Hệ phương trình cơ bản và ôn thi đại học

1

phần 1: hệ phơng trình
i. Củng cố lý thuyết
A. Hệ phơng trình dạng chuẩn đã biết cách giải
1. Hệ phơng trình tuyến tính bậc nhất 2 ẩn

'''
axbyc
axbyc
+=


+=


2. Hệ phơng trình trong đó có 1 Phơng trình dạng tuyến tính bậc
nhất 2 ẩn

(1)
(,)(,)(2)
axbyc
fxygxy
+=


=


Từ phơng trình (1) tính x theo y thay vào (2)

tìm đợc y

tìm
đợc nghiệm (x,y) của Hệ phơng trình
3. Hệ phơng trình
2
0(1)
(,)(,)(2)
axbxc
fxygxy

++=

=


Từ phơng trình (1) tính x, thay vào phơng trình (2)

tìm (x,y)
của Hệ phơng trình.
4. Hệ phơng trình dạng
,
xyS
xyP
+=


=

x, y là 2 nghiệm của phơng trình: X
2
- SX + P = 0
(4)
SP


5. Dạng hệ phơng trình đối xứng
a. Hệ phơng trình đối xứng loại 1.
Dạng
(,)0
(,)0
fxy
gxy
=


=

với
(,)(,)
(,)(,)
fxyfxy
gxygyx
=


=

Nghĩa là trong từng phơng trình, khi ta thay đổi vai trò của x và y
thì phơng trình không thay đổi
Phơng pháp
Đặt
()
,
SxyI
Pxy
==


=



Ta đợc hệ:
(,)0()
(,)0
FSPII
GSP
=


=


Giải hệ này tìm đợc S và P

x, y là 2 nghiệm của phơng trình t
2
- St + P = 0
Chú ý: hệ (I) có nghiệm

Hệ (II) có nghiệm thoả mãn
2
0
SP
=

b. Hệ đối xứng loại 2
Là hệ phơng trình nếu đổi vị trí 2 ẩn trong hệ thì phơng trình này
trở thành phơng trình kia.

2

Dạng
(,)0
(,)0
fxy
fyx
=


=


Phơng pháp

* Trừ theo vế của 2 phơng trình ta đợc phơng trình dạng tích.
* nếu (x
0
, y
0
) là nghiệm của hệ thì (y
0
, x
0
) cũng là nghiệm của hệ.

ii. các dạng bài tập và phơng pháp giải chúng
Phơng pháp chung để giải hệ phơng trình là ngời làm Toán cố
gắng đa hệ phơng trình về dạng chuẩn để giải chúng.
A. Phơng pháp biến đổi đồng nhất.
Loại 1
: Trong hệ có một phơng trình bậc nhất với ẩn x,y

ta tìm
cách rút y theo x hoặc ngợc lại (Dạng 2 phần lý thuyết).
Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình

2
2
48
2
xyy
xyx

=

=+



Lời giải


Nếu xy
4

ta có hệ
2
22
48(1)
2(2)2
xyy
xyxx


=



= +



Từ (2)

x khác 0 và
2
2
x
y
x
+
=
Thay vào phơng trình (1)

2 + x
2
- 4 = 8 -
2
2
2
x
x

+



Hay x
4
- 3x
2
+ 2 = 0

(x
2
- 2)(x
2
- 1) = 0
Mà
22
22
xx
=

Hệ có 2 nghiệm: (x,y) là
(
)
(
)
2;8;2;8


Nếu xy < 4 ta suy ra x
2
< 2
Và ta có:
2
2
48
2
xyy
xyx

=



= +



2
2
22
2
4282(2)0
x
xx
x

+
==


2
2
x
=
(loại)
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm nh trên.

Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình

Lời giải


3


Ta thấy x = 0 không thoả mãn phơng trình (2)
Với x khác 0
22
2
(1)(1)341(1)
1(2)
xyxyxx
xyxx


+ + + = +



+ + =


từ (2)

y +
1 =
2
1

x
x

thay vào (1) ta có phơng trình:
()()
()()
()
()
()()
()()
22
22
22
32
11
341
121131
1221131
0
12201
2
xx
xxxx
xx
xxxx
xxxxxx
x
xxxx
x

+=+


=
+=
=


+==


=



Hệ phơng trình có 2 nghiệm (x;y) là (1;-1);
5
2;
2






Các bài tập tơng tự

Bài 1:
( Khối A năm 2010)

2
22
(41)(3)520
42347
xxyy
xyx


+ + =




+ + =




Loại 2: Một phơng trình trong hệ có thể đa về dạng tích của các
phơng trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình
22
2(1)
2122(2)
xyxyxy
xyyxxy


+ + =

=



Lời giải
Điều kiện:
1;0
xy


Phơng trình (1)
22
2()0
xxyyxy
+=


(
)
(
)
(
)
()()
22
20
210

xxyxyyxy
xyxy
+++=
+=


210
xy
=
( Do có đk có x + y > 0)

21
xy
=+

Thay vào phơng trình (2) ta đợc:
(
)
()()
21222(21)2
2121
yyyyyy
yyy
+=+
+=+


4

()
(
)
12202
yyy
+==
( Do y

0)
Với y = 2 ta có x = 2y + 1 = 5
Hệ có nghiệm (x,y) = (5,2)

Các bài tập tơng tự

Bài 1:
( ẹH Khoỏi A -2003)
11
xy
xy
3
2yx1
=
= +

9/ ( ẹH K
B
-2008):
4322
x2xyxy2x9
2
x2xy6x6

++=+


+=+


,


Loại 3: Một phơng trình của hệ là phơng trình bậc 2 theo một ẩn
(chẳng hạn ẩn y). Lúc đó ta xem x là tham số và biểu diễn đợc y
theo x bằng cách giải phơng trình bậc 2 ẩn y.
Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình
(
)
(
)

2
22
544(1)
54168160(2)
yxx
yxxyxy

=+


++=



Lời giải:
Biến đổi phơng trình (2) về dạng:
(
)
22
'2
48516160
54
9
4
yxyxx
yx
x
yx
+++=
=+

=

=



Với y = 5x + 4 thay vào phơng trình (1)

(5x + 4)
2
= (5x+ 4)(4-x)
()
()()
4
4
,;0
5
5
0
,0,4
xy
x
x
xy



=
=

=

=



Với y = 4 - x thay vào (1) ta đợc:
()()()
2
40
4544
04
xy
xxx
xy
==

=+

==


Hệ có 3 nghiệm (x,y) là:

(0;4); (4;0); (-
4
5
; 0).


ii. phơng pháp đặt ẩn phụ
Điểm quan trọng nhất trong việc giải hệ là phát hiện ẩn phụ
u = f(x,y)

5

v = g(x,y) có ngay trong từng phơng trình hoặc xuất hiện sau một
số phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu
thức khác 0 để đa hệ về dạng đơn giản hơn.
Ví dụ 5: Giải hệ phơng trình
22
42242222
18
208
xyxyxyxy
xyxyxyxyxy


+ + + =



+ + + =

Lời giải:
Dễ thấy khi x = 0 thì y = 0
Hệ phơng trình có nghiệm: (x = 0; y = 0)
Khi x

0

y

0
Chia hai về của phơng trình (1) cho xy và chia hai vế của phơng
trình (2) cho x
2
y
2
ta đợc hệ:
22
22
11
18
11
208
xy
xy
xy
xy

+++=









+++=







Đặt:
1
1
xX
x
yY
y

+ =






+ =





Ta có hệ phơng trình:
22
18
1814;4(1)
564;14(2)
212
XY
XYXY
XYXY
XY


+ =
+ = = =

= = =
+ =





Trờng hợp thứ nhất hệ có 4 nghiệm (x,y) là:
(
)
(
)
(
)
743;23;743;23;743;23;(743;23)
++++

Trờng hợp thứ (2) hệ có thêm 4 nghiệm (x,y) là:
(
)
(
)
(
)

