Bài Tập Về Hàm Số Mũ, Lũy Thừa và Logarit Có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.54 MB, 43 trang )
GIẢI ĐÁP TOÁN CẤP 3
PHẦN 1
.g
ia
su
m
in
ht
am
.c
om
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
w
w
w
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
( Trang 1 – 11 )
ĐẠO HÀM
( Trang 13 – 16 )
GIỚI HẠN
( Trang 16 – 17 )
TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
( Trang 18 – 43 )
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT
I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
.c
om
1. LŨY THỪA (Giả sử các biểu thức có nghĩa):
m
1
1) a 0 1
2) a n n
3) a n n a m
4) a a
a
a
a
a
5) a .a a
6) a
8)
7) ab a .b
b
a
b
Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.
+) Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun thì cơ số phải dương.
am
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
2) B = (0, 04)
5
4) D = 43 2 .21 2 .2 3
2
5) E =
1,5
(0,125)
3
3 . 18. 27. 6
Giải:
2
3
0,25
6) F =
3
1
2
4
2
2) B =
(0,125)
2
3
1
25
.g
ia
(0, 04)
su
1) A = 4 2 8 3 2 2 2 23 3 23 22 12
1,5
w
4
1
3) C = 0,5 6250,25 2
4
w
4) D = 43 2.21 2.23
5
w
5) E =
6) F =
2
3
6
F3 6
5
1
8
2
3
3
2 2
5
4
3
19. 3 21 5
4
3 . 18. 27. 6
3
1
2
262 2.22 2
81. 5 3. 5 9. 12
5
1
3
2
2
2 3
2
3
53 2 2 121 11
3 2
2
1
4 4
3
2
19.
3
1
(3)3
3
19
3
2 19
2 5
11
10
27
2
3 27
4
24 16
1
2
3 5 .35.3 5 .2.3 2
35
3
1
2
1
1 3 1 1
10
2 5 2 2
3 .3.2 .3 .2 .3
9
10
3
1
2
3
1
3
3
3
847 3
847
3
6
. Ta áp dụng hằng đẳng thức : a b a 3 b3 3ab a b
27
27
847
847
847 3
847 3
847 3
847
6
. 6
6
33 6
6
27
27
27
27
27
27
Trang 2
GV: Lienxo86
1
847 3
847
6
27
27
6
m
5
4
3) C = 0,5 625
81. 5 3. 5 9. 12
5
3
2
3
ht
1) A = 4 8
2
3
in
3
2
1
2
19. 3
3
TT gia su Minh Tam
F3 12 3. 3 36
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
847
.F 12 5F F3 5F 12 0 F 3 F2 3F 4 0
27
F = 3 hoặc F2 3F 4 0 (vô nghiệm).
Vậy F = 3.
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức có nghĩa):
35
a
1
1
1
1 1
2
2
a b a b : a4 b4 . a
3) C =
1 1
1
1
3
b
a 4 a 2b4 a 4 b4
a
1
a a 1
4) D = 1 2
: a2 b2
b b
2
1
1
5) E = a 2 b 2
2
2
ab 4 ab b
1
7) G = ab
: a b .
a ab
b 4 ab
2
1
a2 4
1
2
b
.1 2 3 a 3
9) I = 2
2
a
a 3 2 3 ab 4b 3
a 8a b
1
1 3
1
9 3
a a 2 .a 4 a 4 a 2 a
in
3
1
3
m
Giải: 1) A =
4
3
ht
3
1
3
1
1
2
2
2
a b
a b2
ab 2
8) H = 1
1
a b
a2 b2
b b2
: b 2b
a a
am
1
1
3
3
a b
:2 3 a 3 b
6) F = 3
b
a
ab
om
1) A =
24
.c
3
a b 4
2) B = 7 5
b a
35
1
5
4
4 4
1 7
1
1
b b 5
a
b5
b
a
b
a
a a
su
a b
2) B = 7 5
b a
35
4
.g
ia
1
1
1
1
1
1 1
1 1
2
2
2
2
ab
a b 1
b
a b a b : a4 b4 . a
4
3) C =
: a b4 .
1
3
1 1
1
1
1
1
1
1
b 2 4
a
4
2 4
a4 b4
a a b4 a4 b4
a a b
1
1
w
w
a b a a 2b2
1 1
1
a2 a4 b4
1
1
1
a b2 a2 b2 a
b a
. 1
.
.
.
1
1
1
1
1
b
a b
4
b
2 2
2
4
a a b
a b
1
2
2
w
1
a a 1
a
4) D = 1 2
: a 2 b 2 1
:
b b
b
1
1
5) E = a 2 b 2
a b
2
b b2
: b 2b
a a
2
a
a
a b .
2
b
b a b
a b
2
2
b a
b
Trang 3
GV: Lienxo86
2
.
1
a b
2
b
: b
a
a b
2
b
:
a
2
1
b
a b
2
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
2
www.giasuminhtam.com
2
1
1
1
1
a3 b3
a3 b3
3
:2 3 a 3 b
: 2 ab
6) F = 3
3
b
a
ab
ab
2
2
a a
3
3
3
ab
3
a3b
3
ab
2
3
.
3
ab
3
a b
2
1
ab 4 ab b
1
a ab ab ab
ab
1
7) G = ab
.4
.
: a b .
4
a ab
b ab
a ab
ab b b 4 ab
3
2
1
2
1
a b ab 2 a b
8) H =
1
1
a b
a2 b2
a b
1
2
2
b
a b
a b
1
1 1
1
1
1
a 2 b 2 a a 2b2 b
1 1
a2 b2
a 2b 2
1
1
1
1
1
1
a2 b2
a2 b2 a2 b2
2
1
1
2
2
a b
a 2a b b
1
=
1
1 2
1
1 2
2
2
2
2
a b
a b
4
3
1
2
1
3
ht
1
2
1
1
3
2
3
m
3
3
a 2 b
3
3
a 2 ab 4b
2
3
3
a
.3
a
a 23 b
2
3
1
2
3 a 23 b
a3
.
3
a
.g
ia
B. BÀI LUYỆN
2
2
2
a a 2 b a 2 ab 2 b
a
a 2 b a 2 ab 2 b
3
su
a
2
in
2
a 3 a 8b
a 8a b
b
9) I = 2
.1 2 3 a 3 2
2
1 1
2
a
a 3 2 3 ab 4b 3
a 3 2 a 3 b 3 4b 3
3
a
.c
3
2
om
a ab
a b
a ab
.
.
