Bài tập Dãy số cấp số cộng cấp số nhân ban nâng cao

-Tài liệu Toán 11 Nâng cao-
-Trang 1-
Bài tập Chương 3. DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Dạng 1. Chứng minh quy nạp
-PP: Chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi ,
nnp
∈≥

.
+(Bước cơ sở) *Kiểm tra A(p) đúng.
+(Bước quy nạp) *Giả sử A(k) đúng (với
kp
≥
). Ta chứng minh A(k+1) cũng đúng. Từ đó suy ra
mệnh đề đúng với mọi ,
nnp
∈≥

./.
-Một số bài toán.
Bài 1. Chứng minh bằng quy nạp.
a)
2*
1.22.5 (31)(1),;
nnnnn+++−=+∀∈


b)
*
2
11112

111 1,;
4916(1)2(1)
n
n
nn

+

−−−−=∀∈


++




c)
33*
32627169,
n
nn
+
−−∀∈

; d)
543
52330
nnnn
++− luôn là số nguyên với
*

n∀∈

;
e)
*
1111
,;
1.44.77.10(32)(31)31
n
n
nnn
++++=∀∈
−++


f)
1
22212*
(1)(1)
123 (1),;
2
n
n
nn
nn
−
−
−+
−+−+−=∀∈


g)
*
2(1)
sinsin sin2sinsin,;
33366
nnn
n
πππππ
+
+++=∀∈


h)
2
4(2)!
,,1;
1(!)
n
n
nn
nn
<∀∈>
+
 i)
222*
1,xxxxn+++<+∀∈

(n dấu căn);
j)

1
1
*
2
22
12212
,,1;
111
11
nn
nn
nx
xxx
xx
+
+
+++=+∀∈≠
++−
+−

Bài 2. Cho n số dương
,1, ,(2)
i
xinn
=≥
. Chứng minh rằng:
1212
(1)(1) (1)1
nn
xxxxxx

+++>++++

Bài 3. Gọi a là một nghiệm của phương trình:
2
310
xx
−+=
. Chứng minh rằng
1
n
n
n
xa
a
=+ là số nguyên
với n
∀∈

.
HD. +
2
1
133
aaa
a
+=⇔+=
và
111
.
kkk

xxxx
+−
=−.
Bài 4. Giả sử
cos
θ
là số hữu tỉ. Chứng minh rằng với
*
n∀∈

,
cos
n
θ
cũng là số hữu tỉ.
HD. +
cos(1)coscossin.sin
nnn
θθθθθ
+=−
.
Dạng 2. Toán dãy số.
*Tìm các số hạng của dãy số.
1. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
2
25
1
n

n
u
n
+
=
+
.
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy. b) Tìm n sao cho
1
5
n
u
=
. (ĐS. b) n=12 )
2. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
khi n chan
2
1
1
khi n le
1
n
n
n
u
n
n




−
=

−


+

.
a) Viết 4 số hạng đầu của dãy. b) Chứng minh mọi số hạng của dãy đều khác nhau.
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
-Tài liệu Toán 11 Nâng cao-
-Trang 2-
3. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
cos
3
n
n
u
π
= .
a) Viết 6 số hạng đầu của dãy. b) Chứng minh dãy số chỉ nhận hữu hạn giá trị.
4. Cho dãy số (u
n
) xác định như sau: u

n
là số dư khi chia n cho 6.
a) Xác định 7 số hạng đầu của dãy; b) Nếu u
m
= u
n
, chứng minh rằng :
6
mn
−

.
*Tìm công thức tổng quát của dãy số.
1. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
=5 và u
n+1
=3.u
n
,
*
n∀∈

. Chứng minh rằng: u
n
=5.3
n-1
.

2. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
=1 và u
n+1
=3.u
n
+ 2n,
*
n∀∈

.
Chứng minh rằng:
1
15
.3
22
n
n
un
−
=−−+ .
3. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
=1 và u
n+1
=3.u

n
+
*
12
,
2
n
n
−
∈

.
Chứng minh rằng: u
n
=
()
1
1
3
2
n
n
−
+
.
*Xét tính đơn điệu của dãy số.
1. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a)
2011
n

n
u
n
−
= ; b)
20111
20111
n
n
n
u
−
=
+
; c)
!
1
n
n
u
n
=
+
; d)
(1)
2011
n
n
u
n

−
=
+

2. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
=3 và u
n+1
=
5
3
.u
1
,
*
n∀∈

.
a) Chứng minh rằng dãy (u
n
) tăng; b) Tìm n để u
n
> 10000
3. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
=1và u

n+1
=
23
3
n
u
+
,
*
n∀∈

.
a) Chứng minh rằng (u
n
) bị chặn bởi 3; b) Chứng minh (u
n
) là dãy tăng.
3. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 3, u
n+1
=
2
*
2
,
2
n

n
u
u
+
∀∈

. Chứng minh dãy (u
n
) giảm.
*Xét tính bị chặn của dãy số.
1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau đây:
a)
1
3(1)
22
n
n
n
u
n
+
+−
=
+
; b)
2
23
21
n
n

u
n
+
=
+
; c)
2121
n
n
u
nn
=
++−
; d)
2011
21
n
un
=+
;
e)
2sin(1)3cos;
n
unn
=+− f)
111