(
)
23;743;23;743;23;743;23;743
++++

Kết luận hệ phơng trình có 9 nghiệm
Ví dụ 6
: Giải hệ phơng trình
(
)
()
()
2
2
14(1)
12(2)
xyyxy
xyxy

+++=


++=



Lờigiải
Ta thấy y = 0 không thoả mãn phơng trình (1) nên hệ phơng
trình tơng đơng với

()
2
2
1
4
1
21
x
yx
y
x
yx
y

=
++=



=

+=




6

Đặt
2

1
,
x
u
y
+
=

2
vyx
=+
ta có hệ
()
2
1;1
1
uv
uv
uv
+=

==

=


Ta có hệ
(
)
()

2
1;2
1
1
2;5
xy
xy
xy
xy

==

+=



+=
==



Hệ phơng trình đã cho có 2
nghiệm
Ví dụ 7
: Giải hệ phơng trình
()
()
()
22
2

3
47
1
23
xyxy
xy
xxy
xy

+++=

+



++=

+


Đặt
1
uxy
xy
=++
+

(
)
2

u


V= x -y ta có hệ phơng trình
22
313
3
uv
uv

+=

+=


Giải hệ (với lu ý
2
u

ta có u = 2 ; v = 1
Ta có Hệ phơng trình
1
2
1
xy
xy
xy

++=

+


=



(x = 1 ; y = 0)
vậy Hệ phơng trình có nghiệm: (x,y) là (1;0)
Các bài tập tơng tự
Bài 1:
bũ 1 khoỏi D 2006) :
()
22
xxyy3(xy)
3
22
xxyy7xy

+=



++=

,
(
)
x,yR
.

Bài 2:
(Dửù bũ 2 khoỏi B 2006) :
()
(
)
()
(
)
22
xyxy13
22
xyxy25

+=



+=

,
(
)
x,yR
.
Bài 3:
(Dửù bũ 1 khoỏi A 2006) :
(
)
()
(

)
()
2
x1yyx4y
2
x1yx2y

+++=



++=

,
(
)
x,yR
.
Bài 4:
(Dửù bũ 1 khoỏi A 2005) :
()
22
xyxy4
xxy1y(y1)2

+++=


++++=

,
Bài 5:
(Dửù bũ 2 khoỏi A 2005) :
2xy1xy1
3x2y4

+++=


+=


.
7/ (Dửù bũ 2 khoỏi A 2007) :
4322
xxyxy1
32
xyxxy1

+=


+=


.
8/ ( ẹH K
A
-2008):

()
5
232
xyxyxyxy
4
5
42
xyxy12x
4

++++=




+++=


,
(
)
x,yR
.

7

phơng pháp hàm số
loại 1: Một phơng trình trong hệ có dạng f(x) = f(y)
phơng trình còn lại giúp ta giới hạn đợc x.y để trên hàm f đơn điệu.
Từ đó suy ra x = y
Ví dụ 8
: Giải hệ phơng trình
33
84
55(1)
1(2)
xxyy
xy

=


+=



Lời giải
Từ phơng trình (2)

84
1;1
xy

1;1
xy


xét hàm f(t) = t
3
- 5t t

[-1 ; 1]
Ta có f(t) = 3t
2
- 5 < 0

t

[-1 ; 1]


hàm f(t)

x = y thay vào phơng trình (2)

x
8
+ x
4
-1 = 0

Đặt a = x
4

0 ta có a =
4
1515
22
yx
++
==
Loại 2: Hệ đối xứng loại 2 mà khi giải thờng dẫn đến một trong 2
phơng trình của hệ có dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y) Trong đó f là
hàm đơn điệu
Ví dụ 9
: Giải hệ phơng trình
21
2
2231
2231
y
xxx
yyxy


++=+


++=+

Lời giải
Đặt a = x - 1
b = y - 1
Ta đợc hệ
2
2
13
13
b
a
aa
bb

++=


++=



Trừ theo vế của 2 phơng trình trên ta đợc
22
1313(3)
ab
aabb+++=+++
xét hàm f(x) =
2
13
t

tt
+++
có f(x) =
2
2
1
3ln3
1
t
tt
t
++
+
+

và
2
1
t
+
>
2
tt

f(x) >0

t

8

f(t) đồng biến trên
R

Từ phơng trình (3)

a = b thay vào phơng trình (1) ta có
(
)
2
2
13(4)
130
a
nn
aa
laaal
++=
++=

Xét hàm g(a) =
(
)
2
()13
nn
galaaal
=++
Có:
'

