BÀI TẬP: CỰC TRỊ HÀM SỐ

Cực trị cua hàm số
1/ Cho hm s
3 2
2 12 13y x ax x= +
1. Vi giỏ tr no ca a thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu v cỏc im ny cỏch
u trc tung.
2. Kho sỏt s bin thiờn v v th vi a = 2.
2/ Cho hm s
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
+ +
=

, xỏc nh m hm s cú cc tr. Tỡm m tớch cỏc cỏc
giỏ tr cc tr ú nh nht
3/ Cho hm s
2
1
x x m
y
x
+ +
=
+
, xỏc nh nhng giỏ tr ca m th hm s cú im cc i v cc
tiu nm v hai phớa ca trc tung.
4/ Cho hm s

3 2 2
3y x x m x m= + +
, tỡm m hm s cú cc i, cc tiu v cỏc im cc i , cc
tiu ny i xng nhau qua ng thng
1 5
2 2
y x=
.
5/ CMR hm s
2
1
x mx m
y
x
+
=

luụn cú hai cc tr v khong cỏch gia cỏc im cc tr khụng i.
6/ Tỡm m th hm s
1
y mx
x
= +
cú cc tr v khong cỏch t im cc tiu n tim cn xiờn
bng
1
2
.
7/ Cho hm s
2

( 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
.CMR vi mi m thỡ th hm s luụn cú hai im cc tr v
khong cỏch gia hai im ú bng
20
.
8/ Tỡm m th hm s
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
+ +
=

cú hai im cc tr v chỳng nm v hai phớa ca
trc tung.
9/ Cho hm s
3 2
(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + + + +
Tỡm m sao cho th hm s cú im cc i v
cc tiu, thi honh cỏc im cc i v cc tiu nh hn 1.
10/ Tìm a để hàm số
3 2
2 12 13y x ax x= +

có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu này cách
đều trục Oy
11/ Cho hàm số
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= + +
. Tìm m để hàm số có CĐ, CT đồng thời hoành độ x
1
,
x
2
của các điểm cực trị thoả mãn x
1
+ 2x
2
= 1.
12/ Tìm m để hàm số
3 2
3
2
m
y x x m= +
có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đờng thẳng y=x
13/ Tìm m để hàm số
2
8
1
x mx m

y
x
+ +
=

có CĐ, CT nằm về hai phía của đờng thẳng 9x-7y-1=0.
14/ Tìm m để hàm số
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
+ +
=

có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị CĐ, CT nhỏ
nhất
15/ Tìm m để hàm số
2 2
2 (2 3) 4x m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
có cực đại, cực tiểu thoả mãn y
CĐ
. y
CT

<0
16/ CMR hàm số:
2
2 3
2
x mx m
y
x
+ +
=
+
luôn có cực trị với mọi m. Tìm m để hai điểm cực trị đối xứng với
nhau qua đờng thẳng x+2y+8=0
17/ Cho hàm số:
3 2
6 3( 2) 6.y x x m x m= + +
Tìm m để:
1. Hàm số có cực đại; cực tiểu 2. Hàm số có hai cực trị trái dấu
18/ Cho hs y = x
3
3x
2
mx + 2 . Tỡm m hs cú C v CT ng thi 2 im C ,
CT ca th cỏch u .thng d : y = x 1 . ( s : m = 0 )
19/ Cho hs y = x
4
2mx
2
+ m 1 .Tỡm m th hs cú 3 im cc tr to thnh 3
nh ca mt tam giỏc u . ( s : m =

3
3 )
20/ Cho hs y =
2
(3 2) 4
1
x m x m
x
+ + +

. Tỡm m hs cú C , CT v khong cỏch gia 2
im C ,CT ca th nh hn 3 . ( s :
51 3
40 2
m< <
)
21/ Cho hs y =
2
3
1
x mx
x
+ +
+
. Tỡm m hs cú C , CT ng thi 2 im C , CT ca
th nm v 2 phớa ca .thng d : 2x + y 1 = 0 . ( s : 3 4 3 3 4 3m < < + )
22/ Cho hs y =
2
( 3) 3 1
1

x m x m
x
+ + +

. Tỡm m hs cú C , CT v cỏc giỏ tr C , CT
cựng õm . ( s :
1
1 , 5
2
m m< < >
)
23/ Cho hs y = - x
3
+ 3x
2
+ 3( m
2
1 )x 3m
2
1 . Tỡm m hs cú C , CT
v 2 im cc tr ny cỏch u gc ta . ( s : m =
1
2