a ab ab b
a a b
am
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
2
3
2
3
2
3
a a 0
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
2
5
2) B =
w
3
1) A = 32 2
7
w
4
2
4) D = 6 7 (0, 2)0,75
3
23 2 2
(18)7 .24.(50)3
(225)4 .(4)5 .(108) 2
6) F =
w
5) E =
1
3 5 7 1 1 1 2
3) C = 3 2 .5 3 : 2 4 : 4 : 5 3.2 4.3 2
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức có nghĩa):
a
1) A = 3 a 3 a a
2) B =
5 3
a
1
3) C =
9
a4 a4
1
5
a4 a4
b
1
2
3
b2
1
b2 b
1
2
3
4) D =
6
Trang 4
GV: Lienxo86
10 3 :10 2 (0, 25)0 10 2 (0, 01)3
5 ( 5 1)
.a
2 2 1
23.2 1 53.54 (0, 01)2 .10 2
a3b
a6b
2 2 1
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
0 a 1
2. LÔGARIT: Giả sử các biểu thức có nghĩa log a b có nghĩa khi
b 0
1) log a 1 0
3) log a b loga c log a (bc)
4) log a b log a c log a
b
c
log a b log a b
6) log a b log a b
b
1
log a b log a b
1
log a b.log b a 1 log a b log a
b
7) log a b.log b c log a c
log c log a c
b
log a b
+) Lôgarit thập phân
: log10 b log b lg b
+) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : log e b ln b
( e 2, 71828 )
loga b
Chú ý:
am
.c
om
5) a
2) log a a 1
ht
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
3
9
in
2
2) B = log 6 3.log3 36
3
2log5 3
log5 6
7) G = lg 25
1 1
log 27 log125 81
2 9 1
5
25
5) E=
49
1 2log2 4 7
36
e
log6 2
ln3
8) H = 9
4
1
log8 2
1
27
3) C = log 1 5.log 25
3
6) F = log3 2
2
27
log9 2
2
log8 27
0,25 0,5log9 7
11) K = log 3 (log 2 8)
12) L = log 2013 log 4 (log 2 256) log0,25 log9 (log 4 64)
13) M log 3 2.log 4 3.log 5 4.log 6 5.log 7 6.log 8 7
14) N lg(tan10 ) lg(tan 20 ) ... lg(tan 880 ) lg(tan 890 )
w
Giải:
3
2
1
1
1 2
2 log 3 log 3 2 6 log 3 . log 3 log 3 32 2
9
6 3
22
w
1) A = log 3 log 2
w
2) B = log
6
3.log3 36 log
3) C = log 1 5.log 25
4) D =
5) E
3
9
3
3
2log5 3
6
36 log
1
62
62 4
1
15
3
log 1 5.log 2 33 (5). .log3 5.log5 3
3
5
27
2
2
2
33
3log3 5
2
1 1
log 27 log125 81
2 9 1
5
25
log3 5
3
5
1 1
log 1 33 log 3 34
9 5
5
52 2
log 5
log 36
2log 71
10log99 9) I = lg 81 3 27 9 3 9
81
.g
ia
10) J = 4
log7 8
1
log6 3
su
4) D =
3
2
m
1) A = log3 log 2
2
8
1 log5 3 log5 3
3
3
5
Trang 5
GV: Lienxo86
1 2log5 3
5
log5 32
5.5
5.9 45
TT gia su Minh Tam
6) F = log 3 2
2
log9 2
2
log8 27
log 3 2
2
log 2 3
2
3 3 2log 2 3 log
2
3 2
log 32
7) G = lg 25
27
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
log5 6
49
log7 8
e
ln 3
3
3
log 2 2
3
2
www.giasuminhtam.com
3
2 log3 2
log 3
3
2 2
2
log 3 33
2
log 3 2
3
2
2 3 log
1 3 2 2 1
2
3 2 2
lg 52
log5 6
72
log7 8
3 lg 5log5 62 7log7 82 3
22
log 5
log 36
2log 71
9) I = lg 81 3 27 9 3 9 lg
log 54
log 63
log 71
lg 3 3 3 3 3 3 lg
1 2log 2 4 7
10) J 4
36
log6 2
0,250,5log9 7
81
log 2 8
34
log3 62
99 3
log3 5
33
log 2 62
3
log 2 82
99 6 2 82 99 1
2log 2 71
3
3
54 63 71 lg 29 71 lg100 2
1 2log 2 4 7
22
2
.c
log3 6
am
10log99 32
22
4log 4 7
2 2
11) K = log 3 (log 2 8) log 3 log 2 23 log 3 3 1
6
62
log6 2
1
0,25 .log 2 7
2
3
34
ht
1
log8 2
4
log6 4
3
log3 7
3
4
3
4 3
7
7
in
8) H =
1
log6 3
9
om
lg 62 82 3 lg102 3 2 3 1
m
12) L = log 2013 log 4 (log 2 256) log0,25 log9 (log 4 64) log 2013 log 4 (log 2 28 ) log 0,25 log9 (log 4 43 )
su
1
3 1
log 2013 log 4 8 log 0,25 log9 3 log 2013 log 22 23 log 1 2 log 2013 log 2013 1 0
2
2 2
2
.g
ia
13) M log 3 2.log 4 3.log 5 4.log 6 5.log 7 6.log 8 7 log 8 7.log 7 6.log 6 5.log 5 4.log 4 3.log 3 2 log 8 2
1
3
14) N lg(tan10 ) lg(tan 20 ) ... lg(tan 880 ) lg(tan 890 )
lg(tan10 ) lg(tan 89 0 ) lg(tan 20 ) lg(tan 880 ) ... lg(tan 44 0 ) lg(tan 460 ) lg(tan 450 )
w
lg tan10.tan 890 lg tan 20.tan 880 ... lg tan 44 0.tan 46 0 lg tan 450
lg tan10.cot10 lg tan 20.cot 20 ... lg tan 440.cot 440 lg tan 450
w
w
lg1 lg1 ... lg1 lg1 0 0 ... 0 0 0
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
1) A = log a a 2 4 a 3 5 a
3) C = lg log 1
a3
5
a a
2) B = log a b log b a 2 log a b log ab b log b a 1
4) D =
log 2 2a 2 log 2 a a
log a log2 a 1
log 2 a 3 . 3log 2 a 1 1
Trang 6
GV: Lienxo86
1
2
log 2 a 4
2
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
Giải:
1) A = log a a
24
a
35
1
16 4
4
14
14
2 5
log a a . a log a a 2 .a 5 log a a 5
5
1
4
a log a a 2 . a 3 .a 5
1
2) B log a b logb a 2 log a b log ab b log b a 1 log a b
2 log a b.log b a log ab b.log b a 1
log a b
2
log a b
1
.1
1
log a ab
2
1
log a b 1 . log a b 1 log b 1 1 log b
.1
1
a
a
log a b
1 log a b
1 log a b
.c
log a b 1
2
om
log 2 b 2 log a b 1
log a b 1
a
1 log ab a 1
log a b
log a b
1
5
a a lg log 1
a3
a.a
3
3 5
1
1
lg log 1 a 2 lg log 3 a 10 lg
lg 1
a
10
10
a3
1
2
a3
log 2 2a 2 log 2 a a
1 log 2 a 4
log a log 2 a 1
am
3) C = lg log 1
5
2
1 2log 2 a log 2 a. log 2 a 1 8log 2 a
3log 2 a. 3log 2 a 1 1
9 log 2 a 3log 2 a 1
2
1
9 log 2 a 3log 2 a 1
2
2
m
in
log 2 a 3 . 3log 2 a 1 1
ht
2
4) D =
Ví dụ 3: Cho log a b 3 ; log a c 2 . Tính log a x biết: 1) x a 3b 2 c
su
2) x
a4 3 b
c3
3) x log a
a 2 3 bc
3
.g
ia
Giải: Cho log a b 3 ; log a c 2
1) Với x a 3b 2 c
1
1
1
log a x log a a 3b 2 c log a a 3 log a b 2 log a c 2 3 2log a b log a c 3 2.3 . 2 8
2
2
w
a4 3 b
c3
w
2) Với x
w
log a x log a
3) Với x log a
1
a4 3 b
1
1
log a a 4 log a b 3 log a c 3 4 log a b 3log a c 4 .3 3. 2 1
3
c
3
3
a 2 3 bc
3
a c b3
1
log a x log a
a 2 3 bc
3
a cb 3
log a
5
a 2b 3 c
1
1
a 3 b 3c 6
log a
5
a3c 6
8
5
8
3
log a a 3 log a b 3 log a c 2
b3
5 8
5
5 8
5
log a b log a c .3 2 8
3 3
6
3 3
6
Trang 7
GV: Lienxo86
a cb3
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
Ví dụ 4: Hãy biểu diễn theo a ( hoặc cả b hoặc c) các biểu thức sau:
1) A = log 20 0,16 biết log 2 5 a
2) B = log 25 15 biết log15 3 a
1
3) C = log 40 biết log 2 3 a
5
5) E = log 35 28 biết log14 7 a và log14 5 b
4) D = log 6 (21, 6) biết log 2 3 a và log 2 5 b
om
6) F = log 25 24 biết log 6 15 a và log12 18 b
49
biết log 25 7 a và log 2 5 b .