2
1
()3130
1
nn
gallaR
a
=<<
+

Nên hàm g(a) nghịch biến và do phơng trình (4) có nghiệm a = 0
nên ta có nghiệm ban đầu của hệ là (x = 1; y= 1)
Các bài tập tơng tự
Bài 1:
( Khối A năm 2010)
2
22
(41)(3)520
42347
xxyy
xyx


+ + =




+ + =

Bài 1:
( Khối A năm 2010)
33
66
33(1)
1(2)
xxyy
xy


=



+ =




v. phơng pháp đánh giá
Với phơng pháp này cần phát hiện các biểu thức không âm trong
hệ và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản.
Ví dụ 10. Giải hệ phơng trình

1(1)
1(2)
1(3)

xy
yz
zx

=


=


=



Lời giải:
Dễ thấy x > 0, y > 0, z > 0
Không giảm tính tổng quát giả sử :
1
xyyzyz
+


Ta lại có
1110
zxyxxyzxxyzxx
=++====

Do x dơng
(
)

2
51:4
x=+
Vậy hệ phơng trình có nghiệm: x = y = z=
(
)
2
51
4
+

Ví dụ 11. Giải hệ phơng trình

9

2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x
y
x

y
z
y
z
x
z

=

+


=

+


=

+


Lêi gi¶i
:
NÕu x = 0
→
y = 0
→
z = 0
→

hÖ cã nghiÖm (x; y; z) = (0; 0; 0)
NÕu x
≠
0
→
y > 0
→
z > 0
→
x > 0
22
2
22
2
22
2
22
12
22
12
22
1
12
xx
yx
xx
zz
xzyxzy
zz
yy

zyxyz
yy
=≤=
+
=≤=⇒≤≤≤
+
=≤=⇒===
+

VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: (0; 0; 0) vµ (1; 1; 1)
VÝ dô 12: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
2
32
2
2
3
2
29
2
29
xy
xxy
xx
xy
yyx
yy

+=+

−+




+=+

−+


Lêi gi¶i
:

Céng theo vÕ 2 ph−¬ng tr×nh cña hÖ ta cã:
22
322
3
22
2929
xyxy
xy
xxyy
+=+
−+−+

Ta cã:
322
3
22
33
29(1)82
29(1)82

xxx
yxy
−+=−+≥
−+=−+≥


10


22
22
22
22
xyxy
VTxyxyxy
+=+

Dấu = khi
1
0
xy
xy
==


==


Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm nh trên.
Ví dụ 13. Giải hệ phơng trình

3
3
34
262
yxx
xyy

=++


=



Lời giải:
Hệ đã cho tơng đơng với:
()()
()()
2
2
212(1)
2212(2)
yxx
xyy

=+


=+

Nếu x > 2 thì từ (1)

y = 2 < 0
Điều này mâu thuẫn với phơng trình (2) có x - 2 và y - 2 cùng
dấu.
Tơng tự với x
2

ta cũng suy ra điều mâu thuẫn.
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là x = y = 2
vi. các phơng pháp khác
1. Phơng pháp sử dụng phơng trình hệ quả
Ví dụ 13: Giải hệ phơng trình
1
2
3
xy
yz
xz
+=


+=


+=

Lời giải
:
Cộng theo vế (1), (2), (3) rồi chia cho 2 ta có phơng trình:
x + y + z = 3 (4)

11

Trừ theo vế của (4) cho (1)

z = 2
Trừ theo vế của (4) cho (2)

x = 1
Trừ theo vế của (4) cho (3)

y = 0
Hệ phơng trình có nghiệm: (x; y; z) = (1; 0; 2)
Ví dụ 14: Giải hệ phơng trình
21
27
22
xyxy
yzyz
xzxz
=++


