hệ thống bài tập gt 12 ôn thi đại học

V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
Ch ơng I: Đạo hàm
I) Định nghĩa đạo hàm:
Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm x
0
đã chỉ ra:
a) y = x
2
+ x x
0
= 2
b) y =
x
1
x
0
= 2
c) y =
1
1
+

x
x
x
0
= 0
Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau đây (tại điểm x R)
a) y =
x
- x b) y = x

3
- x + 2
c) y = x
3
+ 2x c) y =
1
12


x
x
Bài3: Tính f'(8) biết f(x) =
3
x
Bài4: Cho đờng cong y = x
3
. Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong đó, biết:
a) Tiếp điểm là A(-1; -1).
b) Hoành độ tiếp điểm bằng 2.
c) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 3x + 5.
d) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = -
12
x
+ 1
Bài5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 2004).
Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(-1000)
II) các phép tính đạo hàm:
Bài1: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
1) y =
( )

43
2
+
xx
( )
352
23
+
xxx
2) y =
( ) ( ) ( ) ( )
45342312
++++
xxxx
3) y =
( )
( )
3
2
23
12133
++
xxxx
4) y =
( ) ( )
( )
3
2
44
342312

++++
xxxx
5) y =
( ) ( ) ( )
432
321
+++
xxx
6) y =
43
652
2
+
+
x
xx
7) y =
1
3
3
++

xx
xx
8) y =
( )
1
1
2
3

+
+
xx
x
9) y =
44
1
1
1
12







+
+







+
x
x
x

x
10) y =
2
2
2
2
1
1
1
1
xx
xx
xx
xx
++
+
+
+
++

11) y =
( )
3
32
321 xxx
+++
12) y =
3
3
1

1
x
x

+
13) y =
6
4
53
62
31


xx
xx
14) y =
xcosxsin
xcosxsin
+

Trang: 1
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng
15) y =
( )
[ ]
xsinsinsin
16) y =
( )
x
excos

x
xsin
x
−






+
−
−
2
1
2
1
2
2
17) y =






+++







+−
3
2
2
3
2
11311
2
3
xlnx
Bµi2: TÝnh c¸c ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau:
1) y =
xln
x
2) y =
xcos
xsin
3) y =
x
x
2
2
1







+
4) y =
x
xx
xxx
xxx
++
5) y =
7
5
4
3
54
231
−−
+++
xx
xxx
III) ®¹o hµm mét phÝa vµ ®iÒu kiÖn tån t¹i ®¹o hµm:
Bµi1: Cho f(x) =
x
x
+
1
. TÝnh f'(0)
Bµi2: Cho f(x) =
2
+

xx
. TÝnh f'(0)
Bµi3: Cho f(x) =





=
≠
−
0x nÕu 0
0x nÕu
x
xcos1
1) XÐt tÝnh liªn tôc cña f(x) t¹i x = 0.
2) XÐt tÝnh kh¶ vi cña f(x) t¹i x = 0.
Bµi4: Cho hµm sè: f(x) =
13
32
2
−
+−
x
xx
.
Chøng minh r»ng f(x) liªn tôc t¹i x = -3 nhng kh«ng cã ®¹o hµm t¹i x = -3.
Bµi5: Cho f(x) =
( )






≤+
>+
−
0x nÕu 1ax-x-
0x nÕu ex
2
x
1
. T×m a ®Ó ∃f'(0)
Bµi6: Cho f(x) =



>++
≤−
01
0
x nÕu bax
x nÕu xsinbxcosa
IV) ®¹o hµm cÊp cao:
Bµi1: Cho f(x) =
12
23
2
2
−+

+−
xx
xx
. TÝnh: f
(n)
(x)
Bµi2: Cho f(x) =
6116
843
23
2
−+−
−+−
xxx
xx
. TÝnh: f
(n)
(x)
Bµi3: Cho f(x) =
107
942
24
23
+−
−−+
xx
xxx
. TÝnh: f
(n)
(x)

Trang: 2
V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
Bài4: Cho f(x) =
189
1153
24
2
+

xx
xx
. Tính: f
(n)
(x)
Bài5: Cho f(x) = cosx. Tính: f
(n)
(x)
Bài6: Cho f(x) = cos(ax + b). Tính: f
(n)
(x)
Bài7: Cho f(x) = x.e
x
. Tính: f
(n)
(x)
Bài8: Cho f(x) =
xlnx
3
. Tính: f
(n)