7) G = log125 30 biết lg 3 a và lg 2 b .
8) H = log 3 5
8
9) I = log140 63 biết log 2 3 a ; log3 5 b ; log 2 7 c 10) J = log 6 35 biết log 27 5 a ; log8 7 b ; log 2 3 c
Giải:
2) B = log 25 15 biết log15 3 a
. Ta có: a log15 3
am
.c
1) A = log 20 0,16 biết log 2 5 a
2
log 2 3
2
5 1 3log 2 5 1 3a
. Ta có: A = log 20 0, 04 log 20 3
5
log 2 (2 2.5) 2 log 2 5 2 a
1
log3 3.5
1
1
1 a
log3 5 1
1 log3 5
a
a
in
ht
1 a
1
log 3 15 log 3 (3.5) 1 log 3 5
1
a
B = log 25 15
1 a 2 1 a
log 3 25
log 3 52
2log 3 5
2.
a
1
2
3a
1
. Ta có: a log 2 3 log 1 5 3 log 2 5 log 2 5
3
2
5
22
m
1
3) C = log 40 biết log 2 3 a
5
.g
ia
su
3a
3
log 2 40 log 2 (23.5) 3 log 2 5
2 6 3a
C = log 40
log 2 10 log 2 (2.5) 1 log 2 5 1 3a 2 3a
2
4) D = log 6 (21, 6) biết log 2 3 a và log 2 5 b
2 2.33
log 2 21, 6
5 2 3log 2 3 log 2 5 2 3a b
Ta có: D = log 6 (21, 6)
log 2 6
log 2 2.3
1 log 2 3
1 a
w
log 2
w
5) E = log35 28 biết log14 7 a và log14 5 b
1
w
Ta có: a log14 7
b log14 5
log7 2.7
1
1
1 a
log 7 2 1
a
a
1 log 7 2
log 7 5
log 7 5
1 a b
log 7 5 b(1 log 7 2) b. 1
log 7 7.2 1 log 7 2
a a
2
E = log 35 28
log 7 28 log 7 (7.2 ) 1 2 log 7 2
log 7 35 log 7 (7.5)
1 log 7 5
1 a
a 2a
b
ab
1
a
1 2.
Trang 8
GV: Lienxo86
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
6) F = log 25 24 biết log 6 15 a và log12 18 b
2
log 2 18 log 2 2.3 1 2log 2 3
(2)
b log12 18
log 2 12 log 2 22.3 2 log 2 3
log 2 15 log 2 3 log 2 5
(1)
Ta có: a log 6 15
log 2 6
1 log 2 3
1 2b
b2
1 2b
2b a ab 1
Từ (1) log 2 5 a 1 log 2 3 log 2 3 a 1 log 2 3 a a 1
a
b2
b2
1 2b
3
3
log 2 24 log 2 2 .3 3 log 2 3
b 5
b2
F = log 25 24
2
2b a ab 1 4b 2a 2ab 2
log 2 25
log 2 5
2log 2 5 2.
b2
.c
om
Từ (2) b (2 log 2 3) 1 2 log 2 3 (b 2) log 2 3 1 2b log 2 3
7) G = log125 30 biết lg 3 a và lg 2 b .
49
biết log 25 7 a và log 2 5 b .
8
log 2 7
log 2 7 log 2 7
Ta có: a log 25 7
log 2 7 2 ab
log 2 25 2 log 2 5
2b
in
ht
8) H = log 3 5
am
lg 30 lg 3.10 1 lg 3
1 a
10
Ta có: b lg 2 lg 1 lg 5 lg 5 1 b G = log125 30
3
lg125
3lg 5 3 1 b
lg 5
5
49
72
log 2 3
49
8
2 2 log 2 7 3 2.2 ab 3 12ab 9
H = log 3 5
1
3
1
1
b
8 log 2 5
b
log 2 5
log 2 5 3
3
3
9) I = log140 63 biết log 2 3 a ; log 3 5 b ; log 2 7 c
su
m
log 2
.g
ia
Ta có : log 2 5 log 2 3.log 3 5 ab I = log140 63
log 2 32.7
log 2 63
2 log 2 3 log 2 7
2a c
2
log 2 140 log 2 2 .5.7 2 log 2 5 log 2 7 2 ab c
10) J = log 6 35 biết log 27 5 a ; log 8 7 b ; log 2 3 c
w
w
w
log 2 5
log 2 5 log 2 5
a log 27 5 log 27 3log 3 3c log 2 5 3ac
log 2 35 log 2 5 log 2 7 3ac 3b
2
2
J = log 6 35
log 2 6
1 log 2 3
1 c
b log 7 log 2 7 log 2 7 log 7 3b
8
2
log 2 8
3
Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức:
1
3
1) A = log
b
a
b
biết log a b 3 .
a
2) B =
9
a4 a4
1
4
a a
5
4
Trang 9
GV: Lienxo86
b
1
2
1
2
3
b2
b b
1
2
biết a 2013 2 ; b 2 2012
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
Giải:
3
1
1
1
3
2 log a b
1
2) B =
9
a4 a4
1
4
a a
5
4
1
2
1
4
5
4
a a
1
b
a
3log b
1
2 log a
b
a
1
1
3 log b a
2
1
1
2 log a b 1
2
2 log a b
2 log a b 3
1
1
2 3 3
3
log a b 2 3 log a b 2 log a b 2 3 log a b 2 3 3 2
3
1
2
1
2
biết a 2013 2 ; b 2 2012
1
2
b
b b
1
4
3
2
1
2
a 1 a
2
1
4
1
2
b 1 b
a 1 a
b
2
1
2
1 a 1 b a b 2013
1 b
2 2 2012 1
ht
a a
b
b
a
3
1
2
9
4
b2
b b
1
4
B=
b
b
a
1
a2
om
b
a
1
b 3 log
.c
b
log
a
b
a
am
A = log
b
biết log a b 3 .
a
3
1) A = log
Giải:
log a b log a c
1 log a c
. Ta có:
w
w
1) log ac (bc)
log a
c b
. Đặt a
w
2) a
logb c
log
3) Nếu 4a 2 9b 2 4 ab thì lg
1
1 lg a
6) Nếu a log12 18 ; b log 24 54 thì: ab 5(a b) 1
c
a
b
8) Trong 3 số: log 2 ; log 2 và log 2 ln có ít nhất một số lớn hơn 1.
