Tài liệu Chuyên đề số phức

CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
1
số phức
PHN I. CC DNG TON
VN 1
dạng đại số của số phức
Cộng, trừ, nhân, chia số phức
A. TểM TT KIN THC
1. Số phức
Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i
2
= -1 đợc gọi
là một số phức.
a đợc gọi là phần thực, b đợc gọi là phần ảo, i đợc gọi là đơn vị ảo.
Tập các số phức đợc kí hiệu là .
Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R

.
Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
2. Hai số phức bằng nhau

'
z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ); z z'
'
a a
b b

3. Cộng, trừ hai số phức

z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' )
z + z' (a + a' ) + (b + b') i, z z' (a - a') + (b - b' )i




Số đối của số phức z = a + bi là số phức ; - z = - a bi.
4. Nhân hai số phức
z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ); zz' ' ' ( ' ' )aa bb ab a b i



5. Môđun của số phức, số phức liên hợp
z = a +bi (a, b


) thì môđun của z là
2 2
z = a +b

z = a +bi (a, b

) thì số phức liên hợp của z là
z
= a - bi.
Ta có:


2
2 2
zz' = z z' , zz a b z , z + z' = z + z', zz'=z z', z = z


* z là số thực khi và chỉ khi z =
z

6. Chia cho số phức khác 0
Nếu z = a + bi (a, b


) khác không thì số phức nghịch đảo của z là
1
-1
z = z
2
z
.
Thơng của z' cho z khác không là:

z' z'z
-1
z'z

z
zz

. Ta có:
'
' ' '
,
z
z z z
z z z z




.
7. Biểu diễn hình học của số phức
Số phức z = a + bi (a, b


) đợc biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay
còn gọi là mặt phẳng phức.
Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo
Số phức z = a + bi (a, b


) cũng đợc biểu diễn bởi vectơ
( ; )u a b


, do đó M(a; b) là điểm

biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b


) cũng có nghĩa là
OM

biểu diễn số phức đó.
Ta có:Nếu
,u v

theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
2

u v

biểu diễn số phức z + z',
u v

biểu diễn số phức z z
-1
, k
( )u k



biểu diễn số phức
kz,

OM u z

, với M là điểm biểu diễn của z.
B. Các dạng bài tập
I. Xác định tổng, hiệu, tích, thơng của các số phức
1) Phơng pháp giải
p dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp
đối với các phép toán cộng và nhân.
2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau
a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b)
3 3
( 1 ) (2 )i i


Bài giải
a) Ta có: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i.
Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - 1.
b) Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có
3 3 2 2 3 3 3 3
( 1 ) ( 1) 3( 1) 3( 1) 2 2 , ( 2 ) ( 2) ( ) 8i i i i i i i i

Do đó nhận đợc kết quả của bài toán là 2 + 10i
Ví dụ 2: Tính
1
1 3
2 2
i

Bài giải
Ta có :
1 3 1 3
1 3
2 2 2 2
1 2 2
1 3 1 3
2 2 2 2
i i
i
i i







Ví dụ 3: Tính
2 3 2009
1 i i i i

Bài giải
Ta có:
2010 2 3 2009
1 (1 )(1 )i i i i i i
. Mà
2010
1 2i
. Nên

2
2 3 2009
1
1
i i i i
i


,


2 3 2009
1 1i i i i i
.
Ví dụ 4: Tính
100
(1 )i

Bài giải
Nhận thấy
2
(1 ) (1 )(1 ) 2i i i i
.
Suy ra
100 2 50 50 50 50 50
(1 ) ((1 ) ) ( 2 ) ( 2) ( ) 2i i i i
.

Ví dụ 5: Cho số phức
1 3

2 2
z i
.
Hãy chứng minh rằng:
;
1
2 2 3
1 0; 1.z z z z z
z

.
Bài giải
Do
1 3
2
2 2
z i
. Nên
1 3 1 3
2
1 ( ) ( ) 1 0
2 2 2 2
z z i i
;
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
3
Lại có
1 3