=++

=++


Lời giải
:
Viết hệ về dạng:
(
)
(
)
()()
()()
21213(1)
212115(2)
21215(3)
xy
yz
xz

=

=


=


Nhân theo vế của 3 phơng trình trên ta đợc:
(
)

(
)
(
)
()()()
()()()
222
212121225
21212115(4)
21212115(5)
xyz
xyz
xyz
=

=


=



Các phơng trình (4) và (5) là các phơng trình hệ quả
Trờng hợp thứ nhất ta có:
(
)
()
()
()()
211(1)

213(2);;1;2;3
215(3)
x
yxyz
z

=

==


=


Trờng hợp thứ hai ta có:
(
)
()
()
211
213
215
x
y
z

=

=

=


Hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; - 1; - 2)
Kết luận: Hệ phơng trình có 2 nghiệm (nh trên).

12

2. Phơng pháp sử dụng hệ thức Viet mở rộng
Ta sử dụng kết quả: nếu x, y, z thoả mãn
xyza
xyyzxzb
xyzc
++=


++=


=


Thì x, y, z là 3 nghiệm của phơng trình X
3
- aX
2
+ bX - C = 0
Ví dụ 14: Giải hệ phơng trình
222

4(1)
6(2)
18(3)
xyz
xyz
xyz

++=

++=


++=


Lời giải
:
Bình phơng hai vế của (1) rồi trừ cho (2) ta có:

22210
xyyzxz
++=
hay
5(4)
xyyzxz++=

Bình phơng hai vế của (2) rồi trừ cho (3) ta có:
2xy + 2yz + 2xz = 18 xy + yz + xz = 9 (5)
Bình phơng hai vế của (4) rồi trừ cho (5) ta có:
(

)
()
21626
xyzxyzxyz++==

Từ (1), (4), (6) theo định lý Viet mở rộng
,,
xyz
là 3 nghiệm
của phơng trình x
3
- 4x
2
+ 5x - 2 = 0

(x-1)
2
(x- 2) = 0

(x, y, z) = (1; 1; 4) và các hoán vị của nó hệ
phơng trình có các nghiệm: (x, y, z) (1; 1; 4), (1; 4; 1) ,(4; 1; 4)
Phần iii. Các bài toán liên quan
1. Bài toán giải phơng trình.
Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp, ta đợc bài toán giải phơng
trình về giải hệ phơng trình.

13

Ví dụ 15: Giải phơng trình
3

3
1221
xx
+=

Lời giải
:
Đặt
3
21
xy
=

Ta có hệ phơng trình đối xứng loại 2
3
3
12
12
xy
yx

+=


+=



Thì theo vế của 2 phơng trình ta đợc (x- y)(x
2

+ y
2
+ xy + 2)
= 0
Dễ thấy : x
2
+ y
2
+ xy + 2 > 0 với mọi x, y

x = y
Với x = y ta có: x
3
- 2x + 1 = 0

(x - 1)(x
2
+ x - 1) = 0


()
()
1
15:2
15:2
x
x
x

=

=+


=



Phơng trình có 3 nghiệm nh trên.
2. Bài toán nghiệm nguyên
Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của hệ:
()
()
2
2
22
6215
323
2124
xxy
xxyz
xyyz

=


=+

++



Lời giải
:
Hệ
2
2
22
62150
3260
21240
xxy
xyxyx
xyyz

=

++=


++



(x
2
- 6x - 2y - 15) + 2(x
2

y -3xy + 2z + 6) + (x
2
y
2
+ 2y + 12 - 4z)
0



(xy + x)
2
- 6(xy + x) + 9
0



14


(xy + x - 3)
2
0


xy + x = 3

x(y + 1) = 3
Giải các trờng hợp ta tìm đợc nghiệm nguyên của hệ là:
(x= -1; y = - 4; z = 5)
iv. một số sai lầm khi giải

1. Làm mất nghiệm của hệ phơng trình:
Ví dụ 17: Giải hệ phơng trình
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z