a
b
c
b
c
a
b
c
a
thì c 10
.g
ia
5) Nếu a 10
; b 10
b
c
7) log 2 log 2
a
a
c
b
1
1 lg c
su
1
1 lg b
m
in
Ví dụ 6: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
log a b log a c
2a 3b lg a lg b
log c
log a
3) Nếu 4a 2 9b 2 4ab thì lg
2) a b c b
1) log ac (bc)
4
2
1 log a c
1
4) Nếu a 2 4b 2 12ab thì log 2013 (a 2b) 2log 2013 2 (log 2013 a log 2013 b)
2
bc
log a bc
log a b log a c
log a bc
log ac (bc ) (đpcm)
1 log a c
log a a log a c log a ac
a logb c a t
log c
log a
a b c b (đpcm)
t
logb a
log a
log at
c bt c
bt b b b a t
2a 3b lg a lg b
4
2
2
2
2
2
2
Ta có: 4a 9b 4 ab 4 a 12ab 9b 16ab 2a 3b
2
2
2a 3b
16ab
ab
4
2a 3b
2 a 3b lg a lg b
2 a 3b
(đpcm)
lg
lg a lg b lg
lg ab 2 lg
4
4
2
4
Trang 10
GV: Lienxo86
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
1
4) Nếu a 2 4b 2 12ab thì log 2013 ( a 2b) 2 log 2013 2 (log 2013 a log 2013 b)
2
2
2
a 2b
Ta có: a 2 4b 2 12 ab a 2 4ab 4b 2 16ab a 2b 16 ab
ab
4
2
b 10
1
1 lg a
thì c 10
1
lg a lg101lg b
1
1 lg c
lg b lg10
1
1 lg c
1
1
lg a 1
lg b 1
1 lg b
lg a
lg a
.c
Ta có: a 10
; b 10
1
1 lg b
1
1 lg c
(1)
am
5) Nếu a 10
1
1 lg b
om
a 2b
log 2013
log 2013 ab 2 log 2013 a 2b 2log 2013 2 log 2013 a log 2013 b
4
1
log 2013 ( a 2b) 2 log 2013 2 (log 2013 a log 2013 b) (đpcm)
2
1
(2)
1 lg c
1
1
in
ht
lg a 1
1
lg a
1
Từ (1) và (2)
lg c 1
10lg c 101lg a c 101lg a (đpcm).
lg a
1 lg c
lg a 1 1 lg a
6) Nếu a log12 18 ; b log 24 54 thì: ab 5( a b) 1
2
log 2 18 log 2 2.3 1 2log 2 3
1 2a
a 2 log 2 3 1 2 log 2 3 log 2 3
(1)
log 2 12 log 2 22.3 2 log 2 3
a2
m
Ta có: a log12 18
7) log 2
a
1 2a 1 3b
1 2a b 3 1 3b a 2 ab 5( a b) 1 (đpcm)
a 2 b 3
.g
ia
Từ (1) và (2)
su
3
log 2 54 log 2 2.3 1 3log 2 3
1 3b
b log 24 54
b 3 log 2 3 1 3log 2 3 log 2 3
3
log 2 24 log 2 2 .3 3 log 2 3
b 3
b
c
log 2
a
c
b
2
w
2
1
2
2
b
b
c
c
c
2 c
Ta có : log log a log a log a log a log a
c
c
b
b
b
b
w
2
a
w
8) Trong ba số: log 2
a
b
(đpcm)
c
a
b
; log 2 và log 2 ln có ít nhất một số lớn hơn 1.
b
c
b
c c
a a
Áp dụng công thức ở ý 7) ta có: log 2
a
b
c
b
a
c
; log 2 log 2
log 2
a
b
b
b
c
c
a
b
c
c
; log 2
c
a
2
b
a
log 2
c
a
b
a
c
a
b
b
c
a
b
c
a
log .log 2 .log 2 log 2 .log 2 .log 2 log a .log b .log c 12 1
b
c
a
b
c
b
c
a
c
a
b bc
a
b
c
a
b
c
a
c
a
c
a
b
Trong ba số không âm: log 2 ; log 2 và log 2 ln có ít nhất một số lớn hơn 1.
a
b
c
b
c
a
b
c
a
2
a
b
Trang 11
GV: Lienxo86
(2)
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
B. BÀI LUYỆN
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A = log 1 5 4 5
3
8
1
4) D = 532log5 4
log5 6
1 log9 4
3
4
49
log7 8
2 log2 3
3
log 3 2 2log 27 3
6) F = 4log2 3 9
8) H = log3 6.log8 9.log 6 2
log
27
5 125
1
10) J = 2 log 1 6 log 1 400 3log 1 3 45
2 3
3
3
9) I
11) J
(27
1
log 2 3
3
2
log 3 4.log 6 8
log 6 4.log 9 8
log 25 49
5
log
1
log 4 9
)(81
8log4 9 )
.c
25
5) E = 9 2
1
.log 1 5 5
9
5
om
25
7) G =
3) C = log
2) B = log 2 8.log 1 4
1
3 5 log16 25.5log5 3
1
1
am
1
1
log 5
log 3
log 2
12) K log 6 log 6 27 3 log 2 16 9 7 4 9 log 3 tan
1
3
12
4
2
in
2) B =
log
a3
a.log 3 a 4
a
log 1 a 2
a
m
1) A = log a b logb a 2 log a b log ab b logb a
ht
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
Bài 3: Hãy biểu diễn theo a ( hoặc cả b hoặc c) các biểu thức sau:
2
2) B = log 6 16 biết log12 27 a .
su
1) A = log 1 28 biết log 7 2 a
.g
ia
4) D = log 54 168 biết log 7 12 a và log12 24 b
121
6) F = log 3 7
biết log 49 11 a và log2 7 b .
8
3) C = log 49 32 biết log 2 14 a
5) E = log 30 1350 biết log 30 3 a và log 30 5 b
7) G = log3 135 biết log 2 5 a và log 2 3 b .
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
b
biết log a b 5 .
w
1) A = log
a
log
c
log a
a
w
ab
2) B = c
Bài 5: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
log a c
1 log a b
log ab c
w
1)
2) Nếu a 2 b 2 c 2 thì log b c a log c b a 2 log c b a.log c b a
ab 1
3) Nếu a 2 b 2 7 ab thì log 7
log 7 a log 7 b
3
2
1
4) Nếu a 2 9b 2 10 ab thì log a 3b log 2 log a log b
2
Trang 12
GV: Lienxo86
b3c
biết log a b 5 và log a c 3
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
II. ĐẠO HÀM
a x ' a x ln a
2) a u ' u ' a u ln a eu ' u ' e u
x
x
e ' e
x ' x 1
1) u ' u 1 .u '
u'
n
u ' n n 1
n u
om
1
log a x ' x ln a
u'
u'
3) log a u '
ln u '
u ln a
u
1
ln x ' x
.c
Chú ý : 4) u v ' u v .( v ln u ) ' (Tổng quát của (1) và (2))
am
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2) y e x e3 x 1 5cos x sin x
4) y ln x 2 1 log 2 x 2 x 1
5) y 3 ln 2 x
ht
1) y 3 x x
3) y x 2 2 x 2 e x
x4
6) y log 2
x4
1
y'
1
2 x
.g
ia
1) y 3 x x
su
Giải:
m
3
3
in
1 x
ln(2 x 1)
ln x 1 ln x
9) y
8) y
7) y log
2 x
x 1 ln x
2x 1
ex e x
12) y log x (2 x 1)
13) y (2 x 1) x 1
10) y x x
11) y ln x 1 x 2 log 3 (sin 2 x)
e e
x x
2
2 x 1
6 x.
3
x x
2
(áp dụng công thức
u ' n uu'
n
n
n 1
)
2) y e x e3 x 1 5cos x sin x
ex
3.e3x 1 ( sin x cos x).5cos x sin x ln 5
w
y'
2 ex
ex
3e3 x 1 (sin x cos x).5cos x sin x ln 5
2
w
3) y x 2 2 x 2 e x y ' 2 x 2 e x x 2 2 x 2 e x x 2e x
w
4) y ln x 2 1 log 2 x 2 x 1
y'
2x
2x 1
2
2
x 1 x x 1 ln 2
1
2
x
5) y 3 ln 2 x y '
3
3 x ln x
3 3 ln 4 x
8
2.(ln x).
2
x 4
8
x4
6) y log 2
y' x4
2
x4
x 16 ln 2
ln 2
x4
Trang 13
GV: Lienxo86
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
1
1
'
.2 x
. 1 x
1 x
1 x
2 x
x
1
2 x
x
4x
y'
1 x
1 x
1 x
2x
ln10
ln10
4 x.
ln10
2 x
2 x
2 x
1
1
1
.x ln x 1 ln x 1 ln x
2
1 ln x
x
y' x 2
x
2
2
2
x
x
x 1 ln x
1 ln x
ln x 1 ln x
x 1 ln x
2
1
. 2x 1
.ln 2 x 1
2 ln 2 x 1
ln(2 x 1)
2x 1
2x 1
9) y
y'
2x 1
2x 1
2 x 1 2 x 1
e
y'
x
2
e x e x e x
e
x
e
2
x 2
1
4
e
x
e x
2
x
x 1 ln10
am
ex e x
10) y x x
e e
1
om
8) y
.c
1 x
7) y log
2 x
www.giasuminhtam.com
1 x 2 2 cos 2 x 1 2 cot 2 x
ln 3
x 1 x 2 sin 2 x ln 3
1 x2
2
1
ln x ln 2 x 1 2 x ln x 2 x 1 ln 2 x 1
ln 2 x 1
x
12) y log x (2 x 1)
y ' 2x 1
2
2
ln x
ln x
x 2 x 1 ln x
ht
x 1
in
13) y (2 x 1) x 1 ln y ln 2 x 1
x 1 ln 2 x 1 (*)
2 x 1
y'
ln 2 x 1
y
2x 1
(đạo hàm 2 vế của (*) )
su
y'
m
11) y ln x 1 x 2 log 3 (sin 2 x )
.g
ia
2 x 1
x 1
y ' ln 2 x 1
. 2 x 1
2x 1
Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
1
2) xy ' 1 e y với y ln
1 x
1
1 x ln x
1 ln x
5) 2 x 2 y ' x 2 y 2 1 với y
x (1 ln x)
4) y xy ' x 2 y '' 0 với y sin(ln x ) cos(ln x )
w
1) y '' 2 y ' 2 y 0 với y e x sin x
6) 2 y xy ' ln y ' với y
x2 1
x x 2 1 ln x x 2 1
2 2
w
w
3) xy ' y ( y ln x 1) với y
Giải: 1) y '' 2 y ' 2 y 0 với y e x sin x
y ' e x sin x e x cos x e x cos x sin x
Ta có: y e sin x
x
x
x
y '' e cos x sin x e sin x cos x 2e cos x
x
y '' 2 y ' 2 y 2e x cos x 2e x cos x sin x 2e x sin x 0 (đpcm)
1
2) xy ' 1 e y với y ln
1 x
Trang 14
GV: Lienxo86
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
1
Ta có: y ln
y'
1 x
1 x
2
1
1 x
1
x
xy ' 1 1 x 1 1 x
1
xy ' 1 e y (đpcm)
1
ln
1 x
e y e 1 x 1
1 x
1
1
1 x
1
x
. Ta có: y
y'
2
2
1 x ln x
1 x ln x x 1 x ln x
1
1 x ln x
om
3) xy ' y ( y ln x 1) với y
1
www.giasuminhtam.com
.c
1 x
xy '
2
1 x ln x
xy ' y( y ln x 1) (đpcm)
1 x
1
ln
y y ln x 1
1
1 x ln x 1 x ln x 1 x ln x 2
am
4) y xy ' x 2 y '' 0 với y sin(ln x ) cos(ln x )
ht
1
1
cos(ln x) sin(ln x)
y ' x cos(ln x) x sin(ln x)
x
Ta có: y sin(ln x) cos(ln x)
1
1
x sin(ln x) x cos(ln x) x cos(ln x) sin(ln x) 2cos(ln x)
y ''
2
x
x2
1
1
.x 1 ln x 1 ln x x. 1 ln x
x
x
x 2 1 ln x
2
1 ln x ln x 1 ln x
x 2 1 ln x
su
Ta có: y '
1 ln x
x (1 ln x)
m
5) 2 x 2 y ' x 2 y 2 1 với y
in
y xy ' x 2 y '' sin(ln x) cos(ln x) cos(ln x) sin(ln x) 2 cos(ln x) 0 (đpcm)
2
1 ln 2 x
x 2 1 ln x
2
.g
ia
2 1 ln 2 x
1 ln 2 x
2
2
2 x y ' 2 x . 2
2
2
x 1 ln x
1 ln x
2 x 2 y ' x 2 y 2 1 (đpcm).
2
2
2
2 1 ln x
2 2
1 ln x
1 ln x
2
1
1
x y 1 x . 2
2
(1 ln x) 2
x (1 ln x) 2
1 ln x
x2 1
x x 2 1 ln x x 2 1
2 2
x
1
x2 1
x 2 x x2 1
1
Ta có: y ' x x 2 1 x.
2
x2 1
x x2 1
w
w
w
6) 2 y xy ' ln y ' với y
=x
2x2 1
2
2 x 1
x x2 1
2
2 x x 1
x
2
x 1
2 x2 1
2
2 x 1
1
2
x
2 x 1
2 x 2 1
2
x x2 1
2 x 1
xy ' ln y ' x x x 2 1 ln x x 2 1 x 2 x x 2 1 ln x x 2 1
2 y xy ' ln y ' (đpcm)
2 y x 2 x x 2 1 2 ln x x 2 1 x 2 x x 2 1 ln x x 2 1
Trang 15
GV: Lienxo86
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
B. BÀI LUYỆN
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
2
3 x 1
3) y xe
2) y (2 x 1)e
5) y e3 x 1.cos 2 x
6) y (sin x cos x)e 2 x
7) y 1 ln x ln x
10) y x 2 ln x 2 1
9) y e 2 x ln(cos x)
2x
x2 2 x 2
ln( x 1)
8) y
x 1
4) y
om
1) y x x 1
1
x x
3
11) y ( x 2 x ) log 2 (2 x e x x ) 12) y ln sin(3x 1)
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
x2
2
.c
2
2) y ' y e x với y ( x 1)e x
4) y 'cos x y sin x y '' 0 với y esin x
2 xy
6) y ' 2
e x ( x 2 1) với y ( x 2 1)(e x 2013)
x 1
am
1) xy ' (1 x ) y với y xe
3) y ''' 13 y ' 12 y 0 với y e4 x 2e x
1
5) y '' 2 y ' y e x với y x 2 e x
2
in
ht
III. GIỚI HẠN
x
1
1
1) lim 1 lim 1 x x e
x
x 0
x
ex 1
1
x 0
x
ln(1 x)
1
x 0
x
3) lim
su
m
2) lim
.g
ia
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ : Tính các giới hạn sau:
x
w
w
x
1) lim
x 1 x
5 x 3
e
e3
6) lim
x 0
2x
2 x 1
x 1
2) lim
x x 2
x
e 1
7) lim
x 0
x 1 1
e x e x
x 0 sin x
ln x 1
x e x e
4) lim
3) lim
8) lim
x 0
ln(1 2 x)
tan x
9) lim
x 10
lg x 1
x 10
Giải:
w
x
1) L1 lim
x 1 x
x
x
1
x
Ta có: L1 lim
xlim 1
x 1 x
1 x
1
L1 lim 1
t
t
1 t
lim
t
x
1
1 t
1
1
t
Đặt :
lim
t
x (1 t )
1
1
1 x t
x ; t
1
1 1
1 1
t t
Trang 16
GV: Lienxo86
t
1 1
1.e e
ln(1 x 3 )
5) lim
x 0
2x
TT gia su Minh Tam
x 1
2) L2 lim
x x 2
2 x 1
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
3
lim 1
x
x2
1
3
x 3t 2
Đặt x 2 t
x ; t
2 x 1
1
L2 lim 1
x
t
www.giasuminhtam.com
6 t 3
3
t 6
1 1 6 3
lim 1 . 1 e .1 e6
x
t t
ln x 1
x e x e
t
te
ln
ln 1
e lim e . 1 1
t 0
t
t
e e
e
.c
x t e
ln(t e) ln e
L3 lim
lim
Đặt t x e
t 0
t 0
t
x e; t 0
om
3) L3 lim
am
1
ex x
2x
2x
2x
e x e x
e lim e 1 lim e 1 lim e 1 . 1 . 2 1. 1 . 2 2
lim
4) L4 lim
x 0 sin x
x 0 sin x
x 0 e x sin x
x0
sin x x x0 2 x sin x e x
1 1
2 x.
.e
x
2x
ln(1 x 3 ) x 2
ln(1 x 3 )
ln(1 x 3 )
. 1.0 0
lim
lim
x 0
x 0
x 0
2
2x
2
x3
x3 . 2
x
ht
5) L5 lim
m
in
e5 x 1 3
e5 x 1 5e3
e5 x 3 e3
5e3 5e3
lim
1.
.e lim
.
6) L6 lim
x 0
x0
x 0
2
2x
2
2
2
5x
5 x.
5
su
e x 1 x 1 1
ex 1
ex 1
7) L7 lim
.
lim
lim
x 0
x 0
x
x 1 1 x 0
x
x 1 1 1.0 0
.g
ia
ln(1 2 x) 1
ln(1 2 x)
ln(1 2 x)
ln(1 2 x)
1
.
.2 cos x 1. .2.1 2
lim
lim
lim
8) L8 lim
x 0
x0
x0
x 0
sin x
sin x
1
sin x
tan x
1
2x
2 x.
.
cos x
x 2cos x
x
lg x 1
9) L9 lim
x 10 x 10
w
w
w
t
t 10
lg
lg 1 10 1 1
x t 10
lg(t 10) lg10
10
.
L9 lim
lim
lim
Đặt: t x 10
t 0
t 0
t 0
t
t
t
10 10
x 10; t 0
10
B. BÀI LUYỆN
Tính các giới hạn sau:
1
1) lim 1
x
x
x 1
x
e2 x 1
x 0
3x
2) lim
ex e
x 1 x 1
3) lim
Trang 17
GV: Lienxo86
esin 2 x esin x
x 0
x
4) lim
1
5) lim x e x 1
x
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
IV. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
*) Tính đơn điệu:
om
*) Các bất đẳng thức:
a b a c
1) 0 a 1
bc
log a b log a c
0 a 1
0 a 1
0 b 1
b 1
3) log a b 0
và log a b 0
a 1
a 1
b 1
0 b 1
a b a c
2) a 1
bc
log a b log a c
am
.c
a b 0
4) 0 a b
a b 0
ht
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Khơng dùng bảng số và máy tính hãy so sánh các cặp số sau:
2)
2
và 1000
7) 0, 7
và 0, 7
1
3
2log 2 5 log 1 9
8) 2
626
9
13) log 2011 2012 và log 2012 2013
10) 2
và
.g
ia
2
w
Giải:
và 1000
w
1) 0, 01
3
2 2
w
2)
2
3)
4
và
2
3 1 và
3
3
3 1
và
2
3
3
và 3
3 1 và
5
6)
7
2
5
2
3
3 1
và 1
9) log 0,4 2 và log 0,2 0,34
1
1
và log 1
3 80
2 15 2
15) log 3 4 và log10 11
11) 3log 6 1,1 và 7 log 6 0,99
12) log 1
14) log13 150 và log17 290
3
2
0,01 10
. Ta có:
2 3 3
3
10 2 3 ; 1000 103
. Ta có:
1 và 2 2 3
2
2
1
4
4
3 1 3 1 ;
. Ta có:
0 3 1 1; 1 1
4 3
4
3)
5) log 2 3 và log3 11
su
4) log3 2 và log 2 3
5
6
2 2
in
3
m
1) 0,01
3
2 2
2
3 1
0, 01
3 1
1
3
4
3 1
. Ta có: log 3 2 log3 3 1 log 2 2 log 2 3 log3 2 log 2 3
5) log 2 3 và log3 11
. Ta có: log 2 3 log 2 4 2 log3 9 log3 11 log 2 3 log 2 11
GV: Lienxo86
1000
3
4) log3 2 và log 2 3
Trang 18
3
3
3 1
TT gia su Minh Tam
và 3
2
. Ta có:
3
2
Ta có:
3
3
3
6
2log 2 5 log 1 9
2
2
3
3
2
3
2
3
2
32 9
am
626
9
2
log 2 25log 2 9
2
3
3
2
log 2
25
9
25
625
626
2
9
9
9
log 0,4 2 log0,2 0,34
2log 2 5 log 1 9
2
626
9
log 1,1 0 3log6 1,1 30 1
. Ta có: 6
3log6 1,1 7 log 6 0,99
log 6 0,99
0
7 1
log 6 0,99 0 7
11) 3log 6 1,1 và 7 log 6 0,99
12) log 1
23 8
in
10)
2
3
1
0, 7 3
0 0, 4 1;
2 1 log 0,4 2 0
. Ta có:
0 0, 2 1; 0 1 0,34 log 0,2 0,34 0
9) log 0,4 2 và log 0,2 0,34
2log 2 5 log 1 9
2 và
2
3
5
0, 7 6
.c
và 0, 7
5 2 5 4 1 2
5 1
6 36 36 3
6 3
. Ta có:
0 0, 7 1
1
3
om
và 1
ht
8) 2
3
5
5
0
0
2
5 2 5
1
. Ta có:
7
0 5 1 7
7
1
1
và log 1
80
2
2 15
m
7) 0, 7
5
6
www.giasuminhtam.com
su
5
6)
7
5
2
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
.g
ia
1
1
log 1 80 log 31 80 log 3 80 log 3 81 4
1
1
Ta có: 3
log 1
log 1
1
1
3 80
2 15 2
log
log 21 15 2 log 2 15 2 log 2 16 4
1
2 15 2
13) log 2011 2012 và log 2012 2013
w
Ta ln có : log n n 1 log n 1 n 2 với n 1 (*) . Thật vậy :
2
2
w
+) Ta có : n 1 n n 2 1 n n 2 1 log n1 n 1 log n1 n n 2
hay 2 log n1 n log n1 n 2 (1)
w
+) Áp dụng BĐT Cauchy ta có : log n1 n log n1 n 2 2 log n1 n.log n1 n 2 (2)
( (2) khơng xảy ra dấu '' " vì log n 1 n log n1 n 2 )
+) Từ (1) và (2) 2 2 log n1 n.log n1 n 2 1 log n 1 n.log n1 n 2
1
log n 1 n 2 log n n 1 log n 1 n 2 (đpcm)
log n 1 n
Áp dụng (*) với n 2011 log 2011 2012 log 2012 2013
Trang 19
GV: Lienxo86
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
. Ta có: log13 150 log13 169 2 log17 289 log17 290 log13 150 log17 290
14) log13 150 và log17 290
15) log 3 4 và log10 11
Ta ln có : log a ( a 1) log a 1 ( a 2) với 0 a 1 (*) .Thật vậy :…
(các bạn xem phần chứng minh ở ý 13) hoặc cách khác ở Ví dụ 4 ý 4) )
Áp dụng liên tiếp (*) ta được :
log 3 4 log 4 5 log 5 6 log 6 7 log 7 8 log 8 9 log 9 10 log10 11 hay log 3 4 log10 11 (đpcm)
Giải:
31
2
1
B=
6
1
log6 2 log 5
2
6
1
log6 2 log 5
2
6
1
2
Ta có: log 6 2 log 6 5 log 6 2 log 6 5 log 6
2
5
1
6
log6
2
5
61
log6
2
5
3
log6
5
2
3
5 3 5
125
. Mặt khác:
3
8
2
2
31
1
B=
2
6
.g
ia
125 3 124
1
Mà: 3
8
8
6
6
1
log6 2 log 5
2
6
su
1
6
31
2
3
in
log 5 3.log15 4
14
7
log 1 .log 0,3
5
2
3
ht
am