1 1 1 3
2 2
1 2 2
1 3
2 2
i
i
z
i



. Suy ra
1
2
z z
z

.
Hơn nữa ta có
3
1
z

.
Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu
2
0zz
.
Bài giải

Đặt z = x + yi, khi đó



2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
0 ( ) 0 2 0
0
0
0 (1 ) 0
0
0
0
2 0
(1 ) 0
0
0
0,
0
1
0 (do 1 0)
0
z x yi x y x y x y xyi
x
x
y y y y
x y x y
y

y
xy
x x
x x
x
x y
y
y
x x
y
z

0
0, 1
0, 1
0, 0
x y
x y
y x

Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện là z = 0; z = i; z = - i.
II. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ
1) Phơng pháp giải
Để biểu diễn một số phức cần dựa vào định nghĩa và các tính chất sau:
Nếu số phức z đợc biểu diễn bởi vectơ
u

, số phức z' đợc biểu diễn bởi vectơ
'u

, thì
z + z' đợc biểu diễn bởi
'u u

; z - z' đợc biểu diễn bởi

'u u

; - z đợc biểu diễn bởi
u

.
2) Các ví dụ.
Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những
điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau
a)
1 2z i
; b)
2 z i z
.
Bài giải
a) Đặt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nên hệ thức
1 2z i
trở thành

2 2 2 2
( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 4.x y x y


Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn giả thiết
là đờng tròn tâm I(1; - 1) bán kính R = 2.
b) Gọi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi đó
2 z i z

( 2)z z i
hay là

M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đờng trung trực của đoạn thẳng AB.
Nhận xét: Với phần b ta có thể thức hiện cách giải nh đã làm ở phần a. Tuy nhiên để
thể thực hiện cách giải nh vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau:
Nếu véctơ
u

của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ
u

là
u z


, và từ
đó nếu các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì
'AB z z


.
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
4
Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện
3
2 3
2
z i

. Tìm số phức z có modul nhỏ

nhất.
Bài giải
Xét biểu thức
3
2 3
2
z i

(1). Đặt z = x + yi. Khi đó (1) trở thành


3 9
2 2
( 2) ( 3) ( 2) ( 3) .
2 4
x y i x y


Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đờng tròn ( ) tâm
I(2; -3) và bán kính R =
3
2
.
Ta có
z
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
điểm M nằm trên đờng tròn ( ) và gần O nhất. Do đó M là giao điểm của ( ) và đờng thẳng
OI, với M là giao điểm gần O hơn.
Ta có OI =
4 9 13

. Kẻ MH

Ox. Theo định lí talet có

3
13
9 6 13 9
2
13 3 13
3 2 2
13
MH OM
MH
OI




6 13 9 78 9 13
26
2 13
MH


.
Lại có
3
13
2 13 3 26 3 13
2

2 13
13 13
OH
OH



.
Vậy số phức cần tìm là :
26 3 13 78 9 13
13 26
z i


.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có
z w z w
. Đẳng thức xảy ra khi
nào?
Bài giải
Gọi A, B, C lần lợt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w.
Ta có
, ,z OA w OB z w OC
. Từ OC

OA + AC suy ra
z w z w
.
Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A, C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng OC.
Khi O

A (hay z

0) điều đó có nghĩa là có số k

0 để
AC kOA

tức là w = kz. (Còn khi z
= 0, rõ ràng
z w z w
).
Vậy
z w z w
khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z

0 thì tồn tại
k R


để w = kz.
c. bài tập
1. Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta đều có
z w z w
. Dấu bằng xảy ra khi nào?
2. Trong mặt phẳng phức, bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự biểu diễn các số phức z, w,
u, v thoả mãn các tính chất:
O
H
2

M
I
- 3
x
y
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
5
a)
1z w u v
;
b) z + w + u + v = 0.
3. Cho số phức z = m + (m - 3)i, m
R


a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đờng phân giác thứ hai y = - x;
b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol
2
y
x

;
c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất.
4. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức
3
z
z i

.
5. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức
4 2 6
; (1 )(1 2 );
1 3
i i
i i
i i



.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân;
b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.

VN 2
Căn bậc hai của số phức và phơng trình bậc hai
A. Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa căn bậc hai của số phức
Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z
2

=
w đợc gọi là một căn bậc hai của số phức w.
a) Nếu w là số thực
+ w < 0 thì có hai căn bậc hai:
&wi wi

+ w

0 thì có hai căn bậc hai:
&w w

.
b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bớc:
+ Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là:
2
z w

khi đó ta có
hệ:
2 2
(1)
2 (2)
x y a
xy b






Bình phơng 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta đợc
2 2 2 2
x y a b


Do vậy ta đợc hệ:

2 2
2 2 2 2
(1)
(2')
x y a
x y a b








Giải hệ tìm đợc
2
x
và
2
y
suy ra x và y để tìm z.
Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu.
II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai hệ số phức
Cho PT:
2
0; (1) ( , , , 0)ax bx c a b c a


và có
2

4b ac


+ Nếu
0

pt có hai nghiệm là
1 2
;
2 2
b b
x x
a a



Trong đó

là một căn bậc hai của

.
+ Nếu

= 0 thì pt có nghiệm kép:
1 2
2
b
x x
a

.
B. Các dạng bài tập
I. Giải phơng trình bậc nhất
1) Phơng pháp giải
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
6
Biến đổi phơng trình về dạng Az + B = 0, A, B
, 0
A


. Viết nghiệm
B
z
A


2) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phơng trình 2iz + 1 - i = 0
Bài giải
Nghiệm của phơng trình là
(1 ) 1 1 1 1
2 2 2 2 2
i
z i
i i

.
II. Tính căn bậc hai và giảiphơng trình bậc hai
1) Phơng pháp giải
Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai.
Sử dụng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai để tìm nghiệm của phơng trình với chú
ý phải đa về đúng dạng của phơng trình.
2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
) 5 12 ) 8 6
) 33 56 ) 3 4
a i b i
c i d i



Bài giải
a) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -5 + 12i tức là


2
2 2
5 12 2 5 12x iy i x y ixy i


2 2 2
2 2
2 2 2
5 4
5
2 12

13 9
x y x
x y
xy
x y y












2
3
x
y







Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có
2

3
x
y





hoặc
2
3
x
y






Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z
1
=2+3i và z
2
= -2-3i.
b) Tơng tự ta gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức là


2
2 2
8 6 2 8 6x iy i x y ixy i

2 2 2
2 2
2 2 2
8 9
8
2 6
10 1
x y x
x y
xy
x y y












3
1
x
y

Do b= 6> 0 nên x và y cùng dấu từ đó có
3
1
x
y





hoặc
3
1
x
y






Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là

3+i và -3-i.

c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là


2
2 2
33 56 2 33 56x iy i x y ixy i


2 2 2
2 2
2 2 2
33 49
33
2 56
65 16
x y x
x y
xy
x y y

7
4
x
y







Do b = -56 < 0 nên x và y trái dấu từ đó có
7
4
x
y





hoặc
7
4
x
y

Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là

7- 4i và -7+i4.
d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là


2
2 2
3 4 2 3 4x iy i x y ixy i


CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
7
2 2 2
2 2
2 2 2
3 1
3
2 4
5 4
x y x
x y
xy
x y y

1
2
x
y







Do b = 4 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có
1
2
x
y

hoặc
1
2
x
y






Vậy 2 căn bậc hai của -3 + 4i là

1 + 2i và -1-2i.
Ví dụ 2: Giải các phơng trình sau:


2 2
) 3 4 5 1 0; (1) ) 1 2 0; (2)a x i x i b x i x i


Bài giải
a) Ta có

2
3 4 4 5 1 3 4i i i

Theo kết quả ví dụ 1d) thì

có hai căn bậc hai là 1+ 2i và -1 - 2i. Do đó pt (1) có hai nghiệm là:
1 2
3 4 1 2 3 4 1 2
2 3 ; 1
2 2
i i i i
x i x i



b) Tơng tự ta có

2
1 4 2 8 6i i i


Theo kết quả ví dụ 1b) thì

có hai căn bậc hai là 3 + i và -3 - i. Do đó pt (2) có hai nghiệm là:

1 2
1 3 1 3
1; 2
2 2
i i i i
x x i

Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0

Ví dụ 3: Giải các phơng trình sau:

2 2 3
) 3 2 0; (1); ) 1 0; (2); ) 1 0 (3)a x x b x x c x


Bài giải
a) Ta có

= 1
2
- 4.3.2 =-23<0 nên ta có hai căn bậc hai của

là:
23 & 23
i i

. Từ đó
nghiệm của pt (1) là:
1 2
1 23 1 23
;
6 6
i i
x x

b) Tơng tự ta có

= -3 < 0 có hai căn bậc hai là:
3 & 3
i i

nên (2) có các nghiệm là:

1 2
1 3 1 3
;
2 2
i i
x x



c) Ta có



2
2
1 0
(3) 1 1 0
1 0; (*)
x
x x x
x x

Theo b) ta có (*) có hai nghiệm là
1 2
1 3 1 3
;
2 2
i i
x x


. Từ đó ta có các
nghiệm của pt (3) là:
1 2 3
1 3 1 3
1; ;
2 2
i i
x x x



( Các nghiệm của pt (3) đợc gọi là căn bậc ba của 1).
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu một phơng trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phức

thì cũng nhận

là nghiệm.
Bài giải
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
8
Giả sử PT bậc hai:

2
0; , , , 0ax bx c a b c a


nhận số phức


là nghiệm
tức là ta có:
2
0a b c

. (1)
Lấy liên hợp hai vế của (1) và sử dụng tính chất liên hợp của số thực bằng chính nó thì ta đợc:

2
2
0 0a b c a b c

. Điều này chứng tỏ

là nghiệm của pt.
áp dụng: Chứng tỏ 1+i là một nghiệm của phơng trình
2
3 3 5 0x x i

. Tìm nghiệm
còn lại của pt đó.
Ví dụ 5: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phơng tình bậc
hai với hệ số phức.
Thuận: Nếu hai số
1 2
&x x
là hai nghiệm của phơng trình

2
0; , , , 0ax bx c a b c a


thì
1 2 1 2
&
b c
x x x x
a a

.
Chứng minh
Theo công thức nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức ta có:

1 2
2 2
1 2
2
2 2
.
2 2 4
b b b
x x
a a a
b b b c
x x
a a a a













Đảo: Nếu hai số
;

thoả mãn:
& .S P

thì
;

là nghiệm của pt:
2
0x Sx P
.(1)
Chứng minh
Ta có:

2
(1) 0 0
x
x x x x
x










Điều này chứng tỏ
;

là nghiệm của (1).
áp dụng: Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm
4 3 ; 2 5i i


Bài giải
Theo bài ra ta có:
2 8
i

và

. 4 3 2 5 23 14i i i


Theo kết quả Vd5 ta đợc pt bậc hai cần lập là:

2
2 8 14 23 0x i x i


Ví dụ 6: Tìm m để phơng trình:
2
3 0x mx i

có tổng bình phơng 2 nghiệm bằng 8.
Bài giải
Theo bài ra ta có:

2
2 2
1 2 1 2 1 2
8 2 8x x x x x x

(1). Theo Vi-et ta có

1 2
1 2
3
x x m
x x i





Thay vào (1) ta đợc
2 2
6 8 8 6m i m i

. Tức m là một căn bậc hai
của 8+6i. Theo kết quả Vd1b ta có 2 giá trị của m là: 3 + i và -3 - i.
Ví dụ 7: Giải hệ phơng trình
2 2
1 2
1 2
5 2 (1)
4 (2)
z z i

z z i






Bài giải
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
9
Từ (2) ta có
2 2
1 2 1 2
2 15 8 .z z z z i

Kết hợp với (1) ta có
1 2
5 5z z i

vậy ta có hệ
phơng trình:
1 2
1 2
4
5 5
z z i
z z i

Do đó
1 2
,z z
là nghiệm của phơng trình

2
4 5 5 0z i z i

. Ta có
5 12i

theo Vd1a ta biết

có hai căn bậc hai là:
2 + 3i và -2 - 3i.
Vậy ta có
1
2
4 2 3
3
2
4 2 3
1 2
2
i i
z i

i i
z i











Hoặc
1
2
1 2
3
z i
z i





.
Ví dụ 8: Cho
1 2
,z z
là hai nghiệm của phơng trình

2
1 2 3 2 1 0i z i z i
.
Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2 1
) ) )
z z
a A z z b B z z z z c C
z z


Bài giải

Theo Vi-et ta có:
1 2
1 2
3 2 3 2 2 2 3 2
3 3
1 2
1 1 2 1 2
3 3
1 2
i
z z i
i

i
z z i
i














a) Ta có

2
2
1 2 1 2
3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 11 30 2 6 4 2
2 2
3 3 3 3 9 9
A z z z z i i i

b)

1 2 1 2
3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 5 2 2 1 10 2
3 3 3 3 9 9
B z z z z i i i






c) Ta có
2 2
1 2
1 2
6 26 2
18
1 2 1 2
3 3
z z A i
C
z z
i

.
Ví dụ 9: Giải pt:
4 2
6 25 0z z

(1)
Bài giải
Đặt
2
.z t

Khi đó (1) có dạng:
2
6 25 0t t

(2).
Ta có:
' 16

có hai căn bậc hai là 4i và - 4i nên pt (2) có hai nghiệm là
1
3 4t i


và
2
3 4t i

.

Mặt khác 3 + 4i có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2 - i còn 3 - 4i có hai căn bậc hai là:
2 - i và -2 + i nên pt (1) có 4 nghiệm là:
1 2 3 4
2 ; 2 ; 2 ; 2z i z i z i z i



C. bài tập
Bài 1: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
10
a) 8+6i b) 3+4i c)
3
1 3
i
i



d)
1 1
1 1
i i


e)
2
1

1
i
i





f)
2
1 3
3
i
i






Bài 2: Gọi
1 2
;u u
là hai căn bậc hai của
1
3 4z i

và
1 2
;v v

là hai căn bậc hai của
2
3 4z i

.
Tính
1 2
u u
1 2
v v

?
Bài 3: Giải các phơng trình sau:



2 2
2
2
2
) 2 2 1 0; ) 5 14 2 12 5 0
) 80 4099 100 0; ) 3 6 3 13 0
) cos sin cos sin 0.
a z iz i b z i z i
c z z i d z i z i
e z i z i

Bài 4: Tìm các căn bậc ba của 8 và -8.
Bài 5: Giải các phơng trình trùng phơng:


4 2 4 2
) 8 1 63 16 0; ) 24 1 308 144 0a z i z i b z i z i


Bài 6: Cho
1 2
,z z
là hai nghiệm của phơng trình:

2
1 2 2 3 0z i z i
.
Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2 1
3 3 3 3
1 2 2 1 1 2 1 2
2 1 1 2
) ) )
1 2 1 2
) ) )
z z
a A z z b B z z z z c C

z z
d D z z e E z z z z f F z z
z z z z





Bài 7: Giải các hệ PT
2 2
2
4 0
) )
2
1
z i z
u v uv
a b
u v i
z i z

.

VN 3
Dạng lợng giác của số phức

A. Kiến thức cần nhớ
I. Số phức dới dạng lợng giác.
1. Acgumen của số phức z

0 y
Cho số phức z

0. Gọi M là điểm
trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z.
Khi đó số đo (radian) của mỗi góc lợng b
giác tia đầu Ox, tia cuối OM đợc M
gọi là một Acgumen của z.

O a x

Chú ý: + Nếu

là Acgumen của z thì mọi Acgumen của z đều có dạng:

+ k2

, k

Z.

+ Acgumen của z

0 xác định sai khác k2

, k

Z.
II. Dạng lợng giác của số phức
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
11
Cho số phức Z = a+bi, (a, b

R), với r =
22
ba
là modun của số phức z và

là Acgumen
của số phức z.
Dạng z = r (cos

+isin

) đợc gọi là dạng lợng giác của số phức z

0, còn dạng
z = a + bi đợc gọi là dạng đại số của số phức z.
II. Nhân và chia số phức dới dạng lợng giác

Nếu z = r(cos

+isin

), z' = r' (cos

'+isin

') (r
0

và r'
0

) thì
zz' = rr ( cos (
'sin()'

i
));

cos( ') sin( ')
' '
z r
i
z r

(khi r' > 0).
III. Công thức Moa-Vrơ và ứng dụng
1. Công thức Moa- Vrơ

(cos sin ) (cos sin )
n
n
r i r n i n




.*,sincossincos Nnnini
n


2. Căn bậc n của một số phức
Với z = r(cos

+isin

), r > 0, có hai căm bậc hai của z là

(cos sin )
2 2
r i


;
(cos sin ) (cos( ) sin( ))
2 2 2 2
r i r i

.

B. các dạng Bài tập
I. Viết số phức dới dạng lợng giác
1) Phơng pháp
Với mỗi số phức z = a + bi:
Tính r =
2 2
a b

; Tính cos

=
,sin
a b
r r

từ đó suy ra acgumen của z
Sử dụng công thức lợng giác của số phức cho ta z = r (cos
)sin

i

.
2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Viết các số phức sau dới dạng lợng giác

1 3

)(1 3)(1 ); ) ; ) sin cos
1
i
a i i b c z i
i





Bài giải
a) Ta có
1 3 2 cos( ) sin( )
3 3
i i





; còn
1 2 cos sin
4 4
i i





. Do đó

(1 3)(1 ) 2 2 cos( ) sin( )
12 12
i i i





.
b) Từ phần trên ta có ngay kết quả
1 3 7 7
2 cos sin
1 12 12
i
i
i








.
c) Ta có
sin cos cos( ) sin( )
2 2
z i i

. Vậy
cos( ) sin( )
2 2
z i


.
Ví dụ 2: Tuỳ theo góc

, hãy viết số phức sau dới dạng lợng giác
(1 cos sin )(1 cos sin ).i i


Bài giải
Xét số phức z =
(1 cos sin )(1 cos sin )i i

, ta có
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
12


2 2
2 2
(2sin .2sin cos )(2cos .2sin cos )
2 2 2 2 2 2
4sin cos (sin cos )(cos sin )

2 2 2 2 2 2
2sin (sin cos sin cos (cos sin )) 2sin sin cos .
2 2 2 2 2 2
z i i
i i
i i








Hay z = 2sin

(sin

- icos

) (*)
+ Nếu
sin 0

, thì từ (*) có z = 2sin

cos( ) .sin( )
2 2
i

là dạng số phức cần tìm.
+ Nếu sinh

< 0, thì từ (*) ta có :

2sin ( sin cos ) 2sin cos( ) .sin( )
2 2
z i i






là dang lợng giác cần tìm.
+ Nếu sinh

= 0, thì z = 0, nên không có dạng lợng giác xác định.
II. Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lợng giác của số phức
1) Phơng pháp giải
Đa số phức về dạng lợng giác rồi sử dụng các công thức Moivre để tính toán các đại lợng
theo yêu cầu của bài tập.
2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau

10
5 7
9
(1 )
) ; b) cos sin (1 3 )
3 3
( 3 )
i
a i i i
i






;
2009
2009
1
)c z
z

, nếu
1
1z
z

.
Bài giải

a) Xét số phức

10
5
10
9
9
9
4
5 5
2(cos sin )
2 (cos sin )
(1 )
4 4
2 2
3 3
( 3 )
2 (cos sin )
2(cos sin
2 2
6 6
1 1
(cos sin )
2 16
i
i
i
i
i
i

i




















Vậy phần thực bằng
1
16

, phần ảo bằng 0.
b) Xét số phức


7

5 7
7 7 7
cos sin (1 3 ) cos( ) sin( ) 2(cos sin )
3 3 3 3 3 3
7 7
2 cos( ) sin( ) (cos sin ) 2 cos2 sin 2 2 .
3 3 3 3
i i i i i i
i i i i i i













Vậy phần thực của số phức bằng 0, phần ảo bằng
7
2 128

.
c) Từ

2

1 3
cos sin
1
2 3 3
1 1 0
1 3
cos( ) sin( ).
2 3 3
i
z i
z z z
z
i
z i














CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
13
Với
cos sin
3 3
z i


, ta có
2009 2009 2009
2009
2009 2009
1 1
(cos sin ) ( )
3 3
cos sin
3 3
(cos sin ) (cos( ) sin( ))
3 3 3 3
2009 2009 2009 2009 2 2
(cos sin )(cos sin ) 2cos(669 ) 2cos 1.
3 3 3 3 3 3
z i
z
i
i i
i i

Vậy phần thực cảu số phức bằng 1, phần ảo bằng 0.
Ví dụ 2: Tính tổng sau
2008 2008
(1 ) (1 )S i i

Bài giải
Ta có

2008 1004
2008 1004
1 2(cos sin ) (1 ) 2 (cos502 sin502 )
4 4
1 2(cos sin ) 2(cos( ) sin( )) (1 ) 2 (cos( 502 ) sin( 502 )).
4 4 4 4
i i i i
i i i i i

Do đó
1005 1005
2 cos(502 ) 2S
.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng các điểm biểu diễn các căn bậc ba của 1 lập thành một tam giác
đều.
Bài giải
Xét phơng trình
3
1z
trên

, có nghiệm dạng
(cos sin )z r i

. Khi đó

3 3
1
1 (cos3 sin3 ) 1
3 2 , .
r
z r i
k k

Do đó phơng trình trên có đúng ba nghiệm ứng với ba giá trị của k là
Với k = 0 ta có z
0
= cos0 + isin0 = 1;
Với k = 1 ta có z
1
=
2 2 1 3
cos sin ;
3 3 2 2
i i



Với k = 2 ta có z
2
=
4 4 1 3
cos sin
3 3 2 2
i i


.
Nên 1 có ba căn bậc ba đó là các số phức đợc xác định nh trên. Trong mặt phẳng phức, gọi

A, B, C lần lợt là điểm biểu diễn các số phức z
0
, z
1
, z
2
. Khi đó



2 2
1; ;
3 3
OA OB OC AOB BOC




Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều.
C. bài tập
Bài 1: Viết các số phức sau dới dạng lợng giác:
a. 1 - i
3
b. ( 1 - i
)1)(3 i

c.
i
i

1
31

d. 1 - itan
5

e. tan
i

8
5

f. 1-cos

sini

(
ZkkR

,2,

)
Bài 2: Cho 2 số phức: 4 4i và 1+ i
3
.
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
14

Tìm Modun và Acgumen của các số phức là đối liên hợp của 2 số phức trên và viết chúng dới
dạng lợng giác.
Bài 4: Tìm dạng lợng giác của các số phức sau:
z
;
z
1
, biết:
a. z = r ( cos
)sin

i

, r >0; b. z = 1 +
3
i
Bài 5: Tìm các căn bậc 5 của 1? CMR tổng của chúng bằng 0?
Bài 6: Rút gọn hết dấu căn ở mỗi biểu thức sau
a.
4
1
b.
8
1
c.
i1
d.
i
3
2

3
2
1



Bài 7: Cho số phức z = a + bi . Một hình vuông tâm là gốc toạ độ 0, các cạnh song song với các
trục toạ độ và có độ dài bằng 4. Xác định a,b để tìm điểm biểu diễn của số thực z.
a, Nằm trong hình vuông
b, Nằm trên đờng chéo củahình vuông
Bài 8: Chứng minh rằng
a.
2
21
1zz
+
1 2
z z
2
= (1+
1
z
2
)(1+
2
z
)
2
b.
21

zz

2
2
1
1
21
)(
2
1
z
z
z
z
zz

.
Bài 9: Tính
a. cos a + cos (a+b) + cos (a+2b) ++ cos(a+nb)
b. sin a + sin (a+b) + sin (a+2b) ++ sin (a+nb).
.

CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh
15
PHN 2. LUYN TNG HP
Bài 1.
a.Trong các số z thoả mãn :
2 2 2 1z i
hãy tìm số z có moidule nhỏ nhất
b.Trong các số z thoả mãn :
5 3z i
hãy tìm số z có acgumen dơng nhỏ nhất
c. Cho
| |
1
2009
z

z

. Tỡm s phc cú modun ln nht
Bài 2.
Giải các phơng trình sau :
a.
1
( )
n
z z n N


b.
( ) ( , , 0)
n n
z a z n N a R a

Bài 3.
Cho hai điểm M(z) và I(z
1
) tơng ứng với số phức z=x+yi , x, y R và số phức z
1
=a+bi
a) Chứng minh hệ thức : (z-z
1
).(
1
z z
) =(x-a)
2

+(y-b)
2

b) suy ra hệ thức : (z-z
1
).(
1
z z
) =R
2
( R> 0)
Là phơng trình một đờng tròn tâm I, bán kính R
Bài 4.
Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z =x+yi thỏa mãn điều kiện sau :
2
0 1
1
x y
y x

Bài 5.
Hóy tớnh tng
2 3 1
1
n
S z z z z


bit rng
2 2
cos sinz i
n n



Bài 6.
Giải phơng trình :
a. z
4
-z
3
+
2
2
z
+z+1 = 0 ( ẩn phụ =z-
1
z
); b. (z

2
+3z+6)
2
+2z(z
2
+3z+6)-3z
2
= 0

Bài 7.
Tìm số thực a, b để có phân tích : f(z) =z
4
-4z
3
+7z
2
-16z+12 =(z
2
+4)(z
2
+az+b)
Từ đó giải phơng trình : f(z) = 0
Bài 8.
Vi z l s phc. Chng minh rng:

Bài 9.
Tớnh gii hn:
lim | |
1
n

n
z
n


vi z

C
Bài 10.
Cho a, b, c l ba s phc khỏc 0 phõn bit vi |a| = |b| = |c|. Chng minh rng nu mi phng
trỡnh: az
2
+ bz + c = 0, bz
2
+ cz + a = 0 cú mt nghim cú modun bng 1 thỡ:
|a b| = |b c| = |c a|