=

+


=

+


=

+


Nếu không xét trờng hợp x = 0, y = 0, z = 0

biến đổi hệ về
dạng:
2
22
2
2
1111
222
111
22
111
22
x
yxx
zy
xz

+
==+

=+



=+



Rồi cộng theo vế 3 phơng trình

222
1113111
2222
yzxxyz
++=+++


222
121212
1110
xxyyzz


+++++=

2
22
111
11101
xyz
xyz


++====





Ta bỏ sót nghiệm:
0
xyz
===


15

2. Chọn nghiệm ngoại lai của hệ
Ví dụ
18: Giải hệ phơng trình
1
1

1
xy
yz
zx

=


=


=




Theo cách giải ở ví dụ 10 ta suy ra x = y = z


x, y, z là nghiệm của phơng trình.
10
xx
=

Đặt
xt
=
nếu không để ý đến điều kiện t

0

Ta có:
2
15(15)
24
tt

==
thừa nghiệm
(
)
2
15
4




Phần ii. Phơng trình

1. Phơng pháp biến đổi đồng nhất
Ví dụ 1
: Giải phơng trình : x
3
- x
2
- x =
1
3

Lời giải

Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
3x
3
- 2x
2
- 3x = 1

3x
3
= 3x
3
+ 3x + 1

4x
3
= x
3
+ 3x
2
+3x + 1

4x
3
= (x + 1)
3


3
41
xx

=+


16

⇔
3
3
1
(41)1
41
xxx−=↔=
−

VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt
3
1
41
x =
−
.
VÝ dô 2
: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
1111
xabxab
++=
++
víi a + b
≠
0

Lêi gi¶i:
§k: a
≠
0, x
≠
0, b
≠
0, a + x + b
≠
0
BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:
ax + bx + ab

1
abx

=

x + a + b

⇔
(ax + bx + ab)(x + a + b) = abx
⇔
(ax + bx + ab)( a + b) + (ax + bx)x + abx = abx
⇔
( a + b) (ax + bx + ab) + x
2
( a + b) = 0
⇔
( a + b) (ax + bx + ab + x

2
) = 0
⇔
( a + b) (a + x)( b+x) = 0 Do a + b
≠
0
xa
xb
=−


=−


VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm nh− trªn:
VÝ dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
()()()
341228(1)
xxxx+−+=−
Lêi gi¶i:
§iÒu kiÖn:
(
)
(
)
()()
4120
124
328
3280

xx
x
x
xx

−+≥
−≤≤


⇔

−≤≤
+−≥





34
x
↔−≤≤
()
víi ®iÒu kiÖn () (1)
↔
(x + 3)
2
(4 - x)(12 - x) = (28 - x)
2

↔

x
4
+ 14x
3
+ 10x
2
- 272x + 352 = 0
↔
(x
2
+ 6x - 22) (x
2
+ 8x - 16) = 0

17



2
12
2
34
331,331
6220
8160
442,442
xx
xx
xx
xx

=+=

+=



+=


=+=



Đối chiếu điều kiện ta thấy x
1
, x
3
thoả mãn bài toán.
Vậy phơng trình có 2 nghiệm.
1
3
331
442
x
x

=+

=+

2. Phơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 4: Giải phơng trình
()()()
341228(1)
xxxx++=
Lời giải
Đặt u = x + 3 v =
()()
412
xx
+
với v
0


Khi đó phơng trình (1) trở thành:
2uv = u
2
+ v
2
- 1

(u - v)
2
= 1

1

1
vu
vu
=


=+


Với v = u - 1
0

ta có
()()()
2
2
31
2
331
620
4122
x
x
x
xx
xxx
+

=+

+=
+=+




Với v = u + 1

0 ta có :
()()()
2
2
31
4
442
8160
4124
x
x
x
xx
xxx
+

=+

+=
+=+




Phơng trình có tập nghiệm là:
{
}
313;424


Ví dụ 5: Giải phơng trình
(x - 8)
2
+ (x - 6)
4
= 16 (1)
Lời giải
Đặt y = x - 7
Khi đó phơng trình (1) trở thành
(y - y)
4
+ (y + 1)
4
= 16

y

4
- 4y
3
6y
2
- 4y + 1 + y
4
- 4y
3
6y
2
+ 4y + 1 = 16

2y
4
+ 12y
2
+ 2 = 16

y
4
- 6y
2
- 7 = 0

(y
2
+7) (y
2
-1) = 0 (do y

2
+7 > 0)

y
2
- 1 = 0

1
1
y
y
=


=


Với y = 1 ta có x - 7 = 1

x = 8
Với y = -1 ta có x - 7 = -1

x = 6
Tập nghiệm của phơng trình là {6 ; 8}

18

Ví dụ 6: Giải phơng trình
X
4

- 6x
3
+ 10x
2
- 6x + 10 = 0
Lời giải
đây là phơng trình đối xứng bậc 4 để giải phơng trình này ta nhận
xét x = 0 không là nghiệm của phơng trình nên phơng trình



x
2
- 6x + 10 - 6.
2
11
0
xx
+=
(chia 2 vế cho x
2
)

2
2
11
6100
xx
xx

+++=



Đặt
()
1
2
xtt
x
+=

Ta có phơng trình:
2
2
680
4
t
tt
t
=

+=

=


Khi t = 2 ta có
2
1

22101
xxxx
x
+=+==

Khi t = 4 ta có
2
1
441023
xxxx
x
+=+==

Vậy tập nghiệm của phơng trình là:
{
}
1;23;23
+


Ví dụ 7: Giải phơng trình
(x + 1) (x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
Lời giải:
Phơng trình
(
)
(
)
(
)

(
)
14233
xxxx

++++=



(
)
(
)
22
54563
xxxx
++++=

Đặt t =
2
54
xx
++
ta có:
t(t + 2) = 3

t
2
+ 2t - 3 = 0

1
3
t
t
=


=


Với t = 1 ta có phơng trình:
2
541
xx
++=


2
513
530
2
xxx

++==

Với t = -3 ta có:
22
543570
xxxx

++=++=
phơng trình này vô
nghiệm

19

Kết luận: tập nghiệm của phơng trình là
513513
;
22

+





3. Phơng pháp đánh giá
Ví dụ 8: Giải phơng trình: (x - 8)
4
+ (x -6)
4
= 16 (1)
Lời giải:
Dễ thấy x = 8 hoặc x = 6 là 2 nghiệm của phơng trình đã cho.
Nếu x > 8 ta có (x -6)
4
> 2
4
= 16

(x - 8)
4
> 0

(x - 8)
4
+ (x -6)
4
> 16. Vậy x > 8 không là nghiệm của phơng trình.
Nếu x < 6 ta có: (x - 8)
4
= (8 - x)
4
> 16
(x -6)
4
> 0

(x - 8)
4
+ (x -6)
4
> 16 nên x < 6 không thoả mãn.
Với 6 < x < 8 phơng trình (1) viết về dạng:
(x - 6)
4
+ (8 - x)
4
= 16

Khi đó (x - 6)
4
+ (8 - x)
4
< (x - 6 + 8 - x)
4
= 16
Vậy phơng trình vô nghiệm khi: 6 < x < 8
Tóm lại tập nghiệm của phơng trình là:
{
}
6;8

Ví dụ 9. Giải phơng trình
222
613618346
xxxxxx
+++++=

Lời giải:
Biến đổi phơng trình về dạng:
222
(3)4(3)925(3)
xxx+++++=+

VT
235
+=
Dấu = khi x = -3
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = - 3

Ví dụ 10: Giải phơng trình:
x(2008 - x
2007
) = 2007
Lời giải:
Nếu
0
x

thì
2007
(2008)0
xx

loại
Vậy
0
x


Viết phơng trình về dạng: x
2008
+ 2007 = 2008x
Theo bất đẳng thức côsi cho 2008 số dơng. Ta có:
x
2008
+ 2007 = x
2008
+ 1 + 1 + +1

2008x
2007 số 1
Dấu = xảy ra khi x = 1
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1

