ổn định của dầm liên tục và của dàn

Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn

5-1
Chương 5.
ỔN ĐỊNH CỦA DẦM LIÊN TỤC VÀ CỦA
DÀN
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp xác định lực tới hạn
cho các dầm liên tục và các thanh trong dàn phẳng.
Những bài toán này thường được đưa về bài toán ổn định của thanh đơn giản, thanh
liên tục trên gối đàn hồi hoặc thanh làm việc trong môi trường đàn hồi.
5.1 Cách tính ổn định của dầm liên tục theo phương pháp lực, phương
trình ba mô men
Ta vận dụng phương pháp lực đã nghiên cứu trong chương 4 để tính ổn
định của
dầm liên tục. Giả sử dầm có tiết diện không đổi trong từng nhịp và chịu lực dọc trục đặt ở
các gối tựa (hình 5-1a). Ta chọn hệ cơ bản như trên (hình 5-1b) thì phương trình chính tắc
viết cho gối thứ i bất kỳ sẽ chỉ có ba số hạng:
0MδMδMδ
1)(i1)i(iiii1)(i1)i(i
=++
++−−
(5-1)
Đó là phương trình ba mô men.

Các hệ số của phương trình được xác định theo các trạng thái đơn vị như trên
(hình 5-2). Những dầm đơn giản chịu tải trọng như trên (hình 5-2) đã được nghiên cứu
trong mục 2, chương 4. Theo công thức (4-5) ta có:
kP
1
i+1
i
2
k
i-1
k
i
k P
i+1
k P
P
P
l l
k
1
P kP
2
k P
i-1

k P
i
i+1
k P
i-1
M
M
i
M
i+1
P
a,
b,
Hình 5-1. Sơ đồ tính ổn định dầm liên tục.
i+1
i
i-1

M M
i
M
i+1
P

P
l

l
l

M =1
P

i
i-1

δ
i(i-1)
ll

i
M
i
i+1
β
i
α
i+1
i(i+1)
l
δ
i+1
M
i+1
δ =α +β
ii

i
i+1

Hình 5-2. Sơ đồ tính theo ba mô men.
Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn

5-2
()
i
i
1)i(i
vβ
6EJ
δ
i
l
=
−
(5-2)
() ()
1i
1i
1
i
i
1iiii
vα
3EJ
vα
3EJ
δ
+
+

+
+
+=+=
ii
ll
ϕϕ
(5-3)
()
1i
1i
1i
1)i(i
vβ
6EJ
δ
+
+
+
+
=
l
(5-4)
Trong đó các hàm số α(v
i
) và β(v
i
) được xác định theo công thức sau:
()
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
i
i
2
i
i
tgv
v
1
v
3
vα
(5-5)
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= 1
sinv

v
v
6
vβ
i
i
2
i
i
(5-6)
Với

i
i
i
EJ
Pk
v
i
l
=
(5-7)

Thay (5-2), (5-3) và vào (5-1) ta được:
() () ( )
[ ]
( )
0MvβλMvαλvαλ2Mvβλ
1i1i1ii1i1iii1iii
=+++

+++++−
(5-8)
Đó là phương trình ba mô men khi tính ổn định của dầm liên tục chịu tác dụng của
lực dọc trục.
Trong đó:
i
0
i
J
J
i
l
=λ
(5-9)
Với J
0
là đại lượng bất kỳ, thường lấy bằng mô men quán tính của một nhịp nào đó.
Trình tự tính toán theo các bước sau:
1- Xác định các chiều dài quy ước λ
i
theo (5-9).
2- Xác định các đại lượng v
i
theo (5-7). Trong trường hợp v
i
có các giá trị khác
nhau ta cần biểu thị các v
i
theo một đại lượng v
k

nào đó theo biểu thức sau:
k
iik
kki
i
v
JEk
JEk
v
k
i
l
l
=
(5-10)
Trong đó:
k
kk
k
k

JE
Pk
v l
.=
(5-11)
3- Thiết lập các phương trình ba mô men theo (5-8). Dầm có n gối tựa trung gian ta
sẽ lập được n phương trình. Hệ phương trình này là thuần nhất.
4- Thiết lập phương trình ổn định bằng cách cho định thức các hệ số của hệ phương
trình bằng không.

Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn

5-3
5- Giải phương trình ổn định ta sẽ tìm được nghiệm v
k
và từ (5-11) suy ra lực tới
hạn cần tìm.
Lực tới hạn tìm được ở trên tương ứng với trường hợp dầm bị mất ổn định với các
mô men ở gối tựa khác không. Trong bài toán dầm liên tục, ngoài nghiệm tìm được theo
cách trình bày kể trên ta còn phải tìm nghiệm tương ứng với trường hợp dầm bị mất ổn
định với các mô men gối tựa M
1
= M
2
= M
3
= ... = M
n
= 0, nếu về ý nghĩa vật lý, trường
hợp này có thể xảy ra.
Nếu dầm liên tục có gối bên trái là ngàm thì hệ số δ
11
được xác định như sau:
() ()
2
2
2
1
1
1

11
v
EJ
l
v
EJ
l
αγδ
+=
.
Trong đó:
()
()
v4
1
vtgv
2
v
2
v
tg
.
v
2tgv
vcosv)v(sinv
vsinv2cosv2
v
2
ϕ
=

−
−
=
−
−−
=γ
(5-12)
Bảng các hàm số ϕ
2
(v) cho trong phần phụ lục.
Do đó phương trình ba mô men thứ nhất có dạng:
() ()
[]
()
0MvMv2v6
22212211
=++ βλγλγλ
(5-13)
Nếu dầm liên tục có gối bên phải là ngàm thì
() ()
1n
1n
1n
n
n
n
nn
v
3EJ
v

3EJ
+
+
+
+= γαδ
ll

Do đó, phương trình ba mô men cuối cùng có dạng:
()
()
()
0M
v6
v2
Mv
n
1n1n
nn
1nnn
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
++

−
γλ
αλ
βλ
(5-14)
Các phương trình viết cho những gối tựa khác vẫn có dạng (5-8).
5.2 Cách tính ổn định của dầm liên tục theo phương pháp chuyển vị
Nội dung phương pháp chuyển vị đã trình bày trong chương 4. Hệ cơ bản chọn như
trên (hình 5-3a và b).
Theo (4-27), phương trình chính tắc biểu thị điều kiện phản lực mô men tại liên kết
đặt thêm vào thứ k bằng không có dạng:
0ZrZrZr
1k1)k(kkkk1k1)k(k
=++
++−−
, (5-15)
k+1
k
l l
a,
l
l
n+1
1
Z
1k-1
Z
k
Z
k+1

Z
n
Z
b,
l
1
1
Z
k-1
Z Z
k+1k
Z Z
n
Hình 5-3. Sơ đồ tính dầm theo PP. chuyển vị.
Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn

5-4
trong đó k biến thiên từ 1 đến n.
Phương trình (5-15) chỉ gồm ba số hạng nên được gọi là phương trình ba góc xoay.
Các hệ số của phương trình này được xác định theo các công thức sau:
()
k31)k(k
v
2EJ
r
ϕ
k
k
l
=

−
(5-16)
() ()
1k2
1k
1k
k2
k
k
kk
v
4EJ
v
4EJ
r
+
+
+
+=
ϕϕ
ll
(5-17)
()
1k3
1k
1k
1)k(k
v
2EJ
r

+
+
+
−
=
ϕ
l
(5-18)
Công thức (5-17) chỉ nghiệm đúng với trường hợp k > 1 và k < n. Khi k = 1 và
k = n, biểu thức của hệ số r
kk
phụ thuộc vào điều kiện liên kết ở các đầu dầm. Nếu các gối
biên là ngàm như trên (hình 5-3a) thì các hệ số r
11
và r
nn
được xác định theo công thức (5-
17). Nếu các gối biên là khớp tựa như trên (hình 5-3b) thì r
11
và r
nn
được xác định theo
công thức sau:
() ()
22
2
2
11
1
1

11
v
4EJ
v
3EJ
r
ϕϕ
ll
+=
(5-19)
() ()
1n1
1n
1n
n2
n
n
nn
v
3EJ
v
4EJ
r
+
+
+
+=
ϕϕ
ll
(5-20)