)
24/ cho h/số y = - x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 m

2
)x + m
3
m
2
(1).Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm
cực trị của (1).
25/ Cho h/sè y =
2 2
2( 1) 4
2
x m x m m
x
+ + + +
+
(1) .t×m m ®Ĩ ®å thÞ (1) cã cùc ®¹i vµ cùc tiĨu, ®ång thêi c¸c
cùc trÞ cđa ®å thÞ cïng víi gèc to¹ ®é O t¹o thµnh mét tam gi¸c vu«ng t¹i O.
26/ Cho h/sè y =
2
2( 1) 1
1
x m x m
x
+ + + +
−
(1).t×m m ®Ĩ h/sè (1) cã 2 ®iĨm cùc trÞ n»m vỊ hai phÝa cđa trơc
tung
27/ Cho h/sè y = x
3
+ (1-2m)x

2
+ (2 – m )x + m + 2 ( C ).t×m m ®Ĩ ®å thÞ ( C ) cã cùc ®¹i, cùc tiĨu,
®ång thêi hoµnh
®é cđa ®iĨm cùc tiĨu nhá h¬n 1.
28/ Cho h/sè y = x
4
-2m
2
x
2
+ 1 (1).t×m m ®Ĩ ®å thÞ h/sè (1) cã 3 ®iĨm cùc trÞ lµ 3 ®Ønh cđa mét tam gi¸c
vu«ng c©n.
29/ Cho hàm số y =
1
3
x
3
− mx
2
+ (2m − 1)x − m + 2.Tìm m sao cho hàm số có 2 cực trị có hồnh độ
dương.
30/ Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ (m
2
+ 2m − 3)x + 3m + 1.Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực
đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung
31/ Cho hµm sè

2
2
2
−
−+
=
x
mmxx
y
( C)T×m m ®Ĩ (Cm)cã hai ®iĨm cùc trÞ n»m vỊ hai phÝa cđa
®êng th¼ng x+2y-3 =0
32/ Cho hµm sè:
1
2
222
+
++
=
x
mxmx
y
X¸c ®Þnh m ®Ĩ hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiĨu. CMR khi hµm sè cã cùc
®¹i, cùc tiĨu th× 2 ®iĨm cùc ®¹i vµ cùc tiĨu n»m vỊ 2 phÝa cđa 0x
33/ Cho y = 2x
3
- 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m+1)x +1.T×m m ®Ĩ y cã cùc trÞ. T×m q tÝch cùc trÞ
34/ Cho hàm số:
2

( 1)
1
mx m x
y
x
+ −
=
+
có đồ thị
( )
m
C
Tìm các giá trị của
m
để đồ thị
( )
m
C
có hai cực trị
đồng thời khoảng cách từ điểm
(2; 1)K
−
đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 2.
35/ Cho hàm số
1)14()1(
3
2
3
−+++−=
xmxm

x
y
, Tìm các giá trò của tham số m để hàm số đạt cực
đại, cực tiểu tại các đểm có hoành độ lớn hơn 1. Khi đó viết phương trình đường thẳng qua điểm
cực đại và cực tiểu của đồ thò hàm số
36/ Cho hµm sè
2
( 1) 3
1
x m x m
y
x
− + +
=
−
.T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cđa tham sè m ®Ĩ hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiĨu vµ
c¸c ®iĨm cùc ®¹i, cùc tiĨu cđa ®å thÞ hµm sè ®èi xøng nhau qua ®êng th¼ng
1
1
2
y x= − +
.
37/ . Cho hàm số
( ) ( )
3 2
y x 1 2m x 2 m x m 2= + − + − + +
(
m
là tham số) Tìm các giá trị của
m

để đồ thị
hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hồnh độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1
38/ Cho hµm sè
3 2
m
y mx (2m 1)x (m 2)x 1 (C )= − − + − +
T×m c¸c sè thùc m ®Ĩ ®å thÞ
m
(C )
cã ®iĨm cùc ®¹i,
cùc tiĨu c¸ch ®Ịu ®êng th¼ng
( ) : 2x 1 0∆ − =
39/ Cho hàm số
1
2
2
−
−+
=
mx
mxx
y
. Xác đònh m để hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa
mãn
2121
4 xxxx
=+
40/ Cho hàm số
)1(2)14()1(2
2223

+−+−+−+=
mxmmxmxy
. Tìm m để y đạt cực đại, cực tiểu tại hai
điểm x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện
)(
2
111
21
21
xx
xx
+=+

41/ Tìm m để
2
x (2m 3)x 6
y
x 2
− + +
=
−
có CĐ, CT và tìm quỹ tích CĐ, CT
42/ Cho hàm số
1
24)1(
22