(x)
Bài9: Cho f(x) =
( )
baxln
+
. Tính: f
(n)
(x)
V) đẳng thức, ph ơng trình, bất ph ơng trình với các phép toán đạo
hàm:
Bài1: Cho y =
x
ln
+
1
1
. CMR: xy' + 1 = e
y

Bài2: Cho y =
xsine
x

. CMR: y'' + 2y' + 2y = 0
Bài3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). CMR: y + xy' + x
2
y" = 0
Bài4: Cho f(x) = sin
3
2x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x. Giải phơng trình: f'(x) = g(x)

Bài5: Cho f(x) =
12
5
2
1
+
x
; g(x) =
545 lnx
x
+
. Giải bất phơng trình: f'(x) < g'(x)
Bài6: Cho y =
11
22
22
2
+++++
xxlnx
xx
CMR: 2y = xy' + lny'
IV) dùng đạo hàm để tính giới hạn:
Tìm các giới hạn sau:
1) A =
x
xxx
lim
x
3
3

3
2
0
11
+++

2)
2
0
2
3
x
xcos
lim
x
x


3)
2
3
0
2121
x
xx
lim
x
++

4)

xx
xsinx
lim
x
+
++

243
121
0
Ch ơng II: Khảo sát hàm số và các ứng dụng
II) Tính đơn điệu của hàm số:
1) Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu:
2)
Trang: 3
V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
Bài1: Tìm m để hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (-1; 1)
Bài2: Tìm m để hàm số: y = x
3
- 3(2m + 1)x
2
+ (12m + 5)x + 2
đồng biến trên (-

; -1] [2; +

)
Bài3: Tìm m để hàm số: y =
( ) ( )
mxmxm
mx
+++ 112
3
2
3
đồng biến trên (-

; 0) [2; +

)
Bài4: Tìm m để hàm số: y =
( )
xmmxx
m
23
3
1
23
++

đồng biến trên R
Bài5: Tìm m để hàm số: y = x
3
- 3(m - 1)x
2
+ 3m(m - 2)x + 1 đồng biến trong các khoảng

thoả mãn: 1
x
2
2) Ph ơng pháp hàm số giải quyết các bài toán chứa tham số:
Bài1: Cho phơng trình: x
2
- (m + 2)x + 5m + 1 = 0
1) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn: x > 1.
2) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn:
x
> 4.
3) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn: x < 2.
4) Tìm m để phơng trình có nghiệm (-1; 1).
Bài2: Tìm a để phơng trình: (a + 1)x
2
- (8a + 1)x + 6a = 0 có đúng 1 nghiệm (0;1)
Bài3: Tìm m để phơng trình:
( )
048369
222
222
=+

xxxxxx
m.m
có nghiệm thoả mãn:
x

2
1

Bài4: Tìm m để phơng trình:
( ) ( )
xxxx
+++
6363
= m có nghiệm
Bài5: Tìm m để phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm
x







2
3
2
;
Bài6: Tìm m để phơng trình:
0121
2
3
2
3
=++
mxlogxlog
có ít nhất một nghiệm
x

[ ]
3
31;

Bài7: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm:
1)
( )( )
( )
2321
2
=+
mxxxx
2)
( )
01242
234
=+++
mxxmmxx

Bài8: Tìm a để:
12
12
13
2
=


x
x
x

+ ax có nghiệm duy nhất
Bài9: Tìm m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x
2
+ 4x + 6) m nghiệm đúng với x
Bài10: Xác định a để bất phơng trình: -4
( ) ( )
xx
+
24
x
2
- 2x + a - 18 nghiệm đúng với
x [-2; 4]
Bài11: Tìm m để:
( )
mm
xx
xsin
xcos
22
2
1
1
33
2
2
1
2
++

+
+

< 0 x
Trang: 4
V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
Bài12: Tìm m để
( )
xxxxxx
m.m

++
222
222
46129
0 nghiệm đúng với x thoả mãn:
2
1

x
Bài13: Tìm m để bất phơng trình:
3

xmx

m + 1 có nghiệm
3) Sử dụng ph ơng pháp hàm số để giải ph ơng trình, bất ph ơng trình, hệ
ph ơng trình, hệ bất ph ơng trình:
Bài1: Giải các phơng trình và các bất phơng trình sau:
1)
4259
+>+
xx
2)
( )
75155
2
3
2
2
++






++
xxlogxxlog
2
Bài2: Giải hệ bất phơng trình:

>+
<+
013
0123
3
2
xx
xx

Bài3: Giải hệ bất phơng trình:
( )





>++
<
0953
3
1
0
23
2
2
2
2
xxx
xlogxlog

Bài4: Giải hệ phơng trình:







++=
++=
++=
2
2
2
23
23
23
xxxz
zzzx
yyyx

4) Chứng minh bất đẳng thức:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
242
1
2
1
422

xx
xcos
x
+<<
x > 0
2)
!n
x
...
x
xe
n
x
++++>
2
1
2
x > 0; n N
*
3) 1 - x
x
e

1 - x +
2
2
x
x [0; 1]
4) 1 - x
x

e
x
+

1
2
1 - x +
( )
x
x
+
12
4
x [0; 1]
5)
( )
2
1
2
x
xxln
>+
x > 0
6)
x
x
xln
1

<

x > 1
III) cực trị và các ứng dụng:
Bài1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau đây:
Trang: 5
V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
1) y = x
3
+ 4x 2) y =
2
54
2
+
++
x
xx
3) y =
2
xx
ee

+
4) y = x
3
(1 - x)
2

Bài2: Tìm cực trị nếu có của mỗi hàm số sau đây (biện luận theo tham số a)
1) y = x
3
- 2ax

2
+ a
2
x 2) y = x - 1 +
1

x
a

Bài3: Chứng minh rằng hàm số: y =
2
2
2
2
+
++
x
mxx
luôn có một cực đại và một cực tiểu với
mọi m.
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số:
1) y = sinx(1 + cosx) 2) y = sin
4
x + cos
4
x + sinxcosx + 1
3) y = 5cosx - cos5x với x

44
;
4) y =
xcosxsin
xcosxsin
44
66
1
1
++
++
Bài2: Cho phơng trình: 12x
2
- 6mx + m
2
- 4 +
2
12
m
= 0
Gọi x
1
, x
2

là nghiệm của phơng trình. Tìm Max, Min của: S =
3
2
3
1
xx +

Bài3: Cho a.b 0. Tìm Min của: y =
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
++








++

2
2
2
2
4
4
4
4

Bài4: Cho x, y 0; x + y = 1. Tìm Max, Min của: S =
11
+
+
+
x
y
y
x

Bài5: Cho x, y 0; x + y = 1. Tìm Min của: S =
y
y
x
x

+

11
Bài6: Tuỳ theo a tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = sin

6
x + cos
6
x + asinx.cosx
IV) tiệp cận:
Bài1: Tìm tiệm cận của các hàm số:
1) y =
12
23
2
2
+
++
xx
xx
2) y =
1
1
2
3
+
++
x
xx
3) y =
x
x

2
4) y =

2
9
2
x
x

+
5) y =
( )
( )
2
2
12
x
xx


6) y =
1
2
+
x

Bài2: Tìm các tiệm cận của hàm số (biện luận theo tham số m)
1) y =
1
4
2
2
+

mxx
x
2) y =
32
2
2
+
+
mxx
x

Bài3: Cho (C): y =
( )
2
312
2

++++
x
axaax
, a -1; a 0. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của
(C) luôn đi qua một điểm cố định
Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) =
1
232
2

+
x

xx
Trang: 6
V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
1) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận luôn không
đổi.
2) Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ
nhất.
V) Khảo sát và vẽ đồ thị:
Bài1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y = 2x
3
+ 3x
2
- 1 2) y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 5
3) y = x
3
- 3x
2
- 6x + 8 4) y = -x
3
+ 3x
2
- 4x + 3
5) y = -
3
3

x
- x
2
+ 3x - 4
Bài2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y = x
4
- 2x
2
2) y = -x
4
+ 2x
2
- 1
3) y = x
4
+
10
3
x
2
+ 1 4) y =
2
4
x

- x
2
+ 1
Bài3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1) y =
1
42
+

x
x
2) y =
3
12

+
x
x

Bài4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y =
2
33
2
+
++
x
xx
2) y =
1
2

x
x

3) y =
1
2
2
+
+
x
xx
4) y =
12
136
2
+
++
x
xx

Bài5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y =
3
5
3
1
4
1
234
+
xxx
2) y =
54

1182
2
+
+
2
xx
xx
3) y =
1
542
2
2
+
++
x
xx
4) y =
5015
149
2
2
+
+
xx
xx
5) y =
xx
xx
22
12

2
2

++
6) y = x +
12
2
+
x

VI) phép biến đổi đồ thị:
Vẽ đồ thị của các hàm số:
1) y =
1
1
2
+
+
x
xx
2) y =
2
92
2

+
x
xx
3) y =
2

33
2

+
x
xx
4) y =
1
55
2

+
x
xx
5) y =
12
2

+
x
xx
6) y =
1
1

+
x
x
7)
( )