Theo các phương trình thuần nhất (5-15) ta có thể thiết lập phương trình ổn định của
dầm theo phương pháp chuyển vị bằng cách cho định thức các hệ số của hệ phương trình
đó bằng không: D = 0. (5-21)
Sau khi khai triển định thức D và giải phương trình (5-21) ta dễ dàng tìm được lực
tới hạn cho dầm liên tục. Quá trình thực hiện tương tự như đã trình bày trong mục 5,
chương 4.
Lực tớ
i hạn tìm được theo điều kiện (5-21) xảy ra tương ứng với trường hợp dầm bị
mất ổn định trong đó các chuyển vị xoay Z
k
khác không. Trong thực tế có thể xảy ra
trường hợp dầm bị mất ổn định với các chuyển vị xoay Z
k
bằng không. Bởi vậy, khi
nghiên cứu ổn định của dầm liên tục ta cần phải xét cả 2 trường hợp có thể xảy ra. Chẳng
hạn đối với dầm liên tục hai nhịp, phương trình chính tắc có dạng:
() ()
0Zv
3EJ
v
3EJ
111
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ .

ϕϕ
ll
.
Phương trình này có thể thoả mãn với Z
1
= 0 tương ứng với dạng mất ổn định đối
xứng và cũng có thể thoả mãn với Z
1
≠ 0 tương ứng với dạng mất ổn định phản đối xứng.
Trong trường hợp Z
1
≠ 0, ta có:
()
()
0
vtgv3
tgvv
v
2
1
=
−
=
ϕ
.
5.3 Ổn định của các thanh chịu nén trong dàn
Dưới tác dụng của tải trọng, các thanh chịu nén của dàn bị có thể bị mất ổn định và
làm cho toàn dàn bị phá hoại. Những thanh chịu nén trong dàn có thể là:
Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn

5-5




















1. Các thanh đứng, thanh biên hoặc thanh xiên không cắt qua các thanh khác, thí dụ
như thanh AB, AC và CD trên (hình 5-5). Để kiểm tra ổn định, ta coi thanh là
thanh đơn giản có liên kết khớp ở hai đầu, sau đó ta có thể tính theo công thức
đã nghiên cứu trong mục 2 hoặc mục 8 của chương 2. (Giả thiết thanh có khớp ở
hai đầu chỉ là gần đúng).
2. Những thanh đứng hoặc thanh xiên cắt qua một, hai hoặc nhiều thanh đứng hoặc
thanh xiên khác. Trên (hình 5-4) trình bày một s
ố thí dụ về những thanh thuộc
loại này.

Các thanh chịu nén ACB trên (hình 5-4avà b) là thanh xiên cắt qua một thanh
xiên khác ở giữa nhịp. Các thanh ACDB trên (hình 5-4c và d) là thanh xiên cắt
qua hai thanh đứng hoặc hai thanh xiên khác của dàn. Khi mất ổn định, những
thanh này làm việc giống như những thanh đặt trên hai khớp tựa cứng ở hai đầu
và có một, hai hoặc nhiều gối tựa đàn hồi ở trong nhịp (hình 5-6).
Như vậy, bài toán ổn định của những loại thanh này đượ
c đưa về bài toán ổn
định của thanh liên tục có các gối tựa trung gian là gối tựa đàn hồi. Cách giải
quyết bài toán này sẽ nghiên cứu trong mục 4. Khi số lượng các gối tựa đàn hồi
trung gian tương đối lớn ta có thể giải quyết bài toán này theo trường hợp thanh
làm việc trong môi trường đàn hồi.
A
B
C
D
Hình 5-5. Sơ đồ dàn.
B
FA
1
J
J
C
E
A
C
B
A
C
B
D

A
B
C
e q
hf
D
J
J
1
a,
b,
c,
d,

Hình 5-4. Sơ đồ các dạng dàn . a), b)- các thanh xiên cắt thanh xiên
khác ở giữa nhịp; c), d)- thanh xiên cắt qua hai thanh đứng hoặc hai
thanh xiên khác của dàn.