+
, hai ñiểm cực tiểu là
( )
(
)
( )
(
)
2 2
2 1 ; , 2 1 ;
B m m C m m
− + − + −

Nhận thấy rằng AI vuông góc với BC tại
(
)
2
0;
H m
−
và H là trung ñiểm của BC. Do
ñó tứ giác ABIC là hình thoi khi và chỉ khi H là trung ñiểm của AI. Tức là:
2
1
2
2
2 1

2 5
2
H A I
H A I
m
x x x
m m
y y y
m

=

= +

⇔ − = + ⇔


= +


= −



Bài tập 13: Cho hàm số
3 2
3 2
y x mx
= − +
có ñồ thị hàm số

(
)
m
C
, với m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho với
1
m
=

b. Tìm
m R
∈
ñể ñồ thị hàm số
(
)
m
C
có hai ñiểm cực trị và ñường thẳng ñi qua hai ñiểm
cực trị tạo với Ox một góc
α
sao cho
1
cos
5
α
=

Hướng dẫn giải
Ta có:

2
0
' 3 6 ; ' 0
2
x
y x mx y
x m
−

= − = ⇔

=


ðồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
=
có hai nghiệm
0
m
⇔ ≠

Gọi
(
)
(
)
3
0;2 , 2 ; 4 2

A B m m
− +
là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số
(
)
m
C
. Khi ñó
ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị có vector chỉ phương là
(
)
3
2 ; 4
AB m m
= −

có
vector pháp tuyến là
(
)
2
2 ;1
n m=


Trục Ox có vector pháp tuyến là
(
)
0;1
j =



ðường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với trục Ox góc
α
. Ta có
(
)
4
4
1 1 1 1
cos cos , 4 1 5 1
5 5 5
4 1
n j m m
m
α
= ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ±
+
 
thỏa mãn . Vậy
1
1
m
m
=


= −


Bài tập 14: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 2 3
3 3 1
y x mx m x m m C
= − + − − +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho
TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
7

-

b. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực ñại và cực tiểu. Tìm m ñể các ñiểm cực trị của
hàm số cùng với ñiểm
(
)
1;1
I
, tạo thành tam giác có bán kính ñường tròn ngoại tiếp bằng
5

Hướng dẫn giải
Ta có:
(
)
( )
2 2
2 2
' 3 6 3 1
' 0 3 6 3 1 0
y x mx m
y x mx m
= − + −
= ⇔ − + − =

Ta có:
' 1 0
∆ = >
với mọi m. Suy ra phương trình
' 0
y
=
luôn có hai nghiệm phân biệt
với mọi m. Suy ta hàm số luôn có cực ñạ và cực tiểu
(
)
(
)
1;2 2 , 1; 2 2
A m m B m m
− − + − −

Phương trình
: 2 0
AB x y
+ =
Nên A,B, I lập thành một tam giác
Với
5, 2 5
R AB= =
nên tam giác IAB vuông tại I với AB là ñường kính
ðiều này tương ñương
2 2 2 2
1
10 4 6 0
3
5
m
IA IB AB m m
m
= −


+ = ⇔ + − = ⇔

=



Bài tập 15: Cho hàm số
(

)
3 2
( ) 3 1 1
y f x mx mx m x
= = + − − −
, m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2. Xác ñịnh các giá trị của m ñể hàm số
( )
y f x
=
không có cực trị.
Hướng dẫn giải
+ Khi m = 0
1
y x
⇒ = −
, nên hàm số không có cực trị.
+ Khi
0
m
≠

(
)
2
' 3 6 1
y mx mx m
⇒ = + − −

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi
' 0
y
=
không có nghiệm hoặc có nghiệm kép
(
)
2 2
' 9 3 1 12 3 0
m m m m m
⇔ ∆ = + − = − ≤
1
0
4
m
⇔ ≤ ≤