21
2
+=
xxxy
Trang: 7
V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
VII) tiếp tuyến:
1) Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài1: Cho hàm số: y = x
3
- 1 - k(x - 1) (1)
1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành;
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung. Tìm k
để tiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y =
xcosxx
+++
42
2
tại giao điểm của đờng
cong với trục tung.
Bài3: Cho (C
m
): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1
a) Tìm m để (C
m

) cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E.
b) Tìm m để các tiếp tuyến của (C
m
) tại D và E vuông góc với nhau.
Bài4: Cho 2 đồ thị
( ) ( ) ( )
( )





+==
+==
mxxgy:)P(
xxxfy:)C(
2
22
2
11
1) Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc với nhau.
2) Viết phơng trình tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm chung của (C) với (P).
Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) =
2
1
x
4
- 3x
2
+

2
5
1) Gọi t là tiếp tuyến của (C) tại M có x
M
= a. CMR: hoành độ các giao điểm của t với
(C) là nghiệm của phơng trình:
( )
( )
0632
22
2
=++
aaxxax
Trang: 8
V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
2) Tìm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của
PQ.
Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y =
( )
mx
mmxm
+
++
2
13
với trục Ox tiếp tuyến của (C)
song song với (): y = x - 10. Viết phơng trình tiếp tuyến đó.
Bài7: Cho (C) : y =
1
12

x
x
và M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. tiếp
tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
1) CMR: M là trung điểm của A và B.
2) CMR: S

IAB
không đổi
3) Tìm m để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài8: Cho (C): y =
mx
mxx

+
32
2
(m 0, 1)
Chứng minh rằng tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng tại điểm
có tung độ bằng 1
Bài9: Cho (C): y =
mx
mxx
+
++
4
43
2

Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C).
Bài10: Cho đồ thị (C): y =
1
22
2
+
++
x
xx
1) Điểm M (C) với x
M
= m. Viết phơng trình tiếp tuyến (t
m
) tại M.
2) Tìm m để (t
m
) qua B(1; 0). CMR: có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán
và hai tiếp tuyến tơng ứng vuông góc với nhau.
3) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận. Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đờng
tiệm cận tại A và B. CMR: M là trung điểm của AB và diện tích IAB không phụ thuộc
vào vị trí điểm M trên (C).
2) Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trớc
Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x
3
- 3x
2
biết tiếp tuyến vuông góc với
đờng thẳng: y =
3
1

x.
Bài2: Cho hàm số (C): y = f(x) =
2
4
x
- x
3
- 3x
2
+ 7
Tìm m để đồ thị (C) luôn có ít nhất hai tiếp tuyến song song với đt: y = mx
Bài3: Cho (C): y =
2
33
2
+
++
x
xx
. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đờng
thẳng (): 3y - x + 6 = 0
Trang: 9
V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
Bài4: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y =
34
132
2
+

x

xx
vuông góc với đờng thẳng: y = -
3
x
+ 2
Bài5: Cho đồ thị (C): y =
1
12
2

+
x
xx
Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó. Chứng minh
rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận.
Bài6: Cho (C
m
): y = x
4
+ mx
2
- m - 1
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y = 2x với A là điểm cố
định của (C
m
) có hoành độ dơng.
Bài7: Cho đồ thị (C
a
): y =
1

3
2
+
++
x
axx
Tìm a để (C
a
) có tiếp tuyến vuông góc với đờng phân giác của góc phần t thứ nhất
của hệ toạ độ.
Bài8: Cho (C): y =
1
12
2
+
+
x
xx
. CMR: trên đờng thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm
đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45
0
.
3) Phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc đến đồ thị
Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A

4
12
19
;
đến đồ thị (C): y = f(x) = 2x
3
+ 3x
2
+ 5
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0; -1) đến (C): y = 2x
3
+ 3(m - 1)x
2
+ 6(m - 2)x -
1
Bài3: Cho hàm số (C): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ 2
1) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A







2
9

23
;
đến (C).
2) Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài4: Cho (C): y = -x
3
+ 3x + 2
Tìm trên trục hoành các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x
4
- x
2
+ 1
Tìm các điểm A Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài6: Tìm trên đờng thẳng x = 3 các điểm kẻ đợc tiếp tuyến đến (C): y =
1
12
+
+
x
x

ViiI) ứng dụng của đồ thị:
1) Xét số nghiệm của phơng trình:
Bài1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: 3x - 4x
3
= 3m - 4m
3

Bài2: Tìm m để phơng trình: x

3
- 3x + 2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Trang: 10