Ôn tập giới hạn liên tục và đạo hàm

Xuctu.com hc toỏn min phớ BI TP ễN TP O HM
GV: HUNH VN C
-
1
-

Bài tập ễN THI LI 11
(O HM V PHNG TRèNH TIP TUYN)
I.
Đạo hàm
A.Lớ thuyt:
1) Định nghĩa
+ Cho hàm số
)(xfy

xác định trên tập xác định của nó và

o
x
TXĐ
đạo hàm của hàm số
)(xfy

tại
o
x
kí hiệu
)(
'
o
xy

hay
)(
'
o
xf
là

)(
'
o
xy
=
)(
'
o
xf
=
o
xx
lim
x
y


=
o
xx
lim
x
xfxxf

oo




)()(


)()(
oo
xfxfyyy
gọi là số gia tơng ứng của h/s tại
o
x


o
xxx
gọi là số gia của đối số tại
o
x

+ Hàm số
)(xfy

xác định trên tập xác định của nó và

o
x
TXĐ

o
xf
'
và



o
xf
'





o
xf
'
=

o
xf
'
=
)(
'
o
xf

Với



o
xf
'
=


o
xx
lim
x
y


và

o
xf
'
=


o
xx
lim
x
y



+ Chú ý : H/s
)(xfy

có đạo hàm tại
o
x
thì nó liên tục tại
o
x
ngựơc lại
thì cha chắc
3) Các quy tắc tính đạo hàm


'''
)( vuvu

''
.)( ukku
với k là hằng số

2
''
'
v
uvvu
v
u








uvvuuv
'''
)(


'`1'
)( uuu

R




2
'
'
1
u
u
u








y = f(u) và u = g(x) thì
'''
.
xux
uyy

4) Bảng đạo hàm

1
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm số hợp
1'
.)(




xx

2
'
11
x
x











x
x
2
1

'


'1'
)( uuu





2
'
'
1
u
u
u








u
u
u
2
)(

'
'


CosxSinx
'
)(



SinxCosx
'


xtg
xCos
Tgx
2
2
'
1
1





xCotg
xSin
Cotgx

2
2
'
1
1




CosuuSinu .
'
'




SinuuCosu .
'
'



)1.(
2'
2
'
'
uTgu
uCos
u

Tgu


)1(
2'
2
'
'
uCotgu
uSin
u
Cotgu

Xuctu.com hc toỏn min phớ BI TP ễN TP O HM
GV: HUNH VN C
-
2
-

B: Bi tp
I.Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bài 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm:
1) f(x) = 2x
2
+ 3x + 1 tại x = 1
2) f(x) = sinx tại x =

6

3) f(x) =
2x - 1
tại x = 1
4) f(x) =
x
1 + x
tại x = 0
5) f(x) =
2
x + 3 x - 1
tại x = 2
6) f(x) =
2 23
4x + 8 - 8x + 4
khi x 0
x
0 khi
x = 0






tại x = 0
7) f(x) =
2
1
x sin khi x 0
x

0 khi x = 0






tại x = 0
8) f(x) =
1 - cosx
khi x 0
x
0 khi x = 0






tại x = 0
Bài 2. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 5x 7 2) y = 3x
2
4x + 9
3) y =
3
x - 1
4) y =
2x - 3
x + 4

5) y = x
3
+ 3x 5 6) y =
x
+ x
II. Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm
Bài 3. Cho hàm số f(x) =
2
1
xsin khi x 0
x
0 khi x = 0







Chứng minh rằng hàm số liên tục trên R nhng không có đạo hàm tại x = 0.
Bài 4. Cho hàm số f(x) =
2
1
xcos khi x 0
x
0 khi x = 0

1) Chứng minh rằng hàm số liên tục trên R
2) Hàm số có đạo hàm tại x = 0 không? Tại sao?.
Bài 5. Cho hàm số f(x) =
2
ax + bx khi x 1
2x - 1 khi x < 1





Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1
Xuctu.com hc toỏn min phớ BI TP ễN TP O HM
GV: HUNH VN C
-
3
-

Bài 6. Cho hàm số f(x) =
ax + b khi x 0
cos2x - cos4x
khi x < 0
x

Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 0
Bài 7. Cho hàm số f(x) =
2
x + a khi x 3
4x - 1 khi x > 3





Tìm a để hàm số không có đạo hàm tại x = 3.
III. Tính đạo hàm bằng công thức:
Bài 8. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y =
1
3
x
3
2x
2
+ 3x 2) y = - x
4
+ 2x
2
+ 3
3) y = (x

2
+ 1)(3 2x
2
) 4) y = (x 1)(x 2)(x 3)
5) y = (x
2
+ 3)
5
6) y = x(x + 2)
4

7) y = 2x
3
9x
2
+ 12x 4 8) y = (x
2
+ 1)(x
3
+ 1)
2
(x
4
+ 1)
3

Bài 9. Tính đạo hàm của các hàm số sau :
1) y =
2
3

-x + 2x + 3
2
x

2) y =
2
-x + 3x - 3
2( 1)
x

3) y =
1 1
x +
4 x
4) y =
1 1
x - 1 +
2 x - 1

5) y =
2x + 1
x + 1
6) y =
4
2 - x

7) y =
2x - 3
x + 4
8) y =

2
x - 2x + 4
x - 2

Bài 10. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y =
2
+ 5 x
x
2) y =
2
x x
3

3) y = (x 2)
2
x + 1
4) y =
x + 2 + 4 - x

5) y =
3 2
x - 2x + 1
6) y = x +
2
4 - x

7) y =
2
x + 1

x + 1
8) y =
2
x + 1
+
2
1 - 2x

III. Viết phơng trình tiếp tuyến của dồ thị
A.Lớ thuyt:
1.Tip tuyn ca (C): y = f(x) ti M(x
o
; y
o
) l: y y
o
= f(x
o
).(x x
o
)
Chỳ ý: +) M gi l ta tip im v y
o
= f(x
o
)
+) f(x
o
) gi l h s gúc ca tip tuyn.
2. Tip tuyn ca (C): y = f(x) bit tip tuyn cú HSG k.

Gi M(x
o
; y
o
) l ta tip im ca tip tuyn
Ta cú x
o
l nghim ca phng trỡnh f(x
o
) = k
(1)

Xuctu.com hc toỏn min phớ BI TP ễN TP O HM
GV: HUNH VN C
-
4
-

Gii PT (1) tỡm c x
o
ri suy ra M(x
o
; y
o
) vi y
o
= f(x
o
)
KL: PTTT l: y y

0
= k.(x - x
o
)
3. Tip tuyn ca (C): y = f(x) bit tip tuyn i qua M(x
1
; y
1
)
Gi d i qua M(x
1
; y
1
) v cú HSG k. PTT d: y = k.(x x
1
) + y
1

t d l tip tuyn ca (C)






kxf
yxxkxf
)('
)()(
11

cú nghim.
Chỳ ý: +) Gii h trờn ta tỡm c honh tip im x
o
v h s gúc k.
+) K (C) tip xỳc (H): y = g(x)






)(')('
)()(
xgxf
xgxf
cú nghim.
B.BI TP:
BI 1: Cho hàm số y = f(x) =
3 2
2 7
x x 3
3 2


a) Tính f(x) . GPT f(x)

- 3.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(1;3).
c) Chứng minh rằng pt f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 2. Cho hàm số y =
1
3
x
3
2x
2
+ 3x (C)
1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là x = 2.
2) Chứng minh rằng là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 3. Cho hàm số y = -x
3
+ 3x + 1 (C)
1) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hành độ là x = 0
2) Chứng minh rằng tiếp tuyến là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất.
Bài 4.
1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hs: y = x
3
3x
2
+ 2 tại điểm (-1; -
2)
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y =
2
x + 4x + 5
2
x

tại điểm có
hoành độ x = 0

Bài 5.
1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y =
2x + 1
biết hệ số góc
của tiếp tuyến là
1
3
.
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x
2
2x = 3 biết:
a) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng 4x 2y + 5 = 0
b) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng x + 4y = 0
Bài 6. Cho hàm số y =
3x - 2
x - 1
(C)
Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết:
1) Hoành độ của tiếp điểm là x = 0
2) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = - x + 3
3) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng 4x y + 10 = 0
Xuctu.com hc toỏn min phớ BI TP ễN TP O HM
GV: HUNH VN C
-
5
-

4) Biết hệ số góc của tiếp tuyến là -
1
9

Bài 7. Cho hàm số y = x
3
3x
2
+ 2 (C)
1) Viết phơng trình tiép tuyến của (C) kẻ từ điểm A(0; 2)
2) Tìm trên đờng thẳng y = 2 các điểm để từ đó có thể kẻ đợc 2 tiếp tuyến
vuông góc với nhau.
Bài 8. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f(x) biết:
1) f(x) = 3x 4x
3
và tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3)
2) f(x) =
1
2
x
4
3x
2
+
3
2
và tiếp tuyến đi qua điểm B(0;
3
2
)
3) f(x) = x +
1
x - 1

và tiếp tuyến di qua điểm C(0; 1)