12
n
u

nnnn
=+++
+++
;
g)
()() ()
111

12
n
u
nnnnnnn
=+++
+++
; i)
222
sin1sin2sin

1.22.3(1)
n
n
u
nn
=+++
+

2*. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1

= 1, u
2
= 2 và u
n+1
= u
n
+
1
2
1
,2
1
n
n
u
n
u
−
−
≥
+
.
a) Bằng quy nạp chứng minh rằng:
1
1
nn
n
uu
u
+

=+
. Từ đó suy ra dãy (u
n
) tăng.
b) Đặt
n
n
u
v
n
= . Chứng minh dãy số (v
n
) bị chặn.
*Một số bài toán khác.
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
-Tài liệu Toán 11 Nâng cao-
-Trang 3-
1. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
=1, u
2
=2 và u
n+2
=
1
1
n

n
u
u
+
+
.
Chứng minh rằng: u
n+5
= u
n
, với mọi n (tức dãy u
n
tuần hoàn).
2. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
=1 và u
m+n
= u
m
+u
n
+mn,
*
,mn∀∈

.
a) Chứng minh rằng: u
n+1

= u
n
+ n + 1; b) Chứng minh rằng:
(1)
2
n
nn
u
+
= .
3. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
=
1
2007
và n.u
n+1
=(n+1).u
n
+1 ,
*
n∀∈

.
a) Chứng minh rằng: u
n
=
1

2007
n
n
+−
; b) Tính tổng
1
n
i
i
u
=
∑
.
4. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
=1, u
2
=-7 và u
n+2
=5.u
n+1
+ 6u
n
,
*
n∀∈

.

Chứng minh rằng: u
n
=
113
.6.(1)
77
nn
−−−
.
Dạng 3. Cấp số cộng.
*Xác định các yếu tố của cấp số cộng.
1. Cho cấp số cộng: 2, 5, 8, 11,… Tìm a
1
, d, u
n
, S
n
?
2. Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng biết rằng:
a)
7
15
27
59
u
u
=


=


; b)
92
136
5
25
uu
uu
=


=+

; c)
12
18
34
45
S
S
=


=

; d) S
n
= 3n + n
2
;

e)
5
10
10
5
u
S
=


=

; f)
20105
532
SSS
==
; g) S
20
= 2.S
10
, S
15
= 3.S
5

3. Tổng ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng 2 và tổng các bình phương của ba số đó bằng 14/9.
Xác định ba số đó và công sai? (ĐS: (1;2/3;1/3) và (1/3;2/3;1))
4. Cho cấp số cộng (u
n

) thoả : u
4
+ u
8
+ u
12
+ u
16
=16. Tính
19
1
i
i
u
=
∑
? (ĐS: 76)
5. Cho một cấp số cộng thoả:
2
2
().
n
m
S
n
mn
Sm
=≠Tính tỉ số
2007
1945

u
u
?(HD. d=2u
1
nên tỉ số=
4013
3889
)
6. Tìm n
∈

, biết:
a) (2n+1)+(2n+2)+…+(2n+n) = 2265 (ĐS: n=30)
b)
121
2007
nn
nnn
−−
+++= (ĐS: n=4015)
*Chứng minh một dãy là cấp số cộng.
1. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
n+1
=3.u
n
– u
n-1
+ 3 ,

2
n
∀≥
.
Chứng minh rằng dãy v
n
=2.u
n
– u
n-1
là một cấp số cộng. Xác định v
1
và d của (v
n
)?
2. Cho dãy số (u
n
) thoả mãn: u
n
– u
n+1
+ 3=
1
(1)
nn
+
,
*
n∀∈


.
a) Chứng minh rằng dãy v
n
= u
n
-
1
n
,
*
n∀∈

lập thành một cấp số cộng?
b) Từ đó, tìm số hạng tổng quát của dãy (u
n
) biết u
1
= 2?
3. Chứng minh rằng trong
ABC
∆
: cotA, cotB, cotC thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a
2
, b
2
, c
2
thứ tự lập thành cấp số cộng.
*Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng.
1. Cho cấp số cộng (u

n
). Chứng minh các hệ thức sau:
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
-Tài liệu Toán 11 Nâng cao-
-Trang 4-
a)
1
(),;
2
nnknk
uuunk
−+
=+∀>
b)
426
1
3
nnn
SSS
−= ; c) (q-r)a
p
+ (r-p)u
q
+ (p-q)u
r
= 0;
d) u
1
+ u

n
= u
k
+ u
n-k+1
; e) S
n+3
+ 3S
n+1
= 3S
n+2
+ S
n
; f) 2(S
3n
– S
n
) = S
4n
;
g)
122311
1111

nnn
n
aaaaaaaa
−
−
+++=;

h)
13352121242
1111111
, 0
2
i
nnn
a
aaaaaaaaa
−+

+++=+++>

+++

;
i)
122311
1111
, 0
i
nnn
n
a
aaaaaaaa
−
−
+++=>
++++
;

2. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng:
(i) a
2
+ 2bc = c
2
+ 2ab; (ii) 8b
3
– a
3
– c
3
= 6abc
3. Cho các số a, b và a+b khác 0 sao cho
111
,,
aabb
+
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính tỉ số
2
2
a
b
?
Dạng 4. Cấp số nhân.
* Xác định các yếu tố của một cấp số nhân.
1. Cho cấp số nhân: 2, 6, 18, 54, … Tính u
1
, q, u
n
, S

n
?
2. Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân (u
n
) sau:
a) u
7
= - 5 và u
10
= 135; b) u
10
= 32
2
và u
15
= 16.u
7
; c) u
7
– u
5
=11 và S
12
= 80;
d)
246
35
91
30
uuu

uu
++=


+=

; e)
123
456
35
180
uuu
uuu
++=


++=

; f)
42
53
54
108
uu
uu
−=


−=


3. Cho a, b > 0. Hãy chen 5 số giữa hai số
;
ba
ab
để dãy tạo thành là một cấp số nhân?
4. a.Tìm x, y biết rằng x, y, 12 lập thành một cấp số nhân và x, y, 9 lập thành một cấp số cộng theo thứ tự?
(ĐS: (3;6) và (27;18))
b. Tìm x, y biết rằng 1, x
2
, y
2
lập thành một cấp số cộng và 2, x+2, y-3 lập thành một cấp số nhân theo thứ
tự?
5. Tìm x biết rằng ba số
cos,sin,cos
44
xxx
ππ

−+


theo thứ tự lập thành một cấp số nhân? (ĐS:
,
6
xkk
π
π
=±+∈


)
6. Cho cấp số nhân x, y, z. Tìm x, y, z biết:
a)
333
64
584
xyz
xyz
=


++=

; b)
111
14
7
108
xyz
xyyzzx

++=




++=−



; c) 216
19
xyz
xyz
xyz
<<


=


++=

;
7.Tính các tổng sau:
a) A = 1 + 2011 + 2011
2
+ … + 2011
n
;
b) B =
1111
(1)
2482
n
n
−+−++− ; c) C = 1 + 2.3 + 3.3
2
+ …+ 2011.3
2010

(HD: 3C–C=2C)
d) D =
222
2
2
111
,(1,0)
n
n
xxxx
xxx

++++++≠±


;
e) E = x + 2x
2
+ 3x
3
+ … + nx
n
;
8. Cho
ABC
∆
có sinA, sinB, sinC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và C – A = 60
o
. Tính góc B?
www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM
-Tài liệu Toán 11 Nâng cao-
-Trang 5-
9. Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
– x + A = 0 và x
3
, x
4
là hai nghiệm của phương trình:
x
2
– 4x + B = 0. Tính A, B biết rằng x
1
, x
2,
x
3
, x
4
lập thành một cấp số nhân tăng?
10. Cho cấp số cộng (u
n
) và cấp số nhân (v
n
) thoả mãn: u

1
= v
1
=2, u
2
= v
2
, v
3
= u
3
+ 4. Xác định cấp số
cộng và cấp số nhân đó.
*Chứng minh một dãy số là cấp số nhân.
1. Chứng minh dãy số (u
n
) sau là một cấp số nhân: u
n
=
1
3.
7
n



;
2. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u

1
= 2, u
n+1
= 3 + 4u
n
.
a) Đặt v
n
= u
n
+ 1. Chứng minh rằng dãy số (v
n
) là một cấp số nhân? Tìm công thức của v
n
?
b) Tìm công thức tổng quát của u
n
?
3. Chứng minh rằng:
a) Nếu x, y, z lập thành một cấp số nhân thì xy, y
2
, zy cũng lập thành một cấp số nhân.
b) Nếu bốn số dương x, y, z, t lập thành một cấp số nhân thì ba số ,,
xyyzzt
cũng lập thành một cấp
số nhân.
4. Cho cấp số nhân a
1
, a
2

, …, a
n
, … có công bội
1
q
≠
. Chứng minh rằng:
a) Dãy số
12
111
,, ,,
n
aaa
là một cấp số nhân và tính công bội của nó?
b) Dãy số
32
4
12
,, ,,
n
n
aa
a
aaa
+
là một cấp số nhân và tính công bội của nó?
*Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân.
1. Cho (u
n
) là một cấp số nhân với công bội q. Chứng minh rằng:

a)
11
,1
nknk
uuuukn
−+
=≤≤
; b) S
m
+ q
m
.S
n
= S
n
+ q
n
.S
m
, với mọi m,n.
2. Cho x, y, z là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh:
a) (x+y+z)(x-y+z)=x
2
+ y
2
+ z
2
; b) x
2
+ 4z

2
– 4xy + 8yz = (x – 2y – 2z)
2
;
c)
111
,0;
xyzxzxyz
xyz

++=++≠


d)
(
)
(
)
xyzxzyxyz
+++−=++
;
3. Cho cấp số cộng dương (u
n
) và cấp số nhân dương (v
n
) thoả mãn: u
1
= v
1
và u

2
= v
2
.
Chứng minh
*
,
nn
vun
≥∀∈

.

******************************



www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM