on tap gioi han

Lời nói đầu
Trong chơng trình toán trung học phổ thông,tính giới hạn và ứng dụng của
giới hạn là một phần rất quan trọng mà thờng xuyên học sinh phải sử dụng.
Tuy nhiên giới hạn dãy số thờng khó với học sinh khá và học sinh trung bình.
Nhng trong đề thi đại học thờng chỉ có giới hạn hàm số chứa tỷ lệ lớn nên khi
các em gặp thờng các em làm khá tốt .
Tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích đa ra các phơng pháp tính giới hạn
cơ bản và thờng đợc sử dụng rộng dãi nhất ; để các thầy cô và các em có thể
tham khảo và cũng là góp ý cho tác giả.
Rất mong quý thầy cô và các em học sinh quan tâm góp ý cho đề tài hoàn thiện hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn !
Tác giả
Hoàng quý - Thpt lơng tài 2 SĐT:01686.909.405
Mục lục
Phần I giới hạn của dãy số.
A - Các kiến thức cần nhớ.
B - Giới hạn dãy số
Dạng I : Các bài toán giới hạn cơ bản
Dạng 2 Tìm giới hạn khi biết biểu thức truy hồi của dãy số
Phần ii : Giới hạn hàm số
A - Các kiến thức cần nhớ.
B- Các dạng toán .
I / dạng cơ bản
II/ Giới hạn dạng :
0
sin
lim 1
x
x
x

=
III/ Giới hạn dạng:
( )
1

iV/ Giới hạn dạng Mũ và lôgarit
V/ S DNG NH NGHA O HM TèM GII HN
Phần iII : ứng dụng của giới hạn
A- Sử dụng giới hạn để tìm tiệm cận của hàm số:
B- Sử dụng giới hạn để xét tính liên tục
Phần iV Giới thiệu một số đề thi
1
Phần I giới hạn của dãy số.
A - Các kiến thức cần nhớ.
1) Định nghĩa .
Dãy số
( )
n
u
có giới hạn là a nếu với mọi số dơng

cho trớc
( nhỏ bao nhiêu tuỳ ý ) tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N
thì
n
u a

<
. Ta viết
lim

n
n
u a

=
hoặc viết
lim
n
u a=
2. Các định lý.
+) Định lý 1.
Nếu (u
n
) là dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.
Nếu (u
n
) là dãy số giảm và bị chặn dới thì nó có giới hạn.
+) Định lý 2. Các phép toán trên các giới hạn của dãy số
+) Định lý 3. [Nguyên lý kẹp giữa] . Giả sử ba dãy số thoả mãn:

nnn
wuv

với
*
Nn

và
awv
n

n
n
n
==

limlim
thì
au
n
n
=

lim
3. Các giới hạn cơ bản.
+)
CC
n
=

lim
và
0lim
=

n
n
q
với
1q <
.

+) Nếu
0

n
u
thì

n
u
1
+) Nếu

n
u
thì
0
1

n
u
4. Cấp số cộng và cấp số nhân.
+) Cho
,...,...,,
21 n
uuu
ữ
là cấp số cộng với công sai d. Khi đó:

dnuduu
nn

)1(
11
+=+=

và
])1(2[
2
][
2
...
1121
dnu
n
uu
n
uuuS
nnn
+=+=+++=
+) Cho
,...,...,,
21 n
uuu


là cấp số nhân với công bội q với q
1

.
Khi đó:
1

11


==
n
nn
ququu
và
q
qu
uuuS
n
nn


=+++=
1
)1(
...
1
21
B - Giới hạn dãy số
Dạng I : Các bài toán giới hạn cơ bản
Phơng pháp chung : +) sử dụng biểu thức liên hợp
+) Sử dụng các định lý về
giới hạn
+) Sử dụng các tổng cơ
bản
Lu ý : Ta có thể sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn song trong các đề thi đại học
thì việc sử dụng định nghĩa không có , nên trong chuyên đề này tôi chỉ đề

cập các vấn đề liên quan thi đại học là chính . các bài toán bám sát đề thi
đại học và thờng sử dụng các định lý quan trọng của giới hạn .
2


2
1/ lim ( 1 )
n
n n n
→+∞
+ + −

(
)
3
3 2
2/ lim 3 2009
n
n n n
→+∞
+ + −
3 3 3
4
1 2 ...
3/ lim
5
n
n
n
→+∞

+ + +
+

2 2 2
1 1 1
4/ lim ...
1 2
n
n n n n
→+∞
 
+ + +
 ÷
+ + +
 
Gi¶i : Nh©n víi biÓu thøc liªn hîp
2
1n n n+ + +

2
2
2
1
1
1 1
1/ lim ( 1 ) lim lim
2
1 1
1
1 1

n n n
n
n
n n n
n n n
n
n
→+∞ →+∞ →+∞
+
+
+ + − = = =
+ + +
+ + +
(
)
2
3
3 2
3
3 2 2 3 2 2
3
3 2009
2/ lim 3 2009 lim
( 3 2009) ( 3 2009 )
n n
n
n n n
n n n n n n n
→+∞ →+∞
+

+ + − =
+ + + + + + +
=1
( )
( )
2
2
3 3 3
4
4
1
1 2 ... 1
3/ lim lim
4
5
4 5
n n
n n
n
n
n
→+∞ →+∞
+
+ + +
= =
+
+
2 2 2
1 1 1
4/ lim ...

1 2
n
n n n n
→+∞
 
+ + +
 ÷
+ + +
 
Ta cã
2 2 2
1 1 1
1n n n n
≤ ≤
+ +

2 2 2
1 1 1
2n n n n
< ≤
+ +

M

M

2 2 2
1 1 1
n n n n n
≤ ≤

+ +
Céng l¹i :
2 2 2 2 2
1 1 1
...
1 2
n n
n n n n n n n
≤ + + + ≤
+ + + +
Ta cã :
2 2
lim 1; lim 1
1
n n
n n
n n
→+∞ →+∞
   
= =
 ÷  ÷
+
   
VËy
2 2 2
1 1 1
lim ... 1
1 2
n
n n n n

→+∞
 
+ + + =
 ÷
+ + +
 
3
VÝ dô1 : T×m c¸c giíi h¹n sau :

1
1
2009 2008
1/ lim
2009 2010
n n
n
n
+
+

+
+

2/ Cho dãy
( )
n
x
sao cho
( )
2 2 2 2

1 2 3
1 1 1 ... 1 *
n
n
x n n
n n n n

= + + + +
ữ ữ ữ ữ

Tính
( )
lim ln
n
n
x
+
Giải :
1
1
2008
1 2008.
2009 2008 1
2009
1/ lim lim
2009
2009 2010
1
2009 2010
2009

n
n n
n n
n n
+
+
+ +

+
ữ
+

= =
+

+
ữ

Giải : 2/ Cho dãy
( )
n
x
sao cho
( )
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 ... 1 *
n
n
x n n

n n n n

= + + + +
ữ ữ ữ ữ

Tính
( )
lim ln
n
n
x
+
Ta đi chứng minh
( ) ( )
2
ln 1 0
2
x
x x x x < + < >
(*)
Thật vậy xét
( ) ( ) ( )
2
ln 1 0
2
x
f x x x x= + + >
và
( ) ( ) ( )
ln 1 0g x x x x= + >

Dễ dàng chứng minh các hàm số đồng biến với x > 0 suy ra điều phải chứng minh (*) .
Ta có :
2 2 2 2
1 2 3
ln ln 1 ln 1 ln 1 ... ln 1
n
n
x
n n n n

= + + + + + + + +
ữ ữ ữ ữ

áp dụng (*)
( )
2
2 4 2 2
ln 1 1,
i i i i
i n
n n n n

< + < =
ữ

Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 2
1 1 2 1 1
1

. ln
6
2 2 2
n
n n n n n n n
x
n n n
+ + + +
< <
Ta có
( ) ( ) ( )
2 4
1 1 2 1
1 1
lim .
6 2
2 2
x
n n n n n
n n
+
+ + +
=
Và
( )
2
1
1
lim
2

2
x
n n
n
+
+
=
Vậy
( )
1
lim ln
2
n
n
x
+
=


4
Ví dụ 2 : Tìm các giới hạn sau :
Dạng 2 Tìm giới hạn khi biết biểu thức truy hồi của dãy số
Phơng pháp chung :
+) Ta xác định số hạng tổng quát của d ãy số
Để xác định số hạng tổng quát ta thờng sử dụng cấp số cộng ; cấp số nhân ; phơng
pháp quy nạp toán học ; hay có thể là phơng trình tuyến tính sai phân hay chỉ là phép rút gọn
đơn giản . . . . . .
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:

1
1
1
1
5
n
n n
u
u u
+
=




= +
ữ


với
*
Nn

Tìm
lim
n
n
u
+
.