20

Ví dụ 11: Giải phơng trình
2
3
2016201720072007
xxxx=

Lời giải:
Điều kiện: x
2007


Với
20072008
x
<
thì
33
2016201720162008200820071
xx
>=

x

2
- 2007x - 2007 = x(x- 2007) - 2007 < 2008(2008 - 2007) - 2007 = 1
Thử x = 2008 thoả mãn.
Với x > 2008 thì:
33
2016201720162008200820071
xx
<=

x
2
- 2007x - 2007 = x(x- 2007) - 2007 > 2008(2008 - 2007) - 2007 = 1
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1
Ví dụ 12: giải phơng trình
527
4321
1
x
x
+
+=
+

Lời giải:
Điều kiện: x + 1 > 0 hay x > -1
Viết phơng trình về dạng:
3
(21)
4(1)3(21)
1

x
x
+
++=+
+

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng ta có:
333
(21)(21)(21)
4(1)4(1)3(21)
14(1)4(1)
xx
xxx
+++
++=++++
+++

Dấu = xảy ra khi:
3
(21)
4(1)21
4(1)
x
x
+
+==+
+

Hay 4x =
23

21

Hay x =
23
4


Phơng trình có nghiệm duy nhất: x =
23
4


Ví dụ 13. Giải phơng trình
106
55
27.58640
xx
=

Lời giải
Ta thấy x = 0 không thoả mãn phơng trình nên chia hai vế của
phơng trình cho x
6
ta đợc phơng trình tơng đơng:
5
4
5

6
32.27
27.5
x
x
+=


4
6
5
25
27
x
x
+=

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dơng ta có:
444
4
666
5
2115
333
27
xxx
x
xxx
+=++++

Do đó x thoả mãn phơng trình

bất đẳng thức trên trở thành đẳng
thức


4
3
x
=
6
1
x


x
10
= 3

x =
10
3


Ví dụ 14: Giải phơng trình
4233
43431612
xxxxx
+++=+

Lời giải:
Ta có:

22

2
424
37
434400
24
xxxxxx

+++=+++>>



áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:
423
22
3
33
(4)34434
(43)2234(43)
31612
xxxxx
xxxx
xx
+++++
=++++
=+

Dấu = xảy ra khi x =
1
2

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất: x =
1
2

hần 3: Bài tập tự luyện
Bài 1
: Giải hệ phơng trình:
22
2009
1
22
xy
xy

+=


+=


(Gợi ý dùng phơng pháp đánh
giá)
Bài 2
: Giải hệ phơng trình:
222

222
3
3
35715
xyz
xyz
xyz
++=


++=


++=

(Dùng phơng pháp đánh
giá)
Bài 3
: Tìm nghiệm nguyên của hệ:
222
333
22
196
2008
xyz
xyz
xyz
++=

++=


++=

(Dùng Định lý Viet mở
rộng)
Bài 4
: Giải hệ phơng trình:
yzua
xzub
xyuc
xyzd
++=


++=


++=


++=

(Dùng phơng trình hệ quả)
Bài 5
: Cho a, b, c là 3 số khác 0

23

Giải hệ phơng trình:
ayxzc
cxazb
bzcya
+=


+=


+=

(Dùng phơng trình hệ quả)
Bài 6: Trong các nghiệm của hệ
22
22
9
16
12
xy
zt
xtyt

+=

+=


+

Tìm nghiệm sao cho x + z đạt Giá trị lớn nhất (Dùng phơng pháp
đánh giá)
Bài 7
: Giải phơng trình
332
142(121
xxxx
+=+

(Dùng phơng pháp đánh giá)

Bài 8
: Giải phơng trình
(
)
23
2858
xx
+=+

(Dùng phơng pháp biến đổi tơng đơng)

Bài 9: Giải phơng trình: 48x(x +1)(x
3
- 4) = (x
4
+ 8x + 12)
2
(Dùng phơng pháp biến đổi tơng đơng)

Bài 10
: Giải phơng trình: x
4
+ x
3
+ x
2
+ x +
1
2
= 0
(Dùng phơng pháp đánh giá)