5 1; 3 1 log 5 3 0
15 1; 4 1 log 4 0
15
log 5 3.log15 4
1
14
14
Ta có: 0 1;
0
1 log 1
0 A
14
7
3
5
5
3
log 1 .log 0,3
5
2
3
7
7
0 0, 3 1;
1 log 0,3 0
2
2
m
A
3
.c
Ví dụ 2: Xác định dấu của các biểu thức sau:
1
log6 2 log 5
2
6
om
1
B=
6
log 5 3.log15 4
A
14
7
log 1 .log 0,3
5
2
3
1
log6 2 log 5
2
6
3
31 3 124
2
8
3
31
0
2
Ví dụ 3: Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần:
Giải:
2 ; 23
log64
w
1)
2 ; 23
w
Ta có:
log 64
5
4
5
4
2) 2 log 4 5 ; log 3
; log
4
4
2
3
; log 9
1
4
log9 2
; 2 6 ; 23
1
2
22 ;
Mà: 2
log9 2
; 2 6 ; 23
w
1)
5
log
23 64 4
1
2
6 2
2
Từ (1) và (2) : 2
1
1
5
log
22 2 4
log9 2
2 6 2 2 23
1
5
Mặt khác: 2 2 2
4
log 2
3 9
5
3log 6
2 2 4
2
26
2 2
1
1
log9 2
5 5 2
2
23
; 23
4 4
log3 2
log3 2
23
2 23
5
3 log64 4
5
4
26 2
1
5 2
hay
4
log 2
log64
5
4
(1)
(2)
thứ tự giảm dần là: 2
Trang 20
GV: Lienxo86
log 2
3 9
; 2
6
;
5
3 log64 4
2 ; 2
2
2
; log
4
4
2
3
Ta có: 2 log 4 5 log 2 5 ; log
; log 9
4
2
3
1
4
2log 2
2
4
16
1
1
1
log 2
; log 9 log 2 log 3
3
3
4
2
3
2
Ví dụ 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
ln a ln b
ab
1)
ln
với a 1 ; b 1 .
2
2
3) log a b log a c (b c) với 1 a b và c 0
c
3
1
; log 9
4
4
2) log a b log a c b với a, b 1 và c 0
4) log a (a 1) log a 1 (a 2) với 0 a 1
ht
b
loga b
; 2 log 4 5 ; log 3
3
3 abc với a, b, c dương và khác 1.
in
5) a
logc a
4
2
am
1
1
2 4 log3 2 log 3 4
1
16
Mà: log 3 0 log 2 5
log 3 log 3 log 2 5 log 2
2
4
3
4
16
16
5 3 log 2 5 log 2 3
1
4
hay log 9 log3 2 log 4 5 log 2
thứ tự giảm dần là: log
4
4
3
logb c
www.giasuminhtam.com
om
2) 2 log 4 5 ; log 3
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
.c
TT gia su Minh Tam
ab
ln a ln b
ln
với a 1 ; b 1 .
2
2
ab
Vì a 1 ; b 1 nên ln a , ln b và ln
khơng âm. Ta có :
2
ab
ab
ab 1
+)
ab ln
ln ab ln
ln a ln b
2
2
2
2
su
m
Giải: 1)
(1)
.g
ia
+) ln a ln b 2 ln a ln b (áp dụng BĐT Cauchy)
2 ln a ln b ln a ln b 2 ln a ln b
ab 1
ln a ln b
2
4
2) log a b log a c b với a, b 1 và c 0
w
Từ (1) và (2) ln
ln a ln b
2
hay
w
Vì a, b 1 và c 0 0 log b a log b a c
2
hay ln a ln b
ab
ln a ln b
ln
2
2
1
2
ln a ln b
2
(đpcm)
1
1
log a b log a c b (đpcm)
logb a logb a c
w
Dấu " " xảy ra khi : c 0
3) log a b log a c (b c) với 1 a b và c 0
Ta có : log a b log a c (b c) log a b 1 log a c (b c ) 1 log a
b
bc
log a c
a
ac
b
bc
b bc
(*)
1 nên log a log a
a ac
a
ac
bc
bc
Mặt khác áp dụng kết quả ý 2) ta được : log a
(2*)
log a c
ac
ac
Từ (*) và (2*) log a b log a c (b c) (đpcm)
. Dấu " " xảy ra khi : c 0 hoặc a b .
Với 1 a b và c 0
Trang 21
GV: Lienxo86
(2)
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
4) log a ( a 1) log a 1 ( a 2) với 0 a 1
Theo kết quả ý 3) ta có : log a b log a c (b c) với 1 a b và c 0
Áp dụng với b a 1 và c 1 ta được : log a ( a 1) log a 1 ( a 2)
5) a
logb c
(đpcm)
b logc a c log a b 3 3 abc với a, b, c 1
log c
log a
log c
log a
log a log a b
log a
log a b log b a 2 log a b.log b a 2
logb c
cloga b 2 c 2 2c hay a
logb c
Chứng minh tương tự ta được : a
(2)
cloga b 2c
logb c
blogc a 2a
blogc a c loga b 2b
logb c
blogc a cloga b 2 a b c hay a
logb c
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có : a b c 3 3 abc
b
logc a
c
log a b
(2*)
3
3 abc (đpcm)
in
Ví dụ 5: Khơng sử dụng máy tính hãy chứng minh rằng:
5
1) 2 log 2 3 log 3 2
2
ht
Từ (*) và (2*) a
logb c
blogc a clog a b a b c (*)
am
2 a
5
2
su
1) 2 log 2 3 log 3 2
2) log 1 3 log 3
2
1
2
2
m
Giải:
.c
Từ (1) và (2) a
Áp dụng BĐT Cauchy ta được : log 2 3 log 3 2 2 log 2 3.log 3 2 2
(1)
.g
ia
( (1) khơng có dấu " " vì log 2 3 log 3 2 )
Ta có : log 2 3 log 3 2
5
1
5
log 2 3
0
2
log 2 3 2
2 log 2 3 5 log 2 3 2 0 2 log 2 3 1 log 2 3 2 0 (*)
2
w
w
w
2 log 2 3 1 0
5
Mặt khác :
(2)
(*) đúng log 2 3 log 3 2
log 2 3 2 0
2
5
Từ (1) và (2) 2 log 2 3 log 3 2
(đpcm)
2
2) log 1 3 log 3
2
1
2
2
Ta có : log 1 3 log 3
2
1
log 2 3 log 3 2
2
(1)
Chứng minh như ý 1) ta được : log 2 3 log3 2 2 log 2 3 log 3 2 2 (2)
Từ (1) và (2) log 1 3 log 3
2
1
2 (đpcm)
2
Trang 22
GV: Lienxo86
(1)
om
Ta có : a b c b a b cloga b c b c loga b 2 c b .cloga b 2 c b
Vì a, b 1 nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm logb a và log a b ta được :
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
Ví dụ 6: Chứng minh rằng các hàm số:
2x 2 x
1) y f ( x)
đồng biến trên
2
www.giasuminhtam.com
2) y f ( x) 3x x x 2 1 nghịch biến trên
Giải:
Ta có: f '( x)
om
2x 2 x
2
2x ln 2 2 x ln 2
2x 2 x
đồng biến trên
0 với x y f ( x)
2
2
2) y f ( x) 3x x x 2 1
(đpcm)
.c
1) y f ( x)
x x
1
2
Ta có: f '( x) 3x ln 3 x x 2 1 3 x 1
3 x x 1 ln 3 2
2
x 1
x 1
am
ht
x2 1 x2 x x x x2 1 0
Mà :
f '( x) 0 với x
1
1
ln 3
0
ln 3 1
x2 1
x2 1
(đpcm)
in
Vậy hàm số y f ( x) 3x x x 2 1 nghịch biến trên
2) f '( x) 0 biết f ( x ) e 2 x 1 2e1 2 x 7 x 5
Giải:
1) f '( x)
.g
ia
su
m
Ví dụ 7: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1
1) f '( x ) f ( x ) 0 với f ( x ) x3 ln x
x
3) f '( x) g '( x) biết f ( x ) x ln( x 5) ; g ( x) ln( x 1)
1
4) f '( x) g '( x ) biết f ( x ) .52 x 1 ; g ( x) 5 x 4 x ln 5
2
1
f ( x) 0 với f ( x ) x3 ln x
x
1
Ta có: f ( x) x3 ln x f '( x) 3 x 2 ln x x3 . x 2 3ln x 1
x
1
1
f '( x ) f ( x ) 0 x 2 3 ln x 1 .x 3 ln x 0 x 2 4 ln x 1 0
x
x
w
w
Điều kiện : x 0
w
1
1
1
1
1
4
x e 4 4 . Vậy nghiệm của phương trình là: x 4
x 0 (loại) hoặc ln x ln e
4
e
e
2) f '( x) 0 biết f ( x ) e 2 x 1 2e1 2 x 7 x 5
Ta có: f ( x) e2 x 1 2e1 2 x 7 x 5 f '( x) 2e 2 x 1 4e1 2 x 7
f '( x) 0 2e 2 x 1 4e1 2 x 7 0 2e2 x 1
4
2 x 1
2
7 0 2 e2 x 1 7e 2 x 1 4 0
e
1
2 x 1
e
1
1
1 e
1 e
2 e 2 x 1 2 x 1 ln x ln . Vậy nghiệm của phương trình là: x ln
2 x 1
2
2
2 2
2 2
4
e
Trang 23
GV: Lienxo86
TT gia su Minh Tam
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
www.giasuminhtam.com
3) f '( x) g '( x) biết f ( x ) x ln( x 5) ; g ( x) ln( x 1)
Điều kiện : x 5
Ta có: f ( x) x ln( x 5) f '( x) 1
1
1
x4
; g ( x) ln( x 1) g '( x)
x 5 x 5
x 1
1
x4
2
x 4 x 1 x 5 x 2 6 x 9 0 x 3 0 (*)
x 5 x 1
Do (*) đúng với x 5 .Nên nghiệm của bất phương trình là: x 5
1
4) f '( x) g '( x) biết f ( x ) .52 x 1 ; g ( x) 5x 4 x ln 5
2
1
Ta có: f ( x ) .52 x 1 f '( x ) 52 x 1 ln 5 ; g ( x) 5 x 4 x ln 5 g '( x) 5 x ln 5 4 ln 5 5 x 4 ln 5
2
2
4
f '( x) g '( x) 52 x 1 ln 5 5 x 4 ln 5 52 x 1 5 x 4 5. 5 x 5 x 4 0 5 x 1 50 x 0
5
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x 0
am
.c
om
Với x 5 : f '( x ) g '( x )
Ví dụ 8: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1
1) y ( x 2 4) 2
2) y (6 x x 2 ) 3
5) y log 3 ( x 2 3 x )
2
x 3x 2 4 x
9) y 2
m
Giải:
x 3 8 x
x 2
. Điều kiện : x 2 4 0
x 2
log 0,5 ( x 1)
x2 2x 8
4) y (3x 9) 2
7) y log 1 ( x 3) 1
3
x2 1
10) y log 1 log 5
x3
5
TXĐ: D ( ; 2) (2; )
su
1) y ( x 2 4) 2
ht
6) y log x2 4 x 4 2012
in
8) y log 3
3) y 3 1 x
1
. Điều kiện : 6 x x 2 0 x 2 x 6 0 3 x 2 TXĐ: D 3; 2
2) y (6 x x 2 ) 3
4) y (3x 9)2
.g
ia
TXĐ: x
3) y 3 1 x
. Điều kiện : 3x 9 0 3x 32 x 2
x 0
. Điều kiện : x 2 3 x 0
x 3
w
5) y log 3 ( x 2 3 x )
w
6) y log x2 4 x 4 2013
TXĐ: D \ 2
TXĐ: D ( ; 0) (3; )
x 2
2
x 2 4 x 4 0 x 2 0
x 1
. Điều kiện : 2
2
x 4x 4 1
x 4x 3 0
x 3
TXĐ: D \ 1; 2;3
w
7) y log 1 ( x 3) 1
3
1
1
10
10
0 x3 3 x
TXĐ: D 3;
3
3
3
3 3
Điều kiện : log 1 ( x 3) 1 0 log 1 ( x 3) 1 log 1
3
8) y log 3
3
x 2 3x 2 4 x
Điều kiện : log 3
x 2 3x 2 4 x 0 x 2 3x 2 4 x 1 x 2 3x 2 x 3
Trang 24
GV: Lienxo86
(08) 38 908 900 - 0967 783 633
x 3
x 3 0
x 1
2
x 1
x 2
x 3x 2 0
2 x 3 x 1
x 2
x 3 0
x 3
x 3
2
2
x 3 x 2 x 3
x 7
3
x 3 8 x 0
Điều kiện : log 0,5 ( x 1)
0
2
x 2x 8
x2 2x 8
2
x 3 8 x
x 3 8 x
2
x 2x 8 0 x2 2x 8 0
log x 1 0
x 1 1
0,5
2
11
x 2
11
11
x 2
x
TXĐ: x
2
2
x 4
x 2
.c
log 0,5 ( x 1)
TXĐ: D ;1 2;
am
9) y 2
x 3 8 x
www.giasuminhtam.com
om
TT gia su Minh Tam
ht
x2 1
x2 1
x2 1
x2 1
10) y log 1 log 5
1 log 5 1 log5
log 5 5
0 0 log5
. Đkiện : log 1 log5
x3
x3
x3
x3
5
5
su
m
in
3 x 1
x2 x 2
0
2 x 1
x2 1
x3
x 2
1
5 2
TXĐ: D 2; 1 2; 7
x3
2 x 7
x 5 x 14 0
x 3
2 x 7
x3
Ví dụ 9: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
x
2) f ( x) 0,5
.g
ia
1) f ( x) 3 x
x x
w
Giải: 1) f ( x) 3
sin 2 x
3) f ( x) 2 x 1 23 x
2
4) f ( x ) 5sin x 5cos
2
2
1 1
1 1 1
Cách 1: Ta có: x x x x x
4 4
2 4 4
f ( x) 3 x
1
x
3 4 4 3 max f ( x) 4 3 khi x
1
4
w
w
1 x x
1 2 x x x
1
Cách 2: Đk: x 0 Ta có: f '( x) 1
ln 3
.3
ln 3 0 1 2 x 0 x
3
4
2 x
2 x
1
Ta có : lim f ( x) lim 3 x x lim x x 0 bảng biến thiên:
x
x
x
3
Từ bảng biến thiên ta có: max f ( x) 4 3 khi x
Trang 25
GV: Lienxo86
1
4
x