Bài tập 16: Cho hàm số
3
3 2.
y x x
= − +

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho.
2. Gọi A, B là hai ñiểm cực trị của ñồ thị (C). Tìm toạ ñộ các ñiểm M thuộc (C) sao
cho tam giác MAB cân tại M.
Hướng dẫn giải
Ta có ph
ươ
ng trình

ñườ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a AB là d: x – 2y + 4 = 0
Hoành
ñộ
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a d và (C): 2x
3
– 7x = 0
1 2 3
0
7 1 7 7 1 7
(0;2)( ), ; 2 , ; 2
7
2 2 2 2 2 2
2
x
M loai M M
x
=

   


⇔ ⇒ − − + +
   
   

= ±
   



Bài tập 17: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
= − +
có ñồ thị
(
)
C

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho
b. ðường thẳng
∆
ñi qua ñiểm cực ñại của ñồ thị
(
)
C
và có hệ số góc bằng
2
1

4
m
+
. Tìm
tất cả các giá trị của tham số , ñể khoảng cách từ các ñiểm cực ñại và cực tiểu của ñồ thị
(
)
C
ñến ñường thẳng
∆
là nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
8

-

Ta có các ñiểm cực ñại và cực tiểu của ñồ thị
(
)
C
lần lượt là
(
)
0;2

A
và
(
)
2; 2
B
−
.
Phương trình ñường thẳng
∆
là
2
1
2
4
y m x
 
= + +
 
 

Gọi H là khoảng cách từ ñiểm B ñến
∆
. ta luôn có
h AB
≤
và vector chỉ phương của
AB vuông góc với
∆

Ta có:
( )
2
1
2; 4 , 1;
4
AB u m
∆
 
= − = +
 
 
 

Khi ñó
AB
⊥ ∆
2
1 1
. 0
4 2
AB u m m
∆
⇒ = ⇔ = ⇔ = ±
 

Bài tập 18: Cho hàm số
3 2
3 3 2
y x x mx

= − + +
có ñồ thị
(
)
C
với m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
0
m
=

b. Tìm m ñể ñồ thị
(
)
C
có cực ñại và cực tiểu. Và khoảng cách giữa hai ñiểm cực trị của
ñồ thị hàm số bằng
4 65

Hướng dẫn giải
Ta có
2
' 3 6 3
y x x
= − +

ðồ thị
(
)
C

có cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
=
có hai nghiệm
1
x
và
2
x

9 9 0 1
m m
− > ⇔ <

Theo ñịnh lý viet ta có
1 2
1 2
2
x x
x x m
+ =


=


Do
( )
1

' 2 1 2
3 3
x
y y m x m
 
= − + − + +
 
 
nên tọa ñộ hai ñiểm cực trị là
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
2 2 3 3
2
1 2
;2 1 2 , ;2 1 2
4 1 1 4 4 1 1 1
A x m x m B x m x m
AB m x x m m m
− + + − + +
   
⇒ = − + − = − + − + −
   

Theo giả thiết thay vào ta có
3
m
= −

Bài tập 19: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 2 3
3 3 1 2
y x mx m x m= − + − − +

(
)
m
C

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
0
m
=

a. Tìm m ñể ñồ thị hàm số
(
)
m
C

có hai ñiểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác OAB
bằng 4
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2 2
1
' 3 6 3 1 , ' 0
1
x m
y x mx m y
x m
= +

= − + − = ⇔

= −


Phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị là
2 2 0
y x m
+ + + =

( )
2
;
5
m
d O AB

+
=
, mặt khác
5 2 5
A B
AB x x= − =

2
OAB
S m
= +
do ñó
2
4 2 4
6
OAB
m
S m
m
=

= ⇔ + = ⇔

= −



Bài tập 20: Cho hàm số
(
)

(
)
3 2
2 3 1 6 2 1
y x m x m x
= + − + − −

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
1
m
=

b. Tìm giá trị của m ñể ñồ thị hàm số
(
)
m
C
có cực ñại và cực tiểu và hai ñiểm cực trị cách
TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
9

-

ñều ñường thẳng
1

y x
= −

Hướng dẫn giải
Ta có:
( ) ( )
2
1
' 6 6 1 6 2 ; ' 0
2
x
y x m x m y
x m
= −

= + − + − = ⇔

= −


Hàm số có cực ñại, cực tiểu khi và chỉ khi
2 1 3
m m
− ≠ − ⇔ ≠

Viết lại hàm số dưới dạng
( )
2 2
1
' 6 9 3 3

3 6
x m
y y m m x m m
−
 
= = − − + − + −
 
 

Suy ra ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số có phương trình là
(
)
2 2
6 9 3 3
y m m x m m
= − + − + −

ðường thẳng này có hệ số góc là
(
)
2
6 9 1
k m m
= − + ≠
với mọi m nên ñường thẳng d
không thể là ñường thẳng song song với
(
)
: 1
y x

∆ = −

Do ñó: hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số cách ñều ñường thẳng
∆
khi và chỉ khi
trung ñiểm của hai ñiểm cực trị thuộc ñường thẳng
∆

Hai ñiểm cực trị của hàm số là
(
)
(
)
3 2
1;6 3 , 2 ; 9 24 21
A m B m m m m− − − − + −

Trc của AB có tọa ñộ là
3 2
1 9 21 15
;
2 2
m m m m
I
 
− − + −
 
 

I thuộc ñường thẳng

∆
khi và chỉ khi
3 2
1
9 22 14 0
4 2
m
m m m
m
=

− + − = ⇔

= ±

Thỏa mãn
ñiều kiện
Bài tập 21: Cho hàm số
3 2
6 9 2
y x x x
= − + −
có ñồ thị
(
)
C

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho
b. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị
(

)
C
tại ñiểm M, biết M cùng với hai ñiểm cực trị
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6.
Hướng dẫn giải
ðiểm cực ñại và cực tiểu của ñồ thị
(
)
C
lần lượt có tọa ñộ
(
)
(
)
1;2 , 3; 2
A B
−

2 5
AB =
và ñường thẳng
: 2 4 0
AB x y
+ − =

M thuộc ñồ thị
(
)
C

( )
( )
( )
3 2
3 2
6 11 6
; 6 9 2 ;
5
1
. ; 6
2
MAB
a a a
M a a a a d M AB
S AB d M AB
− + −
− + − ⇒ =
= =

3 2
3 2
3 2
6 11 0 0
6 11 6 6
4
6 11 12 0
a a a a
a a a
a
a a a


− + = =

⇔ − + − = ⇔ ⇔


=
− + − =



Với
0
a
=
: Phương trình tiếp tuyến là
9 2
y x
= −

Với
4
a
=
: Phương trình tiếp tuyến là
9 34
y x
= −

Bài tập 22: Cho hàm số

4 2
1
2 2
3
y x mx
= − +
với m là tham số
TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
10

-

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
4
3
m
=

b. tìm m ñể ñồ thị
(
)
C
có ba ñiểm cực trị tạo thành một tam giác có tâm ñường tròn ngoại
tiếp trùng với gốc tọa ñộ O
Hướng dẫn giải

Ta có:
( )
3 2
4 4
' 4 3
3 3
x
y x mx x m
= − = −

ðường thẳng hàm số có ba ñiểm cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
=
có ba
nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
0
m
>

Khi ñó ñồ thị hàm số có ba ñiểm cực trị là
( )
(
)
(
)
2 2
0;2 , 3 ;2 3 , 3 ;2 3
A B m m C m m
− − −

Tam giác ABC có tâm ñường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa ñộ O khi và chỉ khi
OA OB OC
= =

( )
( )
( )
2
2 2
1; 0
2 3 2 3 1 3 3 1 0
3 21
6
m m
m m m m m m
m
= =


= + − ⇔ − + − = ⇔
− ±

=



Bài tập :23 Cho hàm số
(
)

3 2
3 1 1
y mx mx m x
= + − − −
với m là tham số và có ñồ thị là
(
)
m
C

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
1
m
=

b. Tìm ñể các giá trị của m ñể hàm số
(
)
m
C
không có cực trị
Hướng dẫn giải
+ Khi
0 1
m y x
= ⇒ = −
, nên hàm số không có cực trị
+ Khi
(
)

2
0 ' 3 6 1
m y mx mx m
≠ ⇒ = + − −

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi
' 0
y
=
không có nghiệm hoặc có nghiệm kép
( )
2 2
1
' 9 3 1 12 3 0 0
4
m m m m m m
⇔ ∆ = + − = − ≤ ⇔ ≤ ≤


Bài tập 24: Cho hàm số
(
)
3 2
1
y x m x x
= + + −

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
0
m

=

b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của giá trị m, hàm số có cực ñại và cực tiểu ñồng thời
thỏa mãn
3
1
2
CD CT CD CT
y y x x
− = −

Hướng dẫn giải

Ta có :
(
)
2
' 3 2 1 1 ' 0
y x m x y
= + + − ⇒ =
luôn có hai nghiệm trái dấu. Do ñó hàm số
luôn có cực ñại và cực tiểu với mọi giá trị m
( ) ( )( )
2 2
1 1
CD CT CD CT CD CD CT CT CD CT
y y x x x x x x m x x
 
− = − + + + + + −
 

Ta có:
(
)
2 1
3
1
3
CD CT
CD CT
m
x x
x x
+

+ = −




= −



Ta có biến ñối rồi suy ra ñiều cần chứng minh
Bài tập 25: Cho hàm số
4 2
2 2 4
y x mx m
= − + −

có ñồ thị
(
)
m
C

TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
11

-

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
1
m
=

b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể ñồ thị hàm số
(
)
m
C
có ba ñiểm cực trị tạo thành
một tam giác cân có góc ở ñỉnh của tam giác ñó bằng
α
và

1
tan
2
2 2
α
=

Hướng dẫn giải
Ta có:
3
2
0
' 4 4 , ' 0
x
y x mx y
x m
−

= − = ⇔

=


ðồ thị hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi
0
m
>

Khi ñó các ñiểm cực trị của ñồ thị là
(

)
(
)
(
)
2 2 2
0;2 4 , ; 4 , ; 4
A m B m m C m m
− − − −

Ta thấy B, C ñối xứng nhau qua trục Oy và
A Oy
∈
, neen tam giác ABC cân tại A.
Phương trình cạnh BC:
2
4 0
y m
− + =

Gọi H là chân ñường cao từ ñỉnh A của tam giác ABC
(
)
2
; ,
AH d A BC m BH m
= = =

Tam giác ABH vuông tại H nên
2

tan 2
2
BH m
m
AH m
α
= = ⇔ =

Vậy
2
m
=
là giá trị cần tìm
Bài tập 26: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 2
3 2 1 2
y x m x m x m m
= + + + + + +
có ñồ thị là
(
)
m
C

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
1

m
= −

b. Tìm tất cả giá trị của m ñể hàm số có hai cực trị thỏa mãn
. 0
CD CT
y y
<

Hướng dẫn giải
Học sinh tự làm

Bài tập 27: Cho hàm số
( ) ( )
2 2
1 1
y x x
= + −
có ñồ thị
(
)
C

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho
b. Lập phương trình ñường thẳng d ñi qua ñiểm cực ñại của ñồ thị
(
)
C
sao cho tổng
khoảng cách từ hai ñiểm cực tiểu của ñồ thị

(
)
C
ñến ñường thẳng d là lớn nhất
Hướng dẫn giải
Học sinh tự làm



TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 2015

CHUYÊN ðỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ

PHẦN 1: Cực trị của hàm số
TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
12

-


Giáo viên: Nguyễn Quốc Tuấn

ðT: 0905671232
Email:
ðịa chỉ: 151 ðặng Văn Ngữ-TP Huế