−
−+−+−
=
x
mmxmx
y
(1). Xác đònh các giá trò của m để hàm số có cực
trò. Tìm m để tích các giá trò cực đại và cực tiểu đạt giá trò nhỏ nhất
43/ Xác đònh m để hàm số
424
22 mmmxxy
++−=
có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều
44/ Cho hµm sè y=x
3
+3(m-1)x
2
+2(m
2
-4m+1)x-4m(m-1)T×m m ®Ĩ hµm sè cã cùc trÞ vµ cùc trÞ c¸ch
®Ịu trơc tung. §¸p sè :m=-1
45/ Cho hµm sè y=x
3
-(2m+1)x
2
-9x .T×m m ®Ĩ hµm sè cã cùc trÞ vµ cùc trÞ c¸ch ®Ịu trơc hoµnh.
§S:m=
2
1
−

46/cho h/sè
3 2
3 2y x x mx= − − +
.T×m m ®Ĩ hµm sè cã C§,CT ®ång thêi 2 ®iĨm cùc trÞ c¸ch ®Ịu ®êng
th¼ng
(d) : y = x – 1. Ds: m = 0
47/ cho hµm sè
4 2
2 1y x mx m= − + −
.t×m m ®Ĩ hµm sè cã 3 cùc trÞ t¹o thµnh 3 ®Ønh cđa mét tam gi¸c t/m:
a. tam gi¸c ®Ịu b. tam gi¸c vu«ng c©n c. tam gi¸c cã mét gãc b»ng 120
0
.
48/ cho hµm sè
2
(2 3) 3 5
1
x m x m
y
x
+ − + +
=
−
vµ P(2;-1).t×m m ®Ĩ hµm sè cã C§,CT ®ång thêi c¸c ®iĨm cùc
trÞ
Cïng víi ®iĨm P t¹o thµnh mét tam gi¸c nhän t¹i P.
49/ cho hµm sè
2
( 3) 3 1
1

x m x m
y
x
− + + +
=
−
,t×m m ®Ĩ hµm sè cã C§,CT ®«ng thêi c¸c gi¸ trÞ cùc cïng ©m.
§s: 1/2 < m < 4 hc m > 5.
50/ T×m m ®Ĩ hµm sè
mx
m
xy
+−=
23
2
3
Cã c¸c ®iĨm C§ vµ CT n»m vỊ 2 phÝa cđa ®êng th¼ng y = x
51/ T×m m ®Ĩ
1
22
2
+
++
=
x
mxx
y
cã C§,CT vµ kho¶ng c¸ch tõ 2 ®iĨm ®ã ®Õn ®êng th¼ng x + y + 2=0 lµ
b»ng nhau
52/ T×m m ®Ĩ :

mx
mmxmmx
y
2
322)14(2
322
+
++++
=
cã mét cùc trÞ thc gãc (II) vµ mét cùc trÞ thc gãc
(IV) trªn mỈt ph¼ng to¹ ®é
53/ T×m m ®Ĩ :
1
244)1(
22
+−
−−++−
=
mx
mmxmx
y
cã mét cùc trÞ thc gãc (I) vµ mét cùc trÞ thc gãc (III)
trªn mỈt ph¼ng to¹ ®é
55/ Cho :
mx
mmxmx
y
+
++++
=

4)32(
22
T×m m ®Ĩ hµm sè cã 2 cùc trÞ tr¸i dÊu nhau
56/ T×m m ®Ĩ :
1
2
−
−+
=
x
mmxx
y
cã C§,CT n»m vỊ 2 phÝa cđa ®êng th¼ng x-2y-1=0

57/ Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
- 6x
2
+3(m+2)x- m-6 có 2 cực trò và hai giá trò cực trò cùng
dấu. Kết quả :
4
17
−
< m < 2
58/ Cho hàm số : f(x)=
3
1
−
x
3

- mx
2
+(m−2) x - 1. Đònh m để hàm số đạt cực đại tại x
2
, cực tiểu tại
x
1
mà x
1
< -1 < x
2
< 1. Kết quả: m>−1
59/ Cho hàm số y =
3 2
2 3( 3) 18 8x m x mx− + + −
. ( Cm )
a) Tìm m để hàm số có cực đại tại x= 1 .
b) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .
c) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương .
d) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu tại
1
x
và
2
x
sao cho
1 2
2 1x x+ =
e)Tìm m đđđể hàm số có cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục Ox .
f) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò .

g) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng x - 4y -18 = 0 .
h) Chứng minh rằng khi m thay đổi (Cm) đi qua hai điểm cố đònh A và B .
i) Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố đònh A và B song song với nhau .
k) Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với trục Ox .
m) Tìm m để trên (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua trục Ox .
n) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm uốn đi qua gốc tọa độ O .
60/ CMR víi mäi m ®å thÞ hs
2
32
2
+
−++
=
x
mmxx
y
lu«n cã C§ vµ CT.T×m m ®Ĩ 2 ®iĨm cùc trÞ ®èi xøng
nhau qua ®êng th¼ng x+2y+8=0