Giải.
Theo giả thiết ta có:

1
1
1
5
n
n n
u u



= +
ữ

;
2
1 2
1
5
n
n n
u u



= +
ữ

;
3
2 3
1
5
n
n n
u u



= +
ữ

;..;
1
2 1
1
5
u u

= +
ữ

.
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có:

2 3 1
1
1 1 1 1

...
5 5 5 5
n
n
u u


= + + + + +
ữ ữ ữ

=
2 3 1
1 1 1 1
1 ...
5 5 5 5
n

+ + + + +
ữ ữ ữ

=
1
1 1
5
5 1
1
1
4 5
1
5

n
n




ữ





=

ữ




. Ta có:
lim lim
n
n n
u
+ +
=
5 1 5
1
4 2 4
n

=

ữ




1
2u =
Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi :

( )
1
2 *
n n
u u n N
+
= +
Tìm
lim
n
n
u
+

Giải. Ta có dãy số
( )
n
u
chính là dãy
2 2 ........ 2 2
n
n dau
u

= + + + +
1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3
Ta chứng minh đợc dãy số
( )
n
u
có giới hạn . Đặt
lim
n
x
u a
+
=
Chuyển qua giới hạn ta có
2 1; 2a a a a= + = =
vì
0
n
u >
nên

lim 2
n
x
u
+
=

Cho
( )
( )
2
2
1 1f n n n= + + +

Xét dãy
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 3 5 ... 2 1
*
2 4 6 ... 2
n
f f f f n
u n N
f f f f n

=
Tìm
lim
n

n
n u
+
Giải :
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
1 1 1 1 1f n n n n n

= + + + = + + +

5
Ví dụ 1
Ví dụ 2
Ví dụ 3

( )
( )
( )
( )
2
2
2 1 2 1 1
2
2 1 1
f n n
f n

n
+
=
+ +
Suy ra :
( )
( )
2
2 2
2 2 2 2
2 1 1
1 1 3 1 1
. .........
3 1 5 1 2 2 1
2 1 1
n
n
u
n n
n
+
+ +
= =
+ + + +
+ +
Suy ra :
1
lim
2
n

n
n u
+
=
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
1
2
1
1
2009
n
n n
u
u
u u
+
=



= +


với
1

n
a) CMR: (u

n
) là dãy tăng.
b) CMR: (u
n
) là dãy không bị chặn trên.
c) Tính giới hạn:
1 2
2 3 1
lim ...
n
n
n
u u u
u u u
+
+

+ + +
ữ

.
Giải.
a) Ta có:
2
1
0
2009
n
n n
u

u u
+
=
với
1

n

{ }
n
u
là dãy tăng.
b) (Phơng pháp phản chứng)
Giả sử (u
n
) là dãy bị chặn trên. Do nó là dãy tăng nên nó có giới hạn,
tức là:
au
n
n
=

lim

1

a
.
Mặt khác lấy giới hạn các vế của đẳng thức đã cho ta có:

2
2009
a
a a= +

0
=
a
(vô lý).
Chứng tỏ (u
n
) là dãy không bị chặn trên, tức là:
+=

n
n
ulim
c)Từ giả thiết ta biến đổi:
2
1
2009
n
n n
u
u u
+
=

1 1
1 1

2009
n
n n n
u
u u u
+ +
=

1 1
1 1
2009( )
n
n n n
u
u u u
+ +
=
Suy ra:
1
2 1 2
1 1
2009( )
u
u u u
=
;
2
3 2 3
1 1
2009( )

u
u u u
=
;;
1 1
1 1
2009( )
n
n n n
u
u u u
+ +
=
Vậy
1 2
2 3 1
lim ...
n
n
n
u u u
u u u
+
+

+ + +
ữ

=
1 1

1 1
lim 2009
n
n
u u
+
+


ữ

=2009
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:

( )
( )
2
1 1
1
5; 9 *
5
n n n
u u u u n N
+
= = +
Đặt
( )
1

1
*
2
n
n
k
k
v n N
u
=
=
+

. Tìm
lim
n
x
v
+
6
Ví dụ 4
Ví dụ 5
Giải : Ta có
( )
2
1
1
3 0
5
n n n

u u u
+
=
và
1
5
n
u u =
. ( nếu dãy bị chặn trên thì có
giới hạn ) . Giả sử dãy
lim
n
x
u a
+
=
( )
5a
. (Phơng pháp phản chứng)
Từ giả thiết chuyển qua giới hạn thì
( )
2
1
9 3
5
a a a a= + =
vô lý vậy
lim
n
x

u
+
= +
Mặt khác :
( )
( ) ( ) ( )
2
1 1
1
9 5 3 3 2
5
k k k k k k
u u u u u u
+ +
= + = +

( ) ( )
1
1 5 1 1
3 3 2 3 2
k k k k k
u u u u u
+
= =
+ +

1
1 1 1
2 3 3
k k k

u u u
+
=
+
Do đó
1
1 1 1
1 1 1 1 1
2 3 3 2 3
n
n
k
k n n
v
u u u u
=
+ +
= = =
+

Vậy
1
lim
2
n
x
v
+
=
Các bài tập t ơng tự .

Bài 1. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:





+
=
==
+
+
2
1;0
1
2
21
nn
n
uu
u
uu

a) CMR:
1
2
1
1
+=

+
nn
uu
b) Xác định công thức tổng quát của (u
n
) theo n.
c) Tìm
n
n
u

lim
Bài 2. Cho dãy số (x
n
) xác định bởi:






<<
+
4
1
)1(
1,10
1 nn
n
xx

nx

a) CMR: (x
n
) là dãy số tăng.
b) Tìm
n
n
x

lim
Bài 3. Tính các giới hạn sau:
2
1/ lim ( 3 1 )
n
n n n
+
+ +
2
2/ lim (2 4 5 1)
n
n n n
+
+ +

3
3
3/ lim (2 8 1)
n
n n

+
+

2 2 2
3
1 2 ...
4/ lim
3 2009
n
n
n
+
+ + +
+
Bài 4. Tính các giới hạn sau:
a)








+
+++

)1.(
1
...

3.2
1
2.1
1
lim
nn
n
b)
)
1
1)...(
3
1
1)(
2
1
1(lim
222
n
n


7
Phần ii : Giới hạn hàm số
A - Các kiến thức cần nhớ.
1) Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên K có thể trừ điểm a

K . Ta nói hàm số
f(x) có giới hạn là L ( hay dần tới L) khi x dần tới a nếu với mọi dãy số

( ) ( )
, *
n n n
x x K x a n N
sao cho khi
lim
n
x a=
thì
( )
lim
n
f x L=
Ta viết :
( )
x a
limf x L

=
hay
( )
x a
f x L



2) Các định lý
Định lý 1 (Cỏc phộp toỏn v gii hn hm s ) ( với
( ) ( )

lim ;lim
x a x a
f x A f x B

= =
)

[ ]
x a x a
x a
lim f (x) g(x) limf (x) limg(x)


=

[ ]
x a x a
x a
lim f (x).g(x) limf (x).limg(x)


=

x a
x a
x a
x a
limf (x)
f (x)
lim limg(x) 0

g(x) limg(x)





=
ữ



( )
( )
x a x a
lim f (x) limf (x) f x 0

=
nh lý 2:Nu hm s cú gii hn thỡ gii hn ú l duy nht
nh lý 3:Cho 3 hm s g(x),f(x),h(x) cựng xỏc nh trong khong K cha a v
g(x) f(x) h(x). Nu
x a x a
limg(x) limh(x) L

= =
thỡ
x a
limf (x) L

=
nh lý 4: Nu

x a x a
1
limf(x) 0 thỡ lim
f (x)

= =

Nu
x a x a
1
limf(x) thỡ lim 0
f (x)

= =

nh lý 5:(giới hạn đặc biệt)
x 0
sinx
lim 1
x

=
;
x 0
x
lim 1
sinx

=
;

( )
x 0
sin ax
lim 1
ax

=
;
x 0
ax
lim 1
sin ax

=
*Cỏc dng vụ nh:
1) Dạng
0
0



2) Dạng





3) Dạng
( )

4) Dạng
( )
0ì
Phơng pháp chung : Khử dạng vô định
+) Phân tích ra thừa số
8
+) Nhân với biểu thức liên hợp thờng gặp

A B
có biểu thức liên hợp
A B+

A B
có biểu thức liên hợp
A B+

3 3
A B có biểu thức liên hợp
3 3
2 2
3
A AB B+ +

3
A B có biểu thức liên hợp
3
2 2
3
A B A B+ +
+) Đặt biến phụ

+) Thêm bớt một số hoặc một biểu thức .....
B- Các dạng toán .
I ) dạng cơ bản

Tìm giới hạn sau :
( )
( )
2
1
1
lim *
1
n
x
x nx n
M n N
x

+
=


Giải : M=
( ) ( )
2 2
1 1
1 ( 1) ( 1)
lim lim
1 1
n n

x x
x nx n x n x
x x

+
=


( )
1 2
1
... 1
lim
1
n n
x
x x x n
M
x


+ + + +
=


( )
1 2
1
( 1) ( 1) ... ( 1)
lim

1
n n
x
x x x
x


+ + +
=

M=
( )
1
2
n n

Tìm giới hạn sau :
( )
( )
3
2
1
lim 1
1
x
x
Q x
x
+

= +


Giải : Đây là dạng
( )
0ì
.
Ta có
( )
( )
( )
( )
2
1
lim 1 1
( 1) 1x
x
Q x x x
x x
+

= + +
+
Do
( )
1x
+

nên
( )

( )
( )
( )
2
2
1
1
lim 1
( 1) 1x
x x
Q x x
x x
+

+
= +
+

( )
( )
( )
2
1
1
lim 1 0
( 1)x
x x
Q x x
x
+

+
= + =

Lu ý : Đây là bài toán cơ bản nhng học sinh rất dễ viết sai khi viết :

( )
( )
( ) ( )
2
1
1
lim 1 1 0
1x
Q x x x x
x
+


= + + =






9
Dạng I :
Phân tích ra
thừa số

Ví dụ 1
Ví dụ 2
Dạng II
Thêm bớt nhân liên
hợp

Tìm giới hạn sau :
3
2
0
1 4 1 6
lim
x
x x
N
x

+ +
=
Giải :
( ) ( )
3
2
0
1 4 1 2 1 2 1 6
lim
x
x x x x
N
x

+ + + + +
=

( ) ( )
3
2 2
0
1 4 1 2 1 2 1 6
lim
x
x x x x
N
x x


+ + + +
= +



Nhân các biểu thức liên hợp

( )
( ) ( ) ( )
2 2 3
2
2 2
0
2

3
3
4 12 8
lim
( 1 4 1 2 )
1 2 1 2 1 6 1 2
x
x x x
N
x x x
x x x x x



+
= +


+ + +

+ + + + + +



Rút gọn và Kq : N = 5

Tìm giới hạn sau :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
lim

x
P x a x b x c x m x n
+

= + + + + +


Giải : Đây là dạng
( )

Ta chuyển về các dạng vô định khác .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
lim ( ) ( )
x
P x a x b x c x x x m x n
+

= + + + + + +

Xét các giới hạn sau :
( ) ( ) ( )
3
1
lim ( )
x
P x a x b x c x
+

= + + +


Đặt
1
x
y
=
Ta có
( ) ( ) ( )
3
1
0
( 1 1 1 1
lim
y
ay by cy
P
y


+ + +
=



( ) ( )
2
lim
x

P x x m x n
+

= + +

Nhân với biểu thức liên hợp
1
3
a b c
P
+ +
=
và
2
2
m n
P
+
=

Vậy
3 2
a b c m n
P
+ + +
=
Ta có bài toán tổng quát :

( ) ( )
( )

1 2
1 1
...
lim ...
n
n
n
x
a a a
P x a x a x a x
n
+
+ +

= + + + =

Tìm giới hạn sau :
( )
0
1 1
lim *; *
n
x
ax
R n N a R
x

+
=
Giải : Đặt

1
1
n
n
y
ax y x
a

+ = =
khi
0x
thì
1y
Ta có :
1 2
1 1
1 1
lim lim
1 ... 11
n n n
y y
y a
R
n
y y y
a a



= = =

+ + +
10
Dạng III
Đặt biến
phụ

Ví dụ 3
Ví dụ 4
Ví dụ 5
Dạng tổng quát : Tìm giới hạn
0
1 1
1/ lim
m n
x
ax bx
x

+ +


( )
0
1 1 1
2/ lim *
m n
x
ax bx
n n
x

+ +


Giả sử
( ) ( )
2 2
1 2
... *
n
P x a x a x a x n N= + + +
.Tính
0
1 ( ) 1
3/ lim
m
x
P x
x

+
II/ Giới hạn dạng :
0
sin
lim 1
x
x
x

=

và Tổng quát :
( )
( )
sin
lim 1
x a
f x
f x

=
(*) với
( )
0
x a
f x


1) Các bài toán cơ bản :
Các giới hạn cơ bản ( với
0; 0a b
):
0
sin
1/ lim
x
ax
a
x

=

0
sin
2/ lim
sin
x
ax a
bx b

=

0
tan
3/ lim
x
ax
a
x

=

2
2
0
1 cos
4/ lim
2
x
ax a
x

=
2) Phơng pháp
a) Phơng pháp :
B1) Nhận dạng giới hạn .
B2) Sử dụng các công thức lợng giác ; nhân với biểu thức liên hợp
Thêm bớt ;đặt biến phụ ....... .
B3) Đa bài toán về đúng dạng (*) .
B4) Tìm kết quả .
b) Yêu cầu :
+) Học sinh nhớ các công thức lợng giác
- Công thức cộng
- Công thức nhân đôi ; nhân ba ; hạ bậc
- Công thức biến tổng thành tích ; tích thành tổng
+) Học sinh nhớ các biểu thức liên hợp .
3) áp dụng
A- Loại 1( sử dụng các phép biến đổi lợng giác )
Ph ơng pháp : Trong phơng pháp này tác giả hớng dẫn học sinh chủ yếu bằng phơng pháp
sử dụng các công thức lợng giác ; thêm bớt ;nhuần nhuyễn ; đua về dạng (*)
Ví dụ 1 Tìm các giới hạn sau :


Giải : Ta có
2
2
2 2
0 0 0
2sin sin
1 cos 1

2 2
lim lim lim
2
2
x x x
x x
x
x
x x


ữ

= =
ữ
ữ

=1/2
( Có thể nhân liên hợp với 1+cosx )
11
2
0
1 cos
lim
x
x
A
x

=
Ví dụ 2 Tìm các giới hạn sau :
2
0
cos cos
lim
x
ax bx
B
x


=
Giải : Ta có
2 2
0 0
sin sin
cos cos
2 2
lim 2lim
x x
a b a b
x x
ax bx
x x

+

=
=

2 2
2
b a
Ví dụ 3 Tìm giới hạn sau :
2
0
1 cos cos2 cos3
lim
x
x x x
C
x


=
Giải :
2
0
1 cos cos cos cos2 cos cos2 cos cos2 cos3
lim
x
x x x x x x x x x
C
x

+ +
=

( )
2 2 2

0
1 cos3 cos cos2
1 cos (1 cos2 )cos
lim
x
x x x
x x x
C
x x x




= + +



Làm tơng tự bài 1 C = 7
Ví dụ 4 Tìm giới hạn sau :
2
2
4
lim
cos
4
x
x
D
x

=
Giải :
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
4
lim lim
cos
sin 2
4
4
x x
x x
x
D
x
x



+

= =


ữ

suy ra
16
D


=
Ví dụ 5 Tìm giới hạn sau :
3
sin3
lim
1 2cos
x
x
E
x


=

Giải:

( ) ( )
2 2
2
3 3 3
sin 3 4 1 cos sin 4cos 1
sin 3 4sin
lim lim lim
1 2cos 1 2cos 1 2cos

x x x
x x x x
x x
E
x x x







= = =

Rút gọn
3E =

Các bài tập t ơng tự .
1/Tính các giới hạn sau:
2
x 0 x 0
x 0
2
2
x 1
x
4
1 cos x 1 1 sin x cos x x cos x x
1/ lim ;( ) 2/ lim ; lim ;(1);
x

xsin 2x 2 1 sin x cos x
2sin x cos
2
sin(x 1) sin x cos x
lim ; lim ;(1)
x 4x 3 4x





+ +


+
; (-1); 3/
4/ 5/
x
3
7 / lim(x 4)sin ;(3);
x

+

2/Tính các giới hạn sau:
12